陳 垣，張 波，謝 帆，丘東元，陳艷峰

（華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東省廣州市 510640）

0 引言

進入21世紀以來，電力電子裝置在電力系統(tǒng)發(fā)電側(cè)、輸電側(cè)及用電側(cè)的滲透率逐年增加，電力系統(tǒng)呈現(xiàn)出電力電子化的趨勢［1-3］。然而，電力電子裝置固有的低慣性、快速性等特性，改變了以同步機為主導(dǎo)的傳統(tǒng)電力系統(tǒng)慣性大、時間響應(yīng)長的特征，為電力系統(tǒng)引入了新時間尺度。傳統(tǒng)電力系統(tǒng)設(shè)備的長時間尺度與電力電子裝置的短時間尺度之間發(fā)生耦合，導(dǎo)致了多時間尺度問題。

在電力電子化電力系統(tǒng)中，典型的多時間尺度問題包括電力電子裝置的可靠性評估和電力電子化電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。在電力電子裝置的可靠性評估中，短時間尺度的器件機理模型用于研究器件擊穿過程，模型準確但復(fù)雜；長時間尺度的經(jīng)驗?zāi)Ｐ陀糜谘芯科骷匣^程，模型簡單但不準確。因此，電力電子裝置的可靠性評估，需要同時考慮短時間尺度上的擊穿和長時間尺度上的老化，是典型的多時間尺度問題［4-5］。在電力電子化電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，長時間尺度的機電暫態(tài)模型適用于電路拓撲恒定的傳統(tǒng)電力系統(tǒng)，分析計算簡便。但是，機電暫態(tài)模型無法解釋拓撲周期變化的電力電子裝置引起的次同步振蕩［6］、超同步振蕩［7］、高頻振蕩［8］等現(xiàn)象。短時間尺度模型可以準確描述以上現(xiàn)象，但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在現(xiàn)有計算條件下，無法用于大規(guī)模系統(tǒng)建模。因此，電力電子化電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析也是典型的多時間尺度問題。

以上多時間尺度問題需要通過多時間尺度模型來研究。電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模是一個新的課題，一是電力電子化電力系統(tǒng)的研究剛剛起步，建模還沒有統(tǒng)一的方法；二是電力電子化引入了新的時間尺度，例如器件開關(guān)時間、電路時間尺度，因此，現(xiàn)有電力系統(tǒng)尺度模型不能準確描述其特性，必須建立涵蓋電力電子的多時間尺度模型。根據(jù)所研究問題對計算精度的要求，綜合運用相關(guān)領(lǐng)域知識建立或簡化模型，從而簡化模型分析、減少計算量、提高計算效率，使得模型在現(xiàn)有條件下可分析、可計算［9］。多時間尺度模型是電力電子化電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、控制等的基礎(chǔ)。

多時間尺度模型與現(xiàn)有電力系統(tǒng)單時間尺度模型不同，一是體現(xiàn)在模型更準確和更全面，包含不同時間尺度模型；二是算法更復(fù)雜。若沿用傳統(tǒng)的單時間尺度算法，采用短時間尺度模型的步長計算無法保證長時間尺度模型計算精度，存在收斂性和計算時間過長的問題；而采用長時間尺度模型的步長計算將無法準確描述短時間尺度模型特性。因此，多時間尺度建模過程不僅是一個建模問題，還是一個算法研究課題，多時間尺度建模過程必須考慮其算法。

雖然在電力電子和電力系統(tǒng)領(lǐng)域，多時間尺度建模研究才剛剛起步，但是在物理、化學(xué)等領(lǐng)域，多時間尺度建模已取得了一定進展，形成了一套系統(tǒng)理論，2013年諾貝爾化學(xué)獎就授予了“化學(xué)反應(yīng)仿真中多尺度建模及算法研究”［10-12］。根據(jù)現(xiàn)有多尺度建模理論，在進行多時間尺度建模時，首先需要了解多時間尺度算法的基本原理及其適用范圍，一種多時間尺度算法往往僅適用于具有相應(yīng)性質(zhì)的多時間尺度模型；然后，需要根據(jù)不同時間尺度模型之間的相關(guān)性，獲得多時間尺度模型的性質(zhì)；最后，需要綜合考慮模型和算法的特點，為模型選擇適用的算法，以實現(xiàn)模型和算法的配合。例如，在多時間尺度算法中，諧波平衡法適用于存在周期性的系統(tǒng)，對于周期變化的多時間尺度模型，可以選擇諧波平衡法進行簡化和求解，以實現(xiàn)模型和算法的配合。

本文的目的在于根據(jù)以上多時間尺度建模理念，分析電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模與算法的關(guān)系，系統(tǒng)地梳理電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模已取得的成果，提出電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度未來研究存在的問題并探討解決思路，為得到電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模的系統(tǒng)理論提供參考。為此，本文基于多時間尺度分析理念，首先分析現(xiàn)有多時間尺度算法及其適用范圍；進而基于相同數(shù)學(xué)形式模型可以采用相同算法計算的準則，將電力電子化電力系統(tǒng)劃分為元器件機理、切換系統(tǒng)、電磁暫態(tài)、機電暫態(tài)4個時間尺度；然后，通過不同時間尺度模型之間的相關(guān)性，探討多時間尺度模型的性質(zhì)，闡明多時間尺度模型與算法的相互制約關(guān)系；最后提出電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模與算法待解決的問題及研究展望。

1 多時間尺度算法

多時間尺度算法實現(xiàn)了不同時間尺度模型之間的融合，是多時間尺度的核心。本章主要介紹了目前常用的多時間尺度算法，包括平均法、預(yù)計算法、漸進法、諧波平衡法和希爾伯特變換法。不同算法的適用范圍不同，在實際應(yīng)用中采用何種算法，應(yīng)依據(jù)多尺度模型的仿真速度、精度和收斂性等確定。

1.1 平均法

平均法是最基本的多時間尺度算法［13-14］。假設(shè)多時間尺度模型的狀態(tài)變量可以分為短時間尺度變量xS和長時間尺度變量xL，則根據(jù)變量時間尺度的不同可以將模型分為2個部分，如式（1）所示。

式中:GLL(xL)和GSS(xS)分別為長、短時間尺度變量受自身的影響；GSL(xL)和GLS(xS)分別為長、短時間尺度變量之間的耦合。

對于式（1）中的多時間尺度模型，目前主要通過步進式算法求解，這類算法的核心是由狀態(tài)變量的當前值推算下一個時刻的值。在進行求解時，為了減少計算量，一般希望長時間尺度變量的時間步長ΔtL遠大于短時間尺度變量的時間步長ΔtS，即

因此，多時間尺度模型求解中存在時間尺度不匹配的問題。以最基本的一階歐拉法為例，在長時間尺度變量的一個時間步長ΔtL內(nèi)，短時間尺度變量xS已經(jīng)進行了M步計算，而長時間尺度變量xL卻沒有對應(yīng)值用于計算。

其中

式中:1≤δ≤M；t0為初始時刻。

同時，在計算長時間尺度變量時，短時間尺度變量有M個時刻的值對應(yīng)，即

平均法是以上問題最基本的解決方法。它在計算長時間尺度變量時，使用短時間尺度變量M個時刻的平均值，即

在計算短時間尺度變量時，使用長時間尺度變量的插值函數(shù)，即

平均法對多時間尺度模型的性質(zhì)不作要求，因此在數(shù)值計算中得到了廣泛應(yīng)用。但是單獨使用平均法僅能進行數(shù)值仿真研究，因此要進行解析分析還需要結(jié)合其他多時間尺度算法。

1.2 預(yù)計算法

預(yù)計算法是另一種多時間尺度數(shù)值算法［12，15］。對于式（1）的多時間尺度模型，如果短時間尺度變量的計算僅和長時間尺度變量xL中的少部分變量x?L有關(guān)，則可以預(yù)先選擇x?L的不同取值，進行預(yù)計算。

然后，將式（8）得到的xS代入耦合項GLS(xS)，得到耦合項和x?L之間的對應(yīng)關(guān)系H(x?L)。

最后，將式（9）代入式（1），就可以消除短時間尺度變量，得到統(tǒng)一時間尺度模型。

預(yù)計算法的效率取決于x?L中包含的變量數(shù)量。當x?L中變量數(shù)量增加時，預(yù)計算法的計算量呈指數(shù)增長。若x?L中包含1個變量，計算量記作m，則在n個變量時，預(yù)計算法的計算量為mn。因此，預(yù)計算法僅適用于長、短時間尺度模型計算相對獨立的情況。在多時間尺度建模和計算中，需要根據(jù)系統(tǒng)的性質(zhì)來決定是否使用預(yù)計算法。

1.3 漸進法

在多時間尺度模型中，當長、短時間尺度模型的參數(shù)有明顯差異時，可以使用漸進法［16-17］。漸進法的標準方程形式可以表示為:

式中:G(x)和F(x)表示與變量x相關(guān)的一般通式；ε為表征長、短時間尺度模型參數(shù)差異的變量且ε?1，例如，對于周期運行的電力電子裝置，可以選擇開關(guān)周期T作為ε。

根據(jù)式（11）所示的標準方程可構(gòu)造漸進解，即

式 中:x0為x展 開 的0次 項；xγ為x展 開 的γ次 項；O(?)表示取同階無窮小運算。

將漸進解代入式（11），忽略ε的n+1次項得到:

匹配ε的同次項，對于x0和xn可以得到:

F（x）和G（x）為線性函數(shù)時，式（15）可簡化為:

在 漸進法 處 理 后，計算xn只需要x0到xn?1，因此模型可以從x0到xn逐級求解。同時，各級模型均不含ε，為單一時間尺度模型。漸進法將單個多時間尺度問題轉(zhuǎn)化為多個單時間尺度問題，簡化了模型的分析和計算。

運用漸進法有2個前提:首先，模型可轉(zhuǎn)化為式（11）的標準形式；其次，如式（12）所示，漸進解的收斂速度與ε有關(guān)，為減少模型展開階數(shù)，長、短時間尺度模型的參數(shù)差異要足夠明顯，即ε要足夠小。

1.4 諧波平衡法

周期變化的多時間尺度系統(tǒng)可以采用諧波平衡法進行分析［18-19］。一個典型的周期時變線性系統(tǒng)可以表示為:

式中:A（t）和B（t）為周期為T的時變矩陣；x(t)和u(t)分別為狀態(tài)向量和輸入向量。

對式（17）中的x（t）、A（t）和B（t）進行傅里葉分解可得（為方便書寫，本節(jié)以下式中省略了變量t）:

式中:xave、Aave、Bave為傅里葉展開的0次項；xak和xbk為傅里葉級數(shù)的第k次諧波系數(shù)；Aak、Abk、Bak、Bbk為傅里葉展開的第k次系數(shù)。

角頻率ω滿足式（21），即

將式（18）—式（20）代入式（17），并對三角函數(shù)的系數(shù)進行比較可以得到如式（22）—式（24）所示表達式。

實際使用諧波平衡法時，只能選擇式（18）—式（20）中的前N次諧波進行分析，因此存在截斷誤差。通過諧波平衡法，一個周期時變線性系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化為時不變系統(tǒng)，但狀態(tài)變量數(shù)量增加到原先的2N+1倍。應(yīng)用諧波平衡法時，需要權(quán)衡模型結(jié)構(gòu)簡化和狀態(tài)變量數(shù)量增加對計算和分析的影響。

1.5 希爾伯特變換法

希爾伯特變換法原本是通信領(lǐng)域一種信號處理方法。近年來，該方法也開始用于電力系統(tǒng)多時間尺度仿真［20］。希爾伯特變換H(x(t))定義為原始信號x（t）和1/（πt）的卷積。

通過希爾伯特變換，信號正頻率部分相位滯后π/2，負頻率部分相位提前π/2，幅值保持不變。對式（17）中的狀態(tài)向量x（t）和輸入向量u（t）進行希爾伯特變換可以構(gòu)造對應(yīng)的解析函數(shù)z(t)和v(t)。

由于jH(x(t))相較于x（t），正頻率部分相位相同，負頻率部分相位相差π，因此，解析函數(shù)與原函數(shù)相比，正頻率部分變?yōu)樵瓉淼?倍，負頻率部分相互抵消。如果解析函數(shù)中所有頻率分量集中在一個中心頻率附近，則可以通過移頻函數(shù)ejωt進行頻率偏移，將狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移到低頻段，進而增加仿真步長，減少計算量。但是，當解析函數(shù)的頻率分量較為分散時，不存在唯一的中心頻率，在頻率偏移后狀態(tài)變量中依舊存在高頻量，此時使用希爾伯特變換并不能減少計算量。

2 不同時間尺度電力電子化電力系統(tǒng)模型

2.1 時間尺度劃分

清晰準確的時間尺度劃分標準是多時間尺度建模的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)主要由旋轉(zhuǎn)電機組成，可以通過機電和電磁過程時間常數(shù)的較大差異，準確區(qū)分電磁暫態(tài)和機電暫態(tài)2個尺度。然而，在電力電子化電力系統(tǒng)中，隨著電力電子器件的引入，單純以時間尺度進行劃分，并不能得到清晰的結(jié)果。例如，大功率的晶閘管關(guān)斷時間為數(shù)十微秒，而電力電子裝置如逆變器的開關(guān)周期最小也為數(shù)十微秒，按照自然時間劃分，兩者應(yīng)為相同時間尺度，但兩者的模型和研究方法截然不同。時間尺度的劃分標準應(yīng)適應(yīng)研究的需要，目前各研究領(lǐng)域主要針對不同模型進行研究，而非通過自然時間尺度劃分。此外，現(xiàn)有多尺度算法在進行不同時間尺度的融合時，主要利用不同尺度模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)而非自然時間特性。因此，在劃分時間尺度時，相比于自然時間尺度，以模型方程的數(shù)學(xué)形式為基準更利于開展多時間尺度研究，以及實現(xiàn)模型與算法的配合。

根據(jù)模型數(shù)學(xué)方程的形式不同，按照是否包含元器件機理模型、是否使用平均法以及是否使用相量法，電力電子化電力系統(tǒng)模型被劃分為元器件機理、切換系統(tǒng)、電磁暫態(tài)和機電暫態(tài)4個時間尺度模型。其中，元器件機理尺度模型包含元器件機理模型，切換系統(tǒng)尺度模型不包含元器件機理模型但沒有使用平均法和相量法，電磁暫態(tài)尺度模型在切換系統(tǒng)尺度模型的基礎(chǔ)上通過平均法得到，機電暫態(tài)尺度模型在電磁暫態(tài)尺度模型的基礎(chǔ)上通過相量法得到。采用該尺度劃分標準具有以下3點優(yōu)勢。

1）各時間尺度模型都有明確的物理意義和數(shù)學(xué)特征。元器件機理尺度模型反映器件的工作機理，因而具有高度非線性。切換系統(tǒng)尺度模型反映電力電子裝置切換運行的本質(zhì)，模型結(jié)構(gòu)隨半導(dǎo)體器件的開關(guān)而變化。電磁暫態(tài)尺度模型反映電力電子裝置的低頻特性，模型結(jié)構(gòu)不隨時間發(fā)生改變。機電暫態(tài)尺度模型反映穩(wěn)態(tài)下電力電子裝置運行特性，穩(wěn)態(tài)下的電力系統(tǒng)電壓和電流按照正弦規(guī)律變化，因此可以使用相量描述。

2）不同時間尺度模型之間的關(guān)聯(lián)性緊密。在元器件機理尺度模型中，可以用矩形波代替實際開關(guān)器件波形，得到切換系統(tǒng)尺度模型。在切換尺度模型中，當切換周期趨近0時，其狀態(tài)矩陣和輸入矩陣為各子模態(tài)狀態(tài)矩陣和輸入矩陣的加權(quán)平均，得到電磁暫態(tài)尺度模型。在電磁暫態(tài)尺度模型中，當電力系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，可以通過Park變換將靜止坐標系下按照正弦形式變化的電壓和電流瞬時值轉(zhuǎn)變?yōu)閐q0旋轉(zhuǎn)坐標系下只包含直流分量的相量。

3）各時間尺度模型均有一定的研究基礎(chǔ)，這有助于獲得包含這些時間尺度的多時間尺度模型的性質(zhì)。例如，當半導(dǎo)體器件和外電路參數(shù)確定時，半導(dǎo)體器件開關(guān)過程的電壓和電流波形基本只受關(guān)斷電壓和導(dǎo)通電流的影響；在周期切換情況下，切換系統(tǒng)尺度模型的狀態(tài)變量的紋波中僅包含切換頻率整數(shù)倍的諧波成分。這些已知的模型性質(zhì)是應(yīng)用多時間尺度算法的基礎(chǔ)。

2.2 元器件機理尺度模型

電力電子裝置由電阻器、電感器、電容器、半導(dǎo)體器件等組成。如果在構(gòu)建模型時按照裝置內(nèi)器件的工作機理建模，而非將器件視為理想器件，就可以得到電力電子裝置的元器件機理尺度模型。在電力電子裝置的所有器件中，半導(dǎo)體的工作機理復(fù)雜，對電力電子裝置性能影響大，受到了較多關(guān)注。在半導(dǎo)體器件中，絕緣柵雙極型晶體管（IGBT）器件由于可耐受電壓高、電流承載能力強，廣泛應(yīng)用于電力電子裝置中，IGBT工作機理模型也成為研究重點。

Hefner模型是經(jīng)典的IGBT工作機理模型，由1個線 性 電 容Cgs，4個非線性 電 容Cgd、Cds、Ccer、Ceb，1個非線性電阻Rb和4個受控電流源Imos、Imult、Icss、Ibss組成的電路描述IGBT的工作機理［21-23］。如果用Hefner IGBT機理模型表示半橋型逆變器中的IGBT器件，就可以得到半橋型逆變器的元器件機理尺度模型，如圖1所示。圖中，除Hefner IGBT模型替換的IGBT器件外，Vdc為逆變器直流側(cè)母線電壓，D1和D2為IGBT器件反并聯(lián)二極管，L為負載電感，RL為負載電阻。

圖1 半橋型逆變器元器件機理尺度模型Fig.1 Mechanism scale model of half-bridge inverter components

2.3 切換系統(tǒng)尺度模型

在電力電子裝置中，IGBT等半導(dǎo)體器件通常工作在截止區(qū)或飽和區(qū)。通過實驗或者元器件機理尺度模型仿真，可以得到IGBT集射極電壓vCE和器件電流iC的波形如圖2中紅色實線所示，包含開通、恒導(dǎo)通、關(guān)斷和恒關(guān)斷4個過程。其中，開通和關(guān)斷過程的持續(xù)時間遠小于恒導(dǎo)通和恒關(guān)斷2個過程。

圖2 IGBT及理想開關(guān)外特性Fig.2 External characteristic of IGBT and ideal switch

從開關(guān)器件外特性的角度來看，如果忽略開關(guān)過程、器件導(dǎo)通電壓降和關(guān)斷漏電流，則可以用圖2中綠色實線代表的理想開關(guān)外特性取代實際IGBT器件的外特性。在恒導(dǎo)通階段，器件兩端電壓為0，視為短路。在恒關(guān)斷階段，器件電流為0，視為斷路。當器件處于不同狀態(tài)時，電路的拓撲結(jié)構(gòu)也會相應(yīng)變化，這一現(xiàn)象可以通過切換系統(tǒng)模型來描述。切換系統(tǒng)是系統(tǒng)和控制學(xué)科的一個專用名詞，它是一個由連續(xù)變量和離散事件組成的混合系統(tǒng)，電力電子變換器是一個典型的切換系統(tǒng)［24］。針對不同的拓撲結(jié)構(gòu)分別列寫狀態(tài)空間方程，得到切換系統(tǒng)尺度模型［25-26］。

式中:Aμ為系統(tǒng)在模態(tài)μ下的狀態(tài)矩陣；Bμ為系統(tǒng)在模態(tài)μ下的輸入矩陣；sμ(t)為模態(tài)μ的開關(guān)函數(shù)，當系統(tǒng)處于模態(tài)μ時其取值為1，否則為0；ξ為系統(tǒng)的最大模態(tài)數(shù)。

2.4 電磁暫態(tài)尺度模型

對于運行在周期切換狀態(tài)的電力電子裝置，如果認為切換周期T趨于0，則式（27）表示的時變切換系統(tǒng)模型可以轉(zhuǎn)變?yōu)闀r不變的電磁暫態(tài)尺度模型，分析和計算都相對簡單［27-28］。用x*（t）表示電磁暫態(tài)尺度模型的狀態(tài)變量，如式（28）所示。

電磁暫態(tài)尺度模型可以表示為:

其中，狀態(tài)矩陣Aave和輸入矩陣Bave為各子模態(tài)狀態(tài)矩陣Aμ和輸入矩陣Bμ按照占空比dμ的加權(quán)平均。因此，該模型通常被稱為狀態(tài)空間平均模型［29］。

2.5 機電暫態(tài)尺度模型

其中

當電網(wǎng)電壓和電流按照正弦規(guī)律變化時，Park變換后的模型中不含周期分量，相較于電磁暫態(tài)尺度模型的瞬時值，獲得機電暫態(tài)尺度模型的相量的計算量更小。但是，當電力系統(tǒng)處于暫態(tài)時，由于三相狀態(tài)變量不再按照正弦規(guī)律變化，Park變換并不能消除周期分量，使用機電暫態(tài)尺度模型也不能簡化計算。

3 電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度模型

根據(jù)多時間尺度模型的性質(zhì)，為模型選擇合適的多時間尺度算法，實現(xiàn)模型中不同時間尺度的融合是多時間尺度建模的關(guān)鍵。本章主要介紹了目前常用的多時間尺度模型，按照時間尺度的不同，可以分為元器件機理-切換系統(tǒng)多時間尺度模型、切換系統(tǒng)-電磁暫態(tài)多時間尺度模型和電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型3類。其中，元器件機理-切換系統(tǒng)多時間尺度模型主要采用預(yù)計算法處理，切換系統(tǒng)-電磁暫態(tài)多時間尺度模型主要通過漸進法和諧波平衡法處理，電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型主要通過希爾伯特變換和平均法處理。

3.1 元器件機理-切換系統(tǒng)多時間尺度模型

如2.3節(jié)所述，元器件機理尺度模型和切換系統(tǒng)尺度模型僅通過開關(guān)器件的電壓和電流相關(guān)聯(lián)，其他變量之間沒有直接關(guān)系，2個時間尺度模型的計算相對獨立。因此，在處理元器件機理-切換系統(tǒng)多時間尺度模型時，可以使用預(yù)計算法得到實際開關(guān)器件的外特性，再代入切換系統(tǒng)尺度模型中。

針對半橋型逆變器，文獻［31］提出了一種多時間尺度模型，如圖3所示。圖中:vS1和vS2為開關(guān)器件在開關(guān)過程中的電壓；vSat1和vSat2為開關(guān)器件在導(dǎo)通時的電壓降；iS1和iS2為開關(guān)器件的電流。在仿真過程中，該模型首先通過實驗測量或者預(yù)計算法得到不同關(guān)斷電壓和導(dǎo)通電流下開關(guān)器件的外特性。然后，通過插值法為電壓源和電流源賦值。最后，根據(jù)開關(guān)器件狀態(tài)的變化，投入不同的電壓源和電流源以模擬開關(guān)器件的實際外特性。

圖3 半橋型逆變器及其多時間尺度模型Fig.3 Half-bridge inverter and its multi-time-scale model

在文獻［31］所提出的多時間尺度模型的基礎(chǔ)上，文獻［32］進一步認為IGBT開關(guān)過程中的電壓和電流波形可以使用折線替代，因此不需要獲得所有時刻電壓和電流的值，只需要獲得折線的參數(shù)與關(guān)斷電壓和導(dǎo)通電流的關(guān)系即可。文獻［33］則通過實驗觀察，近似得到了IGBT關(guān)斷過程中電壓和電流波形與關(guān)斷電壓和導(dǎo)通電流之間的解析表達式，比單純的折線模型更加符合實際。

以上元器件機理-切換系統(tǒng)多時間尺度模型可以實現(xiàn)開關(guān)器件外特性的等效，比單純的切換系統(tǒng)尺度模型更加精確。同時，模型中不直接包含元器件機理模型，結(jié)構(gòu)較為簡單。因此，這類多尺度模型逐漸被應(yīng)用到電路仿真［34］和硬件在環(huán)仿真［35-36］等方面。

3.2 切換系統(tǒng)-電磁暫態(tài)多時間尺度模型

如2.4節(jié)所述，在開關(guān)周期T趨于0時，切換系統(tǒng)尺度模型轉(zhuǎn)變?yōu)殡姶艜簯B(tài)尺度模型。因此，可以通過漸進法將切換系統(tǒng)尺度模型（式（27））分為2個部分。

等號右側(cè)前2項與電磁暫態(tài)尺度模型相同，對應(yīng)漸進法標準方程式（11）中的G（x）；后2項在開關(guān)周期T趨于0時為0，對應(yīng)漸進法標準方程式（11）中的εF（x）。

對狀態(tài)向量進行漸進展開并保留前2項。

式中:xave（t）為狀態(tài)向量中與開關(guān)周期T無關(guān)的分量；xrip（t）為狀態(tài)向量中開關(guān)周期T的一階向量。

將式（35）代入式（34）并按照開關(guān)周期T的次數(shù)進行比較可以得到基于漸進法的切換系統(tǒng)-電磁暫態(tài)多時間尺度模型［37-39］。

與原切換系統(tǒng)尺度模型相比，該多時間尺度模型方程中的狀態(tài)矩陣均為時不變矩陣Aave，模型結(jié)構(gòu)更加簡單。同時，模型中用xrip（t）表示狀態(tài)變量的紋波，計算結(jié)果比電磁暫態(tài)尺度模型更加精確。

除漸進法外，由于電力電子裝置具有周期切換運行的性質(zhì)，也可以通過諧波平衡法構(gòu)造多時間尺度模型，該模型一般也被稱為廣義狀態(tài)空間平均模型［40-41］或多頻平均模型［42-43］。為簡化分析過程，假設(shè)切換系統(tǒng)中僅包含2個模態(tài)，且切換系統(tǒng)尺度模型中的開關(guān)函數(shù)滿足:

式中:d為占空比。

則開關(guān)函數(shù)s1（t）的傅里葉展開可以表示為:

將式（40）代入式（27）可以得到式（19）和式（20）所示矩陣的傅里葉展開系數(shù)，即

將式（41）—式（44）代回式（22）—式（24）可得基于諧波平衡法的多時間尺度模型。

在以上2種切換系統(tǒng)-電磁暫態(tài)多時間尺度模型中，漸進法和諧波平衡法分別使用三角波和正弦波來描述紋波。由于實際電力電子裝置的狀態(tài)變量波形更加接近三角波，基于漸進法的模型對紋波的描述更加準確。然而在平均值方面，基于諧波平衡法的模型對電磁暫態(tài)模型獲得的平均值進行了修正，因此計算結(jié)果更加準確。目前這2種多時間尺度模型主要用于電力電子裝置的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計［44-46］。

3.3 電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型

如2.5節(jié)所述，當電力系統(tǒng)處于暫態(tài)時，其狀態(tài)變量不再按照正弦規(guī)律變化，Park變換不再適用。然而，當暫態(tài)沖擊未對電力系統(tǒng)的頻率穩(wěn)定產(chǎn)生明顯影響時，電力系統(tǒng)中狀態(tài)變量的頻率分量依舊集中在電網(wǎng)頻率附近，因此可以使用希爾伯特變換構(gòu)造電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型［47-48］。

假設(shè)電力系統(tǒng)的原始狀態(tài)方程為:

此時A和B為時不變矩陣。

將式（26）代入式（45）可以得到希爾伯特變換后的解析函數(shù)對應(yīng)的狀態(tài)方程為:

電力系統(tǒng)中變量的頻率分量集中在電網(wǎng)頻率附近，因此通過頻率轉(zhuǎn)移可以將變量轉(zhuǎn)化為低頻量。

頻率轉(zhuǎn)移前后解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足:

將式（48）代入式（46）可以得到電力系統(tǒng)的希爾伯特模型，即

與原始的狀態(tài)向量x（t）和輸入向量u（t）相比，經(jīng)過頻率轉(zhuǎn)移的解析函數(shù)z?(t)和v?(t)中僅包含低頻量，因此仿真計算時可以增大步長，加快運算。同時，希爾伯特變換法并不要求系統(tǒng)變量是正弦函數(shù)，因此可以分析非穩(wěn)態(tài)電力系統(tǒng)。

在傳統(tǒng)希爾伯特模型的基礎(chǔ)上，文獻［49-50］通過將希爾伯特變換的轉(zhuǎn)移頻率設(shè)定為一個獨立變量，根據(jù)模型計算結(jié)果，自適應(yīng)地調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)移頻率進一步減少了模型計算量。文獻［51-52］對系統(tǒng)中的變量進行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，然后分別進行頻率轉(zhuǎn)移，所建立的模型更加適用于包含諧波的電力系統(tǒng)。文獻［53］將諧波平衡法與希爾伯特變換法相結(jié)合，把系統(tǒng)的狀態(tài)變量分解為傅里葉級數(shù)，然后針對不同頻段的模型采用不同轉(zhuǎn)移頻率的希爾伯特變換進行處理，所建立的模型更加適用于包含模塊化多電平變換器（MMC）等復(fù)雜電力電子裝置的電力系統(tǒng)。

另一種電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型則主要基于平均法［54-55］。在建模過程中，對電力電子裝置采用電磁暫態(tài)尺度模型，按照小時間步長計算；對于同步發(fā)電機、輸電線路等傳統(tǒng)裝備采用機電暫態(tài)尺度模型，按照大時間步長計算。然后，在不同時間尺度模型之間設(shè)置接口電路如圖4所示。圖中，等效電壓源vL和阻抗ZL組成了機電暫態(tài)尺度模型的戴維南等效電路，等效電壓源vS和阻抗ZS組成了電磁暫態(tài)尺度模型的戴維南等效電路。

圖4 不同時間尺度模型接口電路Fig.4 Interface circuit of different time-scale models

當選擇傳輸線作為機電暫態(tài)尺度模型和電磁暫態(tài)尺度模型的分界點時，戴維南等效電路中的阻抗ZL和ZS均為傳輸線的特征阻抗［55］，但等效電壓源的值會隨著模型中狀態(tài)變量的變化而變化。當機電暫態(tài)尺度模型和電磁暫態(tài)尺度模型計算所采用的時間步長不同時，戴維南等效電路的參數(shù)更新也是不同步的，這一問題需要通過平均法解決。

在機電暫態(tài)尺度模型的一個長時間步長ΔtL內(nèi)，電磁暫態(tài)尺度模型經(jīng)過M個短時間步長ΔtS。因此，對機電暫態(tài)尺度模型而言，電磁暫態(tài)尺度模型的戴維南等效電路需要進行參數(shù)平均。

對電磁暫態(tài)尺度模型而言，機電暫態(tài)尺度模型的戴維南等效電路參數(shù)需要通過外插法計算。

對于圖4所示接口電路，除戴維南等效電路外，還可使用諾頓等效電路，兩者之間沒有本質(zhì)區(qū)別。

以上2種電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型除單獨應(yīng)用外，還可以組合使用，對傳統(tǒng)電力系統(tǒng)部分通過希爾伯特變換建模，對電力電子裝置部分通過平均法的接口電路處理。這進一步減少了多時間尺度模型的計算量，并解釋了實際電力系統(tǒng)中出現(xiàn)的次同步諧振等現(xiàn)象［56］。

4 多時間尺度建模及算法待解決的問題及研究展望

雖然目前電力電子化電力系統(tǒng)的多時間尺度建模及算法已經(jīng)取得了一定成果，但是依舊有待解決的問題。本章對這些問題進行了歸納，并對解決問題的途徑進行了展望。

4.1 多時間尺度建模及算法待解決的問題

目前，多時間尺度建模的問題主要表現(xiàn)為缺少通用的多時間尺度模型?，F(xiàn)有的多時間尺度模型僅能考慮2個相鄰的時間尺度的相互影響，不一定能準確描述實際的電力電子化電力系統(tǒng)。例如，在分析電力電子化電力系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般使用電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型；對于電力電子裝置使用電磁暫態(tài)尺度的狀態(tài)空間平均模型，并不考慮電力電子裝置的切換運行。然而，在開關(guān)頻率較低時，電力電子裝置的電磁暫態(tài)尺度模型和切換系統(tǒng)尺度模型的穩(wěn)定性分析結(jié)果會有較大差異［57］。現(xiàn)有多時間尺度模型無法兼顧機電暫態(tài)、電磁暫態(tài)和切換系統(tǒng)3個時間尺度，無法評估這種模型誤差對電力電子化電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的影響。而缺乏通用的多時間尺度模型的根本原因，在于缺少通用的多時間尺度算法以及對多時間尺度模型的性質(zhì)認識不足。

在多時間尺度算法方面，目前用于電力電子化電力系統(tǒng)的幾種多時間尺度算法，除平均法之外，均對模型性質(zhì)有特殊要求。預(yù)計算法要求短時間尺度變量的計算僅與少量長時間尺度變量有關(guān)；漸進法要求長、短時間尺度模型的參數(shù)有明顯差異，且系統(tǒng)方程可以轉(zhuǎn)化為標準形式；諧波平衡法僅適用于周期系統(tǒng)；希爾伯特變換則要求系統(tǒng)中狀態(tài)變量的頻率成分集中在一個中心頻率附近。而平均法雖然對模型的性質(zhì)不做要求，卻只能用于數(shù)值計算，無法進行解析分析。以上多時間尺度算法的使用限制，導(dǎo)致一種算法僅能用于具有相同性質(zhì)的模型中。然而，由于電力電子化電力系統(tǒng)的4個時間尺度模型的性質(zhì)并不相同，現(xiàn)有多時間尺度算法并不通用，構(gòu)建多時間尺度模型亟需一種通用的多時間尺度算法。

在多時間尺度模型性質(zhì)方面，在電力電子化電力系統(tǒng)4個尺度的模型中，對切換系統(tǒng)尺度模型的性質(zhì)已經(jīng)有了一定的認識，相應(yīng)的切換系統(tǒng)-電磁暫態(tài)多時間尺度模型也可以通過漸進法和諧波平衡法等多尺度解析算法進行分析。但是，對元器件機理-切換系統(tǒng)多時間尺度模型和電磁暫態(tài)-機電暫態(tài)多時間尺度模型的性質(zhì)則存在認識不足的問題。在這2類多時間尺度模型中，電力電子器件工作機理的高度非線性和實際電力系統(tǒng)復(fù)雜的成分組成，阻礙了對模型的解析性質(zhì)的認識。因此，目前對這2種多時間尺度模型，僅能通過多時間尺度數(shù)值算法計算，而不能通過多時間尺度解析算法分析。對于多時間尺度模型性質(zhì)的認識不足限制了多時間尺度算法的應(yīng)用。因此，電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度研究亟待加深對于多時間尺度模型性質(zhì)的認識。

4.2 多時間尺度建模及算法研究展望

得到一個通用的多時間尺度模型，包含電力電子化電力系統(tǒng)的所有時間尺度，以分析各種因素對所研究問題的影響，將是電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度研究的最終目標。要實現(xiàn)這一目標，可以從以下3點入手。

1）針對多時間尺度算法問題，相較于多時間尺度算法研究，多空間尺度算法的研究更為成熟，因此可以借鑒多空間尺度算法，研究適合于電力電子化電力系統(tǒng)的多時間尺度算法。例如，將多分辨率分析法中的小波分析法應(yīng)用到電力電子變換器的多時間尺度建模中［58］。

2）針對電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模問題，可以借鑒其他學(xué)科多時間尺度建模理論，如將物理、化學(xué)領(lǐng)域的Ginzburg-Landau相變模型［59］、Kohn-Sham方程［60］、多尺度復(fù)雜化學(xué)系統(tǒng)模型等成熟的多尺度模型［10］，推廣到電力電子化電力系統(tǒng)中。

3）針對多時間尺度模型和算法相互依賴的問題，可以根據(jù)可計算理論，在現(xiàn)有計算條件下考慮模型的可計算性，確定多時間尺度建模方法，從而提出具有一般意義的多時間尺度模型和算法的耦合分析理論。

5 結(jié)語

電力電子化是電力系統(tǒng)未來的發(fā)展方向，然而電力電子裝置的大規(guī)模應(yīng)用，會導(dǎo)致傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的長時間尺度和電力電子裝置的短時間尺度發(fā)生耦合，產(chǎn)生多時間尺度問題。為了準確描述多時間尺度特性，需要建立電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度模型。

本文基于多時間尺度分析理念，首先分析現(xiàn)有多時間尺度算法的基本原理及其適用范圍；進而將電力電子化電力系統(tǒng)分為4個時間尺度；然后，通過不同時間尺度模型之間的關(guān)聯(lián)性，探討多時間尺度模型的性質(zhì)，具體展示了多時間尺度模型與多時間尺度算法的相互制約關(guān)系；最后，提出電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模及算法待解決的問題及研究展望。本文得到以下結(jié)論。

1）電力電子化電力系統(tǒng)的多時間尺度分析與傳統(tǒng)的單一時間尺度研究有根本的不同，不僅要建立多時間尺度模型，且建模過程必須要考慮計算方法，即模型和算法不能單獨存在。

2）針對多時間尺度分析中模型與算法相配合的需要，電力電子化電力系統(tǒng)的時間尺度劃分應(yīng)以模型的數(shù)學(xué)形式為基準，而非以自然時間尺度為基準。具體而言，電力電子化電力系統(tǒng)可以劃分為元器件機理、切換系統(tǒng)、電磁暫態(tài)、機電暫態(tài)4個時間尺度。

3）目前亟須提出通用的多時間尺度模型算法、加深對于多時間尺度模型性質(zhì)的認識，以得到通用的多時間尺度模型。為解決以上問題，可以借鑒其他領(lǐng)域的多尺度研究成果，探索多空間尺度算法、可計算理論在電力電子化電力系統(tǒng)多時間尺度建模中的應(yīng)用。