合作探究 實驗建?！∧芰μ嵘?/h1>
2021-08-09 06:41:51霍燕
初中生世界·初中教學(xué)研究 2021年6期
霍燕
數(shù)學(xué)建模，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化，建立起能近似刻畫并解決實際問題的模型。它是一種強有力的數(shù)學(xué)手段。簡而言之，數(shù)學(xué)建模既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)習(xí)活動中需注重學(xué)生合作探究能力的培養(yǎng)。因此，在銳角三角函數(shù)的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生合作探究、實驗建模，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力及創(chuàng)新意識。
筆者認(rèn)為，基礎(chǔ)知識的了然于心是建模的前提，首先需理清基礎(chǔ)知識;建立模型是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，而給予學(xué)生充分的時間合作實驗有助于學(xué)生更好地討論交流，是建模的有效方式;建立模型后的鞏固也是至關(guān)重要的，因此需進(jìn)一步練習(xí)，以便消化;建模最終是為了更好地解決實際問題，因此，回歸問題的本質(zhì)，利用模型，嘗試解決實際問題也是很重要的一個環(huán)節(jié)。
一、夯實基礎(chǔ)，提升建模信心
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的牢固掌握是數(shù)學(xué)建模能力提升的前提，學(xué)生只有充分理解并掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識，方可更好地運用知識本質(zhì)。因此，在教學(xué)中，教師需精心選擇問題的切入點，從直擊核心的簡單問題出發(fā)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和建立下一步學(xué)習(xí)的信心。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，在這節(jié)復(fù)習(xí)課的開始，筆者對教材內(nèi)容進(jìn)行了整合，從實際問題出發(fā)，展開教學(xué)。
案例1 銳角三角函數(shù)的簡單運用
問題1 如圖1，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18[3]m的地面上，若測角儀的高度為1.5m，測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30度，求教學(xué)樓的高度。
從實際問題出發(fā)，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。模型一：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°。結(jié)論1.若BC=x，則AC=[3]x，AB=2x;結(jié)論2.若AC=x，則BC=[33]x，AB=[233]x;結(jié)論3.若AB=x，則BC=[12]x，AC=[32]x。將條件延伸至等腰直角三角形中，從而建立模型二：結(jié)論1.若斜邊為x，則兩直角邊均為[22]x;結(jié)論2.若兩直角邊為x，則斜邊為[2]x。
此題給出了具體的圖形，學(xué)生只需在圖形中找尋解決問題的方法，實現(xiàn)建模學(xué)習(xí)的低起點。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生說出特殊角的直角三角形中的邊、角關(guān)系，通過比較所設(shè)未知數(shù)，學(xué)生容易得出結(jié)論;采用設(shè)最短邊的長度的方法，可以更方便地求解問題，從而領(lǐng)會到理解基礎(chǔ)知識本質(zhì)特征的重要性。建模后問題的順利解決，讓學(xué)生覺得原來建模并不是高不可攀的復(fù)雜技能，提升了學(xué)習(xí)的積極性，為后續(xù)更復(fù)雜的建模嘗試做正面的心理建設(shè)與鋪墊。
二、合作實驗，助力建模
建構(gòu)主義認(rèn)為，知識的獲得依賴于學(xué)生自身已有的知識和經(jīng)驗，進(jìn)而主動建構(gòu)。因此，教師應(yīng)放棄滿堂灌及填鴨式的教學(xué)，而采用小組合作的形式組織教學(xué)。學(xué)生通過動手操作、自主探索、合作交流，從而達(dá)到建模、解模的目的。為了解決本節(jié)課的核心問題，筆者設(shè)計了如下實驗活動，引導(dǎo)學(xué)生從實驗出發(fā)，在實驗活動中合作交流，得出實驗結(jié)果，進(jìn)而得出模型，解決問題。該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點。筆者給予學(xué)生充分的時間操作、探究、合作、交流、質(zhì)疑，最終構(gòu)建出了初中階段銳角三角函數(shù)這一章中最重要的六個基本模型。
案例2 實驗活動及實驗結(jié)果
問題2 活動1.△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，沿著過點C的直線折疊，折疊后點B落在線段AB上。若BC=1，思考：可以求出哪些線段的長度及哪些角的度數(shù)？
活動2.用兩張三角形紙片拼接三角形（可重疊）。
操作：將圖3紙片沿著CD剪下，得到△ADC與△CDB。若有Rt△CDM（CM為斜邊，CD=DM），思考：將△ADC、△CDB、Rt△CDM重新拼接，能拼成一個新的三角形，則Rt△CDM（CM為斜邊，CD=DM）有什么樣的要求？請完成拼圖，并寫出實驗結(jié)果。
通過兩個實驗活動，學(xué)生在實驗合作過程中，建立如下6個模型（如圖4所示）。
學(xué)生發(fā)現(xiàn)在作出高CD后，如果設(shè)CD=x，那么含特殊角的斜△ABC所有邊都可用含x的代數(shù)式表示出來，實現(xiàn)了解特殊斜三角形的目的。學(xué)生還感知到添高是解決問題的關(guān)鍵。另外，學(xué)生還在討論交流中，得出了添哪條高更合適，實現(xiàn)了不破壞特殊角，構(gòu)建含特殊角的三角形解決一類問題?；诎咐?，有學(xué)生指出，設(shè)最短邊來表示出的△ABC的各邊更簡單，例如在圖8中，如果設(shè)BD=x，則CD=[3]x，BC=2x，AD=3x，AC=2[3]x，AB=4x。學(xué)生感悟到今后遇到此類問題，未知數(shù)既可以直接設(shè)，也可以間接設(shè)，選取合適的方法，能使計算變得簡便。
學(xué)生在剪一剪、拼一拼的過程中，感受到通過動手實踐可以得出結(jié)論。在合作交流中，學(xué)生思維火花的不斷碰撞產(chǎn)生的精彩生成，不僅發(fā)展了學(xué)生的表達(dá)能力，更提升了小組的競爭意識與凝聚力。教師給予及時的點撥、評價有助于學(xué)生理解并反思。學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中思維得到拓展，創(chuàng)新意識和自主學(xué)習(xí)的能力得以進(jìn)一步提升。
三、鞏固提高，內(nèi)化模型
通過實驗活動的開展，學(xué)生得出了模型，而知識的靈活運用需要在已學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、變式練習(xí)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向深層。在開展變式練習(xí)時，教師應(yīng)鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生洞察變化的外在特征，發(fā)現(xiàn)并抽象出不變的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。為了全面復(fù)習(xí)所得到的6個模型，筆者設(shè)計了如下開放性題目。
案例3 提出問題，強化模型
問題3 如圖10是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°;在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠B1A1 C1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB。若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合。將三角板A1B1C1繞點C（A1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點為M，設(shè)AC=a，兩塊三角板重疊部分的面積為S。若α為15°，試計算S。根據(jù)今天所學(xué)內(nèi)容，你能再對α進(jìn)行改變，并求出S嗎？
在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)三角板的方式加深對題目的理解與認(rèn)識，體會圖形運動的過程，接著對α角展開討論，從特殊的角度出發(fā)，如30°，解決問題后，再次變換角度為45°、60°，最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這些特殊角的問題，只需找出6個模型，所有問題就能順利解決，再次感悟到建模的重要性。甚至還有學(xué)生指出如果α角是一般角，也能利用之前的方法解決問題，區(qū)別在于涉及參數(shù)多了，還要對α角的范圍進(jìn)行討論。該名學(xué)生還大膽預(yù)測，如果得出了一般模型的答案，那么之前的特殊角問題就只需要完成代數(shù)式求值即可。筆者表揚并肯定其提出了一個極其價值的問題，鼓勵其他學(xué)生參與進(jìn)去，課后再進(jìn)行深入思考，以期得到上述6個模型的一般公式。
四、回歸實際，運用模型
當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了從簡單建模到復(fù)雜建模，再到模型的鞏固運用這一過程后，就基本具備了計算三角形邊的能力。歷史上三角函數(shù)的產(chǎn)生是基于對測量的需求。數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。
案例4 實際問題，創(chuàng)意解決
問題4 課后拓展：請同學(xué)們利用所學(xué)知識測量學(xué)校的旗桿高度。
將現(xiàn)實生活的問題帶到數(shù)學(xué)課堂中，引導(dǎo)學(xué)生積極動腦、勤于動手，在利用建模解決問題的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生對知識的遷移能力，讓他們用數(shù)學(xué)的眼光來研究問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值。課后的拓展題，學(xué)生貢獻(xiàn)出了多種測量學(xué)校旗桿高度的方法，讓人再次感受到數(shù)學(xué)建模的魅力。
“實戰(zhàn)演練”加深了學(xué)生對知識的理解，有助于學(xué)生建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)，一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，緩解了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的枯燥乏味，學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識得以培養(yǎng)，最終提升了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和可持續(xù)發(fā)展素養(yǎng)。
本課時的設(shè)計與實施，建立在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，筆者對教材中的核心知識點進(jìn)行了整合。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模時經(jīng)歷了從無到有的過程，從簡單基礎(chǔ)走向高階思考，思維得到進(jìn)階。
通過這節(jié)課的嘗試，我們看到了孩子們智慧火花的飛濺，看到了孩子們對知識的渴求，感受到數(shù)學(xué)不僅擁有“冰冷的美麗”，還能綻放靈動的色彩。
在今后的教學(xué)中，需不斷整合合適的教學(xué)資源，在課堂中注意對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生直擊知識的精髓，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識、數(shù)學(xué)模型思想，進(jìn)而提高學(xué)生 “學(xué)好數(shù)學(xué)”“用好數(shù)學(xué)”的能力。
（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）
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霍燕
數(shù)學(xué)建模，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化，建立起能近似刻畫并解決實際問題的模型。它是一種強有力的數(shù)學(xué)手段。簡而言之，數(shù)學(xué)建模既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)習(xí)活動中需注重學(xué)生合作探究能力的培養(yǎng)。因此，在銳角三角函數(shù)的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生合作探究、實驗建模，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力及創(chuàng)新意識。
筆者認(rèn)為，基礎(chǔ)知識的了然于心是建模的前提，首先需理清基礎(chǔ)知識;建立模型是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，而給予學(xué)生充分的時間合作實驗有助于學(xué)生更好地討論交流，是建模的有效方式;建立模型后的鞏固也是至關(guān)重要的，因此需進(jìn)一步練習(xí)，以便消化;建模最終是為了更好地解決實際問題，因此，回歸問題的本質(zhì)，利用模型，嘗試解決實際問題也是很重要的一個環(huán)節(jié)。
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數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的牢固掌握是數(shù)學(xué)建模能力提升的前提，學(xué)生只有充分理解并掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識，方可更好地運用知識本質(zhì)。因此，在教學(xué)中，教師需精心選擇問題的切入點，從直擊核心的簡單問題出發(fā)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和建立下一步學(xué)習(xí)的信心。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，在這節(jié)復(fù)習(xí)課的開始，筆者對教材內(nèi)容進(jìn)行了整合，從實際問題出發(fā)，展開教學(xué)。
案例1 銳角三角函數(shù)的簡單運用
問題1 如圖1，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18[3]m的地面上，若測角儀的高度為1.5m，測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30度，求教學(xué)樓的高度。
從實際問題出發(fā)，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。模型一：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°。結(jié)論1.若BC=x，則AC=[3]x，AB=2x;結(jié)論2.若AC=x，則BC=[33]x，AB=[233]x;結(jié)論3.若AB=x，則BC=[12]x，AC=[32]x。將條件延伸至等腰直角三角形中，從而建立模型二：結(jié)論1.若斜邊為x，則兩直角邊均為[22]x;結(jié)論2.若兩直角邊為x，則斜邊為[2]x。
此題給出了具體的圖形，學(xué)生只需在圖形中找尋解決問題的方法，實現(xiàn)建模學(xué)習(xí)的低起點。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生說出特殊角的直角三角形中的邊、角關(guān)系，通過比較所設(shè)未知數(shù)，學(xué)生容易得出結(jié)論;采用設(shè)最短邊的長度的方法，可以更方便地求解問題，從而領(lǐng)會到理解基礎(chǔ)知識本質(zhì)特征的重要性。建模后問題的順利解決，讓學(xué)生覺得原來建模并不是高不可攀的復(fù)雜技能，提升了學(xué)習(xí)的積極性，為后續(xù)更復(fù)雜的建模嘗試做正面的心理建設(shè)與鋪墊。
二、合作實驗，助力建模
建構(gòu)主義認(rèn)為，知識的獲得依賴于學(xué)生自身已有的知識和經(jīng)驗，進(jìn)而主動建構(gòu)。因此，教師應(yīng)放棄滿堂灌及填鴨式的教學(xué)，而采用小組合作的形式組織教學(xué)。學(xué)生通過動手操作、自主探索、合作交流，從而達(dá)到建模、解模的目的。為了解決本節(jié)課的核心問題，筆者設(shè)計了如下實驗活動，引導(dǎo)學(xué)生從實驗出發(fā)，在實驗活動中合作交流，得出實驗結(jié)果，進(jìn)而得出模型，解決問題。該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點。筆者給予學(xué)生充分的時間操作、探究、合作、交流、質(zhì)疑，最終構(gòu)建出了初中階段銳角三角函數(shù)這一章中最重要的六個基本模型。
案例2 實驗活動及實驗結(jié)果
問題2 活動1.△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，沿著過點C的直線折疊，折疊后點B落在線段AB上。若BC=1，思考：可以求出哪些線段的長度及哪些角的度數(shù)？
活動2.用兩張三角形紙片拼接三角形（可重疊）。
操作：將圖3紙片沿著CD剪下，得到△ADC與△CDB。若有Rt△CDM（CM為斜邊，CD=DM），思考：將△ADC、△CDB、Rt△CDM重新拼接，能拼成一個新的三角形，則Rt△CDM（CM為斜邊，CD=DM）有什么樣的要求？請完成拼圖，并寫出實驗結(jié)果。
通過兩個實驗活動，學(xué)生在實驗合作過程中，建立如下6個模型（如圖4所示）。
學(xué)生發(fā)現(xiàn)在作出高CD后，如果設(shè)CD=x，那么含特殊角的斜△ABC所有邊都可用含x的代數(shù)式表示出來，實現(xiàn)了解特殊斜三角形的目的。學(xué)生還感知到添高是解決問題的關(guān)鍵。另外，學(xué)生還在討論交流中，得出了添哪條高更合適，實現(xiàn)了不破壞特殊角，構(gòu)建含特殊角的三角形解決一類問題?；诎咐?，有學(xué)生指出，設(shè)最短邊來表示出的△ABC的各邊更簡單，例如在圖8中，如果設(shè)BD=x，則CD=[3]x，BC=2x，AD=3x，AC=2[3]x，AB=4x。學(xué)生感悟到今后遇到此類問題，未知數(shù)既可以直接設(shè)，也可以間接設(shè)，選取合適的方法，能使計算變得簡便。
學(xué)生在剪一剪、拼一拼的過程中，感受到通過動手實踐可以得出結(jié)論。在合作交流中，學(xué)生思維火花的不斷碰撞產(chǎn)生的精彩生成，不僅發(fā)展了學(xué)生的表達(dá)能力，更提升了小組的競爭意識與凝聚力。教師給予及時的點撥、評價有助于學(xué)生理解并反思。學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中思維得到拓展，創(chuàng)新意識和自主學(xué)習(xí)的能力得以進(jìn)一步提升。
三、鞏固提高，內(nèi)化模型
通過實驗活動的開展，學(xué)生得出了模型，而知識的靈活運用需要在已學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、變式練習(xí)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向深層。在開展變式練習(xí)時，教師應(yīng)鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生洞察變化的外在特征，發(fā)現(xiàn)并抽象出不變的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。為了全面復(fù)習(xí)所得到的6個模型，筆者設(shè)計了如下開放性題目。
案例3 提出問題，強化模型
問題3 如圖10是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°;在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠B1A1 C1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB。若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合。將三角板A1B1C1繞點C（A1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點為M，設(shè)AC=a，兩塊三角板重疊部分的面積為S。若α為15°，試計算S。根據(jù)今天所學(xué)內(nèi)容，你能再對α進(jìn)行改變，并求出S嗎？
在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)三角板的方式加深對題目的理解與認(rèn)識，體會圖形運動的過程，接著對α角展開討論，從特殊的角度出發(fā)，如30°，解決問題后，再次變換角度為45°、60°，最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這些特殊角的問題，只需找出6個模型，所有問題就能順利解決，再次感悟到建模的重要性。甚至還有學(xué)生指出如果α角是一般角，也能利用之前的方法解決問題，區(qū)別在于涉及參數(shù)多了，還要對α角的范圍進(jìn)行討論。該名學(xué)生還大膽預(yù)測，如果得出了一般模型的答案，那么之前的特殊角問題就只需要完成代數(shù)式求值即可。筆者表揚并肯定其提出了一個極其價值的問題，鼓勵其他學(xué)生參與進(jìn)去，課后再進(jìn)行深入思考，以期得到上述6個模型的一般公式。
四、回歸實際，運用模型
當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了從簡單建模到復(fù)雜建模，再到模型的鞏固運用這一過程后，就基本具備了計算三角形邊的能力。歷史上三角函數(shù)的產(chǎn)生是基于對測量的需求。數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。
案例4 實際問題，創(chuàng)意解決
問題4 課后拓展：請同學(xué)們利用所學(xué)知識測量學(xué)校的旗桿高度。
將現(xiàn)實生活的問題帶到數(shù)學(xué)課堂中，引導(dǎo)學(xué)生積極動腦、勤于動手，在利用建模解決問題的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生對知識的遷移能力，讓他們用數(shù)學(xué)的眼光來研究問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值。課后的拓展題，學(xué)生貢獻(xiàn)出了多種測量學(xué)校旗桿高度的方法，讓人再次感受到數(shù)學(xué)建模的魅力。
“實戰(zhàn)演練”加深了學(xué)生對知識的理解，有助于學(xué)生建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)，一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，緩解了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的枯燥乏味，學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識得以培養(yǎng)，最終提升了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和可持續(xù)發(fā)展素養(yǎng)。
本課時的設(shè)計與實施，建立在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，筆者對教材中的核心知識點進(jìn)行了整合。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模時經(jīng)歷了從無到有的過程，從簡單基礎(chǔ)走向高階思考，思維得到進(jìn)階。
通過這節(jié)課的嘗試，我們看到了孩子們智慧火花的飛濺，看到了孩子們對知識的渴求，感受到數(shù)學(xué)不僅擁有“冰冷的美麗”，還能綻放靈動的色彩。
在今后的教學(xué)中，需不斷整合合適的教學(xué)資源，在課堂中注意對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生直擊知識的精髓，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識、數(shù)學(xué)模型思想，進(jìn)而提高學(xué)生 “學(xué)好數(shù)學(xué)”“用好數(shù)學(xué)”的能力。
（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）
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