黃國(guó)超

(浙江省杭州第二中學(xué)錢(qián)江學(xué)校 311200)

一題多解對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，鍛煉學(xué)生思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.掌握“一題多解”的最終目的是為了“拓展思維空間、發(fā)散解題思路，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣”.

例如圖1所示，在擲鉛球時(shí),鉛球出手時(shí)距地面高度為h,出手時(shí)的速度為v0,若忽略空氣阻力.問(wèn)鉛球以何角度擲球時(shí),水平射程最遠(yuǎn)?最遠(yuǎn)射程為多少?

解法一構(gòu)造二次函數(shù)求最值.

將鉛球的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng).設(shè)鉛球初速度方向與水平成θ角，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，則速度可分解為：

vx=v0cosθ(1)vy=v0sinθ

(2)

設(shè)水平射程為S，則水平、豎直位移可分別表示為：

x=S=vx·t

(3)

(4)

將(1)式代入(3)式，將(2)式代入(4)式；可得：

S=v0tcosθ

(5)

(6)

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解最值過(guò)程中，我們可以采取以下兩種方式處理.

(7)

將(7)式代入(6)式，得：

(8)

(9)

整理成關(guān)于tanθ的二次方程：

(10)

方程有解，要求：Δ≥0

(11)

(12)

(13)

將(12)、(13)式代入(5)式，可得：

(14)

(15)

(16)

將(16)式代入(15)式，整理得：

(17)

(18)

(19)

解法二運(yùn)用矢量關(guān)系求最值.

將鉛球的拋體運(yùn)動(dòng)分解為初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，用矢量合成法則求解.筆者也有兩種數(shù)學(xué)處理方式：

處理方式(三)：通過(guò)位移矢量合成，各位移矢量如圖3所示，根據(jù)勾股定理，水平射程S可表示為：

(20)

(21)

(22)

由圖3知：

(23)

處理方式(四)：通過(guò)速度矢量合成，如圖4所示，線段OA代表初速度v0，與水平方向成θ角；AB代表vy=gt方向豎直向下；OB表示著地速度v.

(24)

(25)

三角形OAB的面積S△可表示為：

(26)

(27)

而水平射程可以表示為：S=v0tcosθ代入(27)式得：

(28)

由(28)、(26)兩式可得：

(29)

由上式可知，當(dāng)sin∠AOB=1時(shí)，即v與v0垂直時(shí)，射程S最大 .將(25)式代入(29)式即得：

(30)

(31)

對(duì)一復(fù)雜運(yùn)動(dòng)總是分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)來(lái)研究；而拋體運(yùn)動(dòng)無(wú)論是在高考還是競(jìng)賽中都是一個(gè)重要的運(yùn)動(dòng)模型.解法一是分解拋體運(yùn)動(dòng)的一種常規(guī)方法：水平的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直的勻變速運(yùn)動(dòng)，構(gòu)造二次函數(shù)的方法求最值，這是一種最普遍的方式；解法二是將拋體運(yùn)動(dòng)分解為初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，這種通過(guò)幾何關(guān)系求解最值，使處理問(wèn)題簡(jiǎn)潔、快捷.本題中解法二明顯勝于解法一，數(shù)學(xué)處理方式(四)優(yōu)于處理方式(三).

總之，在習(xí)題教學(xué)中，教師要了解學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知能水平和學(xué)習(xí)心理，精選習(xí)題，掌握難度，通過(guò)對(duì)問(wèn)題、情景、思路的發(fā)散，注重知識(shí)的遷移作用.通過(guò)一題多解、一題多聯(lián)拓展思維空間，突破思維壁壘.