李曉杰，劉 萍，李新軍

(1.齊魯理工學(xué)院，濟(jì)南 250200；2.齊魯師范學(xué)院，濟(jì)南 250200)

1 引 言

自1966年Blume-Capel(BC)模型被創(chuàng)建以來[1，2]，人們利用不同方法對多種晶格上的BC模型的磁化性質(zhì)、熱力學(xué)性質(zhì)和相圖進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[3]中用有效場理論研究了簡立方晶格中BC模型的補(bǔ)償行為和磁化過程.文獻(xiàn)[4]中研究了外磁場服從雙峰離散分布時蜂巢晶格的相變性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)外磁場、晶場和自旋間交換相互作用影響系統(tǒng)的相變并且系統(tǒng)出現(xiàn)重入現(xiàn)象；文獻(xiàn)[5]的研究表明稀釋晶場對蜂巢晶格系統(tǒng)磁學(xué)性質(zhì)和相變的影響，結(jié)果顯示當(dāng)晶場滿足稀釋分布

時對系統(tǒng)的相變沒有影響并且系統(tǒng)不會出現(xiàn)三臨界現(xiàn)象.近幾年來，納米管漸漸成為磁熱性質(zhì)研究領(lǐng)域的一個熱點，實驗與理論方面都已經(jīng)取得一定的研究結(jié)果.實驗上，毛瑞等人以植物纖維素為模板，制備出了納米管狀SnO2材料，測試結(jié)果顯示，此SnO2納米管狀材料能夠提高鋰離子的擴(kuò)散速率，有效解決解充電放電過程中電極材料體積膨脹問題[6].理論上，Zaim小組研究了外磁場滿足三模分布時納米管上自旋為1 Ising模型的相圖和磁性能[7]，結(jié)果表明，該系統(tǒng)具有一階相變、三相臨界點和二階相變并出現(xiàn)重入現(xiàn)象.Osman等人分別討論了納米管中純自旋系統(tǒng)和混合自旋系統(tǒng)的磁熱性質(zhì)和臨界現(xiàn)象[8-10]，討論了晶場對系統(tǒng)磁熱性質(zhì)的影響，結(jié)果顯示系統(tǒng)存在一階相變和二階相變.Kaneyoshi討論了納米管中磁化率隨溫度的變化情況[11]，發(fā)現(xiàn)當(dāng)外殼層和內(nèi)殼層最近鄰自旋間交換相互作用不同時會改變系統(tǒng)的磁化率.文獻(xiàn)[12]結(jié)果顯示雙模隨機(jī)晶場中BC模型的磁化強(qiáng)度和相變性質(zhì)，得到了系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度與溫度和隨機(jī)晶場的關(guān)系以及相圖，結(jié)果表明系統(tǒng)在稀釋晶場、交錯晶場和同向晶場中會表現(xiàn)出不同的磁學(xué)性質(zhì)和相變行為.文獻(xiàn)[13]討論了納米管上BEG模型的熱力學(xué)和相變性質(zhì)，研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在三臨界點.文獻(xiàn)[14]研究了稀釋晶場作用下納米管中BC模型的磁化性質(zhì)，結(jié)果表明，稀釋晶場作用下系統(tǒng)的內(nèi)能、比熱和自由能呈現(xiàn)出不同的磁學(xué)性質(zhì).據(jù)我們了解，目前人們還沒有討論最近鄰弱交換相互作用對spin-1納米管熱學(xué)性質(zhì)的影響.為了弄清楚最近鄰弱交換相互作用對納米管系統(tǒng)熱學(xué)性質(zhì)的影響，本文利用有效場理論對最近鄰弱交換相互作用下納米管上BC模型格點的內(nèi)能、比熱、自由能與溫度及晶場的關(guān)系進(jìn)行了研究，給出了納米管系統(tǒng)中內(nèi)能、比熱和自由能隨溫度的變化曲線.

2 模型與方法

圖1所示，無限長磁性納米管由內(nèi)殼層與外殼層兩部分構(gòu)成.圖1(a)顯示納米管的三維立體示意圖，圖1(b)為其橫向截面示意圖.為了清晰地區(qū)分不同格點上所具有的相同配位數(shù)的磁性原子，用藍(lán)圓圈、綠方塊和紅三角形分別表示配位數(shù)為5、6與7的磁性原子.每個磁性原子的自旋都是1，圖中的連線表示最近鄰磁性原子間的交換相互作用，其大小分別為J1、J2和J.

圖1 所示納米管示意圖.圖(a)立體圖，圖(b)截面圖，藍(lán)圓圈和綠方塊代表外殼層磁性原子，紅三角代表內(nèi)殼層磁性原子，實線表示最近鄰原子之間的交換相互作用.Fig.1 Shows a schematic diagram of the nanotubes.Fig.(a)represents the stereogram and fig.(b)its transverse section.The blue circles and green squares represent the magnetic atoms in the outer shell，the red triangle represents the magnetic atoms in the inner shell，and the solid lines represent the exchange interactions between the nearest neighbor atoms.

納米管系統(tǒng)Blume-Capel模型的哈密頓量表達(dá)式為

其中Si取值為-1，0，+1，J1代表外殼層最近鄰自旋間的交換相互作用，J代表內(nèi)殼層最近鄰自旋間的交換相互作用，J2代表外殼層原子和最近鄰的內(nèi)殼層原子自旋之間的交換相互作用，D表示作用在格點i上的晶場強(qiáng)度.

根據(jù)文獻(xiàn)[15-17]可得到外殼層格點磁化強(qiáng)度m1與m2，內(nèi)殼層格點磁化強(qiáng)度mc的自洽方程：

其中函數(shù)F(x)定義為

其中β=1/kBT.T是絕對溫度，kB是玻爾茲曼常數(shù).

系統(tǒng)中每個格點的內(nèi)能為

其中

磁極矩的自洽方程：

其中函數(shù)F(x)定義為

系統(tǒng)的比熱為

系統(tǒng)自由能為

根據(jù)熱力學(xué)第三定律，自由能為

3 結(jié)果與討論

為了不失一般性，令晶場強(qiáng)度D和等效溫度kBT以J為單位，通過求解方程(2)，給出了最近鄰弱交換相互作用和晶格場作用下系統(tǒng)的熱學(xué)性質(zhì)：內(nèi)能、比熱和自由能(見圖2、圖3和圖4).

3.1 內(nèi)能

我們利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件，通過求解磁化強(qiáng)度自洽方程(方程2(a)-2(c))和磁極矩自洽方程(方程6(a)-6(c))，將得到的相關(guān)數(shù)據(jù)，利用如下公式，求得納米管系統(tǒng)的內(nèi)能Di(q1+q2+qc)，然后利用Origin Pro畫圖軟件，給出系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度的變化曲線.

圖2(a)-(c)分別給出了外殼層最近鄰自旋間的交換相互作用J1，外殼層原子和最近鄰的內(nèi)殼層原子自旋之間的交換相互作J2，內(nèi)殼層最近鄰自旋間的交換相互作用J較弱時，正負(fù)晶場作用下系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度的變化情況.通過研究發(fā)現(xiàn)：正晶場作用下系統(tǒng)的內(nèi)能隨溫度升高逐漸變大，當(dāng)溫度達(dá)到二級相變溫度后，內(nèi)能達(dá)到飽和狀態(tài)；正晶格場強(qiáng)度不同時，系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度的變化趨勢相同；負(fù)晶場作用下系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度變化曲線會出現(xiàn)不連續(xù)性；負(fù)晶格場強(qiáng)度不同時，內(nèi)能呈現(xiàn)差異性.

從圖2可以看出負(fù)晶場和正晶場作用下，系統(tǒng)的內(nèi)能呈現(xiàn)不同的現(xiàn)象，負(fù)晶場對系統(tǒng)內(nèi)能的影響比正晶場大.圖2顯示，負(fù)晶場作用下系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度的變化曲線不連續(xù)，而且不連續(xù)的現(xiàn)象出現(xiàn)多次.出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象主要是因為系統(tǒng)發(fā)生一級和二級相變，而相變溫度對系統(tǒng)內(nèi)能影響較大.不連續(xù)位置對應(yīng)的溫度即系統(tǒng)的一級和二級相變溫度，而且一級相變溫度對內(nèi)能的影響較大，即不連續(xù)現(xiàn)象更加明顯.

圖2 系統(tǒng)的內(nèi)能隨溫度的變化曲線.Fig.2 represents the change curve of the internal energy of the system with temperature.

3.2 比 熱

在求得系統(tǒng)內(nèi)能的基礎(chǔ)上，通過求解比熱與內(nèi)能的表達(dá)式(公式(8))，得到系統(tǒng)比熱隨溫度的變化情況.圖3所示為系統(tǒng)比熱隨溫度的變化曲線.從圖中可以看出負(fù)晶場和正晶場作用下，系統(tǒng)的比熱表現(xiàn)出明顯的奇異性，但負(fù)晶場對系統(tǒng)比熱的影響更明顯，存在多處奇異點.這主要是因為，負(fù)晶場作用下，系統(tǒng)同時發(fā)生一級相變和二級相變；而正晶場作用下，系統(tǒng)僅發(fā)生二級相變.系統(tǒng)比熱曲線的奇異性出現(xiàn)在一級和二級相變溫度處，并且隨著溫度的升高系統(tǒng)比熱迅速減小.

3.3 自由能

如圖4所示，利用系統(tǒng)比熱和內(nèi)能的計算結(jié)果，通過求解公式(10)，得到系統(tǒng)自由能隨溫度的變化曲線.由公式(9)我們可知，低溫下熵對自由能的影響較小.因此，基態(tài)時自由能與內(nèi)能相等.然而，系統(tǒng)的熵會隨著溫度的升高而快速增大，因此溫度較高時，熵對自由能的影響比較大.從圖中可以看出負(fù)晶場和正晶場作用下，系統(tǒng)的自由能表現(xiàn)出相似的變化，但溫度較低時，正晶場作用下，自由能隨溫度的變化比較平緩.

圖4 系統(tǒng)的自由能隨溫度的變化曲線.Fig.4 shows the free energy of the system as a function of temperature.

4 結(jié) 論

本文利用有效場理論研究了最近鄰弱交換相互作用下spin-1納米管系統(tǒng)中BC模型的熱學(xué)性質(zhì).結(jié)果表明，系統(tǒng)的內(nèi)能、比熱、自由能與最近鄰弱交換相互作用、晶場強(qiáng)度以及溫度密切相關(guān).諸多因素相互競爭，使系統(tǒng)表現(xiàn)出比J1=J2=J=1時的BC模型更為復(fù)雜的熱學(xué)性質(zhì)：系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度的變化曲線表現(xiàn)出不連續(xù)性；比熱隨溫度的變化出現(xiàn)奇異性.溫度較高時，熵對自由能的影響更大.