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        淺談《理論力學(xué)》習(xí)題的多變性和靈活性

        2021-08-06 14:12:30李云濤
        科教導(dǎo)刊·電子版 2021年16期
        關(guān)鍵詞:方法

        李云濤

        (中國(guó)石油大學(xué)(北京) 北京 102249)

        1 研究背景與意義

        《理論力學(xué)》是機(jī)械類(lèi)等工科專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課程,為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程如《材料力學(xué)》《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》等奠定了必要的基礎(chǔ)?!独碚摿W(xué)》具有科學(xué)嚴(yán)密性和應(yīng)用靈活性,可以很好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、抽象簡(jiǎn)化能力、實(shí)踐應(yīng)用能力。

        《理論力學(xué)》的學(xué)習(xí)需通過(guò)一定量的習(xí)題訓(xùn)練才能熟練掌握。目前國(guó)內(nèi)高校普遍采用的教材大多較為經(jīng)典,市面上已出版多本針對(duì)各類(lèi)教材的課后習(xí)題解答。學(xué)生極易在文庫(kù)等網(wǎng)絡(luò)資源中找到課后習(xí)題答案,致使作業(yè)抄襲的現(xiàn)象較為普遍。但是,《理論力學(xué)》的習(xí)題一般具有多變性和靈活性的特點(diǎn),基于此,教師可以對(duì)一些經(jīng)典習(xí)題做出些許變化,或?qū)忸}方法做出必要的要求,并以“雨課堂”等網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)手段推送給學(xué)生,在一定程度上可以避免學(xué)生不加思考而抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。

        2 習(xí)題的多變性和靈活性

        《理論力學(xué)》習(xí)題的多變性體現(xiàn)在,對(duì)于同一道題目,可以通過(guò)些許的變化,使題目的求解過(guò)程和答案發(fā)生較大變化,即“一題多變”。例如,對(duì)于一些機(jī)構(gòu),可以增加約束使其成為靜力學(xué)問(wèn)題;或是對(duì)于一些結(jié)構(gòu),可以解除部分約束使其成為運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。當(dāng)然,也可以改變主動(dòng)力的作用位置等,對(duì)題目做出修改。這樣做的好處是在有限題目的基礎(chǔ)上,通過(guò)對(duì)課后習(xí)題的變形,將其轉(zhuǎn)化為一道獨(dú)特的題目,學(xué)生很難在網(wǎng)絡(luò)上搜索到答案。即使搜到原來(lái)的題目,也需要加以思考,在充分理解的基礎(chǔ)上,對(duì)變化后的題目做出解答。當(dāng)然,如果學(xué)生直接抄襲原題解答,在批改作業(yè)時(shí)也能一眼識(shí)別。這就在一定程度上避免了抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。

        《理論力學(xué)》習(xí)題的靈活性則體現(xiàn)在,同一道題往往有不同的解題方法,即“一題多解”。以動(dòng)力學(xué)題目為例,通常可以采用“動(dòng)能定理”,或是“動(dòng)量定理+動(dòng)量矩定理”,又或者是“達(dá)朗貝爾原理”等多種不同的方法作答。而在對(duì)動(dòng)力學(xué)題目做運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí),又可以通過(guò)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng),或是對(duì)全局運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)等多種方式進(jìn)行求解。在使用動(dòng)量矩定理時(shí),也可以對(duì)定點(diǎn)取矩,或是對(duì)質(zhì)心取矩,又或者是對(duì)瞬心取矩(當(dāng)瞬心與質(zhì)心的距離始終不變時(shí))。這樣組合起來(lái),每道題就會(huì)呈現(xiàn)出更多的解法。而網(wǎng)絡(luò)上搜到的題目答案,往往只是一種方法,若要求學(xué)生采用多種方法求解,那么也能在一定程度上避免抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。

        以下通過(guò)一道非常簡(jiǎn)單的例題加以體現(xiàn)。

        3 典型示例

        如圖1(a)所示,將一個(gè)長(zhǎng)度L,質(zhì)量m的均質(zhì)直桿AB(梯子)置于墻角。現(xiàn)在,我們?cè)黾右恍l件,使該題目分別變?yōu)殪o力學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,并通過(guò)多種不同方式對(duì)其中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解。

        圖1:題目示意圖(a)原題(b)受力分析圖(靜力學(xué)問(wèn)題)(c)受力分析圖及速度分析(動(dòng)力學(xué)問(wèn)題)(d)質(zhì)心速度(功率方程)

        3.1 題目的多變性示例

        如果AB桿處于靜止?fàn)顟B(tài),則該題為考慮摩擦的靜力學(xué)問(wèn)題。此時(shí),該題目設(shè)置為:假設(shè)墻面光滑,地面粗糙,并已知梯子與地面的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f,求梯子與水平面夾角 的最小值。

        對(duì)于該問(wèn)題,分析時(shí)首先繪出受力圖,如圖1(b)所示,包括重力P,A點(diǎn)的法向力FAN,摩擦力FS,B點(diǎn)處的法向力FB。將庫(kù)倫摩擦定律作為補(bǔ)充方程,建立FS和FAN的關(guān)系,進(jìn)而建立力系平衡方程求解。當(dāng)然,一種簡(jiǎn)便的方法是對(duì)FB和FAN的交點(diǎn)C取矩,可一步求解出摩擦力FS,此處不再贅述。

        還是圖1(a)所示的梯子,若假設(shè)墻面和地面均光滑,則AB桿將做平面運(yùn)動(dòng),當(dāng)AB桿與水平面夾角 時(shí),由靜止釋放,求釋放瞬時(shí)AB的角加速度。

        如此簡(jiǎn)單的變化,該題由靜力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)力學(xué)問(wèn)題,求解過(guò)程變得完全不同。分析該問(wèn)題時(shí),首先仍是繪出受力圖。由于地面光滑,如圖1(b)所示的受力圖中應(yīng)刪去FS,如圖1(c)所示。此類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解,可采用動(dòng)能定理、“動(dòng)量定理+動(dòng)量矩定理”等多種求解方式,具體求解思路在3.2中進(jìn)行闡述。

        圖1(a)所示的場(chǎng)景,不僅僅能變化成上述的兩種題目。例如,同樣是靜力學(xué)問(wèn)題,可以假設(shè)墻面與壁面均粗糙,并已知兩處的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù),求梯子與水平面夾角的最小值。這樣就變成了存在兩處摩擦的平衡問(wèn)題。又例如,對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,可以假設(shè)AB桿在下落的過(guò)程始終與墻面相接觸,求即將落地瞬間AB桿的角速度,以及A點(diǎn)的受力。這樣不僅考察了動(dòng)能定理,同時(shí)還考察了動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理,以及平面運(yùn)動(dòng)中求一點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法,題目變得更加綜合。

        3.2 題目的靈活性示例

        若墻面和地面均光滑,要求解AB桿由靜止釋放時(shí)的角加速度,則可通過(guò)多種方法實(shí)現(xiàn)。

        方法一:動(dòng)能定理。假設(shè)下降任意時(shí)間后,AB與水平面夾角為 ,如圖1(d)所示。對(duì)于做平面運(yùn)動(dòng)的剛體AB,動(dòng)能一般表示為隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的定能之和。此時(shí)需要表示出質(zhì)心的速度。而事實(shí)上,平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能的表達(dá)式,是由繞瞬心做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能推導(dǎo)而來(lái),因此,動(dòng)能可表示為T(mén)=0.5Jc2,其中 是角速度,Jc是AB桿對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,通過(guò)平行軸定理可求得為1/3 mL2。由動(dòng)能定理可知,動(dòng)能的增加量等于重力做的功即T=0.5mgL(sin-sin)。因此,對(duì)等式0.5mgL(sin-sin)=0.5 Jc2的等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo),并令 = ,即可求出AB桿在釋放瞬時(shí)的角加速度。

        方法二:功率方程。同樣假設(shè)下降任意時(shí)間后,AB與水平面夾角為 ,此時(shí)重力做功的功率為mg·v。其中,v是AB桿質(zhì)心的速度矢量,其大小為0.5 L。由幾何關(guān)系知速度v和重力mg的夾角為 ,如圖1(d)所示。由功率方程,功率mg·v=0.5mg Lcos等于動(dòng)能T=0.5 Jc2對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),題目得解。

        方法三:動(dòng)量矩定理(對(duì)質(zhì)心取矩)。采用該思路的一般解題方法,都是建立質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)求解,同時(shí)還需根據(jù)已知的A點(diǎn)和B點(diǎn)加速度方向,通過(guò)基點(diǎn)法建立AB桿角加速度與質(zhì)心加速度的關(guān)系。對(duì)于該題而言,此種解題方法較為繁瑣,此處不再贅述。

        方法四:動(dòng)量矩定理(對(duì)瞬心取矩)。在剛體平面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,若瞬心與質(zhì)心的距離始終保持不變,則可對(duì)瞬心使用動(dòng)量矩定理。該題目中,瞬心與質(zhì)心的距離始終為0.5L,滿(mǎn)足定理的使用條件。由于A、B兩點(diǎn)受力均通過(guò)瞬心C,其矩為零,通過(guò)對(duì)瞬心的動(dòng)量矩定理可直接列出角加速度與重力之間的關(guān)系。相對(duì)其他方法而言,該方法僅通過(guò)一個(gè)方程求解,最為簡(jiǎn)單。

        當(dāng)然,該題目還可采用達(dá)朗貝爾原理(動(dòng)靜法)求解??梢?jiàn),《理論力學(xué)》習(xí)題的解題思路較為靈活,在教學(xué)過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試不同的解題技巧,加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,同時(shí)也能更好地培養(yǎng)其邏輯思維能力。

        4 結(jié)論

        《理論力學(xué)》習(xí)題具有多變性和靈活性。多變性體現(xiàn)在,對(duì)于同一道題目,可以對(duì)受力情況做些許變化,使題目的求解發(fā)生較大變化。靈活性體現(xiàn)在同一道題往往可以有不同的解題思路。本文通過(guò)一道簡(jiǎn)單的例題對(duì)這種多變性和靈活性進(jìn)行了說(shuō)明。該題目做出些許變化,即可由靜力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。針對(duì)該簡(jiǎn)例的求解方法,可以覆蓋平面任意力系平衡方程、考慮摩擦的平衡問(wèn)題、平面運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理以及達(dá)朗貝爾原理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),具有很強(qiáng)的綜合性。在日常教學(xué)中,將題目加以變化或是要求學(xué)生采用多種解題方法求解,可以有效避免學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索答案并不加思考直接抄襲的現(xiàn)象。

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