霍燕

數(shù)學(xué)建模，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，建立起能近似刻畫并解決實(shí)際問(wèn)題的模型。它是一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)建模既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)習(xí)活動(dòng)中需注重學(xué)生合作探究能力的培養(yǎng)。因此，在銳角三角函數(shù)的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生合作探究、實(shí)驗(yàn)建模，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)。

筆者認(rèn)為，基礎(chǔ)知識(shí)的了然于心是建模的前提，首先需理清基礎(chǔ)知識(shí);建立模型是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，而給予學(xué)生充分的時(shí)間合作實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生更好地討論交流，是建模的有效方式;建立模型后的鞏固也是至關(guān)重要的，因此需進(jìn)一步練習(xí)，以便消化;建模最終是為了更好地解決實(shí)際問(wèn)題，因此，回歸問(wèn)題的本質(zhì)，利用模型，嘗試解決實(shí)際問(wèn)題也是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，提升建模信心

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握是數(shù)學(xué)建模能力提升的前提，學(xué)生只有充分理解并掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，方可更好地運(yùn)用知識(shí)本質(zhì)。因此，在教學(xué)中，教師需精心選擇問(wèn)題的切入點(diǎn)，從直擊核心的簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和建立下一步學(xué)習(xí)的信心。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，在這節(jié)復(fù)習(xí)課的開始，筆者對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了整合，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，展開教學(xué)。

案例1 銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用

問(wèn)題1 如圖1，小亮為了測(cè)量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測(cè)角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18[3]m的地面上，若測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30度，求教學(xué)樓的高度。

從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。模型一：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°。結(jié)論1.若BC=x，則AC=[3]x，AB=2x;結(jié)論2.若AC=x，則BC=[33]x，AB=[233]x;結(jié)論3.若AB=x，則BC=[12]x，AC=[32]x。將條件延伸至等腰直角三角形中，從而建立模型二：結(jié)論1.若斜邊為x，則兩直角邊均為[22]x;結(jié)論2.若兩直角邊為x，則斜邊為[2]x。

此題給出了具體的圖形，學(xué)生只需在圖形中找尋解決問(wèn)題的方法，實(shí)現(xiàn)建模學(xué)習(xí)的低起點(diǎn)。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出特殊角的直角三角形中的邊、角關(guān)系，通過(guò)比較所設(shè)未知數(shù)，學(xué)生容易得出結(jié)論;采用設(shè)最短邊的長(zhǎng)度的方法，可以更方便地求解問(wèn)題，從而領(lǐng)會(huì)到理解基礎(chǔ)知識(shí)本質(zhì)特征的重要性。建模后問(wèn)題的順利解決，讓學(xué)生覺得原來(lái)建模并不是高不可攀的復(fù)雜技能，提升了學(xué)習(xí)的積極性，為后續(xù)更復(fù)雜的建模嘗試做正面的心理建設(shè)與鋪墊。

二、合作實(shí)驗(yàn)，助力建模

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)的獲得依賴于學(xué)生自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而主動(dòng)建構(gòu)。因此，教師應(yīng)放棄滿堂灌及填鴨式的教學(xué)，而采用小組合作的形式組織教學(xué)。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、自主探索、合作交流，從而達(dá)到建模、解模的目的。為了解決本節(jié)課的核心問(wèn)題，筆者設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中合作交流，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)而得出模型，解決問(wèn)題。該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)。筆者給予學(xué)生充分的時(shí)間操作、探究、合作、交流、質(zhì)疑，最終構(gòu)建出了初中階段銳角三角函數(shù)這一章中最重要的六個(gè)基本模型。

案例2 實(shí)驗(yàn)活動(dòng)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

問(wèn)題2 活動(dòng)1.△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，沿著過(guò)點(diǎn)C的直線折疊，折疊后點(diǎn)B落在線段AB上。若BC=1，思考：可以求出哪些線段的長(zhǎng)度及哪些角的度數(shù)？

活動(dòng)2.用兩張三角形紙片拼接三角形（可重疊）。

操作：將圖3紙片沿著CD剪下，得到△ADC與△CDB。若有Rt△CDM（CM為斜邊，CD=DM），思考：將△ADC、△CDB、Rt△CDM重新拼接，能拼成一個(gè)新的三角形，則Rt△CDM（CM為斜邊，CD=DM）有什么樣的要求？請(qǐng)完成拼圖，并寫出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

通過(guò)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)合作過(guò)程中，建立如下6個(gè)模型（如圖4所示）。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)在作出高CD后，如果設(shè)CD=x，那么含特殊角的斜△ABC所有邊都可用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)了解特殊斜三角形的目的。學(xué)生還感知到添高是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。另外，學(xué)生還在討論交流中，得出了添哪條高更合適，實(shí)現(xiàn)了不破壞特殊角，構(gòu)建含特殊角的三角形解決一類問(wèn)題?；诎咐?，有學(xué)生指出，設(shè)最短邊來(lái)表示出的△ABC的各邊更簡(jiǎn)單，例如在圖8中，如果設(shè)BD=x，則CD=[3]x，BC=2x，AD=3x，AC=2[3]x，AB=4x。學(xué)生感悟到今后遇到此類問(wèn)題，未知數(shù)既可以直接設(shè)，也可以間接設(shè)，選取合適的方法，能使計(jì)算變得簡(jiǎn)便。

學(xué)生在剪一剪、拼一拼的過(guò)程中，感受到通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐可以得出結(jié)論。在合作交流中，學(xué)生思維火花的不斷碰撞產(chǎn)生的精彩生成，不僅發(fā)展了學(xué)生的表達(dá)能力，更提升了小組的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)與凝聚力。教師給予及時(shí)的點(diǎn)撥、評(píng)價(jià)有助于學(xué)生理解并反思。學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中思維得到拓展，創(chuàng)新意識(shí)和自主學(xué)習(xí)的能力得以進(jìn)一步提升。

三、鞏固提高，內(nèi)化模型

通過(guò)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的開展，學(xué)生得出了模型，而知識(shí)的靈活運(yùn)用需要在已學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、變式練習(xí)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向深層。在開展變式練習(xí)時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生洞察變化的外在特征，發(fā)現(xiàn)并抽象出不變的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。為了全面復(fù)習(xí)所得到的6個(gè)模型，筆者設(shè)計(jì)了如下開放性題目。

案例3 提出問(wèn)題，強(qiáng)化模型

問(wèn)題3 如圖10是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°;在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠B1A1 C1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB。若將邊A1C1與邊CA重合，其中點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合。將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C（A1）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中邊A1C1與邊AB的交點(diǎn)為M，設(shè)AC=a，兩塊三角板重疊部分的面積為S。若α為15°，試計(jì)算S。根據(jù)今天所學(xué)內(nèi)容，你能再對(duì)α進(jìn)行改變，并求出S嗎？

在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)三角板的方式加深對(duì)題目的理解與認(rèn)識(shí)，體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，接著對(duì)α角展開討論，從特殊的角度出發(fā)，如30°，解決問(wèn)題后，再次變換角度為45°、60°，最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這些特殊角的問(wèn)題，只需找出6個(gè)模型，所有問(wèn)題就能順利解決，再次感悟到建模的重要性。甚至還有學(xué)生指出如果α角是一般角，也能利用之前的方法解決問(wèn)題，區(qū)別在于涉及參數(shù)多了，還要對(duì)α角的范圍進(jìn)行討論。該名學(xué)生還大膽預(yù)測(cè)，如果得出了一般模型的答案，那么之前的特殊角問(wèn)題就只需要完成代數(shù)式求值即可。筆者表?yè)P(yáng)并肯定其提出了一個(gè)極其價(jià)值的問(wèn)題，鼓勵(lì)其他學(xué)生參與進(jìn)去，課后再進(jìn)行深入思考，以期得到上述6個(gè)模型的一般公式。

四、回歸實(shí)際，運(yùn)用模型

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單建模到復(fù)雜建模，再到模型的鞏固運(yùn)用這一過(guò)程后，就基本具備了計(jì)算三角形邊的能力。歷史上三角函數(shù)的產(chǎn)生是基于對(duì)測(cè)量的需求。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。

案例4 實(shí)際問(wèn)題，創(chuàng)意解決

問(wèn)題4 課后拓展：請(qǐng)同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校的旗桿高度。

將現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題帶到數(shù)學(xué)課堂中，引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)腦、勤于動(dòng)手，在利用建模解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，讓他們用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)研究問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。課后的拓展題，學(xué)生貢獻(xiàn)出了多種測(cè)量學(xué)校旗桿高度的方法，讓人再次感受到數(shù)學(xué)建模的魅力。

“實(shí)戰(zhàn)演練”加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，有助于學(xué)生建構(gòu)屬于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，緩解了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的枯燥乏味，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)得以培養(yǎng)，最終提升了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和可持續(xù)發(fā)展素養(yǎng)。

本課時(shí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，建立在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，筆者對(duì)教材中的核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了整合。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模時(shí)經(jīng)歷了從無(wú)到有的過(guò)程，從簡(jiǎn)單基礎(chǔ)走向高階思考，思維得到進(jìn)階。

通過(guò)這節(jié)課的嘗試，我們看到了孩子們智慧火花的飛濺，看到了孩子們對(duì)知識(shí)的渴求，感受到數(shù)學(xué)不僅擁有“冰冷的美麗”，還能綻放靈動(dòng)的色彩。

在今后的教學(xué)中，需不斷整合合適的教學(xué)資源，在課堂中注意對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生直擊知識(shí)的精髓，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)、數(shù)學(xué)模型思想，進(jìn)而提高學(xué)生 “學(xué)好數(shù)學(xué)”“用好數(shù)學(xué)”的能力。

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）