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        探索圓錐曲線中的存在性問題

        2021-08-05 09:24:22
        數(shù)理化解題研究 2021年19期

        韓 俊

        (江蘇省溧陽中學(xué) 213300)

        探索性問題一直是解析幾何中常見的一類考題,該類問題一般假設(shè)存在,若能夠推出所要結(jié)論,則可知假設(shè)正確,否則假設(shè)錯(cuò)誤.

        一、是否存在點(diǎn)

        (1)求E的方程;

        (2)設(shè)PA與E的另一交點(diǎn)為D,PB與E的另一交點(diǎn)為C,問:是否存在點(diǎn)P,使得四邊形ABCD為梯形,若存在,求點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

        由①-②,得λ(λ-1)(3-2t)=0,且λ∈(0,1).

        法2假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題設(shè),則t>0,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).

        點(diǎn)評(píng)是否存在點(diǎn)的問題,一般假設(shè)存在,再采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化.通過題目中的已知條件,建立關(guān)系,最終求解.

        二、是否存在直線

        (1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (2)設(shè)過點(diǎn)M(0,3)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,以O(shè)A,OB為鄰邊作OADB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

        又S=πR2<13,所以a=1,R=2.

        所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4.

        (2)當(dāng)斜率不存在時(shí),直線l為x=0,不滿足題意.

        當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l與圓C相交于不同的兩點(diǎn),聯(lián)立,得

        消去y,得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.

        所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0.

        點(diǎn)撥利用向量解決圓錐曲線問題能夠有效簡(jiǎn)化運(yùn)算,在處理圓的綜合問題時(shí),首先要考慮使用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題,這樣能夠讓問題變得非常直觀化.

        三、是否存在參數(shù)

        (3+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-12=0.

        |MA|2+|MB|2=(1+k2)[(x1-m)2+(x2-m)2]

        =(1+k2)[(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+2m2]

        此時(shí)|MA|2+|MB|2=7與m無關(guān),符合題意.

        點(diǎn)評(píng)解決圓錐曲線的參數(shù)存在性問題,關(guān)鍵要在理解圓錐曲線的定義和性質(zhì)下,根據(jù)題意,設(shè)出未知點(diǎn)和未知方程,通過聯(lián)系韋達(dá)定理和題干要求,建立等式方程,進(jìn)而可求得參數(shù)的值或范圍.

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