霍燕
數(shù)學(xué)建模,是運用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象、簡化,建立起能近似刻畫并解決實際問題的模型。它是一種強有力的數(shù)學(xué)手段。簡而言之,數(shù)學(xué)建模既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出,學(xué)習(xí)活動中需注重學(xué)生合作探究能力的培養(yǎng)。因此,在銳角三角函數(shù)的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)中,教師應(yīng)鼓勵學(xué)生合作探究、實驗建模,從而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力及創(chuàng)新意識。
筆者認(rèn)為,基礎(chǔ)知識的了然于心是建模的前提,首先需理清基礎(chǔ)知識;建立模型是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點,而給予學(xué)生充分的時間合作實驗有助于學(xué)生更好地討論交流,是建模的有效方式;建立模型后的鞏固也是至關(guān)重要的,因此需進(jìn)一步練習(xí),以便消化;建模最終是為了更好地解決實際問題,因此,回歸問題的本質(zhì),利用模型,嘗試解決實際問題也是很重要的一個環(huán)節(jié)。
一、夯實基礎(chǔ),提升建模信心
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的牢固掌握是數(shù)學(xué)建模能力提升的前提,學(xué)生只有充分理解并掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識,方可更好地運用知識本質(zhì)。因此,在教學(xué)中,教師需精心選擇問題的切入點,從直擊核心的簡單問題出發(fā),提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和建立下一步學(xué)習(xí)的信心。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模意識,在這節(jié)復(fù)習(xí)課的開始,筆者對教材內(nèi)容進(jìn)行了整合,從實際問題出發(fā),展開教學(xué)。
案例1 銳角三角函數(shù)的簡單運用
問題1 如圖1,小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度,將測角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18[3]m的地面上,若測角儀的高度為1.5m,測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30度,求教學(xué)樓的高度。
從實際問題出發(fā),將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。模型一:在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A=30°。結(jié)論1.若BC=x,則AC=[3]x,AB=2x;結(jié)論2.若AC=x,則BC=[33]x,AB=[233]x;結(jié)論3.若AB=x,則BC=[12]x,AC=[32]x。將條件延伸至等腰直角三角形中,從而建立模型二:結(jié)論1.若斜邊為x,則兩直角邊均為[22]x;結(jié)論2.若兩直角邊為x,則斜邊為[2]x。
此題給出了具體的圖形,學(xué)生只需在圖形中找尋解決問題的方法,實現(xiàn)建模學(xué)習(xí)的低起點。在教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生說出特殊角的直角三角形中的邊、角關(guān)系,通過比較所設(shè)未知數(shù),學(xué)生容易得出結(jié)論;采用設(shè)最短邊的長度的方法,可以更方便地求解問題,從而領(lǐng)會到理解基礎(chǔ)知識本質(zhì)特征的重要性。建模后問題的順利解決,讓學(xué)生覺得原來建模并不是高不可攀的復(fù)雜技能,提升了學(xué)習(xí)的積極性,為后續(xù)更復(fù)雜的建模嘗試做正面的心理建設(shè)與鋪墊。
二、合作實驗,助力建模
建構(gòu)主義認(rèn)為,知識的獲得依賴于學(xué)生自身已有的知識和經(jīng)驗,進(jìn)而主動建構(gòu)。因此,教師應(yīng)放棄滿堂灌及填鴨式的教學(xué),而采用小組合作的形式組織教學(xué)。學(xué)生通過動手操作、自主探索、合作交流,從而達(dá)到建模、解模的目的。為了解決本節(jié)課的核心問題,筆者設(shè)計了如下實驗活動,引導(dǎo)學(xué)生從實驗出發(fā),在實驗活動中合作交流,得出實驗結(jié)果,進(jìn)而得出模型,解決問題。該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點,也是本節(jié)課的難點。筆者給予學(xué)生充分的時間操作、探究、合作、交流、質(zhì)疑,最終構(gòu)建出了初中階段銳角三角函數(shù)這一章中最重要的六個基本模型。
案例2 實驗活動及實驗結(jié)果
問題2 活動1.△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,沿著過點C的直線折疊,折疊后點B落在線段AB上。若BC=1,思考:可以求出哪些線段的長度及哪些角的度數(shù)?
活動2.用兩張三角形紙片拼接三角形(可重疊)。
操作:將圖3紙片沿著CD剪下,得到△ADC與△CDB。若有Rt△CDM(CM為斜邊,CD=DM),思考:將△ADC、△CDB、Rt△CDM重新拼接,能拼成一個新的三角形,則Rt△CDM(CM為斜邊,CD=DM)有什么樣的要求?請完成拼圖,并寫出實驗結(jié)果。
通過兩個實驗活動,學(xué)生在實驗合作過程中,建立如下6個模型(如圖4所示)。
學(xué)生發(fā)現(xiàn)在作出高CD后,如果設(shè)CD=x,那么含特殊角的斜△ABC所有邊都可用含x的代數(shù)式表示出來,實現(xiàn)了解特殊斜三角形的目的。學(xué)生還感知到添高是解決問題的關(guān)鍵。另外,學(xué)生還在討論交流中,得出了添哪條高更合適,實現(xiàn)了不破壞特殊角,構(gòu)建含特殊角的三角形解決一類問題?;诎咐?,有學(xué)生指出,設(shè)最短邊來表示出的△ABC的各邊更簡單,例如在圖8中,如果設(shè)BD=x,則CD=[3]x,BC=2x,AD=3x,AC=2[3]x,AB=4x。學(xué)生感悟到今后遇到此類問題,未知數(shù)既可以直接設(shè),也可以間接設(shè),選取合適的方法,能使計算變得簡便。
學(xué)生在剪一剪、拼一拼的過程中,感受到通過動手實踐可以得出結(jié)論。在合作交流中,學(xué)生思維火花的不斷碰撞產(chǎn)生的精彩生成,不僅發(fā)展了學(xué)生的表達(dá)能力,更提升了小組的競爭意識與凝聚力。教師給予及時的點撥、評價有助于學(xué)生理解并反思。學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中思維得到拓展,創(chuàng)新意識和自主學(xué)習(xí)的能力得以進(jìn)一步提升。
三、鞏固提高,內(nèi)化模型
通過實驗活動的開展,學(xué)生得出了模型,而知識的靈活運用需要在已學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、變式練習(xí),使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向深層。在開展變式練習(xí)時,教師應(yīng)鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生洞察變化的外在特征,發(fā)現(xiàn)并抽象出不變的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。為了全面復(fù)習(xí)所得到的6個模型,筆者設(shè)計了如下開放性題目。
案例3 提出問題,強化模型
問題3 如圖10是一副學(xué)生用的三角板,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,∠B=30°;在△A1B1C1中,∠C1=90°,∠B1A1 C1=45°,∠B1=45°,且A1B1=CB。若將邊A1C1與邊CA重合,其中點A1與點C重合。將三角板A1B1C1繞點C(A1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為α,旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點為M,設(shè)AC=a,兩塊三角板重疊部分的面積為S。若α為15°,試計算S。根據(jù)今天所學(xué)內(nèi)容,你能再對α進(jìn)行改變,并求出S嗎?
在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)三角板的方式加深對題目的理解與認(rèn)識,體會圖形運動的過程,接著對α角展開討論,從特殊的角度出發(fā),如30°,解決問題后,再次變換角度為45°、60°,最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這些特殊角的問題,只需找出6個模型,所有問題就能順利解決,再次感悟到建模的重要性。甚至還有學(xué)生指出如果α角是一般角,也能利用之前的方法解決問題,區(qū)別在于涉及參數(shù)多了,還要對α角的范圍進(jìn)行討論。該名學(xué)生還大膽預(yù)測,如果得出了一般模型的答案,那么之前的特殊角問題就只需要完成代數(shù)式求值即可。筆者表揚并肯定其提出了一個極其價值的問題,鼓勵其他學(xué)生參與進(jìn)去,課后再進(jìn)行深入思考,以期得到上述6個模型的一般公式。
四、回歸實際,運用模型
當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了從簡單建模到復(fù)雜建模,再到模型的鞏固運用這一過程后,就基本具備了計算三角形邊的能力。歷史上三角函數(shù)的產(chǎn)生是基于對測量的需求。數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活。
案例4 實際問題,創(chuàng)意解決
問題4 課后拓展:請同學(xué)們利用所學(xué)知識測量學(xué)校的旗桿高度。
將現(xiàn)實生活的問題帶到數(shù)學(xué)課堂中,引導(dǎo)學(xué)生積極動腦、勤于動手,在利用建模解決問題的過程中,培養(yǎng)了學(xué)生對知識的遷移能力,讓他們用數(shù)學(xué)的眼光來研究問題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值。課后的拓展題,學(xué)生貢獻(xiàn)出了多種測量學(xué)校旗桿高度的方法,讓人再次感受到數(shù)學(xué)建模的魅力。
“實戰(zhàn)演練”加深了學(xué)生對知識的理解,有助于學(xué)生建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu),一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī),緩解了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的枯燥乏味,學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識得以培養(yǎng),最終提升了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和可持續(xù)發(fā)展素養(yǎng)。
本課時的設(shè)計與實施,建立在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上,筆者對教材中的核心知識點進(jìn)行了整合。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模時經(jīng)歷了從無到有的過程,從簡單基礎(chǔ)走向高階思考,思維得到進(jìn)階。
通過這節(jié)課的嘗試,我們看到了孩子們智慧火花的飛濺,看到了孩子們對知識的渴求,感受到數(shù)學(xué)不僅擁有“冰冷的美麗”,還能綻放靈動的色彩。
在今后的教學(xué)中,需不斷整合合適的教學(xué)資源,在課堂中注意對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),引領(lǐng)學(xué)生直擊知識的精髓,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識、數(shù)學(xué)模型思想,進(jìn)而提高學(xué)生 “學(xué)好數(shù)學(xué)”“用好數(shù)學(xué)”的能力。
(作者單位:江蘇省太倉市第一中學(xué))