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        一個平拋問題的兩種解法

        2021-08-05 09:14:22王偉民
        數(shù)理化解題研究 2021年19期
        關(guān)鍵詞:拋物線

        王偉民 李 玉

        (安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

        例1 (2019安徽江淮十校三模)如圖1所示,長木板AB傾斜放置,板面與水平方向的夾角為θ,在板的A端正上方P點處,以大小為v0的水平初速度向右拋出一個小球,結(jié)果小球恰好能垂直打在板面上;現(xiàn)讓板繞A順時針轉(zhuǎn)過一個角度到圖中的虛線位置,要讓球從P點水平拋出后仍能垂直打在板面上,則拋出的水平速度v(不計空氣阻力)

        A.一定大于v0B.一定小于v0

        C.可能等于v0D.大于v0、小于v0、等于v0都有可能

        這是一道跟平拋運動有關(guān)的運動學(xué)題目,我們采用不同的方法對該題目涉及的問題進行求解判斷.

        一、解析法

        以給定初速度v0水平拋出的小球,其運動軌跡拋物線與木板所在的直線相交,滿足交點處拋物線的切線與木板所在的直線垂直條件下,如果能夠確定木板與水平面的夾角θ跟小球初速度v0間的關(guān)系式,那么,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可確定函數(shù)的增減性,進而可以確定問題的答案.

        由該關(guān)系式可知:v0↑→a↓→θ↑,這就是說,滿足小球垂直打在木板上這一條件時,木板與水平面的夾角隨著小球水平初速度的增大而增大.所以,本題的正確選項是B.

        二、圖像法

        解析設(shè)小球運動軌跡拋物線與木板的交點為N,將對稱軸左側(cè)的拋物線補充完整,并作輔助圓——與拋物線兩側(cè)都相切,并且右側(cè)切點為N點的圓,如圖3所示,顯然,該輔助圓的大小和圓心位置是唯一確定的,并且輔助圓的圓心在拋物線的對稱軸上.依題意可知,小球垂直打在板面上的點即為圖3中以A為圓心并且與拋物線相切的圓跟拋物線右邊的切點位置.

        在木板AB與水平面AC的夾角∠BAC內(nèi)作任意射線AD,交拋物線于G,如圖4所示,過G作拋物線的切線EF,易知,∠DGF為銳角(因為在拋物線內(nèi)部與拋物線兩邊都相切,并且右側(cè)切點在G點的圓的圓心一點在A的下方.設(shè)∠DGF的度數(shù)為α),如果以P為頂點作出開口向下的很多拋物線的話,跟圖4所示情形拋物線相比,開口更大的拋物線在其與射線AD交點處的切線與AD所夾的銳角比α小,開口更小的拋物線在其與射線AD交點處的切線與AD所夾的銳角比α大,當(dāng)開口小到一定程度時,可使拋物線在其與與AD交點處的切線與AD垂直,而小球的水平初速度越小,其運動軌跡拋物線的開口越小,所以,例題1的選項應(yīng)該是選項B.

        能夠發(fā)現(xiàn),解法一是根據(jù)函數(shù)解析式作為條件,之后進行邏輯推導(dǎo)而得出結(jié)論的,這種解法推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忸}過程冗長,適合于需要體現(xiàn)解題過程的題目的解答;解法二通過增添輔助圓的方法,根據(jù)圖形的形狀特點進行判斷,過程簡潔但不十分的嚴(yán)謹(jǐn),適合于不需要體現(xiàn)解題過程的題目的解答,如選擇題,填空題,判斷題目等.例題1是選擇題目,所以,兩種方法相比,解法二應(yīng)該是相對比較合適的方法.

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