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        幾道有趣的錯題

        2021-08-05 09:14:20謝秋鳳
        數(shù)理化解題研究 2021年19期
        關(guān)鍵詞:解題探究學(xué)生

        謝秋鳳

        (江蘇省南京市高淳區(qū)淳輝高級中學(xué) 211300)

        在南方鳳凰臺東南大學(xué)出版社出版的《專項精練一輪滾動60練》微模擬11中,第6題出錯.我們將錯就錯,來看看各種錯解及錯解原因,從中折射出哪些知識點、哪些解題思路和方法.在探究錯誤原因的過程中,我們既能加強(qiáng)對相關(guān)概念的理解,又能更深刻地理解體積分割法,提升同學(xué)們的解題能力.同學(xué)們在積極主動探求錯誤原因中,愉悅地掌握了相關(guān)知識,敢于質(zhì)疑,尋求真理,一道錯題又有何妨!

        一、有趣的錯題

        題1 如圖1,在棱長為6的正方體ABCD-A′B′C′D′中,點E,F(xiàn)分別在C′D′和C′B′ 上,且C′E=4,C′F=3,連接EF,F(xiàn)B,DE,則幾何體EFC′-DBC的體積為____.

        錯解2如圖2,連接BE,CE.

        所以VEFC′-BCD=VE-BCD+VE-BCC′F=72.

        錯解3如圖3,連接DF,CF.

        所以VEFC′-BCD=VF-BCD+VF-CC′ED=66.

        錯解原因我們分組討論不難發(fā)現(xiàn)錯解1的錯誤原因:如圖4,延長DE,CC′,BF,它們并不相交于同一點,所以這個幾何體并不是棱臺,故不能選擇棱臺的體積公式解決.

        錯解2與錯解3的解題思路相同,但答案卻不相同.這時候,同學(xué)們首先是主動查找各自的計算有沒有錯誤,幾何體的分割有沒有重復(fù)或遺漏.經(jīng)反復(fù)驗證,這些都沒有問題,那么,問題在哪里呢?同學(xué)們陷入深深的思考中,開始質(zhì)疑題目是否出錯,大膽提出設(shè)想,接下來驗證說明為什么是題目錯了.最后我們發(fā)現(xiàn):由于B,D,E,F(xiàn)四點不共面,錯解2中連接BE,錯解3中連接DF,它們所圍成的幾何體不同,體積自然不同.所以,這一題由于題目中未說清楚幾何體的構(gòu)成,無法計算其體積.

        題2如圖5所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D,E分別是AB,BB1的中點,并且AC=BC=AA1=2.

        (1)求解直線BC1和A1D所成角的大??;

        (2)求解直線A1E和平面A1CD所成角的正弦值.

        錯題原因在解題中,學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤主要是因為對向量所成角和異面直線所成角的關(guān)系理解有偏差,兩個空間向量所成的角并不等于異面直線所成的角,出現(xiàn)解題錯誤是因為將它們等同.其實,它們從定義和范圍上有著一定的不同.異面直線所成角的范圍是(0,90°],當(dāng)求解出兩條直線所成的角是鈍角時,需要求解出補(bǔ)角,利用公式計算出角的余弦值是負(fù)值時,需要求解絕對值.

        (1)證明A1C⊥BB1D1D;

        (2)求解平面OCB1和平面BB1D1D所成角的大小.

        錯誤探究在此題解答中,第一個線面垂直的問題,學(xué)生一般不會出現(xiàn)解題錯誤,主要是在面面之間的夾角求解出現(xiàn)錯誤,學(xué)生把平面和平面形成的角和二面角混淆了,平面是可以無限延伸的,因此,平面和平面形成的角可以看成是兩個二面角,一般來說,求解出的答案應(yīng)該是兩個值,而且是相互互補(bǔ).在二面角的求解中,其答案則是唯一確定的.

        二、有趣的解題

        題4 在幾何體中,其三視圖如圖7所示,求解該幾何體外接球的表面積.

        解題探究此題是幾何體外接球問題,在解題中,學(xué)生很容易忽視的是球的幾何性質(zhì),主要考查學(xué)生空間想象能力、平面向空間轉(zhuǎn)化能力以及學(xué)生數(shù)學(xué)計算能力.雖然此題是求解外接球表面積,但是,在球半徑的求解中,需要進(jìn)行逐步分析,對學(xué)生邏輯思維具有一定的要求.在求解和幾何體外接球相關(guān)的題目時,學(xué)生需要將立體的球轉(zhuǎn)化成平面圓,對題目進(jìn)行分析,開展深層次的思考和探究,此類型題目具有一定的難度.

        題5在平面α中,m,n是其面上兩條不同的直線,在平面β內(nèi)有兩條相交的直線l,s,則平面α和平面β垂直的充分不必要條件是( ).

        A.l⊥m,l⊥nB.m⊥l,m⊥s

        C.m⊥l,n⊥sDm∥n,l⊥m

        解析在題目中已知的條件是空間內(nèi)的兩個面以及面上的兩條直線,通過線面關(guān)系進(jìn)行線面垂直的證明,要求學(xué)生掌握面面垂直的基礎(chǔ)方式,利用線面垂直判定定理以及二面角知識.此題屬于選擇題類型,在解題時,讓學(xué)生根據(jù)選項,畫出相應(yīng)的圖形,對每一項進(jìn)行判斷,通過這樣的判斷,最終可以得出選項B正確.

        解題探究此題是線面關(guān)系的典型例題,屬于小題類型,命題非常靈活,主要對線面空間位置關(guān)系進(jìn)行考查.在實際的分析中,需要利用不同幾何體或者線面關(guān)系做出分析.在實際的解題中,由于線面垂直、平行以及垂直等性質(zhì)定理,學(xué)生很容易脫離幾何載體,或者忽視幾何常識,使得學(xué)生解題出現(xiàn)錯誤.面對這樣的基礎(chǔ)問題,需要立足空間幾何觀察,加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)能力和基本方法培養(yǎng).在具體教學(xué)中,結(jié)合數(shù)學(xué)核心知識點和考點,讓學(xué)生準(zhǔn)確把握概念知識,注重常規(guī)問題分析,避免學(xué)生出現(xiàn)錯誤.

        盡管這一題目出錯了,同學(xué)們通過觀察幾何體,深化了解了棱臺的結(jié)構(gòu)特征;嘗試了分割幾何體的方法,轉(zhuǎn)化為錐體的體積計算;從觀察到分析、計算、探究、質(zhì)疑,以及大膽提出題目出錯,到最后的論證,同學(xué)們愉快地掌握了相關(guān)知識和幾何體分割思想方法,還培養(yǎng)了同學(xué)們敢于質(zhì)疑,尋求真理的優(yōu)秀品質(zhì).

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