孟 宗 郜文清 潘作舟 張光雅 樊鳳杰

燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵部件，其運(yùn)行狀態(tài)直接影響旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的安全可靠運(yùn)行[1-2]，因此，對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷具有重要意義[3-4]。在滾動(dòng)軸承診斷故障中，振動(dòng)信號(hào)分析方法是最常用的方法之一。依據(jù)傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)采樣時(shí)會(huì)產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)，從而加大了信號(hào)后續(xù)分析處理的難度。近年來(lái)，隨著稀疏表示的出現(xiàn)，基于稀疏表示的滾動(dòng)軸承信號(hào)分析方法使數(shù)據(jù)量得到有效降低，信號(hào)處理難度也得以減小。

稀疏表示包含字典設(shè)計(jì)與稀疏編碼兩個(gè)部分[5-6]。在假定字典已知的前提下，利用稀疏編碼能夠求解出表示輸入信號(hào)的稀疏向量，因此，字典是稀疏表示的關(guān)鍵，它主要分為分析字典和學(xué)習(xí)字典兩類。分析字典能夠利用固定的函數(shù)基直接得到字典[7]，在提取信號(hào)中的沖擊成分、簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其他瞬態(tài)現(xiàn)象方面較為直接有效。然而隨著信號(hào)的變化，基函數(shù)也要隨之變化，由此使得信號(hào)分析的難度增加，在具體的應(yīng)用中普適性不高。不同于分析字典，學(xué)習(xí)字典是從數(shù)據(jù)中訓(xùn)練得到的字典，具有更好的稀疏度和重構(gòu)精確度[8-9]。目前，相關(guān)學(xué)者已經(jīng)針對(duì)學(xué)習(xí)字典提出了一系列壓縮信號(hào)的方法，用以解決復(fù)雜信號(hào)難以處理的問題。AHARON 等[10]基于K-means聚類思想，首次提出了K-奇異值分解(K-SVD)算法。YANG等[11]針對(duì)相同模式下周期性出現(xiàn)的長(zhǎng)信號(hào)，提出了一種基于移位不變字典學(xué)習(xí)的故障診斷法。LIN等[12]針對(duì)K-SVD算法在故障信號(hào)較長(zhǎng)時(shí)引起的時(shí)間成本增加的問題，提出了以小段含沖擊時(shí)域信號(hào)進(jìn)行滑動(dòng)窗口字典學(xué)習(xí)的新式去噪K-SVD方法。樂友喜等[13]提出一種完備總體經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與K-SVD學(xué)習(xí)字典算法相結(jié)合的地震信號(hào)去噪方法。QIN等[14]提出了一種基于自適應(yīng)火花停止準(zhǔn)則的OMP算法，進(jìn)而提出了一種新的K-SVD信號(hào)矩陣和初始瞬態(tài)字典的構(gòu)造方法。SHAO等[15]針對(duì)標(biāo)簽一致K-SVD算法，在正則化1字典學(xué)習(xí)算法中應(yīng)用標(biāo)簽信息，提出了標(biāo)簽嵌入字典學(xué)習(xí)方法。然而，上述有關(guān)K-SVD的算法中，由于缺少對(duì)原子相干性的分析，降低了重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)所含故障信息的相似度，從而導(dǎo)致故障診斷準(zhǔn)確度的下降。奇異值分解[16]作為K-SVD訓(xùn)練字典過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，具有優(yōu)良的數(shù)值穩(wěn)健性。ZHAO等[17]提出能夠描述復(fù)雜信號(hào)奇異值突變狀態(tài)的奇異值差分譜，用來(lái)實(shí)現(xiàn)有效奇異值的自動(dòng)選取。REZA等[18]利用奇異值分解和Hankel矩陣實(shí)現(xiàn)了對(duì)滾動(dòng)軸承時(shí)域振動(dòng)信號(hào)及其頻譜的去噪處理。LI等[19]針對(duì)早期微弱故障信號(hào)，提出了一種基于SVD和OFBE的滾動(dòng)軸承故障特征提取方法，利用SVD實(shí)現(xiàn)了信號(hào)降噪。ZHU等[20]結(jié)合BCS和嵌入式SVD提出一種圖像加密方案，以此來(lái)增強(qiáng)方案的魯棒性。由上述文獻(xiàn)可知，奇異值分解能夠提高信號(hào)處理的精度，同時(shí)奇異值的選取關(guān)系到奇異值分解的降噪效果，然而在訓(xùn)練字典中缺少合適的指標(biāo)來(lái)選取有效的奇異分量，從而導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)信噪比的下降。

在對(duì)學(xué)習(xí)字典進(jìn)行訓(xùn)練的過程中，針對(duì)奇異分量之間的相干性，本文提出了一種基于自相關(guān)函數(shù)脈沖能量比(auto-correlation function pulse energy ratio，ACFPER)的G-K奇異值分解(G-KSVD)訓(xùn)練字典。ACFPER指標(biāo)能夠優(yōu)化奇異分量的選擇，獲取最優(yōu)原子；結(jié)合最優(yōu)原子的學(xué)習(xí)字典算法能夠在減小噪聲的同時(shí)，增強(qiáng)沖擊信號(hào)；G-KSVD算法在迭代更新中由于反饋的減少，可降低算法的時(shí)間成本。

1 K-SVD學(xué)習(xí)字典

在信號(hào)稀疏表示的過程中，K-SVD算法是目前應(yīng)用最廣的字典學(xué)習(xí)方法，其核心思想是對(duì)字典原子進(jìn)行逐列更新，目標(biāo)函數(shù)為

(1)

其中，Y是由原始信號(hào)構(gòu)成的訓(xùn)練樣本，D是學(xué)習(xí)字典，‖·‖F(xiàn)是lF范數(shù)，xi是系數(shù)矩陣X的第i列向量，T0是稀疏度。K-SVD算法首先通過固定字典D，利用OMP算法對(duì)稀疏系數(shù)X進(jìn)行更新，然后通過優(yōu)化問題對(duì)字典進(jìn)行逐列更新。更新原子的誤差矩陣El的計(jì)算公式[9]如下：

(2)

(3)

2 基于G-KSVD學(xué)習(xí)字典的信號(hào)重構(gòu)

2.1 信號(hào)預(yù)處理

軸承信號(hào)在進(jìn)行稀疏表示及壓縮重構(gòu)的過程中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行一定的預(yù)處理，能夠降低信號(hào)在稀疏表示過程中的難度。本文在對(duì)實(shí)際信號(hào)預(yù)處理時(shí)主要考慮以下兩個(gè)問題：一是通過傳感器采集到的軸承信號(hào)通常是包含噪聲的，這增加了數(shù)據(jù)處理等的難度；二是數(shù)據(jù)的偶然性、單一性會(huì)給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)一定的誤差，需要通過多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

在實(shí)驗(yàn)過程中，需要對(duì)所提方法的有效性進(jìn)行判斷。然而，實(shí)驗(yàn)采集到的軸承信號(hào)長(zhǎng)度較大，導(dǎo)致單次完整實(shí)驗(yàn)所消耗的時(shí)間過長(zhǎng)，無(wú)法及時(shí)有效地讀取信號(hào)特征量。因此，本文在獲取到軸承信號(hào)之后，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段處理[21]，并對(duì)分段后的信號(hào)進(jìn)行壓縮重構(gòu)，減少信號(hào)的冗雜度。對(duì)軸承信號(hào)的分段過程如下：

(1)確定信號(hào)總長(zhǎng)度N、信號(hào)的段數(shù)φ，每段信號(hào)的長(zhǎng)度n，則三者關(guān)系為

N=φn

(4)

記第φ段信號(hào)為sφ，則原始信號(hào)s可表示為

s=[s1s2…sφ…sφ]

(5)

(2)利用G-KSVD算法從信號(hào)sφ中訓(xùn)練出稀疏字典Dφ，則

(6)

以字典D作為先驗(yàn)條件對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，得

(7)

記錄每段信號(hào)的特征量。

(4)對(duì)信號(hào)進(jìn)行降維整合，得到重構(gòu)信號(hào)：

x=[x1x2…xφ…xφ]

(8)

2.2 自相關(guān)函數(shù)脈沖能量比

特征分量的有效識(shí)別有利于對(duì)故障信號(hào)中的脈沖序列進(jìn)行準(zhǔn)確提取[22-23]?；诖?，本文針對(duì)敏感原子對(duì)故障信號(hào)檢測(cè)中精度的影響，提出自相關(guān)函數(shù)脈沖能量比，并以此為標(biāo)準(zhǔn)篩選敏感原子，識(shí)別有效的特征分量。

在時(shí)域中，相關(guān)函數(shù)[24]是信號(hào)相關(guān)性的平均度量，本文根據(jù)相似度這一特性，利用相關(guān)函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，選用的相關(guān)函數(shù)分別為互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)選擇較優(yōu)的相關(guān)函數(shù)。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)函數(shù)可以更加準(zhǔn)確地檢測(cè)出脈沖序列。噪聲信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)集中分布在零點(diǎn)處，原信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)則能夠較好地保留脈沖信號(hào)的周期[25]，因此，對(duì)信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)處理能夠減少噪聲對(duì)沖擊脈沖的影響。由于信號(hào)幅值以及窗口長(zhǎng)度的作用，信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)在傳統(tǒng)的算法中會(huì)出現(xiàn)其首個(gè)極值點(diǎn)估值起伏較大的問題。為改善這一情況，本文采用歸一自相關(guān)函數(shù)R(t)對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行處理：

(9)

其中，n0表示信號(hào)的窗口長(zhǎng)度，x(t+i)表示在t+i時(shí)段內(nèi)截取的信號(hào)，τ表示時(shí)間延遲，δ為信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)歸一化后，信號(hào)的最大幅值為1，能夠減小歸一化前信號(hào)的幅值波動(dòng)，增強(qiáng)信號(hào)的魯棒性。

為了計(jì)算信號(hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)及N的長(zhǎng)度，對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換得到包絡(luò)信號(hào)s(t)，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行去直流處理后得到信號(hào)l(t)：

y(t)=|s(t)|

(10)

(11)

(12)

Teager能量算子[26-27]能夠測(cè)量單個(gè)時(shí)變信號(hào)在機(jī)械過程中產(chǎn)生的能量，具有較高的時(shí)間分辨率，并且能自適應(yīng)地檢測(cè)信號(hào)的瞬時(shí)變化。Teager能量值通過跟蹤信號(hào)的瞬時(shí)能量能夠檢測(cè)信號(hào)的沖擊脈沖，為信號(hào)分析提供了新的途徑。對(duì)于離散信號(hào)x(n)，其能量算子的定義為

φ[x(n)]=[x(n)]2-x(n-1)x(n+1)

(13)

Teager能量信號(hào)包含由脈沖故障特征引起的幅度調(diào)制和頻率調(diào)制的信息。Teager能量算子在提高沖擊信號(hào)信噪比和表述信號(hào)特征方面具有很大優(yōu)勢(shì)。基于此，本文提出了自相關(guān)函數(shù)脈沖能量比(ACFPER)RAC：

(14)

2.3 G-KSVD學(xué)習(xí)字典

為了提高傳統(tǒng)的K-SVD學(xué)習(xí)字典的精度，在字典更新階段，G-KSVD算法以ACFPER為指標(biāo)選取含有沖擊脈沖的敏感原子，通過歸一自相關(guān)函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪，再由Teager能量算子追蹤信號(hào)的瞬時(shí)能量，使更新的字典原子中包含更多的故障信息，從而提升故障信息識(shí)別過程中的準(zhǔn)確率。

傳統(tǒng)的K-SVD學(xué)習(xí)字典算法中，在對(duì)系數(shù)矩陣列向量以及字典原子進(jìn)行更新的過程中，會(huì)再次調(diào)用對(duì)誤差矩陣進(jìn)行奇異值分解相關(guān)的函數(shù)，考慮到時(shí)間因素對(duì)故障診斷效率的影響，本文在確定敏感原子后，通過對(duì)字典原子進(jìn)行直接賦值、歸一化處理，減少反饋過程的處理，降低算法的時(shí)間成本。算法的具體步驟如下：

(1)選取訓(xùn)練樣本信號(hào)Y，確定初始字典原子長(zhǎng)度N，稀疏度K，算法迭代次數(shù)J。根據(jù)信號(hào)Y構(gòu)造初始字典。

(2)利用OMP算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示，獲得信號(hào)在當(dāng)前字典下的稀疏系數(shù)矩陣X。

(3)固定系數(shù)矩陣X，對(duì)X中每列元素αi進(jìn)行賦值，開始迭代。

(4)根據(jù)式(2)計(jì)算出誤差矩陣Ei，并確定αi中非零項(xiàng)的位置索引集合Ωi。

(6)對(duì)矩陣U中每個(gè)原子uj求取ACFPER值，得到特征量ACFPER最大時(shí)對(duì)應(yīng)的原子uj，并用其來(lái)更新字典單元。

(7)為了減小奇異分量間差異對(duì)系數(shù)矩陣更新、重構(gòu)信號(hào)精度的影響，確定矩陣中最接近均值的奇異分量的位置索引ε。

(8)利用索引對(duì)系數(shù)矩陣X中的列元素進(jìn)行更新：

(15)

(9)利用(6)中所得原子uj對(duì)第i列字典元素di進(jìn)行賦值及歸一化處理。

(10)迭代停止后，輸出字典D和稀疏系數(shù)矩陣X，進(jìn)行二次重構(gòu)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法的降噪效果，針對(duì)振動(dòng)信號(hào)的特點(diǎn)，構(gòu)造以下仿真信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：

(16)

本文中參數(shù)設(shè)置如下：As=0.01，f=200，z=0.05，周期T=0.1 s，采樣頻率fs=1000 Hz。在信號(hào)y中加入不同噪聲強(qiáng)度的高斯白噪聲n，以模擬不同噪聲環(huán)境下采集到的信號(hào)。此處以0 dBW的高斯白噪聲為例，繪制圖1所示信號(hào)，并計(jì)算3種信號(hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)，結(jié)果如圖2所示。

從圖1、圖2可以看出，周期脈沖信號(hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)能夠較好地保留信號(hào)周期；噪聲信號(hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)集中在零點(diǎn)附近，即在零點(diǎn)處幅值較大，在非零點(diǎn)處幅值接近0；混合信號(hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)處幅值較大，在非零點(diǎn)處的脈沖周期與原始信號(hào)相同。由此可以看出，歸一自相關(guān)函數(shù)能夠在降低信號(hào)中噪聲成分的同時(shí)，保留信號(hào)脈沖。因此，基于ACFPER改進(jìn)的G-KSVD算法能夠達(dá)到降低噪聲信號(hào)的目的。

(a)脈沖信號(hào)

(a)脈沖信號(hào)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證G-KSVD算法的降噪效果，利用G-KSVD算法對(duì)字典原子進(jìn)行特征量的學(xué)習(xí)以得到新的稀疏字典，再通過測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，分析重構(gòu)信號(hào)的特征量。因所加噪聲強(qiáng)度的不同，字典學(xué)習(xí)的效果不同，重構(gòu)所得的信號(hào)精度也有差異。本文對(duì)所提方法的適用范圍進(jìn)行驗(yàn)證，判斷G-KSVD算法的應(yīng)用效果及區(qū)間。由于實(shí)驗(yàn)信號(hào)的采集會(huì)受到各種不定性因素的影響，無(wú)法衡量確切的噪聲強(qiáng)度，故本文通過仿真信號(hào)模擬不同強(qiáng)度的噪聲環(huán)境，并對(duì)同一噪聲環(huán)境下的G-KSVD算法及K-SVD算法進(jìn)行驗(yàn)證和對(duì)比，來(lái)判斷兩者的去噪效果。

在信號(hào)處理過程中，為了衡量處理后信號(hào)中的噪聲含量，引入信噪比這一概念。信號(hào)強(qiáng)度PS與噪聲PN的比值定義為信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)：

RSN=10lg(PS/PN)

(17)

由上式可知，噪聲的功率越小，信噪比越大，同理，噪聲的功率越大，信噪比越小。為驗(yàn)證本文方法的應(yīng)用環(huán)境以及兩種算法的有效性，分別對(duì)加入不同強(qiáng)度噪聲的信號(hào)進(jìn)行G-KSVD字典學(xué)習(xí)和K-SVD字典學(xué)習(xí)，利用信噪比衡量?jī)煞N方法的去噪效果。由于K-SVD算法在強(qiáng)噪聲環(huán)境下效果較差，故從0 dBW的噪聲環(huán)境開始，以-5 dBW和5 dBW為一個(gè)單位長(zhǎng)度，通過500次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)不同強(qiáng)度噪聲環(huán)境下K-SVD算法和G-KSVD算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果并求均值，見表1。

表1 不同噪聲環(huán)境下G-KSVD算法和K-SVD算法的信噪比

為了更清晰地對(duì)比以上兩種算法的有效性，確定G-KSVD算法的閾值，對(duì)表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。將G-KSVD 信噪比RSN1與K-SVD 信噪比RSN2的差值定義為差值信噪比(DSNR)：

RDSN=RSN1-RSN2

(18)

當(dāng)G-KSVD算法與K-SVD算法的差值信噪比大于零時(shí)，G-KSVD算法的去噪效果優(yōu)于K-SVD算法的去噪效果。將不同強(qiáng)度噪聲下的差值信噪比繪入圖3。

圖3 G-KSVD算法與K-SVD算法的差值信噪比

由圖3可以看出，當(dāng)噪聲強(qiáng)度在-10～35 dBW這一區(qū)間時(shí)，差值信噪比均大于零，說明G-KSVD算法在該區(qū)間的信噪比大于K-SVD算法的信噪比，即G-KSVD算法的去噪效果優(yōu)于K-SVD算法。噪聲強(qiáng)度為-15 dBW和40 dBW時(shí)，差值信噪比小于零，說明G-KSVD算法在這兩點(diǎn)的信噪比小于K-SVD算法的信噪比，降噪效果有所下降。為了精確確定G-KSVD算法的應(yīng)用區(qū)間，以1 dBW為一個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)-15～-10 dBW及35～40 dBW兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)見表2、表3。同理，為了更直觀地觀察G-KSVD算法的適用環(huán)境，將兩個(gè)區(qū)間中G-KSVD算法和K-SVD算法的差值信噪比分別繪入圖4。

表2 G-KSVD算法和K-SVD算法的信噪比(-15～-10 dBW區(qū)間)

表3 G-KSVD算法和K-SVD算法的信噪比(35～40 dBW區(qū)間)

由圖4可以看出，在-15～-10 dBW區(qū)間內(nèi)，-13～-10 dBW這一區(qū)間內(nèi)的差值信噪比均大于零，而-15 dBW和-14 dBW的差值信噪比小于零，因此，G-KSVD算法應(yīng)用環(huán)境的噪聲強(qiáng)度下限為-13 dBW。此外，在35～40 dBW區(qū)間內(nèi)，35～38 dBW之間的差值信噪比均大于零，而39 dBW和40 dBW的差值信噪比小于零，由此可以確定G-KSVD算法所應(yīng)用環(huán)境的噪聲強(qiáng)度上限為38 dBW。

(a)-15～-10 dBW區(qū)間的差值信噪比

綜合比較以上數(shù)據(jù)，G-KSVD算法的應(yīng)用范圍為-13～38 dBW，即在這一區(qū)間內(nèi)，同一噪聲強(qiáng)度下G-KSVD算法的去噪效果優(yōu)于K-SVD算法的去噪效果，在故障診斷的過程中，G-KSVD算法能夠減少噪聲對(duì)沖擊序列的影響，更加準(zhǔn)確地識(shí)別沖擊脈沖，對(duì)于故障特征的提取也更加準(zhǔn)確。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法對(duì)實(shí)際信號(hào)的應(yīng)用效果，采用圖5所示燕山大學(xué)機(jī)械故障綜合模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)的內(nèi)圈數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)臺(tái)由兩個(gè)3/4英寸ER-12K轉(zhuǎn)子軸承組成。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中電機(jī)轉(zhuǎn)速n始終保持在1200 r/min，基頻fB=n/60=20 Hz。裝載系統(tǒng)由兩個(gè)轉(zhuǎn)子組成，轉(zhuǎn)子的厚度為15.9 mm，自重為6.5 N，直徑為151.3 mm。采集系統(tǒng)使用NI 9234加速采集卡，其頻率為12.8 kHz，軸承頻率為32 Hz，采集時(shí)間為64 s。為驗(yàn)證本文所提的自相關(guān)函數(shù)脈沖能量比對(duì)有效特征分量的提取效果，對(duì)ACFPER中涉及到的函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。由于振動(dòng)信號(hào)的長(zhǎng)度較大，為降低數(shù)據(jù)處理的壓力，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段訓(xùn)練，并計(jì)算每段信號(hào)的信噪比，最后根據(jù)信噪比的均值判斷信號(hào)的重構(gòu)效果。為減小隨機(jī)性帶來(lái)的誤差，本文中實(shí)際實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是通過500次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后所求的均值。

圖5 機(jī)械故障綜合模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)

4.1 構(gòu)造ACFPER時(shí)相關(guān)函數(shù)的比較分析

為驗(yàn)證本文所涉及的歸一自相關(guān)函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)的去噪效果，以及與原信號(hào)的相似度，分別利用3種相關(guān)函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯觯盘?hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)與原信號(hào)的相似度較高，保留了原始信號(hào)的沖擊序列周期，而信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)只在2×104處有明顯脈沖，與原信號(hào)的相似度較低。觀察前兩個(gè)相關(guān)函數(shù)后發(fā)現(xiàn)，信號(hào)在零點(diǎn)處的幅值最大，且大于原始信號(hào)在零點(diǎn)處的脈沖序列，而在非零點(diǎn)處的幅值近似于原始信號(hào)的脈沖序列，說明前兩個(gè)相關(guān)函數(shù)有較好的降噪效果，且噪聲信號(hào)主要集中在零點(diǎn)附近。

(a)內(nèi)圈故障信號(hào)

分別將歸一自相關(guān)函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)以及互相關(guān)函數(shù)應(yīng)用到ACFPER中，構(gòu)造學(xué)習(xí)字典G-KSVD、G-KSVD1、G-KSVD2，通過3個(gè)不同的學(xué)習(xí)字典對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，得到的信噪比見表4。為了更加充分地描述本文算法的優(yōu)越性，本實(shí)驗(yàn)同時(shí)記錄了各學(xué)習(xí)字典的峰峰值，以此反映不同相關(guān)函數(shù)對(duì)應(yīng)的信號(hào)幅值大小。

表4 不同相關(guān)函數(shù)對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)字典訓(xùn)練數(shù)據(jù)的特征量

由表4可以看出，G-KSVD學(xué)習(xí)字典的信噪比最大，G-KSVD1次之，G-KSVD2信噪比最小，所以，相比較其他兩種字典，G-KSVD的去噪效果更好，提取到的沖擊序列能夠包含更多的有用信息。就峰峰值而言，G-KSVD字典的值大于其他兩種字典，由此可以看出，通過G-KSVD學(xué)習(xí)字典重構(gòu)的信號(hào)的幅值更大，能夠更準(zhǔn)確地識(shí)別沖擊序列。

4.2 構(gòu)造ACFPER時(shí)參數(shù)變化對(duì)信號(hào)稀疏表示的影響

噪聲信號(hào)的相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)處達(dá)到最大值，其能量主要集中分布在零點(diǎn)附近[26]。脈沖故障信號(hào)的相關(guān)函數(shù)則保留了脈沖周期，其能量基本不會(huì)受到影響。因此，脈沖故障和噪聲可以通過歸一自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行分離。

在式(14)中，ξ和k值的選取均會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)字典的稀疏效果產(chǎn)生影響。由于噪聲信號(hào)的歸一自相關(guān)函數(shù)在第一個(gè)極值點(diǎn)處的能量較為集中，故當(dāng)ξ=2時(shí)，學(xué)習(xí)字典能達(dá)到更好的去噪效果，為了驗(yàn)證這一結(jié)論，分別取ξ=1、ξ=2和ξ=3進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。同理，對(duì)k的取值進(jìn)行驗(yàn)證，文獻(xiàn)[24]中建議k=3，因此，本文對(duì)k=3附近的取值進(jìn)行驗(yàn)證，其中，信號(hào)的信噪比見表5。除此之外，將通過不同字典壓縮重構(gòu)的信號(hào)峰峰值記錄于表6。

表5 不同ξ值和k值對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)字典訓(xùn)練數(shù)據(jù)的信噪比

表6 不同ξ值和k值對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)字典訓(xùn)練數(shù)據(jù)的峰峰值

由表5可以看出，ξ=1時(shí)，信噪比在k=3時(shí)達(dá)到最大值1.0805 dB；ξ=2時(shí)，信噪比在k=3時(shí)達(dá)到最大值1.1096 dB；ξ=3時(shí)，信噪比在k=4時(shí)達(dá)到最大值1.0742 dB。對(duì)比這3個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ξ=2及k=3時(shí)，信噪比達(dá)到最大值，說明此時(shí)GSKVD的去噪效果最好，精度更高，噪聲信號(hào)對(duì)沖擊序列的影響最小。

由表6可以看出，ξ=1時(shí)，峰峰值在k=2時(shí)達(dá)到最大值0.6894 m/s2；ξ=2時(shí)，峰峰值在k=3時(shí)達(dá)到最大值0.6944 m/s2；ξ=3時(shí)，峰峰值在k=4時(shí)達(dá)到最大值0.6864 m/s2。對(duì)比這3個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ξ=2及k=3時(shí)，峰峰值最大，說明沖擊信號(hào)的幅值更大，有利于后期的故障提取。

綜上，當(dāng)ξ=2及k=3時(shí)，G-KSVD學(xué)習(xí)字典取得的效果較優(yōu)。對(duì)比信噪比后發(fā)現(xiàn)，G-KSVD算法在對(duì)故障信號(hào)壓縮重構(gòu)的過程中能夠有效地降低信號(hào)中的噪聲成分，從而達(dá)到降噪的效果。此外，對(duì)比峰峰值后發(fā)現(xiàn)，G-KSVD算法在對(duì)故障信號(hào)壓縮重構(gòu)的過程中能夠增加脈沖信號(hào)的幅值，說明本文方法能夠增強(qiáng)故障信號(hào)中的沖擊成分，從而提高故障診斷的準(zhǔn)確度。

4.3 基于ACFPER改進(jìn)的G-KSVD0學(xué)習(xí)字典

為驗(yàn)證引入ACFPER的學(xué)習(xí)字典的優(yōu)越性，將時(shí)間優(yōu)化前的學(xué)習(xí)字典稱為G-KSVD0學(xué)習(xí)字典，以此區(qū)分G-KSVD學(xué)習(xí)字典。采用燕山大學(xué)機(jī)械故障綜合模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)的內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)，分別用傳統(tǒng)的K-SVD算法和G-KSVD0算法進(jìn)行訓(xùn)練，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7中，重構(gòu)信號(hào)1為經(jīng)過K-SVD算法重構(gòu)所得的信號(hào)，重構(gòu)信號(hào)2為經(jīng)過G-KSVD0算法重構(gòu)所得的信號(hào)。由圖7可知，三種信號(hào)幅值的上閾值均為0.5 m/s2，下閾值均為-0.5 m/s2。此外，由信號(hào)中峰值點(diǎn)的坐標(biāo)可以看出，原始信號(hào)中沖擊信號(hào)的峰值最小，重構(gòu)信號(hào)1次之，重構(gòu)信號(hào)2中沖擊信號(hào)的峰值最接近閾值。由此可知，G-KSVD0算法在降低噪聲的同時(shí)，能夠增強(qiáng)信號(hào)中的沖擊成分，從而提高故障診斷的準(zhǔn)確性。所得特征量數(shù)據(jù)見表7。

(a)原始信號(hào)

由表7可以看出，G-KSVD0算法的信噪比大于K-SVD算法的信噪比，說明G-KSVD0算法的去噪效果優(yōu)于K-SVD算法，并且通過降噪處理提高了信號(hào)重構(gòu)的精度，降低了噪聲部分對(duì)沖擊序列的影響。同時(shí)，G-KSVD0算法的峰峰值大

表7 G-KSVD0與K-SVD字典的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

于K-SVD算法的峰峰值，說明G-KSVD0算法所得信號(hào)的幅值大于K-SVD算法的幅值，信號(hào)得到了增強(qiáng)，方便故障特征的識(shí)別與提取。最后，為了判斷本文算法的魯棒性，對(duì)兩種算法求均方根值，由表7可知，G-KSVD0算法的均方根略小于K-SVD算法的均方根，說明經(jīng)G-KSVD0算法重構(gòu)后的信號(hào)分布更加穩(wěn)定，受噪聲影響較小，有較好的魯棒性。但是G-KSVD0算法的運(yùn)行時(shí)間大于K-SVD算法的運(yùn)行時(shí)間，增加了算法的時(shí)間成本。

4.4 G-KSVD學(xué)習(xí)字典

G-KSVD0學(xué)習(xí)字典是從樣本中訓(xùn)練而來(lái)，經(jīng)過奇異分量的ACFPER計(jì)算，選擇包含脈沖序列較多的原子，對(duì)字典原子進(jìn)行更新，進(jìn)而得到有效的稀疏表示，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的壓縮重構(gòu)，減小了信號(hào)傳輸、處理上的壓力。然而，由于各原子的ACFPER指標(biāo)計(jì)算增加了算法的運(yùn)算復(fù)雜度，從而影響了算法的運(yùn)行時(shí)間，增加了故障診斷的時(shí)間成本，故本文在字典更新階段采用減少反饋層的方法來(lái)減小算法的時(shí)間成本，構(gòu)造新的學(xué)習(xí)字典G-KSVD。為了檢驗(yàn)這一效果，分別利用改進(jìn)的G-KSVD算法和K-SVD算法訓(xùn)練數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，表8中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是經(jīng)過500次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)后求均值得到的。

(a)原始信號(hào)

表8 G-KSVD算法、G-KSVD0算法與K-SVD算法的特征量均值

圖8中，重構(gòu)信號(hào)1為經(jīng)過K-SVD算法重構(gòu)所得的信號(hào)，重構(gòu)信號(hào)2為經(jīng)過G-KSVD算法重構(gòu)所得的信號(hào)。由圖8可以看出，算法經(jīng)過減少反饋層之后，重構(gòu)信號(hào)2中沖擊信號(hào)的幅值是最接近閾值的。由表8可知，雖然G-KSVD算法的降噪效果和魯棒性不及G-KSVD0算法，但是效果相差較小，而且G-KSVD算法的時(shí)間成本明顯小于G-KSVD0算法的時(shí)間成本。除此之外，G-KSVD算法的信噪比、峰峰值均大于K-SVD算法的信噪比、峰峰值，說明G-KSVD算法不僅能夠降低重構(gòu)信號(hào)中的噪聲，而且可以增強(qiáng)信號(hào)中的沖擊成分。G-KSVD算法的均方根小于K-SVD算法的均方根，說明G-KSVD算法的魯棒性優(yōu)于K-SVD算法的魯棒性。在時(shí)間方面，G-KSVD算法所耗時(shí)間均值為23.52 s，K-SVD算法所耗時(shí)間均值為34.59 s，由此可以看出，G-KSVD算法的運(yùn)行時(shí)間明顯小于K-SVD算法的運(yùn)行時(shí)間。因此，通過減少反饋能夠在保證精度的前提下有效地縮短算法的運(yùn)行時(shí)間，從而達(dá)到降低時(shí)間成本的目的。

5 結(jié)論

(1)針對(duì)軸承信號(hào)復(fù)雜冗長(zhǎng)的特性，本文在信號(hào)預(yù)處理過程中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段，并對(duì)分段后的信號(hào)壓縮重構(gòu)，從而提高信號(hào)分析的效率。同時(shí)，為了分析學(xué)習(xí)字典中原子間的相干性，本文提出自相關(guān)函數(shù)脈沖能量比這一指標(biāo)，通過歸一自相關(guān)函數(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)降噪的同時(shí)，通過Teager能量算子追蹤瞬時(shí)能量，增強(qiáng)重構(gòu)信號(hào)中的沖擊成分，從而達(dá)到識(shí)別有效特征分量的目的。

(2)針對(duì)學(xué)習(xí)字典中缺乏的最優(yōu)原子選擇問題，提出一種G-KSVD學(xué)習(xí)字典算法，該算法以ACFPER作為奇異值分解過程中有效奇異分量的選擇指標(biāo)，通過有效的奇異分量實(shí)現(xiàn)最優(yōu)原子的選取，形成新的學(xué)習(xí)字典。該算法不僅優(yōu)化了降噪效果，而且增強(qiáng)了信號(hào)脈沖，提高了軸承信號(hào)重構(gòu)過程中的準(zhǔn)確度。

(3)由于ACFPER的求解會(huì)增加G-KSVD算法的計(jì)算復(fù)雜度，故本文在字典和系數(shù)矩陣的更新過程中通過減少反饋過程來(lái)降低時(shí)間對(duì)算法的影響。滾動(dòng)軸承信號(hào)的實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法所消耗的時(shí)間成本低于傳統(tǒng)K-SVD算法的時(shí)間成本。