李玉發(fā) 李宇航

(1.廣東省惠州市第一中學(xué) 516001;2.澳大利亞國(guó)立大學(xué))

一、基本原理

聽了張景中院士報(bào)告《點(diǎn)如何相加》，以及揚(yáng)學(xué)枝教師對(duì)點(diǎn)量的研究，深受啟發(fā)，在點(diǎn)方程、線方程、面方程和體方程等方面得到了自己的一些想法.

為弄清點(diǎn)量，我們提出時(shí)點(diǎn)、零點(diǎn)、光點(diǎn)的相關(guān)定義：

定義1n維的時(shí)點(diǎn)Pn=(x0,x1，…，xn-1)(n∈N+,xk∈R,k∈N)，P0=(x0)=x0.

定義2 零點(diǎn)On:O0=Φ，O1=(0)，O2=(0,0)，O3=(0,O2)，…，On=(0,On-1).

定義3 數(shù)光點(diǎn)Tn:T1=(1)，T2=(0,1)，T3=(0,0,1)，…，Tn=(On-1,1).

形光點(diǎn)Jn:J0=(1)，J1=(0,1)，J2=(0,0,1)，…，Jn-1=(On-1,1).

有結(jié)論：Tn+1=Jn(n∈N).

為了使不同維度的點(diǎn)能加減，我們提出升維、加減的相關(guān)定義：

定義4 升維：(k∈N,n∈N+,xk∈R)

(1)x0=(x0)=(x0，0)=(x0，02)=(x0，0n).

(2)(x0,x1)=(x0,x1，0)=(x0,x1，02)=(x1,x2，0n).

(3)(x0,x1，…，xk)=(x0,x1，…，xk，0)=(x0,x1，…，xk，0n).

定義5AB=B-A；OB=B.

定義6 關(guān)于形時(shí)空間Jn與數(shù)時(shí)空間Tn，有(0)J0={(x0)|x0∈R}=T1=R(稱為0維點(diǎn)時(shí)空或1元數(shù)時(shí)空)；

(1)J1={(x0,x1)|x0，x1∈R}=T2(稱為1維線形時(shí)空或2元數(shù)空間或復(fù)平面時(shí)空)；

(2)J2={(x0,x1,x2)|xn∈R,n∈N}=T3=R3(稱為2維面形時(shí)空或3元數(shù)時(shí)空)；

(3)J3={(x0,x1,x2,x3)|xn∈R,n∈N}=T4=R4(稱為3維體形時(shí)空或4元數(shù)時(shí)空)；

(4)J4={(x0,x1,x2,x3,x4)|xn∈R,n∈N}=T5(稱為4維形時(shí)空或5元數(shù)時(shí)空)；

(2)零點(diǎn)On的模|On|=0；

(3)若|Pn+1|=1，稱點(diǎn)Pn為單位點(diǎn)，記Pn+1=En；

(4)光點(diǎn)Tn是單位點(diǎn)，Tn的模|Tn|=1；

二、主要結(jié)論

結(jié)論1Pn=(x1，…，xn),(xk∈R，k，n∈N,n≤5)，Tn={Pn|n∈N*},半徑為r的球形Pn=rEn-1的?？臻gMn(r)測(cè)度記為Dn-1(r)，則

(2)點(diǎn)線可加：(D0+D0)r=D1(r),

(D1(r)+D1(r))r=D2(r);

結(jié)論4 由J0={(x0)|x0∈R}=R1=T1得一維實(shí)點(diǎn)就是實(shí)數(shù)，一般可得：Jn=Rn+1=Tn+1.

結(jié)論5n維球形空間En(直形空間Xn，橢形Sn(a0,a1，…，a2))的測(cè)度記為Dn，有維度公式：同一數(shù)時(shí)空間的維度=同一形時(shí)空的維度+1，即Jn={(x0,x1，…，xn)|xn∈R,n∈N}=Tn+1=Rn+1.

為了讓二維以上點(diǎn)量既能加減又能乘除，定義旋轉(zhuǎn)點(diǎn).

Wn={Wn|En+1=(cosθn+1)En+(sinθn+1)Jn+1(n∈N*),E1=T1=1,T2=i,i2=-1},

eWn=eWn-1cosθn+Jnsinθn(n∈N*),θ0=0,T2=i,T0=-1,

(D4n,D4n+1,D4n+2,D4n+3,D4n+4)=(點(diǎn)，線，面，體，新時(shí)點(diǎn)),n∈N.

三、具體應(yīng)用

由結(jié)論7可推出下面一些結(jié)論：

由結(jié)論1與結(jié)論7可推出下面一些結(jié)論：

證明n=0或n=1時(shí)，可驗(yàn)證(A)成立，即

假設(shè)n=k，(A)成立，有

n=k+1時(shí)，

由結(jié)論1與結(jié)論7，兩點(diǎn)相加得線，兩線相加得面，面積分得體，體積分得時(shí)間(點(diǎn))，即

(D4(k+1)(r)+D4(k+1)(r))r=(πk+1r4k+4+πk+1r4k+4)r=2πk+1r4k+5=D4k+5(r),

(D4k+5(r)+D4k+5(r))r=(2πk+1r4k+5+2πk+1r4k+5)r=4πk+1r4k+6=D4k+6(r),

=πk+2r4k+8=D4k+8(r)，

綜上，(A)對(duì)一切n∈N都成立.

點(diǎn)評(píng)深刻準(zhǔn)確地理解、挖掘、建立數(shù)學(xué)中的數(shù)與形的關(guān)系，并恰當(dāng)、巧妙地進(jìn)行轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的基本功之一.

例1(2014年廣東理科第9題)求不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集.

點(diǎn)評(píng)把一元不等式轉(zhuǎn)換為二元不等式組，比較難求一維的邊界點(diǎn)P1(-1),P2(4)升維轉(zhuǎn)換為易求的橢圓邊界曲線的頂點(diǎn)A1(-1,0),A2(4,0).

(2)(1+2cos2A)2=a2+b2.

分析設(shè)z=cosA+isinA，w=b+ai=z+z3+z5，有w=z3(z-2+1+z2),而k=(z-2+1+z2)∈R，w是z3的實(shí)數(shù)倍，所以w=kz3(k∈R).

即(cosA+cos3A+cos5A)+i(sinA+sin3A+sin5A)=k(cos3A+isin3A).

所以w=b+ai=k(cos3A+isin3A).

由模的公式對(duì)|w|2展開，得(1+2cos2A)2=a2+b2.

點(diǎn)評(píng)本題有多種證法，可以從不同的角度去思考，去探索，可以從三角、幾何、復(fù)數(shù)等不同方面去思考，只要我們努力去挖掘其隱含的意義，何愁難關(guān)不破！