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        分類討論思想面面觀

        2021-08-05 09:23:34
        數(shù)理化解題研究 2021年19期
        關鍵詞:分類思想分析

        楊 陽

        (安徽省定遠中學 233200)

        分類討論是解決問題的一種基本邏輯與方法,更是一種數(shù)學思想,方便研究對象,合理發(fā)展人的思維.特別地,分類討論思想在高考數(shù)學命題中占有非常重要的位置,在數(shù)學各知識點中存在大量分類討論的相關問題.分類討論思想的考查是歷年高考的重點與熱點問題之一.

        一、函數(shù)中的分類討論思想

        有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓練人的思維條理性和概括性.特別對于函數(shù)問題中,情形比較多或不能進行統(tǒng)一研究時,則應分類進行研究,分類時要做到不重不漏.

        A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0)

        分析結合分段函數(shù)中的條件進行分類討論,結合相應的不等式加以轉化,確定自變量x的取值范圍.

        解析當x+1≤0,即2x≤-2時,函數(shù)f(x)=2-x是減函數(shù),由f(x+1)2x,解得x<1,故x≤-1;

        當0

        當x≥0時,此時不等式f(x+1)

        綜上分析,可知x<0,故選D.

        點評本題主要考查分段函數(shù),函數(shù)與不等式的綜合應用,考查分類討論思想與數(shù)形結合思想等.

        二、數(shù)列中的分類討論思想

        在數(shù)列中,涉及數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系,等比數(shù)列前n項和公式中q=1與q≠1的區(qū)別,結合項數(shù)n的奇偶情況、整除性情況等進行分類討論,結合不同情況下對應的通項或前n項和等加以應用.

        例2已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則( ).

        A.a1a3,a2

        C.a1a4D.a1>a3,a2>a4

        分析根據(jù)等比數(shù)列中“奇數(shù)項(或偶數(shù)項)符號相同”的性質,結合條件中首項為正,通過公比的不同取值情況加以分類討論,結合條件中的關系式成立,加以合理排除與驗證.

        解析根據(jù)等比數(shù)列“奇數(shù)項(或偶數(shù)項)符號相同”的性質,由a1>1,設等比數(shù)列的公比為q,當q>0時,由等比數(shù)列中項的性質可知a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,顯然條件a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,則知a1a3,a2>a4不成立,排除選項A,D;

        當q=-1時,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,顯然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,故q≠-1;

        當q<-1時,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,顯然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立;

        當-1a3>0,a2

        綜上,得a1>a3,a2

        點評在解決數(shù)列的通項、前n項和時,一定要結合相關的規(guī)律、參數(shù)值的不同取值等情況,結合題目條件加以分類討論,確定不同情況下對應的通項公式、前n項和公式及其相關的應用等.

        三、圓錐曲線中的分類討論思想

        圓錐曲線中許多問題都涉及到分類討論,如位置關系的討論、軌跡方程中軌跡類型的確定、最值問題、參數(shù)范圍問題等都可能遇到因變量范圍不同而結果就不同的情況,因而要對位置關系或變量進行必要的討論,才能確定最后的結果.

        分析在設直線方程時,要結合直線的斜率是否存在加以討論,在直線斜率存在的條件下,設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,通過函數(shù)與方程的轉化,結合向量關系式的變形與轉化,借助基本不等式來確定最值即可.

        綜上分析,當點B的橫坐標的絕對值取得最大值為2時,m=5,故填答案5.

        點評本題主要考查橢圓的方程及其幾何性質,平面向量,討論思想與數(shù)形結合思想.對于直線與圓錐曲線的位置關系中,如果涉及直線方程的設置,一定要分析直線斜率的存在性問題,否則容易遺漏其中直線斜率不存在的情況而導致錯誤;涉及圓錐曲線的標準方程,一定要分析對應的焦點與其方程之間的關系等.

        四、導數(shù)中的分類討論思想

        在導數(shù)及其應用問題中,分類討論主要用來求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值以及恒成立問題等.通過分類討論,針對相應的參數(shù)問題,解決對應的導數(shù)問題.

        例4若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個零點,則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為____.

        分析通過求導,結合參數(shù)a的不同情況進行分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性以及對應的最值問題,進而確定函數(shù)在給定區(qū)間的最大值與最小值的和問題.

        解析由f(x)=2x3-ax2+1,可得f′(x)=6x2-2ax.當a≤0時,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而f(0)=1>0,故f(x)在(0,+∞)內(nèi)沒有零點;

        x-1(-1,0)0(0,1)1f′(x)+0-0f(x)-4↗極大↘0

        從上表可知,在[-1,1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4,所以f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為f(x)max+f(x)min=1-4=-3.

        點評在利用導數(shù)求含字母的函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值時,一般都要涉及到對字母的討論,而反過來用函數(shù)在某已知區(qū)間上的單調(diào)性來求字母的取值范圍時,也通常會蘊涵分類討論這一思想,這也是高考熱點內(nèi)容.

        當對應問題所給的對象不能進行統(tǒng)一分析與研究時,可以借助研究對象按某個標準進行合理分類,對每一類別分別分析得出結論,最后綜合各類別的結果得到整個問題的解答.分類討論思想的基本策略實質上就是“化整為零,各個擊破,再積零為整”.

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