石啟陳 趙志杰 張煥好? 陳志華 鄭純

1) (南京理工大學(xué), 瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210094)

2) (南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 210094)

1 引 言

速度剪切現(xiàn)象普遍存在于自然界各類流動中,在一定條件下, 速度剪切容易發(fā)生開爾文-赫姆霍茲(Kelvin-Helmholtz, KH)不穩(wěn)定性, 卷起形成系列渦結(jié)構(gòu), 并逐漸發(fā)展成為大規(guī)模的波狀運(yùn)動, 最終轉(zhuǎn)捩成湍流[1].這類經(jīng)典的不穩(wěn)定性常出現(xiàn)于行星大氣[2]、太陽風(fēng)暴[3-5]、太陽風(fēng)磁頂層[6-8]、磁約束核聚變、飛行器尾流、磁流體發(fā)電、等離子體污水處理等過程中.在一些工程應(yīng)用中, 可以利用流體不穩(wěn)定性來有效促進(jìn)流體間的混合, 而在另外一些場合, 則必須抑制流體的不穩(wěn)定性.例如, 通過穩(wěn)定排氣射流, 可集中發(fā)動機(jī)推力, 從而增加飛機(jī)的可操控性; 在磁約束核聚變中, 要求整個聚變反應(yīng)過程受控, 但因粒子隨機(jī)運(yùn)動過程中存在KH不穩(wěn)定性, 會影響核聚變的穩(wěn)定性和效率; 在磁流體發(fā)電裝置中, 帶電粒子因KH不穩(wěn)定性的影響而偏離規(guī)則運(yùn)動, 影響發(fā)電效率等.基于此, 對磁流體控制混合層不穩(wěn)定性的方法受到科研人員的廣泛關(guān)注.

自KH不穩(wěn)定性提出以來, 人們利用實(shí)驗(yàn)、理論分析以及數(shù)值模擬等方法, 對經(jīng)典流體中的KH不穩(wěn)定性現(xiàn)象進(jìn)行了大量的研究[9].隨著各種計(jì)算流體力學(xué)算法的提出以及計(jì)算機(jī)硬件的提升,KH不穩(wěn)定性的數(shù)值模擬研究逐漸成為主流.然而,盡管等離子體流動的相關(guān)研究已經(jīng)開始興起, 但因等離子體流動易受磁場影響, 利用磁流體動力學(xué)(magneto-hydro-dynamics, MHD) KH不穩(wěn)定性的研究還遠(yuǎn)不及經(jīng)典流體力學(xué)(hydro-dynamics,HD) KH不穩(wěn)定性成熟, 因而成為近年來流體控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn).

由于數(shù)學(xué)理論的發(fā)展較早, 一些文獻(xiàn)對MHD控制方程進(jìn)行了理論分析.Gratton等[10]利用可封閉模型求解MHD控制方程, 探索了大擾動波長對磁流體KH不穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明, 當(dāng)所施加磁場的方向和大小恒定時, KH不穩(wěn)定性不存在長邊界層.Zhao等[11]對理想磁流體控制方程進(jìn)行求解, 提出外加磁場可降低KH不穩(wěn)定性的線性增長, 當(dāng)磁場足夠強(qiáng)時, KH不穩(wěn)定性甚至?xí)煌耆种?

對于KH不穩(wěn)定性的動態(tài)演變方面, Leep等[12]數(shù)值研究了三維、無黏情況下可壓縮性對KH不穩(wěn)定性演變過程的影響, 著重分析大尺度渦結(jié)構(gòu)的特征, 加深了對物理夾帶和混合過程的理解.在此基礎(chǔ)上, Brüggen和Hillebrandt[13]數(shù)值研究了流向均勻分布磁場對KH不穩(wěn)定性的影響, 結(jié)果發(fā)現(xiàn)三維情況下磁場控制不穩(wěn)定性的作用不如二維情況有效.另外, Keppens等[14]分別從線性和非線性發(fā)展階段的角度, 研究了勻強(qiáng)平行磁場和反向剪切磁場對KH不穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明勻強(qiáng)平行磁場抑制了KH不穩(wěn)定性的增長, 而反向剪切分布磁場則直接破壞了KH不穩(wěn)定性的線性發(fā)展階段.

關(guān)于磁場強(qiáng)度和磁場分布方式對KH不穩(wěn)定性的研究方面, Sharma和Srivastava[15]研究了旋轉(zhuǎn)和傾斜磁場對KH不穩(wěn)定性的影響, 推導(dǎo)了等密度、不同速度情況下的色散關(guān)系.結(jié)果發(fā)現(xiàn), 即使存在旋轉(zhuǎn), 磁場仍然具有穩(wěn)定作用.之后, 他們又利用線性穩(wěn)定性分析方法, 給出了無黏不可壓情況下, 平行和垂直于流向方向上同時存在擾動和磁場的色散關(guān)系[16].研究表明, 流向方向的擾動才是最不穩(wěn)定的; 在水平和垂直方向同時存在擾動和磁場的情形下, 磁場的平行和垂直分量之間會相互影響.Jeong等[17]數(shù)值研究了剪切磁場的作用, 他們發(fā)現(xiàn), 當(dāng)磁剪切層包含在速度剪切層中時, 即使磁場相當(dāng)大, 還是會產(chǎn)生不穩(wěn)定性.Tian和Chen[18]數(shù)值研究了不同磁場強(qiáng)度對混合層流動結(jié)構(gòu)的影響, 指出磁場很弱時, 磁場與KH不穩(wěn)定性形成的渦結(jié)構(gòu)之間的線性耦合可以忽略, 即弱磁場對KH不穩(wěn)定性影響較小.Liu等[19]通過數(shù)值研究指出,存在一個臨界磁場強(qiáng)度(即阿爾文馬赫數(shù)MA=2.14)使混合層的KH不穩(wěn)定完全受到抑制.并從磁場產(chǎn)生洛倫茲力的角度對磁場抑制KH不穩(wěn)定性的作用機(jī)理進(jìn)行分析, 發(fā)現(xiàn)橫向磁壓力對流動不穩(wěn)定性的控制作用要比抗彎磁張力強(qiáng), 抗彎磁張力主要在流動前期發(fā)揮作用, 而橫向磁壓力則主要在后期發(fā)揮作用.Praturi和Girimaji[20]數(shù)值研究了磁場強(qiáng)度對KH不穩(wěn)定性的影響, 指出磁場較弱時, 流動與HD情況相似; 當(dāng)磁場強(qiáng)度中等時, 磁場會抑制渦的合并與增長; 當(dāng)采用強(qiáng)磁場時, 磁場會直接導(dǎo)致渦旋消失.

先前關(guān)于磁場對KH不穩(wěn)定性的研究, 主要集中在磁場對KH不穩(wěn)定性演化過程的影響, 并對比分析了磁場強(qiáng)度和角度對混合層流場的影響.然而, 上述研究仍未能清晰說明磁場對KH不穩(wěn)定性的抑制機(jī)理.基于此, 本文采用CTU + CT (corner transport upwind + constrained transport)算法求解MHD方程組, 數(shù)值研究了有無磁場條件下,混合層KH不穩(wěn)定過程, 并詳細(xì)分析了磁壓力和磁張力對流場結(jié)構(gòu)的影響, 明確了磁張力的“反向解螺旋”作用, 進(jìn)一步揭示了外加磁場對KH不穩(wěn)定性的作用機(jī)理.

2 數(shù)值方法與計(jì)算模型

2.1 數(shù)值方法

基于非理想MHD方程組來對混合層的不穩(wěn)定性發(fā)展過程進(jìn)行數(shù)值模擬, 其形式為

式中, ρ 為流體密度, u為流體速度矢量, B為磁感應(yīng)強(qiáng)度, j為電流密度; μm為磁導(dǎo)率, η 為電阻, 方程中取 μm=1 , η =0 , 即為理想導(dǎo)電磁流體.流場總壓 P*、總能E、黏性應(yīng)力張量 Π 以及熱流密度Q分別為

式中, P為流體壓力, γ 為比熱比, μ 為動力黏度系數(shù), κ 是導(dǎo)熱系數(shù), T為熱力學(xué)溫度.因此, 流場總壓 P*由流體壓力與磁壓力組成, 總能E則由壓力能、動能和磁能量組成.

采用非分裂的CTU + CT[21-23]算法對上述MHD方程組進(jìn)行求解.其中, CTU算法基于PPM(piecewise parabolic method)對守恒量進(jìn)行三階空間重構(gòu).為了保證磁場散度為零, 在計(jì)算Godunov通量時, 結(jié)合用于計(jì)算電場的CT算法進(jìn)行通量重構(gòu).相同的方法也曾用于研究外加磁場條件下Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性的控制機(jī)理[24,25].

2.2 計(jì)算模型

圖1為磁流體條件下二維平面混合層的計(jì)算模型示意圖, 計(jì)算域的尺寸為 Lx×Ly=L×L.初始時刻, 混合層的上、下層具有相同的壓力 P0、密度 ρ0、聲速以及阿爾文波速cA=為磁場強(qiáng)度.混合層的上、下層來流為兩股方向相同、速度不等的均勻流, 來流速度分布為

圖1 計(jì)算模型Fig.1.Schematic of computational model.

式 中, Uc=(U1+U2)/2 為對流速度[26], U1和 U2分別為上、下層來流速度; Mc=0.5ΔU/cl為對流馬赫數(shù), Δ U 為上下層來流速度差, cl為當(dāng)?shù)芈曀?δ為過渡層厚度.計(jì)算時, 取 Mc=0.25 , Uc=0.75cl.考慮到磁流體的熱擴(kuò)散率遠(yuǎn)大于普通流體, 普朗特?cái)?shù) P r=cpμ/κ 應(yīng)遠(yuǎn)小于1 ( cp為定壓比熱), 又因?yàn)楸疚闹饕欠治龃艌龅挠绊? 磁流體的黏性應(yīng)當(dāng)較小[16].因此取 P r=0.01 , 雷諾數(shù)Re=ρ0ΔUL/μ=104.y方向擾動分布為

式中, ε 為縮放因子, σ 為波幅度衰減率,kx=2π/λ是x方向上的擾動波數(shù), λ 為擾動波長.為了防止擾動對流動整體的干擾, 本文選擇一個小振幅的擾動( ε =0.04 ), 并在過渡層內(nèi)快速衰減( σ =2δ ).為了獲得最大分辨率的渦結(jié)構(gòu)和較為明顯的不穩(wěn)定性增長, 擾動波長設(shè)為 λ =L , 而過渡層厚度設(shè)為 δ =L/50.

另外, 為了研究流向磁場對混合層發(fā)展的影響, 流場中施加一個流向均勻初始磁場 B0:

式中, 磁場強(qiáng)度B0采用無量綱化處理, 本文采用阿爾文馬赫數(shù) MA=ΔU/cA來表示磁場強(qiáng)度大小,MA越小, 表明磁場強(qiáng)度越大.

為了追蹤流動結(jié)構(gòu)的時間演化, 在x方向上計(jì)算域兩側(cè)使用周期邊界條件.由于是同向混合流動, y方向兩側(cè)則采用出流邊界條件.計(jì)算域網(wǎng)格采用均勻分布的笛卡爾網(wǎng)格, 經(jīng)網(wǎng)格無關(guān)性測試后, 取網(wǎng)格總數(shù)為1024 × 1024.

3 結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證上述數(shù)值方法的可行性, 圖2給出了磁場強(qiáng)度 B0=0 時, 本文對混合層發(fā)展過程的數(shù)值仿真結(jié)果(左)與Tian和Chen[18]數(shù)值結(jié)果(右)的對比, 兩者具有相同的初始條件( R e=2500 , 馬赫數(shù) M a=0.39 , δ /L=0.05 ).由圖2可見, 本文數(shù)值方法獲得的混合層渦旋的結(jié)構(gòu)和尺度均與文獻(xiàn)結(jié)果較為相符, 因此可認(rèn)為本文所采用的數(shù)值方法對混合層發(fā)展過程的模擬是可靠的.

圖2 無磁場情況下, 本文數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果的對比(a)本文數(shù)值結(jié)果; (b)文獻(xiàn)數(shù)值結(jié)果[18]Fig.2.Comparison of the present numerical simulation results with that of literature: (a) Numerical results of this paper; (b) numerical results of literature[18].

3.1 混合層的失穩(wěn)過程

現(xiàn)有研究表明, 磁場對KH不穩(wěn)定性具有抑制作用, 且抑制效果與磁場強(qiáng)度有關(guān)[19].因此, 本文首先研究磁場強(qiáng)度對KH不穩(wěn)定性的影響, 圖3為不同磁場強(qiáng)度( MA=∞ , 10, 3.33, 2.5, 1.67)下,剪切層渦量分布( τ 為無量綱時間).可見, 流場渦的卷起與形成的時間幾乎一致, 除了 MA=1.67 的情況.對于無磁場情況( MA=∞ ), 在 τ =73 時流場并存了一個大渦和多個小渦的結(jié)構(gòu), 而在τ=119時, 小渦與大渦發(fā)生合并.這種多渦結(jié)構(gòu)同樣出現(xiàn)在 MA=10 的情況, 只是小渦結(jié)構(gòu)不明顯, 且當(dāng) τ =119 時則形成了經(jīng)典的“貓眼”渦結(jié)構(gòu).對于MA=3.33, τ =73 時 僅 存 在 單 一 的 渦 結(jié) 構(gòu), 且 渦結(jié) 構(gòu) 在 τ =119 時 被 斜 向 拉 伸.當(dāng) MA=2.5 時, 在τ=73 時也形成了單一的渦結(jié)構(gòu), 但與MA=3.33相比, 此渦結(jié)構(gòu)尺度有所減小, 并在 τ =119 時, 剪切層開始出現(xiàn)轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象.當(dāng)磁場強(qiáng)度增大到MA=1.67時, KH不穩(wěn)定性被完全抑制, 渦結(jié)構(gòu)不再形成.基于此, 隨著磁場強(qiáng)度的逐漸增大, 磁場對KH不穩(wěn)定性的抑制效果逐漸增強(qiáng), 混合層上渦結(jié)構(gòu)的卷起越發(fā)困難, 直至完全無法形成.

圖3 不同磁場強(qiáng)度混合層失穩(wěn)過程的渦量分布 (a)τ=30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d)τ=119Fig.3.Snapshots of the vorticity field at different instants:(a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119.

在 MA=3.33 時, 磁場對混合層的影響已較為顯著, 與此同時, 混合層的渦結(jié)構(gòu)仍然相對較為完整, 并且渦結(jié)構(gòu)出現(xiàn)明顯的斜向拉伸變形.為了更好地闡述流向磁場抑制KH不穩(wěn)定的機(jī)理, 下文將對比分析 MA=∞ 和 MA=3.33 兩種情況下的混合層失穩(wěn)過程.

Bogdanoff[23]提出, 混合層從層流向湍流的發(fā)展過程會經(jīng)歷3個階段, 分別為線性增長階段、渦卷起與合并增長階段以及非線性增長階段.圖4和圖5分別為HD ( MA=∞ )情況下, 平面混合層失穩(wěn)過程中的渦量分布和相應(yīng)時刻的壓力分布,圖6和圖7則分別為MHD ( MA=3.33 )情況下的渦量及壓力分布.下面從混合層失穩(wěn)的3個階段進(jìn)行討論.

圖4 經(jīng) 典流體(HD)混合 層失穩(wěn)過程的渦量分布 (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f)τ=276Fig.4.Vorticity distribution during the instability process of the classical fluid mixing layer: (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ;(d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f) τ =276.

圖5 經(jīng) 典流體(HD)混合 層失穩(wěn)過程的壓力分布 (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f)τ=276Fig.5.Pressure distribution during the instability process of the classical fluid mixing layer: (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ;(d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f) τ =276.

圖6 磁流體(MHD)混合層失穩(wěn)過程的渦 量分布 (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f)τ=197Fig.6.Vorticity distribution of the MHD mixing layer: (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f) τ =197.

圖7 磁流體(MHD)混合層失穩(wěn)過程的壓 力分布 (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f)τ=197Fig.7.Pressure distribution of the MHD mixing layer: (a) τ =30 ; (b) τ =51 ; (c) τ =73 ; (d) τ =119 ; (e) τ =141 ; (f) τ =197.

在線性增長階段(圖4(a)和圖6(a)), 磁場對剪切層上的渦量強(qiáng)度和狀態(tài)并未產(chǎn)生顯著影響.然而, 由圖5(a)可見, 無磁場情況下剪切層中部的流場區(qū)域?yàn)榈蛪簠^(qū), 兩側(cè)則均為高壓區(qū)域, 壓力場關(guān)于剪切層界面近乎呈現(xiàn)上下對稱的連續(xù)分布.而施加磁場后(圖7(a)), 流場中盡管同樣會形成相應(yīng)的高壓區(qū)和低壓區(qū), 但壓力場在界面上出現(xiàn)了明顯的“滑移”現(xiàn)象, 不再滿足對稱連續(xù)分布, 壓力場沿剪切層界面“割裂”成上下兩部分, 這有效地阻礙了流體從高壓區(qū)向低壓區(qū)的卷入, 從而對渦的卷起產(chǎn)生一定的抑制作用.

在渦卷起與合并增長階段(圖4(b)和圖4(c)以及圖6(b)和圖6(c)), 由于KH不穩(wěn)定性的影響,剪切層開始失穩(wěn)并卷起形成旋渦結(jié)構(gòu) V1和 V′.在無磁場的情況下, 隨著時間的推移, 剪切層不斷失穩(wěn), 并開始形成新的小渦結(jié)構(gòu)(圖4(c), V2— V5).施加磁場后, 旋渦 V′的尺度(圖6(b)和圖6(c))明顯小于無磁場情況下的旋渦 V1(圖4(b)和圖4(c)).另外, 在 V′卷吸剪切層上渦量的同時, 剪切層在磁場的控制下能夠保持穩(wěn)定, 后續(xù)并無小渦形成, 這表明磁場能有效抑制剪切層的不穩(wěn)定性.此外, 磁場改變了剪切層發(fā)展過程中流場壓力的分布.如圖7(c)所示, 流場中的低壓區(qū)不再始終位于渦核中心, 而是逐漸轉(zhuǎn)移至渦層剪切層上.因此, 在磁場的控制作用下, 分散的低壓區(qū)削弱了渦對周圍流體的卷吸作用, 從而抑制了渦結(jié)構(gòu)尺度的增長.

在非線性增長階段(圖4(d)—(f)和圖6(d)—(f)), 無磁場情況下, 在 V1卷起過程中, 渦核中心壓力最低(圖5(d)—(f)), 因而 V1具有更強(qiáng)的卷吸效果.壓差作用導(dǎo)致外層流體沿渦層向渦核內(nèi)卷入,V2— V5逐漸破碎并最終與 V1合并, 形成“貓眼渦”結(jié)構(gòu)(圖4(f)).相比之下, 對于磁場控制下的剪切層流場, 大渦結(jié)構(gòu)被沿著斜 4 5°角的方向拉伸成類“魚鉤”狀結(jié)構(gòu)(圖6(d)和圖6(e)).如圖7(e)所示,流場的低壓區(qū)位于剪切層外側(cè), 壓力值向外逐漸升高, 在貼近“魚鉤”狀渦結(jié)構(gòu)的內(nèi)側(cè)則形成高壓區(qū),這將抑制大渦結(jié)構(gòu)繼續(xù)向內(nèi)部的卷起.同時, 流場中心保持相連的界面區(qū)域則為低壓區(qū), 界面內(nèi)部的這種壓力分布加劇了渦結(jié)構(gòu)內(nèi)部流體的混合, 進(jìn)而導(dǎo)致失穩(wěn)并最終轉(zhuǎn)捩為湍流(圖6(f)).

通常, 縱向總動能的變化規(guī)律可直觀地體現(xiàn)磁場對KH不穩(wěn)定性的控制效果[14,19,27,28], 如圖8所示, 圖中分別給出了HD和MHD情況下, 縱向總動能隨時間的變化情況.對比發(fā)現(xiàn), 在線性發(fā)展階段, 兩種情況下縱向總動能的變化曲線幾乎完全重合, 符合上述所得線性發(fā)展階段磁場對流動影響較小這一結(jié)論.在渦卷起與合并增長階段, 施加磁場后的縱向總動能總小于無磁場情況, 且施加磁場后, 流動進(jìn)入非線性階段的時間滯后.上述分析已經(jīng)表明此階段MHD情況下的渦結(jié)構(gòu)尺度以及渦的數(shù)量均少于HD情況.與線性發(fā)展階段相比, 外加磁場在渦卷起與合并增長階段的影響效果更為顯著, 能夠很好地抑制渦結(jié)構(gòu)的形成及發(fā)展, 延遲流動進(jìn)入非線性階段.總體而言, 施加外部磁場后縱向總動能明顯變小, 這說明縱向的能量交換由于磁場的加入而減少, 上下層流體的混合遭到一定程度的抑制.

圖8 HD和MHD情況下, 縱向總動能隨時間變化Fig.8.The y-component of the total kinetic energy for the HD and MHD situations.

圖9 為HD和MHD情況下, 渦量厚度(圖9(a))和環(huán)量(圖9(b))隨時間的變化情況, 其中環(huán)量是流域內(nèi)混合和夾帶程度的指示器[27].計(jì)算域中的渦量厚度與環(huán)量可分別定義如下:

無磁場情況時, 大渦與小渦的卷起與不斷合并, 使渦量厚度和環(huán)量總體呈上升趨勢(圖9(a)和圖9(b)).相比之下, 由于外加磁場抑制了小渦序列的形成, 并且通過削弱卷吸作用抑制了大渦結(jié)構(gòu)尺度的增長, 因此渦量厚度并未持續(xù)增加, 甚至在τ≥110后很快趨近于零(圖9(a)), 而環(huán)量則在維持相對穩(wěn)定且小幅度減小后出現(xiàn)陡增, 這說明在非線性階段, 流體的混合程度急劇增加, 這與磁場對KH不穩(wěn)定性的影響無關(guān), 而是由于流動轉(zhuǎn)捩為湍流造成的(圖6(f)).

圖9 HD和MHD情況下渦量厚度(a)和環(huán)量(b)隨時間的變化Fig.9.Temporal evolutions of the vorticity thickness (a) and circulation (b) in the case of HD and MHD.

圖10 為渦量以及磁感應(yīng)線分布圖, 線條的顏色反映了磁場強(qiáng)度大小, 箭頭代表著磁場方向, 可以觀察到, 磁感線在界面處聚集并且會隨著界面一同發(fā)生扭曲.這是由于本文的計(jì)算條件為理想導(dǎo)電磁流體, 在理想導(dǎo)電的情況下, 等離子體中存在磁凍結(jié)現(xiàn)象, 從而導(dǎo)致磁感線與流體的流動凍結(jié)在一起, 與之一同變化.

圖10 混合層發(fā)展過程中渦量及磁感應(yīng)線分布 (a) τ =73 ; (b) τ =97 ; (c) τ =119 ; (d)τ=141Fig.10.Distribution of the vorticity and magnetic induction line at different times: (a) τ =73 ; (b) τ =97 ; (c) τ =119 ;(d) τ =141.

圖11則為平均磁場強(qiáng)度隨時間的變化.可見,當(dāng) τ ＜50 時, 平均磁場強(qiáng)度與初始磁場強(qiáng)度相比無明顯變化.當(dāng) 5 0≤τ＜110 時, 隨著渦結(jié)構(gòu)的卷起和合并, 界面處磁感線被強(qiáng)烈擠壓和折疊, 磁場強(qiáng)度被明顯放大(圖10(a)和圖10(b)).當(dāng)τ≥110時, 平均磁場強(qiáng)度總體呈下降趨勢, 結(jié)合圖6分析可知, 在該時刻后, 渦結(jié)構(gòu)逐漸變形破碎, 在磁凍結(jié)效應(yīng)的作用下, 磁感線不再受到強(qiáng)烈的擠壓折疊, 因此平均磁場強(qiáng)度下降, 流場中磁能量梯度減小, 流動最終轉(zhuǎn)捩為湍流, 這也導(dǎo)致了圖9(b)中環(huán)量值的陡增現(xiàn)象.

圖11 MHD情況, 平均磁場強(qiáng)度隨時間的變化Fig.11.Change of average magnetic field intensity with time for the MHD situation.

3.2 磁場對KH不穩(wěn)定性的控制機(jī)理

磁流體區(qū)別于經(jīng)典流體的一個顯著特征, 就是磁場與運(yùn)動的帶電粒子相互作用產(chǎn)生了洛倫茲力,因此洛倫茲力必然是磁場致穩(wěn)作用的主要因素.利用安培環(huán)路定律和磁場無散度約束, 可得

式中右邊第一項(xiàng)為磁壓力梯度(磁壓力PB=B2/(2μm), μm=1 ), 第二項(xiàng)為磁張力.下面分別從磁壓力和磁張力的角度分析磁場對KH不穩(wěn)定性的控制機(jī)理.

圖12為 τ =51 和 τ =119 時刻, 流場中縱向磁壓力(上)和橫向磁壓力(下)的分布.由圖12(a)可見, 當(dāng) τ =51 時, 界面卷起程度較小, 總體呈水平狀, 此時縱向磁壓力在界面的上側(cè)為負(fù), 在界面下側(cè)則為正.相比之下, 橫向磁壓力在界面上則呈現(xiàn)間斷分布.圖中白色箭頭所指的A1點(diǎn)和B1點(diǎn)分別為界面弧線和x方向的切點(diǎn), 界面兩側(cè)的橫向磁壓力在這兩個切點(diǎn)處符號發(fā)生變化, 切點(diǎn)處的橫向磁壓力為零.總的來看, 界面兩側(cè)的總磁壓力方向均垂直指向界面.當(dāng) τ =119 時, 界面的卷起程度較大, 磁壓力的大小顯著增加.此時, 由于界面弧線與y方向形成了切點(diǎn)A2和B2, 因此界面兩側(cè)的縱向磁壓力在這兩個切點(diǎn)處符號也發(fā)生了變化, 但仍然保持界面上側(cè)為負(fù)下側(cè)為正, 而橫向磁壓力則在切點(diǎn)A3和B3處發(fā)生符號變化.

圖12 磁壓力分布(上圖: 縱向磁壓力; 下圖: 橫向磁壓力) (a) τ =51 ; (b)τ=119Fig.12.Magnetic pressure distribution (upper: longitudinal magnetic pressure; lower: transverse magnetic pressure):(a) τ =51 ; (b) τ =119.

為了分析磁壓力對界面產(chǎn)生的影響, 圖13給出了界面兩側(cè)總磁壓力的方向.在界面兩側(cè)磁壓力均指向界面, 這使得界面渦量無法向兩側(cè)運(yùn)輸, 導(dǎo)致界面上出現(xiàn)渦量沉積, 因此有磁場情況時界面渦量將遠(yuǎn)大于無磁場情況.如圖14所示, 與HD情況相比, 在磁場的作用下流場中的平均渦量也將顯著增大.

圖14 平均渦量隨時間的變化Fig.14.Variation of the mean vorticity over time.

當(dāng) τ =119 時(圖13(b)), 在界面曲率最大的兩個位置處發(fā)生了界面分離, 形成了與主界面S相對應(yīng)的分離界面S1和S2.從圖12(b)可以看出, 在這兩個位置處橫、縱向磁壓力都發(fā)生了劇烈的變化,這是導(dǎo)致界面發(fā)生分離的主要原因.具體來說, 以右上角最大曲率位置為例, 此處的界面在縱向磁壓力 fPy1和 fPy2以 及 橫 向 磁 壓 力 fPx1和 fPx2的 共 同 作用下, 界面被撕裂為兩層從而形成界面S1.通過3.1節(jié)對壓力場的分析可知, 界面S1和S2內(nèi)部將形成高壓區(qū)域, 這將進(jìn)一步導(dǎo)致界面S1和S2無法繼續(xù)向內(nèi)卷曲.總的來說, 在這兩對磁壓力和壓力場的共同作用下, 界面S1和S2將逐漸發(fā)展為圖6(e)中的“魚鉤”狀渦結(jié)構(gòu).

圖13 界面上磁壓力的方向 (a) τ =51 ; (b)τ=119Fig.13.Directions of magnetic pressure on the interfaces:(a) τ =51 ; (b) τ =119.

磁張力的分布如圖15所示, 上兩張圖為縱向磁張力, 下兩張圖則為橫向磁張力.由圖15可見,與磁壓力的分布規(guī)律不同, 磁張力主要集中分布在界面彎曲處, 圖中以黑色箭頭畫出了磁張力分量的主要作用方向.當(dāng) τ =51 時, 縱向磁張力和橫向磁張力在界面上相對于渦旋中心均產(chǎn)生了一個逆時針的力矩, 這與渦卷起的方向相反, 因此磁張力可以阻礙渦的卷起.當(dāng) τ =119 時, 在界面的最大曲率位置處, 在縱向磁張力 fTy1, fTy2以及橫向磁張力fTx1, fTx2的共同作用下, 同樣也會形成一個逆時針的力矩來繼續(xù)阻礙渦的卷起.而縱向磁張力和則會和磁壓力一起導(dǎo)致界面在這兩個位置處發(fā)生分離, 形成圖13(b)中的分離界面S1和S2.

圖15 磁張力分布(上圖: 縱向磁張力; 下圖: 橫向磁張力)(a) τ =51 ; (b)τ=119Fig.15.Magnetic tension distribution (upper: longitudinal magnetic tension; lower: transverse magnetic tension):(a) τ =51 ; (b) τ =119.

為了更清晰地觀察磁張力對界面的作用效果,圖16為渦量和磁張力矢量的疊加圖, 帶箭頭的線為磁張力矢量, 顏色按磁張力大小來分布.可知,在兩個時刻下, 磁張力矢量線的方向都與渦旋轉(zhuǎn)的方向相反.因此磁張力在磁流體的流動過程中確實(shí)提供了一個反向力矩, 起到反向解螺旋的作用, 阻礙了渦結(jié)構(gòu)的卷起.此外, 磁張力矢量線在磁張力最強(qiáng)的區(qū)域均以近乎垂直于界面的方向穿過界面.當(dāng) τ =119 時, 磁張力矢量線在流域內(nèi)幾乎呈斜45°角分布, 渦結(jié)構(gòu)也逐漸在這個方向被拉伸.

圖16 渦量和磁張力矢量分布圖 (a) τ =51 ; (b)τ=119Fig.16.Vorticity and magnetic tension vector distribution:(a) τ =51 ; (b) τ =119.

4 結(jié) 論

本文基于非理想MHD方程組, 利用CTU +CT算法對磁流體方程組進(jìn)行求解, 研究了理想導(dǎo)電條件下均勻平行磁場對不可壓縮混合層KH不穩(wěn)定性的影響.首先對比分析了不同磁場強(qiáng)度對混合層失穩(wěn)過程的影響, 隨后重點(diǎn)探討磁場(MA=3.33)對KH不穩(wěn)定性的控制機(jī)理, 得出如下結(jié)論:

在線性增長階段, 外加磁場可以導(dǎo)致壓力場在界面上發(fā)生“滑移”, 從而在界面上形成壓力突變,這有效地阻礙了流體從高壓區(qū)向低壓區(qū)的卷入, 抑制了上下層流體混合.在渦卷起與合并增長階段,外加磁場可以抑制小渦結(jié)構(gòu)的形成, 使剪切層能夠保持穩(wěn)定, 滯后非線性發(fā)展階段.此外, 在外加磁場的作用下, 流場中的低壓區(qū)從渦核中心逐漸轉(zhuǎn)移至剪切層上, 導(dǎo)致低壓區(qū)分散, 而分散的低壓區(qū)削弱了渦對周圍流體的卷吸作用, 從而抑制了渦結(jié)構(gòu)尺度的進(jìn)一步增長.在非線性增長階段, 大渦結(jié)構(gòu)被沿著斜 4 5°角的方向拉伸成類“魚鉤”狀結(jié)構(gòu).界面內(nèi)部的壓力分布加劇了流體的流動混合, 進(jìn)而導(dǎo)致失穩(wěn)并最終轉(zhuǎn)捩為湍流.

縱向總動能在施加外部磁場后明顯變小, 這說明磁場削弱了縱向的能量交換, 上下層流體的混合遭到了抑制.由于外加磁場對流場中的渦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了顯著的影響, 因此, 渦量厚度和環(huán)量也產(chǎn)生了明顯的變化.從混合層發(fā)展過程中磁感線的分布變化可以發(fā)現(xiàn), 磁感線會聚集在界面處并隨著界面一同發(fā)生扭曲.這是因?yàn)樵诶硐雽?dǎo)電的情況下, 等離子體中存在磁凍結(jié)現(xiàn)象.由于界面處磁感線被強(qiáng)烈地?cái)D壓和折疊, 磁場強(qiáng)度被明顯放大, 因此, 流場中的平均磁場強(qiáng)度發(fā)生了相應(yīng)的變化.

對磁壓力的分析表明, 由于界面兩側(cè)磁壓力均指向界面, 這使得界面上的渦量無法向兩側(cè)運(yùn)輸,從而導(dǎo)致渦量在界面上沉積, 使得有磁場情況時界面的渦量大于無磁場情況.進(jìn)一步的分析表明, 磁張力能夠產(chǎn)生一個與渦旋轉(zhuǎn)方向相反的力矩, 對渦結(jié)構(gòu)起到解螺旋的作用, 抑制了渦的卷起.此外, 當(dāng)流動發(fā)展到一定階段, 在界面曲率最大位置處, 由于磁壓力、磁張力以及壓力場的共同作用, 將導(dǎo)致界面發(fā)生分離, 并最終逐漸發(fā)展為“魚鉤”狀渦結(jié)構(gòu).