唐驍 葉繼坤

摘要：針對(duì)高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問(wèn)題，提出了一種基于分?jǐn)?shù)階滑模控制理論的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方案。首先借助Fast Terminal滑模面設(shè)計(jì)思路，在Fast Terminal滑模動(dòng)態(tài)面中引入視線角速率的分?jǐn)?shù)階項(xiàng)，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)滑模超平面，然后，結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論，在分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)滑模超平面的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律，利用無(wú)窮狀態(tài)方法與Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律可使導(dǎo)彈視線角速率在2 s內(nèi)收斂，平均過(guò)載較小，且具有更高的制導(dǎo)精度，終端脫靶量在0.5 m以內(nèi)。

關(guān)鍵詞： 制導(dǎo)律;分?jǐn)?shù)階滑模;無(wú)窮狀態(tài)方法;有限時(shí)間收斂;高速機(jī)動(dòng)目標(biāo);攔截

中圖分類號(hào)：TJ765; V448 ??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? 文章編號(hào)： 1673-5048（2021）02-0021-06

0 引? 言

近年來(lái)，彈道導(dǎo)彈和臨近空間高超聲速飛行器等高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)威脅不斷涌現(xiàn)，其速度在馬赫數(shù)5以上，無(wú)固定彈道，能長(zhǎng)時(shí)間大范圍持續(xù)機(jī)動(dòng)，可對(duì)數(shù)千或上萬(wàn)公里外的軍事目標(biāo)實(shí)施全球打擊，給傳統(tǒng)的導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)帶來(lái)了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。學(xué)者采用了許多方法來(lái)研究針對(duì)高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的導(dǎo)引律，主要有基于比例導(dǎo)引的制導(dǎo)律[1-3]，比例導(dǎo)引律（PNG）因其形式簡(jiǎn)單，執(zhí)行效率高而被廣泛研究和應(yīng)用，如果目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)，PN制導(dǎo)律具有不錯(cuò)的制導(dǎo)精度，但在有目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下，其制導(dǎo)精度不高。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于預(yù)測(cè)控制的三維微分對(duì)策制導(dǎo)律，能在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下滿足能量消耗和制導(dǎo)精度等性能指標(biāo)，但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，需要信息較多。文獻(xiàn)[5]基于L2增益魯棒控制理論設(shè)計(jì)了L2增益制導(dǎo)律，可使視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，制導(dǎo)精度較高，但是沒(méi)有對(duì)能量消耗進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[6]針對(duì)攔截臨近空間高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)，基于有限時(shí)間理論，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律，能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)直接碰撞攔截，但過(guò)載指令變化劇烈，對(duì)執(zhí)行器要求較高。

隨著分?jǐn)?shù)階微積分（Fractional order calculus，F(xiàn)OC）理論的發(fā)展，F(xiàn)OC的工程應(yīng)用越來(lái)越廣泛[7-9]。不像整數(shù)階微分的不連續(xù)變化，F(xiàn)OC將傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的階次推廣到了非整數(shù)階，其反映的不再是點(diǎn)或者局部的性質(zhì)，而是綜合考慮了歷史和全局分布式的信息[10]，具有記憶和時(shí)間依賴性的現(xiàn)象。FOC的主要優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)少，形式簡(jiǎn)單，具有特殊記憶功能和穩(wěn)定特性，在制導(dǎo)和控制領(lǐng)域得到了越來(lái)越多的應(yīng)用。

文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種新的分?jǐn)?shù)階張力控制律，用于控制空間繩系統(tǒng)的快速穩(wěn)定。文獻(xiàn)[12]提出了一種求解分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的方法。文獻(xiàn)[13]對(duì)不同的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的控制時(shí)間進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[14]將FOC控制器應(yīng)用于彈體姿態(tài)控制，其控制效果優(yōu)于經(jīng)典PID控制。文獻(xiàn)[15]結(jié)合FOC理論和PN制導(dǎo)律，提出了PDλ制導(dǎo)律，避免了PN制導(dǎo)律的缺點(diǎn)，有較高的制導(dǎo)精度和較短的攔截時(shí)間。文獻(xiàn)[16]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于FOC理論的新型三維末制導(dǎo)律，制導(dǎo)精度高，攔截時(shí)間短，過(guò)載變化較為平穩(wěn)，解決了傳統(tǒng) PNG末端視線角速率發(fā)散導(dǎo)致的過(guò)載激增問(wèn)題，但對(duì)于高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截性能沒(méi)有研究。

在臨近空間高超聲速目標(biāo)或者導(dǎo)彈類目標(biāo)攔截中，常采用零化視線角速率和有限時(shí)間收斂理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，這類制導(dǎo)律雖然攔截精度高，但過(guò)載變化劇烈，總能量消耗較大。為此，本文結(jié)合FOC和有限時(shí)間收斂理論提出分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律。經(jīng)仿真驗(yàn)證，分?jǐn)?shù)階滑模面收斂性能優(yōu)于整數(shù)階滑模面，使得過(guò)載變化平緩，能在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下輸出較小的過(guò)載，達(dá)到更高的制導(dǎo)精度且能量消耗更小。

1 預(yù)備知識(shí)

分?jǐn)?shù)階微積分算子可以表示如下：

綜上所述，本文所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律能通過(guò)選取適合的參數(shù)，使得視線角速率在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，并最終沿著滑模面收斂至零。

4 仿真分析

為驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律（FOSMG）的有效性，在縱向平面內(nèi)，目標(biāo)采用圓弧機(jī)動(dòng)和正弦機(jī)動(dòng)兩種情形進(jìn)行數(shù)值仿真，并與快速終端滑模制導(dǎo)律（FTSMG）和比例導(dǎo)引律（PNG）進(jìn)行對(duì)比。

4.1 仿真條件

導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀模型可表示為[19]

T=ω2n（τs+1）（s2+2εωns+ω2n） （38）

在此自動(dòng)駕駛儀時(shí)間常數(shù)τ為0.5 s，阻尼常數(shù)ε取0.6，頻率ωn取18 rad/s。

首先定義仿真初始參數(shù)，攔截器與目標(biāo)的初始位置為RM=[016 000]m和RT = [35 000 20 000] m。攔截器初始速度VM =1 500 m/s，初始速度方向角為20°，目標(biāo)初始速度VT=1 800 m/s，初始速度方向角為180°。設(shè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式已知，視線角速度由紅外導(dǎo)引頭獲取[20]，彈目相對(duì)速度和距離通過(guò)射頻制導(dǎo)雷達(dá)獲取。

制導(dǎo)律能量消耗性能指標(biāo)選取如下：

J=∫Tend0a2M/Tend

制導(dǎo)律參數(shù)選取如表1所示。

4.2 目標(biāo)圓弧機(jī)動(dòng)

目標(biāo)以3g的縱向過(guò)載做圓弧機(jī)動(dòng)，仿真結(jié)果如圖3～5所示。

圖3給出了在目標(biāo)做圓弧機(jī)動(dòng)情況下，縱向平面內(nèi)的攔截彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡。結(jié)合圖4～5，在攔截過(guò)程中，PNG視線角速度變化緩慢，逐漸增大，最后過(guò)載趨于飽和。而FOSMG和FTSMG在制導(dǎo)攔截過(guò)程前期可以輸出較大的過(guò)載使得視線角速率很快收斂，在制導(dǎo)后期過(guò)載變化較小，攔截彈可用過(guò)載大，以應(yīng)對(duì)目標(biāo)后續(xù)機(jī)動(dòng)影響。 表2記錄了脫靶量、燃料消耗和攔截時(shí)間，結(jié)果表明：FOSMG能夠在與FTSMG攔截時(shí)間相當(dāng)?shù)那闆r下具有更小的脫靶量，相比于FTSMG脫靶量減小了35%，且能量消耗更少，PNG脫靶量較大。

4.3 目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)

目標(biāo)做正弦機(jī)動(dòng)，目標(biāo)的縱向過(guò)載變化規(guī)律為

仿真結(jié)果如圖 6～ 8所示。

圖6中，F(xiàn)OSMG的彈道介于PNG與FTSMG之間，彈道最為平直，最接近零控?cái)r截的狀態(tài)。結(jié)合圖7～8，F(xiàn)OSMG與FTSMG都能在制導(dǎo)初期做出較大機(jī)動(dòng)來(lái)調(diào)整彈道，使攔截彈達(dá)到零控?cái)r截的狀態(tài)。隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)，視線角速率發(fā)生變化，F(xiàn)TSMG一直施加較大過(guò)載，調(diào)整攔截彈跟隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)，對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，使視線角速率一直穩(wěn)定在零附近。FOSMG在制導(dǎo)初期過(guò)載略大于FTSMG，對(duì)視線角速率的調(diào)整更迅速，收斂速度更快，具有更高的制導(dǎo)精度，最大過(guò)載小于FTSMG。

表3考察了目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)時(shí)不同制導(dǎo)律的攔截能力。PNG脫靶量很大，無(wú)法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行直接碰撞攔截。FOSMG能量消耗略小于FTSMG。相對(duì)于FTSMG，F(xiàn)OSMG具有更小的脫靶量。

5 結(jié)? 論

針對(duì)高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截模式和制導(dǎo)需求，本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階滑?？刂频闹茖?dǎo)律設(shè)計(jì)方法。仿真結(jié)果表明，F(xiàn)OSMG能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精確攔截，且能量消耗更小，在迎頭攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)具有良好的攔截性能。

FOSMG不含切換項(xiàng)，沒(méi)有抖震，過(guò)載整體變化平穩(wěn)，最大過(guò)載較小，有利于彈上實(shí)現(xiàn)。分?jǐn)?shù)階的計(jì)算需要對(duì)歷史數(shù)據(jù)重復(fù)計(jì)算，解算時(shí)間長(zhǎng)，可以設(shè)計(jì)并行算法，縮短解算時(shí)間，隨著彈上計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力增強(qiáng)，工程應(yīng)用是可行的。

雖然能通過(guò)無(wú)限狀態(tài)方法和Lyapunov穩(wěn)定性理論證明視線角速率沿著分?jǐn)?shù)階滑模面收斂，但收斂時(shí)間和收斂方式由分?jǐn)?shù)階的階次等多個(gè)參數(shù)決定，各個(gè)參數(shù)間的關(guān)系以及如何選取具有最優(yōu)攔截性能的參數(shù)還需進(jìn)一步探究。

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Fractional Sliding Mode Guidance Law for

High Speed Maneuvering Targets

Tang Xiao，Ye Jikun*

（Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xian 710051，China）

Abstract： Aiming at the interception problem of high speed maneuvering targets，a guidance law design scheme based on fractional-order sliding mode control theory is proposed. First，with the idea of fast terminal sliding mode plane，fractional order terms of line-of-sight angle rate are introduced into the fast terminal sliding mode dynamic plane to construct a fractional order dynamic sliding mode hyperplane. Then，combined with fractional calculus theory，the fractional sliding mode guidance law is derived on the basis of fractional dynamic sliding mode hyperplane，and the stability of fractional sliding mode guidance law is proved by using infinite state method and Lyapunov stability theory. The simulation results show that the guidance law can make the line-of-sight? angle rate converge within 2 s，the average overload is small，the guidance accuracy is higher，and the terminal miss distance is within 0.5 m.

Key words： guidance law;fractional sliding mode;infinite state method;finite time convergence;high speed maneuvering target;interception

收稿日期：2020-08-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61703421）

作者簡(jiǎn)介：唐驍（1995-），男，四川安岳人，碩士研究生，研究方向是飛行器制導(dǎo)控制。

通訊作者：葉繼坤（1984-），男，山東聊城人，副教授，研究方向是飛行器制導(dǎo)控制。