葉欣 單彥廣

(上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 上海 200093)

為了研究疏水表面垂直振動(dòng)液滴的運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 本文建立了振動(dòng)液滴的三維模型, 考慮了振動(dòng)液滴的動(dòng)態(tài)接觸角變化過程, 通過流體體積函數(shù)和連續(xù)表面張力(volume of fluid-continue surface force, VOF-CSF)方法實(shí)現(xiàn)了液滴受迫振動(dòng)的數(shù)值模擬, 得到了液滴的四種模態(tài)(2, 4, 6和8)動(dòng)態(tài)演化過程、內(nèi)部流場結(jié)構(gòu)以及動(dòng)態(tài)接觸角的變化規(guī)律. 隨著振動(dòng)加速度的改變, 液滴可表現(xiàn)出豐富的模態(tài), 而具體模態(tài)依賴于振動(dòng)加速度的頻率變化. 以此為基礎(chǔ), 本文對(duì)液滴的內(nèi)部流場結(jié)構(gòu)做了進(jìn)一步的分析. 在模態(tài)2和模態(tài)4時(shí), 液滴內(nèi)部流動(dòng)從底部向上產(chǎn)生“Y”型流動(dòng), 而在模態(tài)6和模態(tài)8時(shí)呈現(xiàn)對(duì)稱的渦流動(dòng). 且共振模態(tài)階數(shù)越高, 液滴內(nèi)部速度平均值越大. 液滴振動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)接觸角明顯偏離靜態(tài)接觸角, 表明液滴振動(dòng)模型有必要考慮動(dòng)態(tài)接觸角. 模擬結(jié)果與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了對(duì)比, 結(jié)果符合良好.

1 引 言

固著表面振動(dòng)液滴在強(qiáng)化傳熱、調(diào)控蒸發(fā)自組裝過程以及微流控芯片等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用[1-7]. 早在19世紀(jì)就有學(xué)者開始研究液滴的振動(dòng), Kelvin[8]和Rayleigh[9]對(duì)共振頻率下引起無黏自由液滴的動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行了研究. 1932年Lamb[10]提出了自由液滴在不同的共振模態(tài)下的振動(dòng)頻率計(jì)算公式, 稱為Rayleigh共振頻率公式. Strani和Sabetta[11]在不計(jì)重力的情況下, 對(duì)附著于固體表面上的非黏性液滴的軸對(duì)稱振動(dòng)進(jìn)行了研究, 與Lamb的研究不同在于, Strani和Sabetta從理論上分析了釘扎在固體表面上的液滴振動(dòng), 發(fā)現(xiàn)釘扎在固體表面上的液滴的第一模態(tài)形狀類似于自由液滴的第二模態(tài)形狀; 研究還發(fā)現(xiàn)第n振動(dòng)模態(tài)中的無量綱固有頻率可以表示為接觸半徑與液滴半徑之比的函數(shù). 之后, 大量論文討論自由液滴振動(dòng)的性質(zhì), 主要探討液滴的振動(dòng)方向、共振頻率、運(yùn)動(dòng)方向等方面的特征[12-17].

為深入研究液滴的振動(dòng)特性, 大多數(shù)文章通過實(shí)驗(yàn)研究液滴的振動(dòng)特性. Brunet等[14], Noblin等[15]及Dong等[16]對(duì)在傾斜表面、垂直及水平方向上振動(dòng)的液滴運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行了研究. 周建臣等[17]實(shí)驗(yàn)研究了液滴在不同頻率下的垂直振動(dòng)特性, 研究發(fā)現(xiàn)液滴對(duì)外界驅(qū)動(dòng)的不同響應(yīng)與接觸線的振蕩行為、變形程度密切相關(guān). 近些年諸多學(xué)者通過實(shí)驗(yàn)研究自由液滴表面出現(xiàn)重力波的振動(dòng)頻率范圍[18-21]. Noblin等[18]研究了接觸角和滯后作用對(duì)液滴振動(dòng)模態(tài)的影響, 實(shí)驗(yàn)通過改變垂直振動(dòng)的頻率和振幅觀察到接觸線固著-移動(dòng)兩種類型的振動(dòng)模態(tài). Shin和Lim[19], Kim和Lim[20]以及Park等[21]針對(duì)疏水玻璃片上垂直振動(dòng)液滴內(nèi)部的流動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了研究, 實(shí)驗(yàn)研究得到液滴垂直振動(dòng)的2, 4,6, 8四種振動(dòng)模態(tài), 在模態(tài)2和模態(tài)4下液滴內(nèi)部呈現(xiàn)“Y”型流動(dòng), 而在模態(tài)6和模態(tài)8頻率下呈現(xiàn)對(duì)稱的渦流動(dòng), 此外通過粒子圖像測速法測量(particle image velocimetry, PIV)發(fā)現(xiàn)模態(tài)4的流速大于模態(tài)2, 模態(tài)6和8的流速幾乎相同.Ramos[22]針對(duì)超疏水表面微液滴在不同振幅下的振動(dòng)特性, 得出超疏水表面微液滴可看作自由液滴的結(jié)論. 只有少數(shù)文章通過數(shù)值模擬研究固體表面上液滴的振動(dòng)問題[23-25]. James等[25]實(shí)現(xiàn)了固體表面上單個(gè)液滴在低頻和小振幅垂直振動(dòng)下的數(shù)值模擬, 研究發(fā)現(xiàn)振動(dòng)導(dǎo)致自由液滴表面形成重力波, 當(dāng)振幅高于臨界值時(shí)會(huì)引發(fā)液滴破裂.

基于以上實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn), 液滴內(nèi)部流動(dòng)具有清晰的三維特征, 并且接觸角變化是關(guān)鍵參數(shù)之一.目前關(guān)于液滴振動(dòng)的研究主要是通過實(shí)驗(yàn)測定振動(dòng)頻率、振幅和周期等因素對(duì)液滴內(nèi)部流動(dòng)產(chǎn)生的影響[19-21]. 而在實(shí)驗(yàn)研究中, 由于透鏡效應(yīng), 導(dǎo)致無法準(zhǔn)確測量到液滴自由界面附近邊緣層的流動(dòng)特征. 因此, 本文在考慮動(dòng)態(tài)接觸角的情況下, 建立了三維液滴振動(dòng)模型, 實(shí)現(xiàn)了液滴在疏水表面上垂直振動(dòng)的三維數(shù)值模擬, 獲得了液滴在不同頻率下垂直振動(dòng)的四種模態(tài), 預(yù)測了不同共振模態(tài)下液滴的內(nèi)部流場結(jié)構(gòu), 有助于彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)測量時(shí)由于存在透鏡效應(yīng)而導(dǎo)致液滴自由界面附近邊緣層流場不準(zhǔn)確的局限性.

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 物理問題及假定

當(dāng)基底受到強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí), 液滴隨基底垂直上下振動(dòng), 當(dāng)驅(qū)動(dòng)加速度超過某一臨界值時(shí), 液滴的內(nèi)表面和外表面由于振動(dòng)的影響產(chǎn)生壓力差, 在壓力差的作用下形成表面波. 隨著振動(dòng)的進(jìn)行, 表面波疊加形成葉瓣, 導(dǎo)致液滴發(fā)生形變. 液滴在上下振動(dòng)時(shí), 其內(nèi)部的流動(dòng)受到幾何形狀的限制, 在重力和黏性力的共同作用下, 形成渦流動(dòng)或回流. 故在不同頻率下的垂直振動(dòng), 液滴內(nèi)部形成不同的流場結(jié)構(gòu).

根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)研究[19-21]可知液滴在特定的頻率下會(huì)呈現(xiàn)共振模態(tài). 當(dāng)液滴處于共振模態(tài)時(shí),表面波疊加形成葉瓣, 葉瓣與葉瓣之間會(huì)出現(xiàn)節(jié)點(diǎn), 液滴的振動(dòng)模態(tài)階數(shù)等于節(jié)點(diǎn)數(shù). 在共振模態(tài)時(shí)液滴表面形成的葉瓣是以中心線為軸對(duì)稱分布,葉瓣大小和數(shù)量相同, 所以液滴內(nèi)部的微流動(dòng)是軸對(duì)稱的. 本文主要研究液滴在垂直振動(dòng)下的2, 4,6和8四種共振模態(tài)及其內(nèi)部微流動(dòng), 故對(duì)三維液滴的振動(dòng)過程做出如下假設(shè):

1)液滴內(nèi)部的流動(dòng)是不可壓縮的, 并且在垂直振動(dòng)下是軸對(duì)稱的;

2)由于液滴的振動(dòng)周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于同質(zhì)量同體積的液滴蒸發(fā)的時(shí)間, 所以液滴振動(dòng)過程不考慮自然蒸發(fā);

3)由于本次模擬的液滴半徑約為1.14 mm,小于毛細(xì)長度約為2.73 mm, 其中g(shù)是重力加速度,ρl是液滴密度,σ是表面張力),相較于表面張力, 重力對(duì)液滴形狀的影響可忽略不計(jì), 因此將疏水表面上的微液滴視為球冠形.

基于以上假設(shè), 本文采用VOF-CSF模型[26,27]對(duì)三維液滴的振動(dòng)過程進(jìn)行模擬.

2.2 VOF模型

本文模擬的液滴振動(dòng)涉及氣液兩相和相界面的形變, 需要得到氣液兩相的交界面, 因此可以采用VOF模型[26]. 設(shè)定空氣為主相, 液態(tài)水為次相.氣液兩相共用一套動(dòng)量方程, 通過引進(jìn)相體積分?jǐn)?shù)這一變量, 實(shí)現(xiàn)對(duì)每一個(gè)計(jì)算單元相界面的追蹤,氣液界面采用幾何重建法處理. 模型控制方程如下.

連續(xù)性方程:

其中αs為次相體積分?jǐn)?shù);vs為次相速度. 主相體積分?jǐn)?shù)不能通過該方程求解, 主相與次相體積分?jǐn)?shù)之和為1,

動(dòng)量方程:

式中,p為靜態(tài)壓力;v是流體速度,F是表面張力所導(dǎo)致的源項(xiàng);ρ和μ分 別代 表平 均 密度 和動(dòng) 力黏度:

(4)式和(5)式中下標(biāo) p 和 s 分別表示主相和次相.

2.3 連續(xù)表面張力(CSF)模型

動(dòng)量方程(3)式中的表面張力F采用Brackbill等[27]提出的CSF模型進(jìn)行處理. CSF模型主要是將VOF計(jì)算中附加的表面張力處理為一體積力,把該體積力作為源項(xiàng)加入到動(dòng)量方程中. 本文模擬中只涉及水和空氣相, 所以(3)式中的體積力F在CSF中的表達(dá)方程式如下:

式中,σ為氣液兩相表面張力;κs為次相與主相之間的界面曲率, 通過垂直于相界面的表面局部梯度計(jì)算得到:

式中,n為相界面單位向量,n通過次相體積分?jǐn)?shù)梯度計(jì)算得到, 如下式所示:

在VOF模型中采用連續(xù)表面張力模型時(shí)需要給定壁面接觸角, 用于調(diào)整壁面附近單元表面的法向,壁面附近的實(shí)際單元的表面法向量表示為:

式中,nw和tw分別是壁面的單位法向量和切向量;θ為接觸角.

2.4 接觸角模型

(9)式取決于接觸角θ, Chernova等[28]指出,有必要考慮接觸角的動(dòng)態(tài)變化, 才能對(duì)液滴的內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行正確的數(shù)值模擬. 根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)研究表明, 動(dòng)態(tài)接觸角與接觸線移動(dòng)速度、液體物性、靜接觸角等因素相關(guān). 本文液滴在疏水表面上振動(dòng),其接觸角遲滯現(xiàn)象相對(duì)較小, 因此本文忽略接觸角遲滯現(xiàn)象, 為了能夠同時(shí)處理前進(jìn)接觸角和后退接觸角, 采用Kistler經(jīng)驗(yàn)公式[29]來計(jì)算動(dòng)態(tài)接觸角:

式中,θ0為初始接觸角;θD為運(yùn)動(dòng)過程中隨速度變化的接觸角,Ca為毛細(xì)數(shù);u為接觸線變化速度.

2.5 網(wǎng)格劃分與邊界條件

如圖1所示, 計(jì)算區(qū)域?yàn)檎襟w空間, 尺寸為3 mm × 3 mm × 3 mm, 整個(gè)計(jì)算空間可滿足液滴在振動(dòng)條件下的振動(dòng)幅度范圍和計(jì)算要求. 體積為5 μL 的液滴被布置在XY平面的中心位置上,XY平面是接觸角為 1 15°的疏水表面, 周圍是空氣,其他邊界均設(shè)置為壁面邊界. 網(wǎng)格劃分采用非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格, 為了選取合適的最小的計(jì)算單元,嘗試不同大小的網(wǎng)格尺寸, 分別用0.02, 0.03, 0.04和0.05 mm的網(wǎng)格尺寸對(duì)液滴進(jìn)行了模擬, 模擬得到的液滴形態(tài)和內(nèi)部流動(dòng)情況偏差較小, 因此選用網(wǎng)格尺寸為0.04 mm, 既能達(dá)到模擬精度, 又可節(jié)約計(jì)算時(shí)間.

圖1 三維模擬計(jì)算區(qū)域(3 mm × 3 mm × 3 mm)Fig. 1. 3D computational domain (3 mm × 3 mm × 3 mm).

底面采用無滑移邊界條件, 即液滴和底面接觸處的流體速度等于底面的速度. 計(jì)算工質(zhì)為空氣和水, 空氣為主相, 液態(tài)水為次相, 通過改變振動(dòng)加速度函數(shù)的共振頻率, 研究不同共振頻率對(duì)液滴形態(tài)變化和內(nèi)部流動(dòng)規(guī)律的影響. 在基板上施加一個(gè)振動(dòng)加速度, 使液滴做垂直振動(dòng):

其中a為振動(dòng)加速度;f表示液滴的共振頻率;A為振幅, 模態(tài)2, 4, 6和8的振幅A分別為0.022, 0.046,0.013和0.0035 mm.

Lamb[10]總結(jié)出自由微液滴共振模態(tài)下的不同共振頻率計(jì)算公式, 稱為Rayleigh共振頻率, 表示為

其中f表示液滴的共振頻率;V,ρ和σ分別指液滴的體積、密度和表面張力;n是不小于2的整數(shù), 表示模態(tài)數(shù). 將液滴參數(shù)(ρ= 998 kg/m3,V= 5 μ L ,σ= 0.0728 N/m)代入(14)式, 計(jì)算得到模態(tài)2, 4,6和8的共振頻率. 見表1可知, 由Rayleigh方程計(jì)算所得的共振頻率與實(shí)驗(yàn)所得的共振頻率較為接近.

表1 共振頻率的理論值和實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Table 1. Comparisons of theoretical and experimental results for resonance frequency of a 5 μ L droplet.

3 結(jié)果與討論

3.1 振動(dòng)模態(tài)

圖2是體積為5 μ L 的液滴放置在水平的115°疏水表面上, 模擬的垂直振動(dòng)下液滴的四種模態(tài)形貌與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[20]的對(duì)比圖. 圖2(a)是液滴在疏水表面上的共振模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 圖2(b)是液滴共振模態(tài)的模擬結(jié)果, 模擬所用共振頻率為表1中Rayleigh方程計(jì)算值. 由圖可知, 模擬所得的液滴模態(tài)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好, 這驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的可靠性. 根據(jù)前文所提, 因振動(dòng)形成的波會(huì)在液滴表面疊加形成葉瓣, 且共振模態(tài)階數(shù)即為節(jié)點(diǎn)數(shù).圖2中為了正確識(shí)別葉瓣, 葉瓣節(jié)點(diǎn)處以箭頭突出顯示. 如圖2所示液滴在四種共振模態(tài)中呈現(xiàn)出豐富的形態(tài)變化, 表面形成的葉瓣數(shù)目和節(jié)點(diǎn)數(shù)也有所不同. 圖2中表明葉瓣數(shù)目隨著共振模態(tài)階數(shù)的增加而增加, 葉瓣尺寸卻隨之減小. 因此, 當(dāng)液滴處于模態(tài)8時(shí), 由于葉瓣數(shù)目較多而葉瓣又較小導(dǎo)致識(shí)別困難. 結(jié)果表明, 模擬得到的液滴模態(tài)與實(shí)驗(yàn)中的液滴模態(tài)吻合良好.

圖2 疏水表面上液滴共振模態(tài)(2, 4, 6和8)的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比 (a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果[20]; (b) 模擬結(jié)果Fig. 2. Comparisons of the resonance modes (2, 4, 6, and 8) of a vibrating water drop on a hydrophobic surface: (a) Experimental results[20]; (b) simulation results.

3.2 液滴振動(dòng)模態(tài)的動(dòng)態(tài)演化過程

圖3是模擬的液滴分別在2, 4, 6和8模態(tài)一個(gè)周期內(nèi)的形狀變化與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[21]的對(duì)比圖. 由圖3可知, 模擬所得到的液滴形態(tài)的變化與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好. 隨著共振模態(tài)階數(shù)的增加, 液滴的振動(dòng)周期越來越短, 約為12.4, 4.0, 2.0和1.2 ms. 這一現(xiàn)象與共振頻率以及振動(dòng)幅度大小有關(guān), 模態(tài)階數(shù)越高, 共振頻率越大, 振動(dòng)周期越短. 前一個(gè)周期的最后相位與后一周期的第一相位重合. 如圖3所示, 液滴在模態(tài)6和8中形貌變化更豐富, 在模態(tài)2和4中則變化的相對(duì)簡單. 因?yàn)樵诟唠A模態(tài)中, 共振頻率較大, 液滴表面形成的波不斷疊加形成的葉瓣數(shù)更多, 導(dǎo)致模態(tài)6和8中的液滴呈現(xiàn)更豐富的形貌變化.

圖3 液滴在2, 4, 6和8共振模態(tài)下一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)形貌變化的實(shí)驗(yàn)[21]與模擬結(jié)果對(duì)比Fig. 3. Comparisons between the experimental[21] and simulation results of the droplet shape evolution during one cycle of the vibration at resonance modes 2, 4, 6 and 8.

3.3 液滴振動(dòng)過程的內(nèi)部流場結(jié)構(gòu)

目前關(guān)于液滴垂直振動(dòng)的研究主要是通過實(shí)驗(yàn)測定液滴振動(dòng)周期、形狀、內(nèi)部流動(dòng)方式, 由于實(shí)驗(yàn)測量時(shí)存在透鏡效應(yīng), 導(dǎo)致無法準(zhǔn)確測量液滴自由界面附近邊緣層的流動(dòng)特征. 為了進(jìn)一步了解液滴垂直振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 模擬三維液滴在共振模態(tài)2, 4, 6和8下的運(yùn)動(dòng)情況, 獲得液滴內(nèi)部的流場結(jié)構(gòu).

圖4 是液滴在模態(tài)2, 4, 6和8下內(nèi)部流場的三維視圖, 可以看出在每種模態(tài)下, 液滴內(nèi)部的微流動(dòng)都呈現(xiàn)軸對(duì)稱的渦流動(dòng). 液滴在模態(tài)2和4下, 液滴中心流動(dòng)向上呈現(xiàn)“Y”型, 周圍伴隨著渦流動(dòng); 而在模態(tài)6和8時(shí), 液滴中心流動(dòng)向上到達(dá)液滴頂部, 周圍同樣伴隨著渦流動(dòng). 為了進(jìn)一步了解液滴內(nèi)部的流場結(jié)構(gòu), 在圖5中對(duì)液滴內(nèi)部的二維剖面進(jìn)行分析并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比. 圖5是2,4, 6和8模態(tài)下液滴內(nèi)部的速度場模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[20]對(duì)比, 左側(cè)是液滴內(nèi)部流動(dòng)的可視化實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 右側(cè)是模擬的液滴內(nèi)部速度流線圖. 隨著模態(tài)階數(shù)的增加, 多樣化的流動(dòng)模式得到了體現(xiàn).

圖4 在2, 4, 6和8模態(tài)下液滴內(nèi)部的三維流場圖Fig. 4. The three-dimensional flow field inside the droplet at modes 2, 4, 6, and 8.

圖5 液滴在2, 4, 6和8共振模態(tài)下內(nèi)部流動(dòng)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)[20]與模擬結(jié)果對(duì)比 (a) 模態(tài)2; (b) 模態(tài)4; (c) 模態(tài)6; (d) 模態(tài)8Fig. 5. Comparisons between the experimental[20]and simulation results of the internal flow structure of the droplet during the vibration at modes 2, 4, 6 and 8: (a) Mode 2; (b) mode 4; (c) mode 6; (d) mode 2.

圖5 (a)是液滴在模態(tài)2振動(dòng)時(shí)內(nèi)部的速度場模擬結(jié)果. 液滴在振動(dòng)開始時(shí), 底端的流體受力向上流動(dòng), 頂端流體則因?yàn)橹亓τ绊懴蛳铝鲃?dòng), 并在液滴上部形成對(duì)稱的回流. 隨著振動(dòng)時(shí)間的增加,液滴的主體流動(dòng)由中間向上, 經(jīng)過液滴上側(cè)葉瓣疊加的節(jié)點(diǎn)處, 再沿著液滴表面回到三相接觸線上,同時(shí)在重力和黏性力的共同作用下, 在液滴中心軸兩側(cè)形成對(duì)稱的渦流動(dòng). 圖5(b)顯示了模態(tài)4的內(nèi)部流場, 與模態(tài)2流動(dòng)方式類似, 內(nèi)部流動(dòng)皆是自底部中心向上的循環(huán)流動(dòng), 最后返回液滴的中心. 模態(tài)4中的流型更長, 且產(chǎn)生的循環(huán)流動(dòng)位置和大小與模態(tài)2不一樣, 在液滴上部會(huì)形成一個(gè)渦環(huán). 故液滴在模態(tài)2和模態(tài)4中內(nèi)部流動(dòng)都呈現(xiàn)“Y”型流動(dòng).

圖5(c),(d)分別是模態(tài)6和模態(tài)8的內(nèi)部流動(dòng)情況. 如圖所示, 與模態(tài)2和模態(tài)4的流型不同,以液滴中心線為軸形成兩個(gè)大尺寸的渦流動(dòng), 并且在模態(tài)6時(shí), 液滴邊緣處出現(xiàn)渦流動(dòng), 而在模態(tài)8時(shí), 液滴邊緣處則沒有出現(xiàn)渦流動(dòng). 出現(xiàn)這種情況的原因是液滴在模態(tài)8時(shí)表面形成的葉瓣較多且較小, 幾何空間不足以誘導(dǎo)形成回流. 因此, 在模態(tài)6和模態(tài)8中液滴的內(nèi)部流動(dòng)循環(huán)變大形成對(duì)稱的渦流動(dòng)而不是“Y”型流動(dòng).

為了進(jìn)一步探究液滴的內(nèi)部流動(dòng)規(guī)律, 對(duì)液滴中心底部的垂直速度進(jìn)行了計(jì)算. 在實(shí)驗(yàn)測量時(shí),由于存在透鏡效應(yīng), 通常是選取某一特定區(qū)域測量速度值, 無法準(zhǔn)確測量液滴內(nèi)部完整區(qū)域的速度值[20,21]. 為了與實(shí)驗(yàn)測量速度值對(duì)比, 選取了同樣區(qū)域計(jì)算了液滴的平均垂直速度, 表2為液滴在四種共振模態(tài)下周期內(nèi)的垂直速度平均值的實(shí)驗(yàn)值[20]與模擬計(jì)算值. 從表2中可以看出, 模擬值與實(shí)驗(yàn)值呈現(xiàn)同樣的趨勢, 在模態(tài)4時(shí)液滴速度平均值約為模態(tài)2速度值的兩倍; 而模態(tài)6和模態(tài)8的速度差值不大. 模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)值上存在一定的差距. 從速度大小和量級(jí)上來看, 模擬的液滴速度應(yīng)該小于或接近基板速度. 通過估算基板速度發(fā)現(xiàn)模擬得到的液滴局部區(qū)域平均速度值和基板速度值接近, 因此理論上模擬結(jié)果是準(zhǔn)確的. 實(shí)驗(yàn)和模擬數(shù)據(jù)之間的差異可能主要是實(shí)驗(yàn)條件和測量誤差導(dǎo)致.

表2 液滴在模態(tài)2, 4, 6和8下中心底部的平均垂直速度的實(shí)驗(yàn)[20]與模擬對(duì)比Table 2. Comparisons between the experimental[20] and simulation results of averaged vertical velocity at the central bottom region of the droplet in modes 2, 4, 6, and 8.

圖6為液滴完整區(qū)域在2, 4, 6和8模態(tài)下的平均速度隨時(shí)間的變化曲線圖. 從圖6中可以看出, 四種模態(tài)下的液滴平均速度皆呈現(xiàn)正弦波動(dòng)變化趨勢, 且平均速度的峰值按模態(tài)階數(shù)的高低排序, 在模態(tài)8時(shí)的液滴平均速度峰值達(dá)到最大. 在模態(tài)2時(shí)由于振動(dòng)頻率較低, 液滴內(nèi)部速度變化趨于平緩, 而其他高頻模態(tài)下液滴速度波動(dòng)較大.

圖6 在2, 4, 6和8共振模態(tài)下液滴內(nèi)部平均速度隨時(shí)間的變化Fig. 6. The variations of the velocity with time at modes 2,4, 6, and 8.

3.4 液滴振動(dòng)過程中動(dòng)態(tài)接觸角的變化

液滴在隨基板垂直振動(dòng)過程中, 由于接觸角的變化量不為零, 因此有必要考慮接觸角變化對(duì)液滴振動(dòng)形態(tài)演變的影響. 如圖7所示, 考慮動(dòng)態(tài)接觸角模擬得到的模態(tài)2液滴振動(dòng)幅值隨時(shí)間變化曲線(Num.1)和考慮靜態(tài)接觸角模擬得到的模態(tài)2液滴振動(dòng)幅值曲線(Num.2)具有相似的趨勢, 但在峰值上有一定的差異, 曲線(Num.1)和實(shí)驗(yàn)測得的幅值變化曲線(Exp.)更為接近. 不考慮動(dòng)態(tài)接觸角就會(huì)導(dǎo)致模擬的液滴高度偏低, 從而影響準(zhǔn)確模擬液滴形態(tài)演化. 所以, 模擬中考慮了動(dòng)態(tài)接觸角的影響.

圖7 在模態(tài)2時(shí)液滴振動(dòng)幅值隨時(shí)間的變化. Num.1: 動(dòng)態(tài)接觸角; Num.2: 靜態(tài)接觸角; Exp.: 實(shí)驗(yàn)[20]Fig. 7. The variations of droplet vibration amplitude with time at mode 2. Num.1: dynamic wetting angle; Num.2:static contact angle; Exp.: experiment[20].

圖8 給出了在4種模態(tài)下液滴的動(dòng)態(tài)接觸角隨時(shí)間的變化規(guī)律. 從圖8中可以看到, 在四種不同模態(tài)下, 液滴的動(dòng)態(tài)接觸角都是以先增大到波峰再減小到波谷這樣的趨勢變化. 當(dāng)施加振動(dòng)加速度后, 液滴的接觸線受振動(dòng)作用, 液滴從接觸線附近開始加速運(yùn)動(dòng), 動(dòng)態(tài)接觸角開始增大, 此時(shí)動(dòng)態(tài)接觸角大于靜態(tài)接觸角為前進(jìn)接觸角. 隨著振動(dòng)持續(xù)液滴表面形成波瓣導(dǎo)致液滴變形, 液滴邊緣的壓力逐漸增大, 并且受到黏性阻力和毛細(xì)力的阻礙作用, 液滴的運(yùn)動(dòng)開始減速, 前進(jìn)接觸角開始減小,造成接觸線停止前進(jìn)運(yùn)動(dòng), 此時(shí)動(dòng)態(tài)接觸角接近于靜態(tài)接觸角115°. 由于液滴邊緣積累了一定的壓力, 在這個(gè)壓力的作用下, 液滴開始做回復(fù)運(yùn)動(dòng),并造成接觸線的加速后退, 動(dòng)態(tài)接觸角變小, 此時(shí)動(dòng)態(tài)接觸角小于靜態(tài)接觸角115°為后退接觸角; 隨著回復(fù)運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行, 液滴邊緣壓力變小, 接觸線的后退開始減速, 后退接觸角增大直至接近靜態(tài)接觸角. 隨著液滴振動(dòng)的進(jìn)行, 接觸線的前進(jìn)與后退運(yùn)動(dòng)重復(fù)之前的變化規(guī)律, 動(dòng)態(tài)接觸角也隨之變化.

圖8 在2, 4, 6和8共振模態(tài)下液滴動(dòng)態(tài)接觸角隨時(shí)間的變化Fig. 8. The variations of the dynamic contact angle with time at modes 2, 4, 6, and 8.

從圖8中還可以看到, 在前進(jìn)接觸角階段, 接觸線的運(yùn)動(dòng)速度比較大, 因此動(dòng)態(tài)接觸角偏離靜態(tài)接觸角比較多. 在本文的計(jì)算條件下, 最大接觸角偏離靜態(tài)接觸角接近6°. 綜合圖7和圖8結(jié)果,考慮動(dòng)態(tài)接觸角對(duì)于準(zhǔn)確模擬液滴形態(tài)演化尤為重要.

3.5 液滴振動(dòng)過程中潤濕面積的變化

液滴在振動(dòng)過程中會(huì)經(jīng)歷鋪展和收縮兩個(gè)過程, 圖9為振動(dòng)周期內(nèi)液滴潤濕面積在2, 4, 6和8共振模態(tài)下的變化曲線, 潤濕面積皆呈現(xiàn)正弦波動(dòng)變化趨勢, 液滴初始潤濕面積約為3.4 mm2. 從圖9中可以看出, 振動(dòng)開始時(shí), 液滴的潤濕面積逐漸增大, 在大約時(shí)液滴的潤濕面積達(dá)到最大值(波峰), 但是接觸線并沒有停止運(yùn)動(dòng), 而是開始收縮, 潤濕面積開始縮小; 在大約時(shí), 液滴的潤濕面積達(dá)到最小值(波谷), 此時(shí)接觸線速度接近于零, 再之后潤濕面積又開始增大重復(fù)之前的鋪展和收縮運(yùn)動(dòng).

圖9 在2, 4, 6和8共振模態(tài)下液滴潤濕面積隨時(shí)間的變化Fig. 9. The variations of the wetting area with time at modes 2, 4, 6, and 8.

4 結(jié) 論

本文依據(jù)液滴共振頻率與模態(tài)的關(guān)系以及運(yùn)動(dòng)液滴的動(dòng)態(tài)接觸角模型, 實(shí)現(xiàn)了在115°疏水表面上施加強(qiáng)制性振動(dòng)時(shí), 放置在疏水性表面上的液滴的不同共振模態(tài)(2, 4, 6和8)形狀和液滴內(nèi)部的流動(dòng)方式的模擬. 結(jié)果表明, 模擬所得115°疏水表面上液滴振動(dòng)的模態(tài)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合良好. 主要得出以下結(jié)論.

1) 液滴在特定的頻率下發(fā)生共振并且呈現(xiàn)特殊的模態(tài)形狀, 較高的共振模態(tài)階數(shù)有更多的節(jié)點(diǎn)葉瓣. 隨著模態(tài)數(shù)的增加, 液滴表面形成的葉瓣數(shù)目增加, 尺寸逐漸減小. 在四種共振模態(tài)下, 模態(tài)階數(shù)越高, 共振頻率越大, 周期越短.

2) 在所有模態(tài)中, 液滴的內(nèi)部流動(dòng)方式呈現(xiàn)軸對(duì)稱的. 在模態(tài)2和模態(tài)4時(shí), 內(nèi)部流動(dòng)從液滴底部中心開始, 經(jīng)過液滴上側(cè)葉瓣疊加的節(jié)點(diǎn)處,呈現(xiàn)“Y”型流動(dòng)方式; 在模態(tài)6和模態(tài)8中, 液滴內(nèi)部流動(dòng)呈現(xiàn)對(duì)稱的渦流動(dòng)方式. 且共振模態(tài)階數(shù)越高, 液滴內(nèi)部速度平均值越大.

3) 動(dòng)態(tài)接觸角對(duì)液滴振動(dòng)幅值變化有一定的影響, 且動(dòng)態(tài)接觸角明顯偏離靜態(tài)接觸角, 表明考慮動(dòng)態(tài)接觸角對(duì)取得正確數(shù)值模擬結(jié)果的必要性.