劉 茂, 王忠民

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，西安 710048)

拱形結(jié)構(gòu)以其優(yōu)美的造型、合理的受力特點和相對良好的經(jīng)濟指標(biāo)，被廣泛應(yīng)用于土木工程、機械設(shè)備和航空航天等領(lǐng)域中。例如拱橋、吊車拱形吊臂、拱形太陽能電板等。在工程實際中，拱形結(jié)構(gòu)截面多以變截面的形式出現(xiàn)，如拱橋則是兩端橫截面積較大，中間橫截面積較小的拱結(jié)構(gòu)。當(dāng)這種拱結(jié)構(gòu)受到側(cè)向外力作用時，會發(fā)生面外的彎扭振動，其動力學(xué)特性研究具有重要的理論意義和實用價值。

自19世紀(jì)以來，許多研究人員對拱的振動問題做了大量的研究。Irie等[1]應(yīng)用傳遞矩陣法研究了兩端固定圓形和矩形橫截面的Timoshenko圓形拱的面外自由振動特性。趙章泳等[2]研究了彈性支承對圓弧拱自由振動特性的影響規(guī)律。Laura等[3]使用Ritz方法，研究了厚度呈線性變化并帶有集中質(zhì)量的對稱圓弧拱的自由振動特性。Eftekhari[4]考慮了橫向剪切和轉(zhuǎn)動慣性的影響，通過初值方法研究了具有均勻橫截面的圓弧拱的面外彎扭自由振動。危媛丞等[5]使用Rayleigh-Ritz法分析了配重影響下兩端固定圓拱的面外自由振動問題。陳耀等[6]對固接拋物線淺拱的靜力及動力穩(wěn)定性問題進行了研究。康婷等[7]運用樣條有限點法分析了恒載效應(yīng)對拱結(jié)構(gòu)自振頻率的影響。

對變截面拱面外彎扭振動問題，其運動微分方程為變系數(shù)的偏微分方程，一般的數(shù)值計算方法效率較低。1996年，Shabana首次提出了基于大變形有限元和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的絕對節(jié)點坐標(biāo)法(absolute nodal coordinate formulation, ANCF)，該方法選取全局坐標(biāo)系下的位置矢量及梯度作為節(jié)點坐標(biāo)，對大位移、大轉(zhuǎn)動和大變形問題具有較好的適用性，并且質(zhì)量陣為常數(shù)陣，沒有科氏力和離心力的影響。Berzeri等[8]系統(tǒng)地歸納了基于歐拉-伯努利梁的平面一維梁單元彈性力的表達形式。李彬等[9]利用能量守恒原理驗證了ANCF在分析大變形柔性梁系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)問題中的正確性。趙春璋等[10]基于ANCF研究了變截面梁的動力學(xué)特性。王忠民等[11]基于ANCF分析了伸展懸臂梁的撓度響應(yīng)。李鵬飛等[12]通過對比分析發(fā)現(xiàn)ANCF法對柔順機構(gòu)建模與分析更具有適應(yīng)性。張君茹等[13]討論了ANCF斜率不連續(xù)問題的解決辦法。

本文基于ANCF建立Euler-Bernoulli拱單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，應(yīng)用Lagrange方程得到變截面拱面外彎扭的運動微分方程，分析了兩端固定的變截面圓弧拱的面外自由振動特性，獲得了圓弧拱中心角、半徑、高寬比以及均布徑向載荷等參數(shù)對變截面圓弧拱面外彎扭振動的頻率的影響，最后分析了變截面拋物線型非圓弧拱的彎扭振動特性。

1 變截面拱面外彎扭變形描述

1.1 基本假設(shè)

為便于計算，對變截面拱面外彎扭振動模型作以下幾個基本假設(shè)：拱的面外彎扭振動為小變形情形；材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律，即材料為線彈性；拱面外彎扭變形時，其橫截面保持為平面，軸線無伸縮變形。

1.2 ANCF的單元形函數(shù)

(a)矩形變截面拱模型

在圖1(a)中，將矩形變截面拱等分為n個等弧長拱單元，建立單元坐標(biāo)系osyz，se為每個單元的軸線弧長，s為單元弧坐標(biāo)，如圖2所示。

圖2 拱單元模型

設(shè)拱單元軸線上任意一點P的面外線位移u和面外扭轉(zhuǎn)角θ的列陣表示為

(1)

式中，S(s)、N(s)是單元弧坐標(biāo)s的函數(shù)，與時間無關(guān)，可表示為

(2)

式中，

式中，λe=s/se。

(3)

式中，i,j為拱單元兩端的節(jié)點編號，e(e=1,2,3,…,n)為單元編號。

2 變截面拱面外彎扭振動微分方程

2.1 拱單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣

設(shè)拱材料的密度為ρ，橫截面積為A(s)，則拱單元的動能為

(5)

拱結(jié)構(gòu)面外撓曲率Ky和繞s軸的扭曲率Ks分別為[14]

(6)

式中，u′=du/ds，u″=d2u/ds2。

(7)

式中:EIy(s)為拱面外彎曲剛度；GJs(s)為扭轉(zhuǎn)剛度。

(8)

拱單元的總勢能表示為

(9)

式中，Iy(s)=b(s)3h(s)/12，Js(s)=βb(s)3h(s)，β為扭轉(zhuǎn)因數(shù)，設(shè)高寬比η=h(s)/b(s)，β與高寬比η的值有關(guān)[15]。

拱單元的剛度矩陣為

(10)

2.2 運動微分方程和特征方程

設(shè)q為總體節(jié)點坐標(biāo)列陣，Be為總體節(jié)點坐標(biāo)列陣q和單元節(jié)點坐標(biāo)列陣qe之間的轉(zhuǎn)換矩陣，則有

q=Beqe

(11)

于是，拱的總動能和總勢能表示為

(12)

式中:M為總體質(zhì)量矩陣;K為總體剛度矩陣：

(13)

Lagrange函數(shù)為

(14)

把式(14)代入Lagrange方程

(15)

得到拱結(jié)構(gòu)的運動微分方程

(16)

方程(16)的解設(shè)為簡諧運動形式

q=Asin(ωt+φ)

(17)

式中:A為幅值列陣;ω為拱面外彎扭振動的頻率;φ為初相位。

把式(17)代入式(16)，利用線性齊次方程非零解的充要條件，得到變截面拱面外彎扭自由振動時的特征方程

det(K-ω2M)=0

(18)

3 算 例

3.1 矩形等截面圓弧拱

表1 兩端固定矩形等截面圓弧拱面外彎扭振動頻率隨單元數(shù)目變化情況

圖3 兩端固定等截面圓弧拱振型圖

從表1的數(shù)據(jù)可以看出，基于ANCF計算等截面圓拱的頻率，劃分的單元數(shù)目較少時(n=4)便可得到較好的結(jié)果。隨著單元數(shù)目的增多，ANCF的計算結(jié)果與文獻[16]解相對誤差逐漸變小，當(dāng)拱單元的單元數(shù)n=24時，其相對誤差僅為0.46%。從圖3可以看出，一階振型形狀近似為半波正弦曲線，二階振型近似為一個周期的正弦曲線，三階振型近似為一個半周期的正弦曲線；對于奇數(shù)階(如一階和三階振型)，對稱于圓弧拱中心角的對稱線；對于偶數(shù)階振型(如二階)，反對稱于對稱線。

3.2 矩形變截面圓弧拱

(19)

表2 兩端固定正方形變截面圓弧拱面外彎扭振動頻率

圖4 兩端固定正方形變截面圓弧拱彎扭振型圖

由表2可以看出，計算結(jié)果與有限元解(作者用ANSYS軟件計算的結(jié)果)相對誤差較??；正方形變截面圓弧拱的一階頻率比以邊長為hO和邊長為hB的等截面圓弧拱的頻率要大，而二階、三階頻率處于兩者中間。對比圖3與圖4可以看出，等截面圓弧拱和變截面圓弧拱振型圖的形狀基本一致。

下面討論不同參數(shù)對結(jié)構(gòu)頻率影響規(guī)律。

中心角對變截面圓弧拱的頻率的影響。在保證半徑不變、高寬比η=1的條件下，計算得到中心角對變截面圓弧拱的頻率的影響如圖5所示。

圖5 正方形變截面圓弧拱頻率隨中心角的變化關(guān)系

從圖5中可以看出，變截面圓弧拱的頻率隨著中心角的增大而減小，并且其改變對二、三階頻率影響較大，對一階頻率影響較??；隨著中心角的增加，曲線越來越平緩，說明中心角越大時，其對圓弧拱頻率的影響越小。

半徑對變截面圓弧拱頻率的影響。在保證圓心角不變、高寬比η=1的條件下，計算得到半徑對變截面圓弧拱頻率的影響如圖6所示?？梢钥闯?，頻率隨著半徑的增大而減小，且其改變對二、三階頻率的影響較大，一階頻率影響較小。

圖6 正方形變截面圓弧拱頻率隨半徑的變化關(guān)系

橫截面高寬比對變截面圓弧拱的頻率的影響。在保證高度與正方形變截面圓弧拱的邊長相同、圓心角和半徑不變的條件下，計算得到高寬比對變截面圓弧拱頻率的影響如圖7所示?？梢钥闯?，變截面圓弧拱的頻率隨著高寬比的增大而減小，其改變對二、三階頻率影響較大，對一階頻率影響較小。

圖7 變截面圓弧拱頻率隨高寬比變化關(guān)系

圖8 正方形變截面圓弧拱的頻率隨外載荷倍數(shù)的變化關(guān)系

3.3 矩形變截面拋物線拱

圖9 正方形變截面拋物線拱模型

(20)

其近似曲率半徑表示為

(21)

表3 兩端固定正方形變截面拋物線拱面外彎扭振動的頻率

圖10 兩端固定正方形變截面拋物線拱彎扭振型圖

由表3可以看出，變截面拋物線拱的一階頻率比以邊長為hO和邊長為hB的等截面拋物線拱的頻率都要大，而二、三階頻率則處于兩者中間，這點與正方形變截面圓弧拱頻率的變化規(guī)律基本一致，但是拋物線拱的所有頻率數(shù)值均大于圓弧拱，振型圖基本一致。

4 結(jié) 論

(1)通過等截面圓弧拱面外彎扭振動的數(shù)值計算結(jié)果和已有結(jié)果對比，說明絕對節(jié)點坐標(biāo)法是一種很實用的動力學(xué)計算方法。

(2)正方形變截面圓弧拱面外彎扭振動振型的整體趨勢與等截面圓弧拱基本一致，但是變截面圓弧拱的一階頻率比以左端、中間的正方形作為等截面圓弧拱的一階頻率都要大，而二階、三階頻率則處于兩者中間；變截面圓弧拱振動的頻率分別隨中心角、半徑和高寬比增大而減小，并且他們改變對二、三階頻率影響較大，對一階頻率影響較??；均布徑向載荷增大使得結(jié)構(gòu)頻率減小，其對二、三階頻率影響較小，對一階頻率影響較大。

(3)相同跨度和矢高的變截面拋物線拱與變截面圓弧拱的頻率相差不大，其前三階頻率變化規(guī)律基本一致，振型圖大致基本一致。