廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校(523006) 談珊姍

1 引言

在現(xiàn)有的初中數(shù)學(xué)課堂中,存在以片面追求考試成績?yōu)槟康?高密度,低認(rèn)知水平的課堂教師提問和大容量、重復(fù)式的習(xí)題訓(xùn)練,這樣的課堂學(xué)生收獲甚微,思維停留在單一知識點(diǎn)運(yùn)用的低階思維中,而在課堂教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力是教師教學(xué)的核心任務(wù)之一.在教學(xué)實(shí)踐中,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)復(fù)習(xí)課、幾何圖形的章節(jié)復(fù)習(xí)課都是可以通過采用“一圖一課”的方式對課堂進(jìn)行設(shè)計(jì),探尋培養(yǎng)高階思維的支點(diǎn)——問題引領(lǐng)思維進(jìn)行探索.本文通過“二次函數(shù)復(fù)習(xí)”的課堂設(shè)計(jì),探討了如何對“一圖”進(jìn)行添枝加葉,牽動(dòng)學(xué)生思維的縱深發(fā)展,同時(shí)通過添加具有探究性的問題,通過一題多思,引領(lǐng)學(xué)生看到更廣闊的數(shù)學(xué)世界,領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力.

2 課堂設(shè)計(jì)策略

2.1 一圖一“世界”

問題1：結(jié)合你所學(xué)過的二次函數(shù)的圖像性質(zhì)等知識,不添加任何條件,通過圖1,你可以得到哪些結(jié)論?

圖1

學(xué)生答案：①a ＜0,b ＜0,c ＞0; ②b2-4ac ＞0.

問題2：添加拋物線的對稱軸x=-1,結(jié)合你所學(xué)過的二次函數(shù)的圖像性質(zhì)等知識,不添加任何條件,通過圖2,你又可以得到哪些新結(jié)論?

圖2

學(xué)生答案：①B(-3,0); ②二次函數(shù)解析式：y=-x2-2x+3; ③頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-1,4); ④增減性：當(dāng)x ＞-1時(shí),y隨x的增大而減小; 當(dāng)x ＜-1 時(shí),y隨x的增大而增大, ⑤當(dāng)-3＜x ＜1 時(shí),y ＞0; 當(dāng)x ＜-3 或x ＞1時(shí),y ＜0; ⑥從圖象可以看出, 方程-x2-2x+ 3 = 0的兩個(gè)解是x1= 1,x2=-3; ⑦從圖象可以看出, 方程-x2-2x+3=3 的兩個(gè)解是x1=0,x2=-2.

問題3：添加直線BC,結(jié)合你所學(xué)過的二次函數(shù)的圖像性質(zhì)等知識,不添加任何條件,通過圖3,你還可以得到哪些新結(jié)論?

圖3

學(xué)生答案：①直線解析式：y2=x+3; ②直線與x軸的夾角是45°; ③二次函數(shù)y1與一次函數(shù)y2比較大?。寒?dāng)-3＜x ＜0 時(shí),y1＞y2;當(dāng)x ＜-3 或x ＞0 時(shí),y1＜y2;當(dāng)x=-3 或x=0 時(shí),y1=y2.

這是一個(gè)有生長力的圖象,通過在這個(gè)圖象上不斷添加條件,“你能得到哪些結(jié)論? ”這是一個(gè)結(jié)論開放題,學(xué)生在經(jīng)歷了觀察、分析、比較等思維活動(dòng)過程后,全面復(fù)習(xí)了二次函數(shù)圖象的性質(zhì),二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系,以及二次函數(shù)與一次函數(shù)比較大小等知識, 能從不同的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,得到不同的結(jié)論,二次函數(shù)圖象的大世界在學(xué)生的層層剖析中一覽無遺.學(xué)生表現(xiàn)非常活躍,在相互補(bǔ)充中,促進(jìn)了學(xué)生對函數(shù)圖象的本質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想的理解和感悟,隨著問題的不斷提升,學(xué)生分析思維能力、決策判斷等高階思維能力也在不斷地提高.

2.2 一題多解法

問題4：如圖3, 已知拋物線y=-x2-2x+3, 直線BC∶y=x+3,設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x=-1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使ΔBPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

學(xué)生通過小組討論,探討出以下四種解法：

解法一：運(yùn)用勾股定理逆定理,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,n).

BC2=18,PC2=n2-6n+10,BP2=4+n2

(1)當(dāng)∠CBP= 90°時(shí),PC為斜邊,則BC2+BP2=CP2;

(2)當(dāng)∠BCP= 90°時(shí),PB為斜邊,則BC2+CP2=BP2;

(3)當(dāng)∠BPC= 90°時(shí),BC為斜邊,則PC2+BP2=BC2.

解法二：運(yùn)用三角形相似

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,n).當(dāng)∠CBP= 90°時(shí), 如圖4, ΔCGB∽ΔP1HB, 則∴n=-2,P1(-1,-2).

圖4

(2) 當(dāng) ∠BCP= 90°時(shí),如圖5, ΔCGP2∽ΔBOC, 則∴n=4,P2(-1,4).當(dāng)∠BPC= 90°時(shí), 如 圖6, ΔBFP∽ΔCEP, 則∴n=,P3(-1,

圖5

圖6

解法三：運(yùn)用銳角三角函數(shù)

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,n).當(dāng)∠CBP= 90°時(shí), 如圖4, tan ∠GCB= tan ∠P1BH; 當(dāng)∠BCP= 90°時(shí), 如圖5, tan ∠GP2C= tan ∠BCO; 當(dāng)∠BPC= 90°時(shí), 如圖6,tan ∠BPF=tan ∠PCE.

解法四：運(yùn)用特殊角

觀察發(fā)現(xiàn),直線BC與x軸、y軸的夾角是45°,

(1) 當(dāng)∠CBP= 90°時(shí), 如圖4, ∠HBP1= 45°, 則BH=P1H=3;

(2) 當(dāng)∠BCP= 90°時(shí), 如圖5, ∠P2CG= 45°, 則GC=P2G=1.

解法五：運(yùn)用兩直線互相垂直, 則k1· k2=-1, 當(dāng)∠CBP= 90°時(shí), 設(shè)yBP=-x+b, 把B(-3,0)代入, 求得yBP=-x-3, 當(dāng)x=-1 時(shí),y=-2, ∴P1(-1,-2).當(dāng)∠BCP= 90°時(shí),yCP=-x+3,當(dāng)x=-1 時(shí),y= 4,∴P1(-1,4).

“一題多解”主要是指在日常教學(xué)中,通過對某一個(gè)數(shù)學(xué)問題不同視角的剖析,采用不同的思維途徑與解決策略,靈活而多樣地解決數(shù)學(xué)問題.然而,由于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題表征及識別模式的不同,解題遷移的方向也不一樣,因而會形成多種不同的思路,但最后能否成功解決問題,還需學(xué)生自己進(jìn)行解題監(jiān)控.教師應(yīng)該多肯定學(xué)生的思維角度,使學(xué)生對學(xué)習(xí)充滿激情,有興趣進(jìn)行多視角探究,這樣才能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感悟更深,掌握更透徹.

在本題中,學(xué)生通過合作探究,從傳統(tǒng)的通法——勾股定理逆定理的方法開始,過渡到通過構(gòu)造“一線三直角”的數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用三角形相似去解決問題,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)在用相似解決直角三角形的問題中,采用銳角三角函數(shù)的方法更便捷,部分學(xué)生還發(fā)現(xiàn)原來圖形中隱藏著一個(gè)45°的特殊角,從而得到以后在做題時(shí)首先應(yīng)當(dāng)觀察圖象,看是否存在特殊角的重要經(jīng)驗(yàn);有的學(xué)生具有超前的學(xué)習(xí)意識,懂得兩直線互相垂直,兩直線斜率相乘等于-1 的結(jié)論,直接運(yùn)用求解,這也是拓寬學(xué)生的視野,使初高中知識得到一個(gè)初步的銜接.學(xué)生通過對比五種解法,得出重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：首先應(yīng)當(dāng)觀察圖象中是否存在特殊角,對于坐標(biāo)系中構(gòu)成直角三角形的動(dòng)點(diǎn)問題,通過構(gòu)造“一線三直角”的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用銳角三角函數(shù)的方法解決更為便捷.在求P點(diǎn)的難易程度上,以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)相對以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)容易.

接著,老師提出問題,如何在圖象上準(zhǔn)確畫出這四個(gè)點(diǎn)P? 學(xué)生繼續(xù)開始熱烈的探究.

學(xué)生通過互相質(zhì)疑,互相補(bǔ)充得到：這四個(gè)點(diǎn)P是位于以BC為直徑的圓與拋物線對稱軸的交點(diǎn)以及分別以B、C為切點(diǎn)的切線與拋物線對稱軸的交點(diǎn).

圖7

觸發(fā)學(xué)生高階思維的一個(gè)關(guān)鍵性條件是設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的探究任務(wù).任務(wù)不一定要難, 但思維要求必須高, 需要學(xué)生通過比較、分析、應(yīng)用、評價(jià)和創(chuàng)造等活動(dòng)解決問題.學(xué)生通過對本題的探究,有機(jī)地結(jié)合了二次函數(shù)、相似、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)、以及圓的知識,滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想,學(xué)生分析、綜合和評價(jià)的能力得到發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的目標(biāo)得到了體現(xiàn).

3 教學(xué)反思

3.1 以圖帶點(diǎn),逐層深入

問題是思維的起點(diǎn).學(xué)生思維活動(dòng)的開展總是從問題開始的,同時(shí)在解決問題過程中得到發(fā)展.在函數(shù)復(fù)習(xí)課、幾何圖形的章節(jié)復(fù)習(xí)課中可以選擇一個(gè)具有生長功能,又能承載復(fù)習(xí)重點(diǎn)的圖形,以開放為基調(diào),喚醒學(xué)生的認(rèn)知,激活已有經(jīng)驗(yàn), 激發(fā)學(xué)生的參與, 產(chǎn)生破冰效應(yīng), 然后通過層層推進(jìn),最終成為一道具有高落點(diǎn)的高階思維攀援題.如2.1 中這個(gè)基本的二次函數(shù)圖象承載了二次函數(shù)的所有性質(zhì),通過添枝加葉,延伸到函數(shù)與方程,函數(shù)與不等式的聯(lián)系,最后通過添加動(dòng)點(diǎn),層層推進(jìn),學(xué)生思維進(jìn)一步發(fā)散到二次函數(shù)與銳角三角函數(shù)、相似、圓的聯(lián)系,甚至能拓寬知識面,延伸到高中的知識,一個(gè)簡單的圖形所創(chuàng)造出來的是一場具有創(chuàng)造性和生命力的思維盛宴,學(xué)生所收獲的不再是枯燥單一的知識點(diǎn),而是知識之間的有機(jī)結(jié)合,構(gòu)建起富有生長力的知識網(wǎng)絡(luò).

3.2 一題多思,融會貫通

在教學(xué)中我們需要深度,在課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解知識,提高學(xué)生思維的廣闊性和深刻性,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)特質(zhì), 這是促進(jìn)學(xué)生“深度學(xué)習(xí)”的一個(gè)有效途徑和方法.例如,在本課2.2 的設(shè)計(jì)中,學(xué)生通過問題想到運(yùn)用勾股定理逆定理列方程解答,這是“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”,學(xué)生通過構(gòu)造“一線三直角”模型,運(yùn)用相似或銳角三角函數(shù)的方法解決,這是“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”,在學(xué)生給出五種解答方式后,教師引導(dǎo)學(xué)生展開對比分析,交流解題心得,在反思解題過程中,學(xué)生自然會整合解題方法,將其內(nèi)化提煉成一種“解題套路”.在完成解題后,教師引導(dǎo)學(xué)生在圖象中準(zhǔn)確畫出四個(gè)點(diǎn)P的位置,學(xué)生經(jīng)過一番爭辯和思考,結(jié)合圓的知識得到解答,數(shù)學(xué)知識不再是一個(gè)單一枯燥的存在,而是通過一題多思,使得二次函數(shù)這顆大樹枝繁葉茂,學(xué)生對知識的運(yùn)用達(dá)到融會貫通.同時(shí)也更深刻地體會到數(shù)學(xué)的魂——數(shù)學(xué)的思想方法.

4 結(jié)語

教學(xué)有法,但無定法,貴在得法.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,有目的,有計(jì)劃地進(jìn)行“一圖一課、一題多思”的設(shè)計(jì)和訓(xùn)練,有利于開拓學(xué)生的解題思路, 培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性,卓有成效地開拓學(xué)生的創(chuàng)新思維潛能,使學(xué)生把所學(xué)知識融會貫通,使知識系統(tǒng)化.同時(shí),這樣既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造性,實(shí)現(xiàn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.如何通過解題教學(xué)活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng),應(yīng)是教學(xué)中不可或缺的環(huán)節(jié).但如果通過所謂的題海戰(zhàn)術(shù),不僅不會促進(jìn)思維能力的發(fā)展、問題解決技能的形成,反而容易使學(xué)生產(chǎn)生疲勞感,降低學(xué)習(xí)興趣,壓制思維智慧.積極嘗試“一圖一課,一題多思”的教學(xué)設(shè)計(jì),無疑是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、開拓解題思路、培養(yǎng)思維能力品質(zhì)和應(yīng)變能力的一種十分有效的方法,更是體悟數(shù)學(xué)思維的無窮魅力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大手筆,真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量的提高.