梁國(guó)茂 張?zhí)斐? 賀惜晨

【摘要】? ? 在軍事領(lǐng)域，人們通過(guò)對(duì)HPM（高功率微波）大氣擊穿研究，希望改進(jìn)現(xiàn)有雷達(dá)系統(tǒng)。本論文以大氣中閃電現(xiàn)象依托，來(lái)討論介質(zhì)擊穿算法的效率，首先簡(jiǎn)述介質(zhì)擊穿分析模型，分析有限差分法，通過(guò)優(yōu)化有限差分法以提高介質(zhì)擊穿算法的效率。建立介質(zhì)概率擊穿模型，討論在介質(zhì)中電樹(shù)枝如何隨機(jī)形成的，通過(guò)實(shí)驗(yàn)求解介質(zhì)擊穿路勁，使用matlab工具編寫(xiě)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的有限差分法算法通過(guò)文獻(xiàn)資料與實(shí)驗(yàn)，本文最終完成對(duì)有限差分法的優(yōu)化，達(dá)到提高介質(zhì)擊穿算法的效率的目的。

【關(guān)鍵詞】? ? 有限差分法（FDM）? ? 介質(zhì)擊穿路徑? ? MATLAB? ? 邊值處理

世界上主要國(guó)家都以發(fā)展HPM武器而研究HPM脈沖壓縮技術(shù)，如俄羅斯TOMSK核物理研究所，美國(guó)空軍研究實(shí)驗(yàn)室。與HPM脈沖壓縮技術(shù)相關(guān)的HPM大氣擊穿技術(shù)可以用于提升現(xiàn)有雷達(dá)技術(shù)。依據(jù)這一強(qiáng)有力的背景，本文選取電磁場(chǎng)分布的熱門(mén)話題，提升介質(zhì)擊穿算法效率，在電磁學(xué)中常使用有限差分法在處理電磁場(chǎng)分布方法，使用MATLAB工具進(jìn)行介質(zhì)擊穿算法實(shí)現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)中優(yōu)化路徑預(yù)測(cè)算法，根據(jù)實(shí)驗(yàn)與理論確定最終優(yōu)化方法。

一、研究方法與研究模型

1.1有限差分法簡(jiǎn)介

有限差分法（FDM，全稱(chēng)finite difference method）本質(zhì)思想是離散化場(chǎng)（域），在格點(diǎn)中運(yùn)用差分原理，將微風(fēng)方程通過(guò)具體運(yùn)算來(lái)處理，是一種經(jīng)典的應(yīng)用。另外在時(shí)間工程中，通常不需要解析解，只要數(shù)字解即可解決工程問(wèn)題，以此近似替代是有效的，并且被經(jīng)常使用。

在格點(diǎn)模型中使用足夠小的方格，將方格組成網(wǎng)絡(luò)標(biāo)示場(chǎng)（域），使用φ0、φ1、φ2、φ3、φ4代表五個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)。當(dāng)ρ=0時(shí)，便可以得到拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分公式（1）。

公式（1）是在格點(diǎn)相同，即每個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)是相同的，忽略距離參數(shù)的公式，如果是非均勻格點(diǎn)劃分，則只需加入距離因子即可。因?yàn)樵诒菊撐牡膶?shí)驗(yàn)中，方格邊長(zhǎng)足夠小，可以忽略距離的影響，可以不用考慮其影響。下面介紹使用有限差分法近似求解固定邊界的問(wèn)題進(jìn)行求解。

在格點(diǎn)模型中，除邊界外的點(diǎn)都有一個(gè)五點(diǎn)方程，由這些方程組成方程組，這些差分方程組便可以標(biāo)示整個(gè)場(chǎng)或域。由高斯-賽德?tīng)柕梢酝茖?dǎo)出公式（2），公式中的（i，j）是坐標(biāo)，n是迭代次數(shù)。該公式即是基本的有限差分迭代次數(shù)。

在matlab中可以使用公式（3）進(jìn)行計(jì)算。

由于有限差分解是微分的近似解，經(jīng)過(guò)多次迭代后，場(chǎng)（域）中每個(gè)點(diǎn)的前后兩次計(jì)算值的誤差小于修正值時(shí)，可以終止計(jì)算，即獲得近似解。迭代終止條件，如公式（4）所示。公式中w是修正值，是最大允許的誤差，即迭代終止條件，本實(shí)驗(yàn)采用1×10-5。

1.2介質(zhì)擊穿的概率模型

1.2.1四個(gè)點(diǎn)的閃電概率模型

BDM模型引入概率因子，從概率方面模擬介質(zhì)被擊穿的過(guò)程。

本論文討論二維平面的情況，假設(shè)其中三邊電勢(shì)為零，則另一邊電勢(shì)為縱向格點(diǎn)數(shù)量。擊穿的格點(diǎn)就是介質(zhì)擊穿路徑。

公式中P是該點(diǎn)被擊穿的概率，φ是該點(diǎn)電勢(shì)。因?yàn)閳?chǎng)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都存在被擊穿的可能，所以隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)0到1的數(shù)，使用該數(shù)值所在概率區(qū)間，決定距離最近的四個(gè)點(diǎn)中哪個(gè)點(diǎn)被擊穿。

1.2.2八個(gè)點(diǎn)的改進(jìn)模型

另外四個(gè)點(diǎn)的距離相同，但是其距離是最近的四個(gè)點(diǎn)的距離的倍。增加計(jì)算的有效信息量，可以使用周?chē)噜彽陌藗€(gè)點(diǎn)。實(shí)際運(yùn)算中只要引入距離參數(shù)即可將公式（4）改寫(xiě)為公式（6），假設(shè)格點(diǎn)距離是單位距離，則公式（6）中的d是距離。

1.3有限電場(chǎng)模型

在實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前，以自然界閃電為有限電場(chǎng)原型，以閃電路徑，作為介質(zhì)擊穿路徑。假設(shè)一理想矩形空間，四周金屬板電勢(shì)固定，中間是普通空氣填充。該場(chǎng)一面電壓是100伏，其余三面電勢(shì)是0，使用個(gè)格點(diǎn)描述該場(chǎng)。

為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程，將連續(xù)過(guò)程離散化求解，使用有線差分進(jìn)行有效逼近，最終轉(zhuǎn)化為求解差分形式的線性方程組?？砂言匠毯陀卸ń獾臈l件中的微商用差商來(lái)近似，積分用積分和來(lái)近似，于是原微分方程和有定解的條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到電勢(shì)在整個(gè)區(qū)域上的近似解。

二、結(jié)果分析

常規(guī)的計(jì)算方法是通過(guò)構(gòu)建135*135矩陣，在固定位置插值后進(jìn)行矩陣運(yùn)算，然后通過(guò)抽值來(lái)直接求解矩陣。該方法編程比較繁瑣，其空間復(fù)雜度與時(shí)間復(fù)雜度都很大，這將導(dǎo)致其計(jì)算效率比較低。當(dāng)邊界條件復(fù)雜時(shí)該方法的編程將十分麻煩，由于計(jì)算本身是近似方法，精確求解沒(méi)有實(shí)際意義，實(shí)際上只需要滿(mǎn)足精度的近似解即可，因此引入迭代法簡(jiǎn)化編程，以提高工作效率。

通過(guò)與直接計(jì)算方法相比同時(shí)處理17*11格點(diǎn)模型，迭代法比在常規(guī)直接計(jì)算的方法浮點(diǎn)系數(shù)矩陣空間大幅減少。在四格點(diǎn)模型中，每一點(diǎn)的電勢(shì)，由最近的四個(gè)點(diǎn)決定，因此簡(jiǎn)單迭代方法求解時(shí)需要先對(duì)場(chǎng)域內(nèi)的格點(diǎn)賦予迭代初值。帶入公式（1）中，進(jìn)行反復(fù)迭代。若第N次迭代以后，所有的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的相鄰兩次迭代運(yùn)算值之間的最大誤差不超過(guò)允許范圍，即可接受誤差，可終止迭代，將此次計(jì)算的結(jié)果作為有限電場(chǎng)內(nèi)并將第N次迭代結(jié)果作為內(nèi)節(jié)點(diǎn)上電位的最終數(shù)值解。

在上述迭代算法中的掃描方式是逐行掃描的，即在求取的值時(shí)，它的前一點(diǎn)與上一點(diǎn)已經(jīng)從新計(jì)算過(guò)，在計(jì)算時(shí)有新值可共使用新值，因此可以將公式（3）進(jìn)行優(yōu)化，改寫(xiě)為公式（7）。

在使用公式（7）進(jìn)行迭代運(yùn)算時(shí)，只迭代了223次，比公式（3）的迭代次數(shù)減少了將近一般。因此該優(yōu)化方向是正確的，優(yōu)化算發(fā)是生效的。

為了取得更大的優(yōu)化效果，可以使用超松馳迭代公式，即公式（8）。

其中a是加速收斂因子，顧名思義，a的取值可以影響迭代的收斂速度。由于以上實(shí)驗(yàn)都是基于逐行掃描的，很自然的想到通過(guò)隔行掃描與對(duì)稱(chēng)掃描，以盡可能的使用新值來(lái)降低算法的復(fù)雜度。

下面本論文使用該方法討論并解決實(shí)際模型--自然界的閃電現(xiàn)象。假設(shè)地面與云端在同一平面，并且地面電勢(shì)為100，云端電勢(shì)0，閃電起于云端，終于地面，閃電路徑即是介質(zhì)擊穿路徑，擊穿發(fā)生后所有電勢(shì)歸零。

下面對(duì)等于3時(shí)，計(jì)算在四點(diǎn)模型與八點(diǎn)模型的運(yùn)算量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1。

對(duì)比上述表格可以看出，在相同的格點(diǎn)情況下，八點(diǎn)模型迭代次數(shù)比四點(diǎn)模型的迭代次數(shù)要少，因此運(yùn)算時(shí)間復(fù)雜度得到優(yōu)化。

在使用m程序繪制100*100的擊穿路徑圖形時(shí)，隨著的增大，介質(zhì)擊穿路徑的“分叉”情況越來(lái)越少，從文獻(xiàn)中可知取2到3時(shí)，模擬的路徑與真實(shí)介質(zhì)發(fā)生擊穿路徑相似。在時(shí)間運(yùn)算中得出，等于3時(shí)花費(fèi)時(shí)間較短，因此本論文值取3。

三、結(jié)束語(yǔ)

本文從空間復(fù)雜度與時(shí)間復(fù)雜度兩個(gè)方面優(yōu)化介質(zhì)擊穿路徑算法，達(dá)到提高介質(zhì)擊穿效率。使用迭代方式將空間復(fù)雜度從O（x4）降低到O（x2）。在時(shí)間復(fù)雜度上，通過(guò)盡可能使用新近計(jì)算的值來(lái)降低迭代次數(shù);通過(guò)改進(jìn)格點(diǎn)模型，增加新計(jì)算的值在變量計(jì)算總的比例達(dá)到降低運(yùn)算量的目的，根據(jù)理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，證明本論文方法降低了算法的時(shí)間復(fù)雜度。因此本論文完成了預(yù)期目標(biāo)，即通過(guò)優(yōu)化介質(zhì)擊穿路徑算法提高介質(zhì)擊穿效率的目標(biāo)。

通過(guò)降低算法空間復(fù)雜度與時(shí)間復(fù)雜度來(lái)提高介質(zhì)擊穿算法的效率。通過(guò)分步驟的方式來(lái)改進(jìn)算法，首先對(duì)了解與分析問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型;然后編寫(xiě)程序求解已知邊界的有限電場(chǎng)分布，并以閃電擊穿大氣為背景進(jìn)行仿真。使用迭代方法替代直接求解來(lái)降低空間復(fù)制度;而后對(duì)迭代算法進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)使用新值來(lái)降低迭代次數(shù)，提升介質(zhì)擊穿算法的效率。最后，討論概率因子對(duì)路徑算法的影響，根據(jù)文獻(xiàn)資料與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本論文的概率因子取3，來(lái)跟接近自然界閃電擊穿大氣的現(xiàn)象。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1]陳方平，祁錚.基于分形思想的閃電模擬與仿真[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用， 2013，33（S2）：218-219.

[2]吳明亮.中層大氣閃電現(xiàn)象的模擬研究[D].北京：中國(guó)科學(xué)院研究生院，2006：9-23.