劉久周 張鳳玲 辛健強(qiáng) 王潤 董永朋 屈強(qiáng)

摘要： 提出了一種基于同步開關(guān)電路的非線性寬頻壓電能量收集器，并利用高階諧波平衡法對能量收集系統(tǒng)的頻域響應(yīng)、能量輸出功率及其影響因素等內(nèi)容展開了理論研究，同時(shí)利用Hill法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明在基于同步開關(guān)電路的能量收集系統(tǒng)中引入副梁，可以大大拓寬能量收集系統(tǒng)工作頻帶;適當(dāng)減小同步開關(guān)電路的電容比，雖然會(huì)降低能量收集系統(tǒng)在共振峰附近的能量收集能力，但可以拓寬系統(tǒng)的工作帶寬;能量收集系統(tǒng)的工作帶寬隨副梁與質(zhì)量塊間初始間隙的減小以及副梁剛度的增大而拓寬，可根據(jù)振動(dòng)能量源頻率帶寬及能量的頻域分布規(guī)律，對系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)，以獲得更好的能量收集效果。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)能量收集; 非線性; 同步開關(guān)電路; 高階諧波平衡法; 動(dòng)力學(xué)特性

中圖分類號(hào)： TN712+.5; O322? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? ? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）03-0567-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.014

引? 言

壓電能量收集系統(tǒng)以壓電材料作為媒介，將系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)而通過外接能量收集電路將產(chǎn)生的電能收集起來。收集的能量可以為系統(tǒng)內(nèi)的電子元件供能，降低系統(tǒng)對電源的需求，因此壓電能量收集系統(tǒng)在機(jī)械、電子等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，受到了研究人員的廣泛關(guān)注[1]。

早期的被動(dòng)線性壓電能量收集系統(tǒng)，存在能量收集效率低、工作帶寬較窄、對振動(dòng)環(huán)境變化敏感等缺陷[2?3]。針對被動(dòng)線性壓電能量收集系統(tǒng)的缺陷，近年來以同步開關(guān)電路為代表的半主動(dòng)能量收集電路成為研究人員關(guān)注的熱點(diǎn)。基于壓電材料的同步開關(guān)能量收集（Synchronized Switch Harvesting， SSH）技術(shù)是一種典型的半主動(dòng)壓電能量收集技術(shù)，最早由Richard等提出[4]。其工作原理為：在粘貼于結(jié)構(gòu)上的壓電片兩電極之間連接有同步開關(guān)電路，壓電片隨結(jié)構(gòu)的振動(dòng)發(fā)生彈性形變，當(dāng)壓電片電極電壓達(dá)到極值時(shí)，電路中的同步開關(guān)元件自動(dòng)迅速閉合，電極電壓方向發(fā)生“翻轉(zhuǎn)”，然后開關(guān)又迅速斷開，這使得壓電片電極之間始終保持較高的電壓水平，進(jìn)而使其收集能力相對于被動(dòng)的壓電能量收集系統(tǒng)得到大大提升。

目前應(yīng)用最廣泛的同步開關(guān)能量收集器是基于電感元件的同步開關(guān)能量收集器（Synchronized Switch Harvester Based on Inductor， SSHI），電路中的電感元件可以在一定程度上增大壓電片的電壓幅值，從而提高系統(tǒng)的能量收集效果，整個(gè)能量收集系統(tǒng)通過集成電路的方式實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)起來也較為方便[5]。但SSHI電路中壓電片電壓幅值受限于電路的品質(zhì)因子，而電路品質(zhì)因子又是電路自身的固有特性，取值會(huì)受到限制，因此SSHI技術(shù)的能量收集效果也將受限于電路的品質(zhì)因子[6]。Ji等[7]在研究中發(fā)現(xiàn)，利用負(fù)電容元件替換電路中的電感元件，形成的基于負(fù)電容的同步開關(guān)能量收集器（Synchronized Switch Harvester Based on Negative Capacitor， SSHNC），不僅能保證電壓的“翻轉(zhuǎn)”和放大，還能避免SSHI技術(shù)的能量收集效果受限于電路自身品質(zhì)因子的缺點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，研究人員又開發(fā)了自供能同步開關(guān)能量收集電路[8?9]，即利用收集到的電能給開關(guān)電路提供能量，實(shí)現(xiàn)了電路系統(tǒng)能量上的自給自足，擴(kuò)大了同步開關(guān)能量收集技術(shù)的適用范圍。

為了拓寬壓電能量收集系統(tǒng)的工作頻帶，研究人員試圖在能量收集系統(tǒng)中引入非線性因素，利用非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的特性，在更寬的頻帶內(nèi)獲得較好的能量收集效果。Liu等[10]和Zhao等[11]基于懸臂梁模型，在線性壓電能量收集系統(tǒng)中引入沖擊梁，使振動(dòng)主梁與沖擊梁構(gòu)成一個(gè)雙線性系統(tǒng)，拓寬了能量收集系統(tǒng)的工作帶寬。Wu等[12]利用一個(gè)兩自由度模型研究了三次非線性對線性壓電能量收集電路的影響。文獻(xiàn)[13?15]利用磁場作用在線性壓電能量收集系統(tǒng)中引入雙穩(wěn)態(tài)非線性，采用時(shí)域分析方法對能量收集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，并利用懸臂梁系統(tǒng)對分析結(jié)果進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。Wang等[16]以懸臂梁為模型，在線性壓電能量收集系統(tǒng)中同時(shí)引入雙穩(wěn)態(tài)和雙線性因素，其研究表明雙線性因素可以使雙穩(wěn)態(tài)壓電能收集系統(tǒng)的能量收集效果進(jìn)一步獲得提升。

分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的研究大多是在線性壓電能量收集電路中引入非線性因素，并利用時(shí)域分析方法或試驗(yàn)研究的方法對能量收集系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。而由于同步開關(guān)電路自身的非線性特點(diǎn)等因素，在效果更好的同步開關(guān)能量收集系統(tǒng)中引入非線性因素，進(jìn)一步提升同步開關(guān)電路工作帶寬和能量收集效果的相關(guān)研究鮮有報(bào)道。本文提出了一種基于同步開關(guān)電路的非線性寬頻壓電能量收集系統(tǒng)，在同步開關(guān)能量收集系統(tǒng)中引入具有沖擊作用的副梁，探索在更寬的頻帶內(nèi)獲得較好的能量收集效果的方法，并從理論上對能量收集系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。

1 能量收集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

壓電能量收集系統(tǒng)如圖1（a）所示：在與振動(dòng)結(jié)構(gòu)相連的剛性框架內(nèi)設(shè)置一個(gè)懸臂梁（后文稱之為“主梁”），懸臂梁與其自由端的剛性質(zhì)量塊構(gòu)成“彈簧?振子”系統(tǒng)。懸臂梁自身質(zhì)量相對于質(zhì)量塊可以忽略，懸臂梁主要提供“彈簧?振子”系統(tǒng)的剛度。在剛性框架中與質(zhì)量塊兩側(cè)距離為的位置分別再設(shè)置一個(gè)懸臂梁（后文分別稱之為“副梁1”和“副梁2”），當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，剛性框架隨之運(yùn)動(dòng)，連接質(zhì)量塊的主梁也隨之振動(dòng)，當(dāng)振動(dòng)幅值足夠大時(shí)，副梁與質(zhì)量塊發(fā)生接觸并隨之振動(dòng)（忽略碰撞造成的能量損失）。副梁質(zhì)量相對于質(zhì)量塊也可以忽略，其主要作用為在與質(zhì)量塊發(fā)生接觸時(shí)改變“彈簧?振子”系統(tǒng)的剛度。在主梁及副梁根部位置分別粘貼有壓電片，壓電片的正壓電效應(yīng)可以將懸臂梁因振動(dòng)產(chǎn)生的應(yīng)變能轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)而通過壓電片電極之間外接的同步開關(guān)電路收集起來，以實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的收集。

由于三個(gè)懸臂梁的質(zhì)量相對于質(zhì)量塊可以忽略，且壓電片粘貼在梁根部，壓電片主要感受懸臂梁一階模態(tài)振型的應(yīng)變，能量收集系統(tǒng)主要收集梁的一階振動(dòng)能量，這樣，對圖1（a）中的能量收集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的分析可以轉(zhuǎn)化為對圖1（b）所示系統(tǒng)的分析。圖1（b）中為質(zhì)量塊質(zhì)量，為主梁的剛度，為副梁的剛度，為機(jī)械阻尼系數(shù)，為副梁與質(zhì)量塊之間的初始間隙。在質(zhì)量塊振動(dòng)的過程中，除了受到激振力的作用，還會(huì)受到壓電片產(chǎn)生的機(jī)電耦合作用力，以及副梁產(chǎn)生的作用力，因此，整個(gè)能量收集系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

如圖1（b）所示，在壓電片兩電極之間連接一個(gè)同步開關(guān)（用表示，實(shí)際中利用電路實(shí)現(xiàn)），以及一個(gè)負(fù)電容元件（表示，實(shí)際中通過模擬電路實(shí)現(xiàn)）。同步開關(guān)電路在實(shí)現(xiàn)電壓方向“翻轉(zhuǎn)”同時(shí)，還能實(shí)現(xiàn)電壓幅值的“放大”，進(jìn)而提升了與開關(guān)元件并聯(lián)支路的能量收集能力，這種同步開關(guān)電路被稱為基于負(fù)電容的同步開關(guān)能量收集器（SSHNC）。

對于SSHNC系統(tǒng)，在一個(gè)振動(dòng)周期中，壓電片電極電壓與振動(dòng)位移之間的關(guān)系如圖2所示。在實(shí)際中，同步開關(guān)的作動(dòng)時(shí)間一般遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)振動(dòng)周期，即在一個(gè)振動(dòng)周期中，開關(guān)處于閉合狀態(tài)的時(shí)間遠(yuǎn)小于開關(guān)處于斷開狀態(tài)的時(shí)間[5]。由壓電傳感方程可知[6]，同步開關(guān)閉合前后的電壓幅值，以及結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值之間存在如下關(guān)系

式中? 為壓電片的內(nèi)置電容，為壓電片的力系數(shù)，實(shí)際中這兩個(gè)參數(shù)均可通過試驗(yàn)測得[6]。為了方便，在進(jìn)行理論分析時(shí)可以忽略開關(guān)閉合的瞬間[17?19]，結(jié)合式（2）及開關(guān)電路的工作原理可得SSHNC電極電壓的表達(dá)式為

式中? 表示符號(hào)函數(shù)，為SSHNC電路中負(fù)電容值的大小與壓電片內(nèi)置電容值之比，即

從表達(dá)式（2）可以看出，電壓的幅值與成正比，且為結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移及振動(dòng)速度的非線性函數(shù)，因此具有SSHNC的機(jī)電耦合系統(tǒng)為典型的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6?7]的相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了式（3）的合理性。在式（3）中，由于，因此等號(hào)右邊第一項(xiàng)的絕對值始終大于或等于第二項(xiàng)的絕對值，也就是說電壓的方向始終與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)速度的方向相反。由此可見，在收集量的同時(shí)，SSHNC還將產(chǎn)生一個(gè)阻礙“彈簧?振子”系統(tǒng)振動(dòng)的機(jī)電耦合作用力，且力的大小與壓電片電極電壓成正比[7]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

由同步開關(guān)電路的工作原理可以看出，同步開關(guān)電路不同于以往基于電路諧振的線性能量收集系統(tǒng)[2]，電路不需要與系統(tǒng)進(jìn)行“調(diào)諧”，因此基于同步開關(guān)電路的能量收集系統(tǒng)具有更寬的工作頻帶。

當(dāng)質(zhì)量塊與副梁接觸時(shí)，副梁會(huì)對質(zhì)量塊產(chǎn)生反作用力。由于副梁根部粘貼有壓電片并連接有能量收集電路，除了副梁自身剛度產(chǎn)生的反作用外，壓電片也會(huì)對副梁產(chǎn)生機(jī)電耦合作用力，而該力最終也將通過副梁傳遞到質(zhì)量塊上。因此，共包含兩部分，其表達(dá)式為

式中? 為副梁自身剛度產(chǎn)生的作用力，該作用力具有“雙線性”的特點(diǎn)（如圖3所示），其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下式所示

文獻(xiàn)[11]的相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了式（7）的合理性。

為壓電片通過副梁對質(zhì)量塊的非線性機(jī)電耦合作用力，其大小與副梁根部壓電片電極電壓成正比，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

為使研究具有更廣泛的意義，對能量收集系統(tǒng)的非線性機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程（1）進(jìn)行無量綱化，無量綱原則為

將上述無量綱原則帶入式（1）可得能量收集系統(tǒng)的無量綱非線性機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程為

其中，無量綱非線性力數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

2 頻域分析方法

2.1 非線性系統(tǒng)頻域響應(yīng)計(jì)算方法

方程（10）含有多種非線性因素，其動(dòng)力學(xué)特性的分析（特別是頻域響應(yīng)的求解）存在一定的難度。雖然直接積分法求解非線性動(dòng)力學(xué)方程的計(jì)算精度很高，但計(jì)算效率較低，如果采用直接積分法獲得系統(tǒng)的頻響曲線，會(huì)耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。諧波平衡法作為一種經(jīng)典的非線性系統(tǒng)求解方法具有很多優(yōu)勢，幾乎能夠處理包括幾何非線性、接觸非線性、材料非線性在內(nèi)的各種強(qiáng)/弱非線性問題，是一種高效、可靠的計(jì)算方法[17?19]。但是，對于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，只保留一階諧波的諧波平衡法很難保證求解精度[20]，由此發(fā)展了保留更多諧波階次的高階諧波平衡法（Multi?Harmonic Balance Method， MHBM）。

任意離散非線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程可以表示為如下形式

式中? 為系統(tǒng)所受的非線性力。首先將系統(tǒng)的周期解展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式

式中? 為計(jì)算過程中保留的諧波階次，保留的諧波階次越多，計(jì)算結(jié)果越精確，計(jì)算量也會(huì)隨之上升。

將非線性系統(tǒng)振動(dòng)幅值的傅里葉系數(shù)寫成向量的形式為

同理，將系統(tǒng)激振力及非線性力展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式：

激振力及非線性力的傅里葉系數(shù)的向量形式為：

將式（11）和（13）代入式（10）中，利用伽遼金過程將非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程組從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，得到非線性系統(tǒng)的頻域代數(shù)方程組

式中? 為動(dòng)剛度矩陣，其表達(dá)式為：

其中矩陣子塊表達(dá)式為

對于較為復(fù)雜的系統(tǒng)，利用高階諧波平衡法（MHBM）求解時(shí)，當(dāng)保留的諧波階次大于3（即）時(shí)，方程組（21）的解析形式難以直接寫出，此時(shí)可以采用Cameron等[20]提出的時(shí)頻轉(zhuǎn)換（Alternation Frequency/Time Domain Method， AFT）技術(shù)，利用快速傅里葉變換程序完成分析過程中的正逆傅里葉變換。

在使用牛頓迭代法對非線性代數(shù)方程組（21）進(jìn)行求解時(shí)，為確保非線性求解過程的收斂性，可以引入弧長延拓技術(shù)?；￠L延拓技術(shù)包括“預(yù)測步”和“校正步”兩個(gè)基本步驟，其基本思路為：

對方程進(jìn)行泰勒展開，并保留一階精度可得

式中? 為預(yù)測步的增量向量。為保證預(yù)測點(diǎn)與初始點(diǎn)之間的距離始終為，可以得到如下關(guān)系

根據(jù)式（24）和（25）可以求得預(yù)測步的增量向量。由增量向量可以獲得預(yù)測點(diǎn)的位置為，然后對預(yù)測點(diǎn)進(jìn)行校正：以為中心，為半徑的圓與函數(shù)“曲線”的交點(diǎn)即為系統(tǒng)的解。因此，非線性方程組校正后的解可由以下方程確定

一般選擇合適的，并經(jīng)過數(shù)次校正之后就可以獲得收斂的非線性系統(tǒng)的頻域響應(yīng)，非線性系統(tǒng)頻域響應(yīng)計(jì)算流程如圖4所示。

2.2 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法

與線性系統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)可能存在不穩(wěn)定的周期解，本文采用Hill法[21]對周期解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。假設(shè)非線性系統(tǒng)周期解受到一個(gè)擾動(dòng)，則時(shí)域響應(yīng)可以寫為

將代入方程（14）中，并利用諧波平衡法將時(shí)域中的非線性方程組轉(zhuǎn)化為頻域中的非線性代數(shù)方程組

對式（34）對應(yīng)的特征方程進(jìn)行求解，可以獲得一系列的復(fù)特征值。當(dāng)系統(tǒng)的全部復(fù)特征值的實(shí)部都小于0時(shí)，方程的解穩(wěn)定，當(dāng)存在實(shí)部大于0的特征值時(shí)，方程的解不穩(wěn)定。

2.3 算例分析

利用MHBM法對經(jīng)典的Duffing系統(tǒng)的頻域響應(yīng)進(jìn)行求解（計(jì)算過程中保留5階諧波），并利用Hill法對解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。Duffing系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

不同激勵(lì)頻率下，特征值實(shí)部如圖5所示，對應(yīng)的頻響曲線如圖6所示。通過與文獻(xiàn)[22]中典型的Duffing系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，表明當(dāng)保留足夠多的諧波階次時(shí)（保留的諧波階次數(shù)可根據(jù)非線性系統(tǒng)的具體性質(zhì)來確定，一般諧波階次大于5即可保證足夠的求解精度），利用MHBM能夠比較精確地求解非線性系統(tǒng)的頻域響應(yīng)，同時(shí)Hill法可以對頻域響應(yīng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，后續(xù)將利用該方法對能夠收集系統(tǒng)的頻域特性進(jìn)行分析。

3 能量收集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性

3.1 能量收集系統(tǒng)頻域響應(yīng)

當(dāng)副梁無量綱剛度，同步開關(guān)電路無量綱機(jī)電耦合系數(shù)（如無特殊說明，后文中取值均為0.1），電容比，無量綱激振力幅值為1，副梁與質(zhì)量塊初始間隙分別為，和時(shí)，系統(tǒng)頻響曲線及其穩(wěn)定性如圖7所示。從圖中結(jié)果可以看出，當(dāng)初始間隙較大（）時(shí)，由于質(zhì)量塊無法與副梁發(fā)生接觸作用，壓電片的非線性力不能使能量收集系統(tǒng)頻響曲線產(chǎn)生“歪頭”現(xiàn)象。隨著初始間隙的減小，質(zhì)量塊將與副梁發(fā)生接觸，進(jìn)而使系統(tǒng)頻響曲線產(chǎn)生向右“歪頭”的現(xiàn)象，且副梁與質(zhì)量塊之間的初始間隙越小，頻響曲線向右“歪頭”越明顯。當(dāng)初始間隙，副梁剛度分別為，和時(shí)，系統(tǒng)頻響曲線及其穩(wěn)定性如圖8所示?？梢姡绷号c質(zhì)量塊之間的初始間隙一定時(shí)，副梁剛度越大，頻響曲線向右“歪頭”越明顯。

初始間隙及副梁剛度一定時(shí)，當(dāng)激勵(lì)頻率由小到大或由大到小變化時(shí)，系統(tǒng)頻響曲線將會(huì)出現(xiàn)非線性系統(tǒng)典型的“跳躍”現(xiàn)象（如圖9所示）。當(dāng)頻率由小到大變化時(shí)，能量收集系統(tǒng)產(chǎn)生較大振幅的頻帶更寬。由于壓電片電極電壓與懸臂梁根部應(yīng)變水平成正比，而能量收集效果與壓電片電極電壓正相關(guān)，因此當(dāng)振動(dòng)頻域由小到大逐漸變化時(shí)，副梁的存在可以拓寬能量收集系統(tǒng)的工作頻帶，獲得更好的能量收集效果，接下來我們將針對這種情況進(jìn)行分析。

3.2 能量收集系統(tǒng)頻域輸出功率

能量收集系統(tǒng)中主梁壓電片電壓以及兩個(gè)副梁上壓電片的電壓分別用，和表示。當(dāng)副梁剛度，同步開關(guān)電路電容比，副梁與質(zhì)量塊初始間隙，激振力幅值為1，激振頻率為時(shí)，在兩個(gè)完整振動(dòng)周期內(nèi)能量收集系統(tǒng)中壓電片電壓，及振動(dòng)位移的時(shí)域曲線分別如圖10和11所示。顯然，在整個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)主梁上的能量收集系統(tǒng)一直具有能量收集作用，而只有當(dāng)質(zhì)量塊與副梁發(fā)生接觸并使副梁發(fā)生變形時(shí)，副梁上的能量收集系統(tǒng)才具有能量收集作用。

為了對系統(tǒng)的能量收集效果進(jìn)行評估，定義壓電片在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)向外電路輸出的能量與振動(dòng)周期之比為能量平均輸出功率（后文簡稱“輸出功率”），其物理意義為能量收集電路在單位時(shí)間內(nèi)向外輸出能量的平均值。對于壓電片，輸出功率可以表示為

式中? 為壓電片的輸出功率，為壓電片在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)輸出的電能，為主梁的振動(dòng)周期，為壓電片的無量綱內(nèi)置電阻值，為外接電路中的無量綱電阻值。整個(gè)能量收集系統(tǒng)的總輸出功率為

由式（37）可以看出，當(dāng)外接電路中的電阻值與壓電片內(nèi)阻值相等時(shí)，壓電片總輸出功率最大，因此在后續(xù)分析中，均取。后續(xù)將利用輸出功率作為評價(jià)指標(biāo)，對不同參數(shù)下系統(tǒng)的能量收集效果進(jìn)行評估，進(jìn)而對系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

當(dāng)同步開關(guān)電路電容比為，無量綱激振力幅值為1，不同初始間隙及不同副梁剛度下，系統(tǒng)的總輸出功率分別如圖 12和 13所示。從圖中的結(jié)果可以看出，雖然副梁會(huì)使同步開關(guān)能量收集系統(tǒng)在共振峰值附近的能量收集能力降低，但使得工作帶寬大大拓寬，系統(tǒng)在整個(gè)工作頻帶上能夠收集更多的能量。因此，在同步開關(guān)電路和副梁的共同作用下，使得該能量收集系統(tǒng)相比于以往的基于線性電路的雙穩(wěn)態(tài)能量收集系統(tǒng)更加適合于寬頻域能量收集。

3.3 系統(tǒng)參數(shù)對能量收集效果的影響

3.3.1 同步開關(guān)電路參數(shù)對能量收集效果的影響

式（3）表明，壓電片電極電壓幅值主要取決于同步開關(guān)電路電容比，而電壓幅值直接影響能量收集系統(tǒng)的輸出功率，因此對輸出功率具有決定性影響。當(dāng)副梁系統(tǒng)參數(shù)（和）一定時(shí)，不同電容比下系統(tǒng)頻響曲線及總能量輸出功率曲線分別如圖14和15所示。可以看出，當(dāng)激振力幅值一定時(shí)，同步開關(guān)電路電容比越大，系統(tǒng)在共振峰附近的振動(dòng)峰值越小，能量收集系統(tǒng)在共振峰值附近的能量收集能力越強(qiáng)。當(dāng)電容比過大（如）時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)幅值過小，質(zhì)量塊與副梁無法相互接觸，副梁無法起到拓寬能量收集系統(tǒng)工作帶寬的作用。因此，適當(dāng)減小電路中的電容比，雖然會(huì)降低系統(tǒng)在共振峰附近的能量收集能力，但可以拓寬系統(tǒng)的工作頻帶。實(shí)際中可根據(jù)能量源的頻率變化范圍來選擇同步開關(guān)電路的電容比，以兼顧能量收集系統(tǒng)的工作帶寬和能量收集效率。

3.3.2 副梁參數(shù)對能量收集效果的影響

取同步開關(guān)電路電容比，當(dāng)副梁剛度時(shí)，初始間隙對系統(tǒng)的輸出功率及工作帶寬的影響規(guī)律如圖16所示。而當(dāng)初始間隙時(shí)，副梁剛度對系統(tǒng)的輸出功率及工作帶寬的影響規(guī)律如圖17所示?？梢姡绷号c質(zhì)量塊的初始間隙以及副梁剛度對能量收集系統(tǒng)工作帶寬以及輸出功率具有較大影響。副梁與質(zhì)量塊的初始間隙越小，副梁的剛度越大，能量收集帶寬越寬，但最大輸出功率也會(huì)有所下降。需要指出的是，由于同步開關(guān)能量收集電路自身的能量收集能力較強(qiáng)[4?5]，因此即使輸出功率有所下降，同步開關(guān)電路相比于傳統(tǒng)的被動(dòng)能量收集系統(tǒng)依然具有很好的能量收集效果，應(yīng)根據(jù)振動(dòng)環(huán)境的頻率變化范圍以及激振力幅值水平，對能量收集器進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，進(jìn)而獲得更好的能量收集效果。

副梁的無量綱剛度時(shí)，初始間隙對副梁輸出功率占系統(tǒng)總輸出功率的百分比的影響規(guī)律如圖18所示。當(dāng)初始間隙為時(shí)，副梁剛度對副梁輸出功率占比的影響規(guī)律如圖19所示。根據(jù)分析結(jié)果可知，當(dāng)初始間隙較小，副梁剛度也較小時(shí)，副梁的能量收集效果較好（占總輸出功率的10%左右）。可見，雖然主梁的輸出功率仍在能量收集系統(tǒng)的總輸出功率中占主導(dǎo)，但在特定頻帶內(nèi)，副梁上布置的能量收集器也會(huì)為整個(gè)系統(tǒng)的能量收集帶來比較可觀的貢獻(xiàn)。

4 結(jié)? 論

在基于同步開關(guān)電路的壓電懸臂梁能量收集系統(tǒng)中引入副梁，形成一種非線性寬頻壓電能量收集系統(tǒng)，并利用高階諧波平衡法對系統(tǒng)頻域響應(yīng)及能量收集效果進(jìn)行了理論研究，為該非線性寬頻能量收集系統(tǒng)的應(yīng)用提供依據(jù)。分析結(jié)果顯示：①非線性同步開關(guān)電路的引入，拓寬了傳統(tǒng)線性壓電能量收集電路的工作頻帶，而副梁的引入可以進(jìn)一步拓寬基于同步開關(guān)能量收集系統(tǒng)的工作帶寬。在同步開關(guān)電路和副梁共同作用下，使得該能量收集系統(tǒng)相比于以往基于線性電路的雙穩(wěn)態(tài)能量收集系統(tǒng)更加適合于寬頻域能量收集;②適當(dāng)減小同步開關(guān)電路的電容比及副梁與質(zhì)量塊間的初始間隙、增大副梁剛度，雖然會(huì)降低系統(tǒng)在共振峰附近的能量收集能力，但可以拓寬系統(tǒng)的工作頻帶;③實(shí)際中振動(dòng)能量源往往具有寬頻特點(diǎn)，因此，除了保證共振峰附近的能量收集能力，還要關(guān)注一定頻帶寬度上的總能量收集效率。需結(jié)合振動(dòng)能量源頻率帶寬及能量的頻域分布規(guī)律，對系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)，以獲得最佳能量收集效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] Mitcheson P D， Yeatman E M， Rao G K， et al. Energy harvesting from human and machine motion for wireless electronic devices[J]. Proceedings of the IEEE， 2008，96（9）：1457-1486.

[2] Leland E S， Wright P K. Resonance tuning of piezoelectric vibration energy scavenging generators using compressive axial preload[J]. Smart Material Structures， 2006， 15（5）：1413-1420.

[3] Hagood N W， von Flotow A. Damping of structural vibrations with piezoelectric materials and passive electrical networks[J]. Journal of Sound and Vibration， 1991， 146（2）： 243-268.

[4] Richard C， Guyomar D， Audigier D， et al. Semi-passive damping using continuous switching of a piezoelectric device[C]. Smart Structures and Materials 1999： Passive Damping and Isolation International Society for Optics and Photonics， Newport Beach， CA， USA，1999：104-111.

[5] Richard C， Guyomar D， Audigier D， et al. Enhanced semi-passive damping using continuous switching of a piezoelectric device on an inductor[C]. Smart Structures and Materials 2000： Damping and Isolation， Newport Beach， CA， USA， 2000： 288?299.

[6] 季宏麗. 飛行器結(jié)構(gòu)壓電半主動(dòng)振動(dòng)控制研究[D]. 南京： 南京航空航天大學(xué)， 2012.

Ji Hongli. Research on piezoelectric semi-active vibration control of aircraft structures[D]. Nanjing： Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2012.

[7] Ji H， Qiu J， Cheng J， et al. Application of a negative capacitance circuit in synchronized switch damping techniques for vibration suppression[J]. Journal of Vibration & Acoustics， 2011， 133（4）：041015.

[8] Lallart M， Guyomar D， Jayet Y， et al. Synchronized switch harvesting applied to self-powered smart systems： Piezoactive microgenerators for autonomous wireless receivers[J]. Sensors and Actuators A： Physical， 2008， 147（1）： 263-272.

[9] Eltamaly A M， Addoweesh K E. A novel self-power SSHI circuit for piezoelectric energy harvester?[J]. IEEE Transactions on Power Electronics， 2017，32（10）：7663-7673.

[10] Liu S， Cheng Q， Zhao D， et al. Theoretical modeling and analysis of two-degree-of-freedom piezoelectric energy harvester with stopper[J]. Sensors and Actuators A： Physical， 2016， 245：97-105.

[11] Zhao D， Wang X， Cheng Y， et al. Analysis of single-degree-of-freedom piezoelectric energy harvester with stopper by incremental harmonic balance method[J]. Materials Research Express， 2018，5（5）：055502.

[12] Wu Yipeng， Ji Hongli， Qiu Jinhao， et al. A 2-degree-of-freedom cubic nonlinear piezoelectric harvester intended for practical low-frequency vibration[J]. Sensors and Actuators A： Physical， 2017， 264： 1?10.

[13] Gao Y J， Leng Y G， Fan S B， et al. Performance of bistable piezoelectric cantilever vibration energy harvesters with an elastic support external magnet[J]. Smart Materials and Structures， 2014，23（9）：1-14.

[14] Lan Chunbo， Qin Weiyang. Enhancing ability of harvesting energy from random vibration by decreasing the potential barrier of bistable harvester[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2017，（85）：71-81.

[15] Fang Hongbin， Wang K W. Piezoelectric vibration-driven locomotion systems——Exploiting resonance and bistable dynamics[J]. Journal of Sound and Vibration， 2017，391： 153-169.

[16] Wang Chen， Zhang Qichang， Wang Wei. Low-frequency wideband vibration energy harvesting by using frequency up-conversion and quin-stable nonlinearity[J]. Journal of Sound and Vibration， 2017， 48（2）： 169-181.

[17] Liu Jiuzhou， Li L， Huang X， et al. Dynamic characteristics of the blisk with synchronized switch damping based on negative capacitor?[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2017，95： 425-445.

[18] Liu J， Li L， Fan Y. A comparison between the friction and piezoelectric synchronized switch dampers for blisks?[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures， 2018， 29（12）：2693-2705.

[19] Liu Jiuzhou， Li Lin， Fan Yu， et al. A modified nonlinear modal synthesis scheme for mistuned blisks with synchronized switch damping?[J]. International Journal of Aerospace Engineering， 2018， 2018： 8517890.

[20] Cameron T M， Griffin Jerry H. An alternation frequency/time domain method for calculation the steady-state response on nonlinear dynamic system?[J]. Journal of Applied Mechanics， 1989， 56（1）：149-154.

[21] Zhou B， Thouverez F， Lenoir D. Essentially nonlinear piezoelectric shunt circuits applied to mistuned bladed disks[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（9）： 2520-2542.

[22] Laxalde D. Stability analysis of periodic orbits in the framework of Galerkin approximations?[J]. 2011：hal-00655521.

作者簡介： 劉久周（1988?），男，工程師。電話：13401177057; E-mail： liujiuzhou123@126.com