唐 鋒，王 勇,2，丁 虎, 陳立群

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444；2.江蘇大學(xué) 汽車工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

Smith[2]首次提出了慣容器的概念，慣容器是一種具有兩個相對自由運動端點的裝置，其產(chǎn)生的作用力與兩端的相對加速度成比例，該比例系數(shù)稱為慣質(zhì)系數(shù)且單位為千克。慣容器具有質(zhì)量放大作用，能夠提供比自身質(zhì)量大的慣質(zhì)效應(yīng)，可以增加承載系統(tǒng)的慣性而不增加其承載質(zhì)量。由于慣容器特有的力學(xué)特性，其已被廣泛運用于各種工程領(lǐng)域且被視為一種有效的減振裝置，如汽車懸架系統(tǒng)[3]，鐵道車輛懸架系統(tǒng)[4-5]，建筑橋梁減振系統(tǒng)[6-7]，動力吸振系統(tǒng)[8-9]與隔振系統(tǒng)[10]。

在隔振領(lǐng)域，Chen等[11]證明了慣容器可以使系統(tǒng)的固有頻率降低；Hu等[12]采用H∞與H2兩種方法優(yōu)化了五種慣容隔振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究表明慣容隔振器可以有效降低傳統(tǒng)線性隔振器的傳遞率峰值；Wang等[13]在此基礎(chǔ)上研究了八種慣容隔振器的隔振性能，定義了四個隔振性能評價指標(biāo)對比得出一種最優(yōu)結(jié)構(gòu)。在上述研究中，通過增加附加彈簧以及改變慣容器、彈簧與阻尼器的布置形式，慣容隔振器可以有多種結(jié)構(gòu)形式，最簡單易行的是三元件并聯(lián)式慣容隔振器，其所需結(jié)構(gòu)元件較少且安裝方便，三元件并聯(lián)式慣容隔振器能進一步拓寬傳統(tǒng)線性隔振器的隔振頻帶，但高頻隔振性能顯著惡化，且慣質(zhì)系數(shù)越大高頻隔振性能越差。Chen等[14]提出了理想天棚慣容器，其一端與承載質(zhì)量相連另一端與慣性參考系相連，能改善被動慣容隔振系統(tǒng)在高頻的隔振性能。理想天棚慣容器無法通過被動結(jié)構(gòu)形式實現(xiàn)，但可通過設(shè)計半主動慣容器并采取相應(yīng)的半主動控制策略來實現(xiàn)。

半主動慣容器的慣質(zhì)系數(shù)在工作過程中可進行調(diào)節(jié)，其結(jié)構(gòu)實現(xiàn)形式有多種，如在滾珠絲杠式慣容器中安裝可控慣性飛輪[15]或改變液力式慣容器的管徑[16]，當(dāng)工程結(jié)構(gòu)裝置采用半主動慣容器后，其減振性能得到進一步提高[17-18]。王勇等[19]提出了相對加速度-相對速度(relative acceleration relative velocity,RARV)控制的半主動慣容隔振器，研究了三元件并聯(lián)式與串聯(lián)式半主動慣容隔振器的動態(tài)性能，結(jié)果表明并聯(lián)式隔振效果更好，且比被動慣容隔振器具有更好的隔振性能。隨后Wang等[20]針對并聯(lián)式半主動慣容器，又提出了相對加速度-絕對速度策略(relative acceleration absolute velocity, RAAV)，以更好地改善慣容隔振器的隔振性能。但采用這兩種控制策略后，半主動慣容隔振器的高頻隔振性能仍沒有得到顯著改善，為此本文采用基于絕對-相對加速度切換控制的天棚慣容控制策略，調(diào)節(jié)半主動慣容器的慣質(zhì)系數(shù)在最大與最小值之間切換，來近似模擬理想天棚慣容器的力學(xué)特性，以提高慣容隔振器的高頻隔振性能。

本文研究的慣容隔振器采用最基本的三元件并聯(lián)式結(jié)構(gòu)，分析天棚半主動慣容隔振器在基礎(chǔ)簡諧位移激勵下的動態(tài)特性，運用平均法求解系統(tǒng)的近似解析解，并用數(shù)值解進行驗證。定義四個隔振性能評價指標(biāo)來評價半主動慣容隔振器的隔振性能，揭示可變慣質(zhì)系數(shù)對系統(tǒng)隔振性能的影響規(guī)律，并與被動慣容隔振器、RARV與RAAV半主動慣容隔振器進行對比分析。

1 天棚半主動慣容隔振器

理想天棚慣容隔振器如圖1(a)所示，與其等價的天棚半主動慣容隔振器如圖1(b)所示。半主動慣容器的慣質(zhì)系數(shù)為b且可進行調(diào)節(jié)，阻尼器的阻尼系數(shù)為c，彈簧剛度為k，x為質(zhì)量m相對于靜態(tài)平衡位置的位移，外界激勵為基礎(chǔ)簡諧激勵且可用y=ymcos(ωt)表示。

(a)理想天棚慣容隔振器

一種半主動液力式慣容器如圖2所示，其結(jié)構(gòu)包括由缸體、活塞和緩沖塊構(gòu)成的主體以及由軟管、電磁閥、兩種不同管徑的螺旋硬管構(gòu)成的慣質(zhì)系數(shù)調(diào)節(jié)裝置。油液經(jīng)細長管從缸體的一個腔流向另一個腔時會產(chǎn)生慣性效應(yīng)[21]，通過控制兩個電磁閥的開關(guān)調(diào)節(jié)油液流通的管道便可改變液力式慣容器的慣質(zhì)系數(shù)。半主動慣容器在信號采集、信號傳輸、控制器計算和作動器執(zhí)行過程中會有一定的調(diào)節(jié)響應(yīng)時間[22]，時滯在一定情況下會惡化系統(tǒng)動態(tài)特性，但是選取適當(dāng)?shù)臅r滯反饋增益可以減小或消除時滯帶來的不利影響[23]。本文為簡化分析，考慮半主動液力式慣容器在調(diào)節(jié)慣質(zhì)系數(shù)時是實時快速地調(diào)節(jié)，不考慮時滯的影響，建立天棚半主動慣容器在基礎(chǔ)簡諧位移激勵下的動力學(xué)方程

圖2 半主動液力式慣容器

mx″=-b(x″-y″)-k(x-y)-c(x′-y′)

(1)

天棚慣容控制策略采用基于絕對-相對加速度切換的控制策略，半主動慣容器的慣質(zhì)系數(shù)調(diào)節(jié)如下

(2)

式中:bmax，bmin分別為可控制調(diào)節(jié)的最大與最小慣質(zhì)系數(shù)。定義x-y=z，式(1)和式(2)可以化簡為

(3)

(4)

定義無量綱參數(shù)

(5)

對于弱非線性系統(tǒng)，可以認為系統(tǒng)的振動幅值和相位是緩慢變化的，即其對時間的導(dǎo)數(shù)是小量，又從式(4)可知系統(tǒng)是分段的，因此適合采用平均法[24]求解系統(tǒng)的近似解析解，首先假設(shè)解的形式為

z=zmcosφ

(6a)

z′=-zmωsinφ

(6b)

式中：φ=ωt+θ，將式(6a)和式(6b)對時間t進行求導(dǎo)，得到以下表達式

(7a)

(7b)

結(jié)合式(6b)和式(7a)，結(jié)合式(3)和式(7b)分別得到

(8a)

(8b)

其中

cosφ-2ζωωnzmsinφ-ω2ymcos(φ-θ)

(9)

通過式(8a)和式(8b)可以得到廣義振幅zm和相位θ的表達式

(10)

根據(jù)平均法思想，慢變量振幅和相位可以通過將式(10)右側(cè)在一個周期內(nèi)積分得到

(11)

將式(6a)代入式(4)得到

(12a)

(12b)

其中

(13)

(14)

2 動態(tài)響應(yīng)求解

式(11)中可控慣質(zhì)比δ的積分區(qū)間與相位β有關(guān)。定義相位β的取值區(qū)間為[0, 2π)，當(dāng)相位β分別在四個象限取值時，cosφ和cos(φ-β)曲線的相對位置如圖3所示。

(a)β∈(0, π/2)

根據(jù)cosφ和cos(φ-β)的符號變化情況，可控慣質(zhì)比δ的積分區(qū)間可以分為八種情況，以此可得穩(wěn)態(tài)解的幅值和相位。根據(jù)式(11)和八種情況下的可控慣質(zhì)比δ的積分區(qū)間，天棚半主動慣容隔振器的幅頻特征方程如下

(I)0<β<π/2

(15)

(II)π/2<β<π

(16)

(III)π<β<3π/2

(17)

(IV)3π/2<β<2π

(18)

(V)β=0

δ=δmax

(19)

(VI)β=π/2

(20)

(VII)β=π

δ=δmin

(21)

(VIII)β=3π/2

(22)

本文中基礎(chǔ)簡諧激勵振幅ym= 0.02 m，天棚半主動慣容隔振器結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 天棚半主動慣容隔振器結(jié)構(gòu)參數(shù)

為驗證平均法得到的近似解析解的精確性，將其與數(shù)值解結(jié)果對比，天棚半主動慣容隔振器的相對位移的解析解和數(shù)值解結(jié)果對比如圖4所示。數(shù)值結(jié)果通過結(jié)合式(3)與式(12a)，運用定步長的4階龍格庫塔方法得到。從圖中可以看出解析解與數(shù)值解基本吻合，從而可以得出解析解是精確可靠的。

圖4 天棚半主動慣容隔振器相對位移數(shù)值解與解析解對比 (δmax=1, δmin=0.5)

3 隔振性能分析

令質(zhì)量m的位移幅值為xm，絕對位移傳遞率Ta定義如下

(23)

定義四個隔振性能評價指標(biāo)來評價系統(tǒng)的隔振性能：絕對位移峰值xmp為系統(tǒng)共振時的振幅，是系統(tǒng)可以達到的最大位移；絕對位移傳遞率峰值Tap為全頻域絕對位移傳遞率的最大值；隔振頻帶ω0為絕對位移幅值xm小于基礎(chǔ)簡諧位移激勵幅值zm的頻帶范圍，隔振器在隔振頻帶內(nèi)才對振動起隔離作用；高頻帶絕對位移傳遞率Talim為激勵頻率遠大于系統(tǒng)的固有頻率時絕對位移xm與激勵幅值zm的比值，描述的是隔振器的高頻隔振性能。

需要注意的是在計算四個隔振性能評價指標(biāo)前首先要求解相位β，不同慣質(zhì)比下相位β的取值如圖5所示。在求解幾個性能評價指標(biāo)時，當(dāng)β在區(qū)間(3π/2,2π)時應(yīng)當(dāng)選擇式(18)，同理當(dāng)β在區(qū)間(π,3π/2)時應(yīng)當(dāng)選擇式(17)。

(a)δmax=1

天棚半主動慣容隔振器的四個隔振性能評價指標(biāo)推導(dǎo)過程如下所示：

絕對位移x由以下公式求得

x=y+z=xmcos(ωt+γ)

(24)

(25)

(26)

絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值所對應(yīng)的β取值范圍在(3π/2, 2π)，故將式(18)兩邊對激勵頻率進行求導(dǎo)，得到

(27)

cos2θ+sin2θ=1

(28)

由絕對位移峰值導(dǎo)數(shù)為0，對式(23)求導(dǎo)得到

(29)

結(jié)合式(18)，(25)，(27)～(29)可以求得絕對位移x的最大振幅，即絕對位移峰值xmp。

則絕對位移傳遞率峰值為

(30)

對于隔振頻帶，有

xm=ym

(31)

代入式(25)可以得到

(32)

式(32)結(jié)合式(18)可得隔振頻率ω0。

對于高頻帶絕對位移傳遞率，所對應(yīng)的β取值范圍為(π,3π/2)，由式(17)可以得到當(dāng)頻率趨于無窮大時相對位移振幅的極限值

(33)

(34)

(35)

將式(33)～(35)結(jié)合式(14)和式(23)可得高頻帶絕對位移的傳遞率Talim

(36)

當(dāng)最小慣質(zhì)比δmin與最大慣質(zhì)比δmax取不同值時，天棚半主動慣容隔振器的絕對位移與絕對位移傳遞率分別如圖6與圖7所示。

圖6 δmax= 1，δmin取不同值時，天棚半主動慣容隔振器絕對位移與絕對位移傳遞率

圖7 δmin= 0.05，δmax取不同值時，天棚半主動慣容隔振器絕對位移與絕對位移傳遞率

從圖6可以看出當(dāng)最大慣質(zhì)比δmax固定時，隨著最小慣質(zhì)比δmin增加，絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值減小，高頻帶的絕對位移幅值和絕對位移傳遞率增大，隔振頻帶稍有擴大。圖7顯示當(dāng)最小慣質(zhì)比δmin固定時，隨著最大慣質(zhì)比δmax增加，絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值降低，隔振頻帶擴大，高頻帶絕對位移傳遞率無明顯變化。

4 隔振性能對比研究

為了明確天棚半主動慣容隔振器的優(yōu)勢，將其分別與被動慣容隔振器，RARV、RAAV半主動慣容隔振器進行對比。在對比時，天棚半主動慣容隔振器的最大慣質(zhì)比δmax= 1，被動慣容隔振器的慣質(zhì)比δ與天棚半主動慣容隔振器的最小慣質(zhì)比δmin相等；在與RARV、RAAV半主動慣容隔振器對比時，取相同的δmax與δmin。

4.1 與被動慣容隔振器對比

選取天棚半主動慣容隔振器的最大慣質(zhì)比δmax= 1，最小慣質(zhì)比δmin= 0.05，被動慣容隔振器的慣質(zhì)比δ分別取1和0.05，其絕對位移與絕對位移傳遞率對比如圖8所示。

圖8 天棚半主動與被動慣容隔振器的絕對位移與絕對位移傳遞率對比

從圖8可以看出天棚半主動慣容隔振器的絕對位移共振峰值和隔振頻率更接近慣質(zhì)比與其最大慣質(zhì)比δmax相等的被動慣容隔振器，高頻帶絕對位移傳遞率更接近慣質(zhì)比與其最小慣質(zhì)比δmin相等的被動慣容隔振器。

圖9比較了天棚半主動慣容隔振器和被動慣容隔振器的四個隔振性能評價指標(biāo)。圖9(a)為絕對位移峰值的對比圖，圖9(b)為絕對位移傳遞率峰值的對比圖，當(dāng)天棚半主動慣容隔振器的最大慣質(zhì)比δmax= 1，最小慣質(zhì)比δmin和被動慣容隔振器的慣質(zhì)系數(shù)δ一同改變時，隨著δmin的增加，兩者的絕對位移峰值和絕對位移傳遞率不斷減小，差值逐漸變?。粓D9(c)為隔振頻率的對比圖，隨著最小慣質(zhì)系數(shù)δmin和被動慣容隔振器的慣質(zhì)系數(shù)δ的增加，兩者的隔振頻帶均擴大，但天棚半主動慣容隔振器的隔振頻帶變化很小；圖9(d)為高頻帶絕對位移傳遞率對比圖，兩者吻合，變化呈增長趨勢。

(a)絕對位移峰值xmp

4.2 與其他兩種半主動慣容隔振器對比

本節(jié)以δmax= 1，δmin= 0.05為例，比較三種半主動慣容隔振器的隔振性能。從圖10可以看出三種半主動慣容隔振器的隔振頻帶是比較接近的；對于高頻帶絕對位移傳遞率，天棚半主動慣容隔振器較另外兩種策略而言具有明顯優(yōu)勢。

圖10 三種半主動慣容隔振器的絕對位移和絕對位移傳遞率對比圖

從圖11可以看出，當(dāng)最大慣質(zhì)比δmax為固定值時，隨著最小慣質(zhì)比δmin的減小，天棚半主動慣容隔振器的高頻帶絕對位移傳遞率也減小。整體上看，天棚半主動慣容隔振器的絕對位移峰值以及絕對位移傳遞率峰值高于RARV與RAAV半主動慣容隔振器，隔振頻率介于二者之間且更接近隔振頻率較低的RAAV半主動慣容隔振器，在高頻帶的絕對位移傳遞率明顯低于其他兩種半主動慣容隔振器。所以想要改善系統(tǒng)在高頻的隔振性能，應(yīng)選擇使用天棚半主動慣容隔振器。

(a)絕對位移峰值xmp

5 結(jié) 論

本文根據(jù)天棚慣容器的力學(xué)特性，提出了基于絕對-相對加速度切換控制的天棚慣容控制以達到近似天棚慣容器的效果方法，研究了可變慣質(zhì)系數(shù)對系統(tǒng)隔振性能的影響規(guī)律。通過與被動慣容隔振器、RARV與RAAV半主動慣容隔振器進行對比分析，展現(xiàn)了本結(jié)構(gòu)在高頻隔振性能上的優(yōu)勢。研究結(jié)果如下：

(1)提出了天棚慣容控制策略，該控制策略下系統(tǒng)為分段動力學(xué)系統(tǒng)，使用平均方法解得其動態(tài)響應(yīng)，數(shù)值結(jié)果驗證表明，采用平均法求得的近似解析解可以代表實際的動態(tài)響應(yīng)。

(2)天棚半主動慣容隔振器的低頻隔振性能(絕對位移峰值，絕對位移傳遞率峰值和隔振頻帶)與最大慣質(zhì)系數(shù)相關(guān)，高頻隔振性能(高頻帶絕對位移傳遞率)與最小慣質(zhì)系數(shù)更為相關(guān)。

(3)天棚半主動慣容隔振器在高頻的隔振性能與δ=δmin的被動慣容隔振器一致。三種半主動慣容隔振器中，天棚半主動慣容隔振器的高頻隔振性能最佳，當(dāng)其最小慣質(zhì)系數(shù)δmin趨近于0時，其高頻傳遞率趨于0。

(4)天棚半主動慣容隔振器的隔振頻帶較被動慣容隔振器、RARV半主動慣容隔振器更寬，接近RAAV半主動慣容隔振器；高頻帶絕對位移傳遞率普遍低于其他三者。但絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值僅低于被動隔振器，高于RARV與RAAV半主動慣容隔振器。