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        一類三角函數(shù)的周期性問題探究

        2021-08-16 06:17:26周思宇湖南省長(zhǎng)沙市周南中學(xué)410008
        中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2021年8期
        關(guān)鍵詞:常值公倍數(shù)周期性

        周思宇 (湖南省長(zhǎng)沙市周南中學(xué) 410008)

        由于常值函數(shù)沒有最小正周期,故本文所研究的函數(shù)都是定義在實(shí)數(shù)集上的連續(xù)非常值函數(shù).

        1 兩周期函數(shù)之和的周期性

        這里的T可以視為T1與T2的“公倍數(shù)”.公倍數(shù)與最小公倍數(shù)原是在自然數(shù)范圍內(nèi)考慮,這里借用這一名稱是為了方便,現(xiàn)對(duì)其意義作一個(gè)說明:若干個(gè)實(shí)數(shù)的公倍數(shù)是指同時(shí)是其中每個(gè)數(shù)的整數(shù)倍的數(shù),最小公倍數(shù)是公倍數(shù)中最小的一個(gè)正數(shù).[2]

        根據(jù)引理1我們可以知道,y=sinx+sin 2x是周期函數(shù),2π是它的一個(gè)周期.

        推論設(shè)f1(x),f2(x),…,fn(x)都是實(shí)數(shù)集M上的周期函數(shù),T1,T2,…,Tn分別是它們的周期,若T1,T2,…,Tn中任意兩個(gè)之比為有理數(shù),則這n個(gè)函數(shù)的和(或差、積、商)也是M上的周期函數(shù),周期是T1,T2,…,Tn的一個(gè)公倍數(shù).

        對(duì)于引理1與推論有三處需要說明:

        (2)引理1只是對(duì)兩個(gè)函數(shù)的和(或差、積、商)的周期性提出了一個(gè)充分條件.也就是說兩個(gè)非周期函數(shù)或者一個(gè)周期函數(shù)與一個(gè)非周期函數(shù)的和(或差、積、商)也有可能是周期函數(shù).例如,f1(x)=sinx+x與f2(x)=sinx-x都不是周期函數(shù),但f1(x)+f2(x)是周期函數(shù).

        (3)如果引理1中T1,T2都是最小正周期,則T=pT2=qT1不一定是f1(x)與f2(x)的和(或差、積、商)的最小正周期.例如f1(x)= sin2x與f2(x)=cos2x的最小正周期為π,但sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期.

        從上面可以看出,函數(shù)的周期性以及最小正周期是一個(gè)很復(fù)雜的問題.這里我們把研究范圍縮小到三角多項(xiàng)式函數(shù),并給出一個(gè)判斷周期性的充要條件.

        2 三角多項(xiàng)式的周期性

        加強(qiáng)引理1的條件,可以得到如下幾個(gè)判斷函數(shù)周期性的充要條件.

        證明 (充分性)由引理易證.

        用類似方法可以得到sinω1x與cosω2x,cosω1x與cosω2x,tanω1x與tanω2x也具備類似定理1的結(jié)論.

        定理1雖然給出了判斷三角多項(xiàng)式是否具有周期性的一個(gè)充要條件,但是沒有告訴我們它的最小正周期是多少.對(duì)于一般的周期函數(shù),要具體找出最小正周期并無一般方法,但對(duì)于常見的三角多項(xiàng)式,可以找到一般方法.為了更好地得到這個(gè)方法,我們先給出一個(gè)引理.

        引理2若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的連續(xù)周期函數(shù)且f(x)不是常值函數(shù),則f(x)必有最小正周期.

        證明 假設(shè)f(x)沒有最小正周期,則f(x)≡f(0),證明如下:

        因?yàn)閒(x)連續(xù),故對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使得只要|x′|<δ,就有|f(x′)-f(0)|<ε.因?yàn)閒(x)不存在最小正周期,故可以找到f(x)的一個(gè)周期T<δ,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,存在整數(shù)n,使得x=nT+m,0≤m

        定理2[4]設(shè)f1(x)=sinω1x,f2(x)= sinω2x(ω1>0,ω2>0且ω1≠ω2),若ω1與ω2是有理數(shù),則f1(x)與f2(x)的和(或差、積、商)的最小正周期是f1(x)與f2(x)最小正周期的最小公倍數(shù).

        證明 設(shè)F(x)=sinω1x+sinω2x,由定理1知,F(xiàn)(x)是周期函數(shù).設(shè)T是F(x)的一個(gè)正周期,要得到F(x)的最小正周期,相當(dāng)于求方程F(x+T)=F(x)的最小正值.

        同理,sinω1x與cosω2x,cosω1x與 cosω2x,tanω1x與tanω2x也具備類似定理2的結(jié)論.

        推論[4]設(shè)F(x)=(a1sinω1x+b1cosω1x)+(a2sinω2x+b2cosω2x)+…+(aksinωkx+bkcosωkx),其中ωi是互不相同的正有理數(shù),ai,bi(i=1,2,…,k)不同時(shí)為零,則F(x)的最小正周期為各項(xiàng)最小正周期的最小公倍數(shù).

        由此,我們可以得出y=sinx+sin 2x的最小正周期為2π.

        函數(shù)的周期性是一個(gè)非常復(fù)雜的問題,本文旨在拋磚引玉,所研究的內(nèi)容也僅僅是冰山一角.要想了解更多有關(guān)周期性的內(nèi)容,還需讀者繼續(xù)涉獵相關(guān)知識(shí).

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