李巍偉，陳 江，肖玉華，劉志棟，涂建輝

（蘭州空間技術物理研究所 真空技術與物理重點實驗室，蘭州 730000）

0 引言

激光冷卻原子技術在真空計量與時間頻率標準等精密測量領域有廣泛的應用。利用單模光纖的柔性傳輸特性簡化光路是冷原子裝置小型化和集成化的必要選擇[1-2]。單模光纖的模場直徑一般為5～10μm，僅為多模光纖的十分之一[3-4]，由此增加了激光束和單模光纖之間的耦合難度，使耦合效率的提升成為冷原子裝置小型化必須解決的重要問題。

耦合效率是耦合進單模光纖的能量與總能量的比值，耦合的實質是高斯光模場與單模光纖中激光傳輸模場之間的模式匹配[5]。在耦合面的同一空間位置，這兩個模場均為類高斯分布，它們的振幅和相位越相近耦合效率越高。在實際的單模光纖耦合光路中，不僅模式匹配難以達到理想的匹配值，還因為單模光纖纖芯細，耦合透鏡的衍射和像差會使高斯光的模場產(chǎn)生振幅衰減和不規(guī)則的畸變，造成耦合效率的損失。

耦合透鏡的像差是限制單模光纖耦合效率提升的重要因素[6]。目前單模光纖普遍使用工藝成熟，成本低廉的球面鏡作為耦合透鏡，球面像差為主要像差，會嚴重影響耦合效率。如果不考慮像差因素，只考慮模式匹配，理論上理想耦合效率能超過80%[7]，但在實際中，單透鏡的耦合效率往往只有20%～30%[8]，其原因除了實際透鏡難以達到理想模式匹配的要求外，還有耦合透鏡的像差和衍射效應引起的耦合效率損失[9]。像差中球面像差和彗差等初級像差會顯著降低單模光纖的透鏡耦合效率[4]。

針對耦合透鏡的像差使得單模光纖耦合效率無法提高的問題，一種解決方案是采用非球面鏡替代球面鏡，通過矯正球差可以提升近20%[10]的耦合效率；另外，國外有研究者使用微透鏡陣列作為耦合透鏡，解決透鏡球面像差問題，但是該方案存在微透鏡設計和加工工藝復雜，制造成本高的問題[11-13]。由此發(fā)現(xiàn)，將一般用于矯正大視場、可變焦照相機和望遠鏡中像差的雙高斯結構用于消除小視場、定焦距耦合透鏡組的像差具有良好的效果。本文設計并優(yōu)化一種雙高斯耦合透鏡，應用于銣冷原子裝置中耦合傳輸波長780 nm、模場直徑為5μm的單模光纖，期望用球面透鏡基本消除像差對于耦合效率的影響，為單模光纖耦合透鏡的設計和使用提供參考。

1 設計與優(yōu)化方法

本文對雙高斯透鏡的設計與優(yōu)化目標是消除球差等初級像差，抑制衍射效應，找到最佳的匹配焦距，給出耦合效率最高的設計方案。優(yōu)化設計的思路是先在合理的范圍內給定一組結構參數(shù)作為初始設計參數(shù)，對其進行迭代優(yōu)化，得到一個像差最小的方案，計算其耦合效率；然后在焦距取值范圍內通過改變光學面間的介質厚度，連續(xù)改變透鏡組等效焦距，計算不同焦距點的耦合效率；最后得到一個耦合效率最高的方案。

采用ZEMAX軟件設計了一個雙高斯物鏡作為銣冷原子裝置的光纖耦合透鏡，通過優(yōu)化減小透鏡組像差的方式提升高斯光與單模光纖的耦合效率。如圖1所示，激光從物面至像面，一共經(jīng)過12個光學面，用數(shù)字0，1，…，11表示，其中0和11面分別為物面和像面，4面為光闌面，1、2、5、6、8、9面為三組膠合透鏡介質面，3、7、10為空氣介質面。這些光學面的曲率半徑和厚度作為雙高斯透鏡的結構參數(shù)，決定著透鏡組的各種光學特性。本文的工作便是設計與優(yōu)化這些結構參數(shù)。

圖1 雙高斯透鏡結構圖Fig.1 Schematic of double Gaussian lens

雙高斯透鏡的等效焦距是透鏡組最重要的光學特性參數(shù)，設計和優(yōu)化前須將透鏡組視作一個單透鏡確定其取值范圍。圖2為高斯光束通過單透鏡耦合進單模光纖中的過程，其中l(wèi)為物距，l'為像距，ω0為入射光束腰半徑，ω'0為出射光束腰半徑。

圖2 單透鏡耦合光路圖Fig.2 Single lens coupling opticalpath

用F表示透鏡焦距，λ表示激光波長，f表示高斯光的共焦參數(shù)，這些變量滿足以下關系式[14]：

根據(jù)模式匹配，要得到較高的耦合效率，激光與單模光纖應該滿足以下條件[7]：首先，光纖端面與出射光束腰位置重合；其次，耦合端面光斑半徑小于光纖模場半徑；最后，光束發(fā)散角小于光纖的數(shù)值孔徑。此時，透鏡焦距滿足式（3）：

式中：d為光纖模場直徑；ω(l)為透鏡入射面上的光斑半徑。焦距的取值范圍可以作為透鏡組設計和優(yōu)化的邊界條件。

根據(jù)ZEMAX操作手冊并參考雙高斯結構的設計可以提前給定一組在合理范圍內的結構參數(shù)。但是，這樣的初始結構參數(shù)具有隨意性，一般像差很大，等效焦距也不在取值范圍內，耦合效率極低，須進行預處理，即采用ZEMAX的光路自動優(yōu)化設計功能將其等效焦距調整到式（3）的取值范圍中，再對結構參數(shù)進行迭代優(yōu)化來減小透鏡組的像差。

在ZEMAX光路自動優(yōu)化設計的過程中，因為采用了線性數(shù)值近似[15]，且求的是評價函數(shù)的極小值，所以算法收斂的結果是在初始結構附近找到一個評價函數(shù)變小的解，而這個解往往只是評價函數(shù)的極小值而非最小值。對此，本文對透鏡組結構參數(shù)進行了分步迭代優(yōu)化，以保證優(yōu)化結果接近像差最小值。

將結構參數(shù)分成光學面曲率半徑、玻璃厚度和空氣厚度三類分步進行迭代優(yōu)化。首先將光學面曲率半徑作為變量，設置等效焦距為滿足邊界條件中的某一個值，運行優(yōu)化程序，得到一個在該焦距下評價函數(shù)較小的設計方案。然后通過改變空氣厚度得到一組光學面曲率半徑和玻璃厚度相同、焦距不同的方案，比較它們的中心點點列圖的方均根半徑（RMS），找出中心點RMS最小的方案，再選出中心點RMS最小的焦距，將空氣厚度、玻璃厚度設置為常數(shù)，物面、光闌面、像面之外的光學面的曲率半徑設為變量進行優(yōu)化迭代，進一步得到像差更小的方案，將其作為新的初始結構參數(shù)。重復上述過程，尋找新的RMS最小方案，其中玻璃厚度實際變化范圍小，經(jīng)過幾次迭代后可將其視作與空氣厚度相同的參數(shù)再進行迭代優(yōu)化，收斂速度會更快，直到中心點RMS小于衍射光斑半徑且不再減小，說明系統(tǒng)的像差足夠小了，此時也同時得到一個能使像差最小的等效焦距。在此過程中，因為部分方案的焦距不同，不能直接使用評價函數(shù)作為像差大小的衡量標準，用中心點RMS來衡量系統(tǒng)像差的大小更為合理。

為了進一步探究透鏡組的光學成像特性，用光學傳遞函數(shù)與包圍圓能量分析函數(shù)對優(yōu)化后的透鏡組進行分析和評估。其中透鏡光學傳遞函數(shù)從頻率的角度能反映光學系統(tǒng)的成像特性，通過比較中心物點和邊緣物點的光學傳遞函數(shù)圖像的重合程度，可以反映透鏡組不同物點位置的成像一致性。包圍圓能量函數(shù)用來衡量光束經(jīng)過透鏡組后衍射光斑能量分布的情況。利用ZEMAX軟件計算高斯光束和單模光纖傳輸模場的耦合，得到雙高斯透鏡的耦合效率，運算如式（4）[7]：

式中：PF為激光傳輸進入光纖中的光功率；PS為激光到達耦合端面的總光功率；U（r）和E（r）分別是激光在光纖中的傳播模場和經(jīng)過透鏡變換后高斯光束的模場分布。

因為迭代優(yōu)化后的像差足夠小，但耦合效率不一定最高，所以還必須調節(jié)結構參數(shù)來改變等效焦距以進一步提高耦合效率。在這個過程中，為了避免結構參數(shù)改變過大，不再改變光學面的曲率半徑，僅改變空氣厚度和玻璃厚度，分別計算對應的耦合效率，直到找到耦合效率最高的等效焦距點，驗證其像差是否足夠小，否則須將此時的方案作為新的初始方案重新進行迭代優(yōu)化，尋找最高耦合效率。

2 設計應用

針對銣冷原子裝置耦合光束的特點，首先計算耦合透鏡的焦距取值范圍。光路中激光波長λ=780 nm，入射光斑半徑ω（l）=1.00 mm，使用的光纖為保偏單模光纖，數(shù)值孔徑NA=0.13，模場直徑d≈5μm。將數(shù)據(jù)代入式（3）可以求得雙高斯透鏡組的等效焦距：F≤10.00 mm。因為耦合是一個匯聚光的過程，所以可以將0～10.00 mm作為等效焦距的邊界條件。

參考光學設計手冊和一般雙高斯物鏡設計方案，設定玻璃介質的厚度為2.000～20.000 mm、空氣介質的厚度為0～1 000.000 mm作為邊界條件，玻璃型號采用一般標準，除非在邊界條件內的解不合理，否則不更改其型號。初步給定一組在合理范圍內的雙高斯透鏡的原始參數(shù)，如表1所列。

表1 雙高斯透鏡原始參數(shù)Tab.1 Theoriginalparam etersof the double Gaussian lens

此時的等效焦距為16.30 mm，不在邊界條件的取值范圍內，必須對其進行預處理，將結構參數(shù)全部設置為變量，目標等效焦距設定為8.00 mm。表2是經(jīng)過預處理后的結構參數(shù)。

表2 雙高斯透鏡初始參數(shù)Tab.2 Initialparamentersof double Gaussian lens

先選定在透鏡組的等效焦距取值范圍內的一個焦距點8.00 mm作為透鏡組初始結構預處理的目標等效焦距。將所有參數(shù)設置為變量，運行ZEMAX軟件的優(yōu)化程序，可以得到雙高斯耦合透鏡的初始設計方案。

對設計方案進行迭代優(yōu)化，先不改變各光學面的曲率半徑，僅將空氣厚度（3、4、7、10面）4個參數(shù)設置為變量，改變透鏡組的等效焦距，考查透鏡組的像差大小。其次不改變透鏡組的空氣厚度與等效焦距，僅將9個光學面的曲率半徑設置為變量進行優(yōu)化，重復該過程，在進行空氣厚度優(yōu)化時將玻璃厚度（1、2、5、6、8、9面）也設置為變量進行迭代優(yōu)化，直到中心點RMS不再減小。

圖3是其中一個優(yōu)化過程中RMS隨等效焦距的變化曲線。由圖3可知，隨著等效焦距的增大，RMS一直在減小，當?shù)刃Ы咕酁?0.00 mm時，中心點RMS半徑最小。連續(xù)幾次優(yōu)化過程均為等效焦距是10.00 mm的情況下中心點RMS最小，直至中心點RMS不再變小。此時結構參數(shù)如表3所列。由表3可以看出，10.00 mm的方案經(jīng)過迭代優(yōu)化以后，所有的參數(shù)比初始參數(shù)有了很大的變化。

表3 雙高斯透鏡的優(yōu)化參數(shù)Tab.3 Optimalparam entersof double Gaussian lens

圖3 RMS隨等效焦距的變化曲線Fig.3 Variation of RMS w ith equivalent focal lengh

為了更直觀地比較成像質量的改善情況，計算了優(yōu)化后透鏡組的點列圖，追跡了中心和透鏡邊緣3個點的光線，如圖4所示。

由圖4可以看出，中心像點彌散很小，RMS為0.009μm，遠小于優(yōu)化前，且彌散點分布均勻集中，沒有畸變，成像質量提高明顯；不同位置物點的點列圖成像基本一致，說明不僅是球差，其他由入射光位置引起的彗差和像散等其他像差也被很好地矯正了。

圖4 優(yōu)化后的透鏡組點列圖Fig.4 Optim ized spotdiagram of lensgroup

圖5為中心物點和邊緣物點（歸一化）對應的子午（T）和弧矢（S）共4條光線的光學傳遞函數(shù)曲線。從圖中可以看出，各條光線的函數(shù)曲線在10-4精度內完全重合，且隨頻率的增大而平滑下降。這說明在透鏡入射面上不同位置入射的光成像特性一致性良好，在實際光路中即使光束與透鏡組軸線有小角度的偏差也不會增加透鏡組的像差，有利于實驗光路的搭建與調試。

圖5 中心物點和邊緣物點對應的子午和弧矢共4條線的光學傳遞函數(shù)曲線Fig.5 The optical transfer function curve of four lines corresponding to themeridian and sagittalof the center and edge objectpoints

進一步分析了歸一化視場中（0.00，0.00），（1.00，0.00），（0.00，1.00）三個物點發(fā)出的光線為主光線的包圍圓能量示意圖。從圖6中可以看出，在10-4精度內，不僅六條追跡光線的函數(shù)曲線完全重合，并且與標準衍射光斑的函數(shù)曲線也完全重合，說明該光學系統(tǒng)已經(jīng)接近衍射極限，基本消除了透鏡像差對光纖耦合效率的影響。由于單模光纖的模場直徑一般小于10μm，由圖6可知，單模光纖的耦合效率極難高于90%，這與理論計算相吻合。

圖6 歸一化視物中3個物點的主光線的包圍圓能量示意圖Fig.6 The energy of the surrounding circle of themain light of three objectpoints in the normalized view

圖7是在迭代優(yōu)化過程中，等效焦距為10.00 mm方案的耦合效率隨中心點RMS變化的情況。從圖中可以看出，隨著像差的不斷減小，透鏡組的耦合效率不斷提高，當像差比較大時（RMS大于2μm），減小像差能使透鏡組的耦合效率迅速提升。因此只要在改變焦距的過程中像差不太大（RMS小于0.5μm），即可以認為像差沒有對耦合效率產(chǎn)生影響，透鏡組的耦合效率迅速提升；當像差減小到一定程度后（RMS小于1μm），耦合效率不再有明顯的提升。

圖7 等效焦距為10.00 mm的耦合效率隨RMS的變化曲線Fig.7 The change of coupling efficiency w ith RMS when the equivalent focal length is10.00 mm

對優(yōu)化的方案進行調整，耦合效率隨著等效焦距的減小先增大后減小，在等效焦距為6.80 mm時達到最大值82.07%，如圖8所示。此方案的RMS為0.121μm（遠小于0.5μm），如圖9所示。圖8表明，此時耦合效率因為像差的增大而造成的損失可以忽略不計，因此無須再對6.80 mm的方案進行迭代優(yōu)化，此方案可以作為雙高斯透鏡組的最終設計方案。

圖8 耦合效率隨等效焦距的變化Fig.8 Variation of coupling efficiency w ith equivalent focal length

圖9 耦合效率最高的透鏡組點列圖Fig.9 Optim ized spotdiagram of lensgroup w ith the highest coupling efficiency

圖9是6.80 mm等效焦距時的點列圖，其追跡的物點與圖4的相同。對比圖9和圖4可以看出，經(jīng)過結構參數(shù)調整，透鏡組的像差雖然有了明顯的增大（評價函數(shù)上升到10-5量級），但是仍保持在一個較低的水平，不同物點的點列圖RMS值仍保持一致且無畸變，說明透鏡組中心點與邊緣成像的一致性未遭破壞。

表4是增加了透鏡尺寸后等效焦距為6.80 mm的方案的結構參數(shù)，與表3相比，表4中介質厚度和第1個光學面的曲率半徑不同，其他參數(shù)均相同。其原因是從10.00 mm的方案調整到6.80 mm的方案，主要是通過調整各介質的厚度實現(xiàn)的，但是只改變介質厚度無法使焦距發(fā)生如此大的變化，所以將第1個光學面的曲率半徑也作為調整參數(shù)之一。由圖9可知，這樣的微調不會使透鏡組的像差變差而影響成像的一致性，但是會對透鏡的衍射效應產(chǎn)生影響，如圖10所示。對比圖6和圖10可以看出，在像點中心2.50μm范圍內的光斑能量占比更高，相當于衍射光斑被壓縮了。

表4 雙高斯透鏡的最終參數(shù)Tab.4 Finalparam entersof doub le Gaussian lens

圖10 耦合效率最高的包圍圓能量示意圖Fig.10 Schematic diagram of enclosed circle energy w ith the highestcoupling efficiency

3 結論

（1）為了消除像差的影響，得到耦合效率更高的單模光纖耦合透鏡，提出一種雙高斯透鏡作為單模光纖耦合透鏡的方案，光斑半徑為1.00 mm的高斯光經(jīng)6.80 mm的透鏡組壓縮至小于2.5μm后，耦合進模場半徑為5.00μm的單模光纖。經(jīng)過理論計算，其理想耦合效率為82.07%。

（2）對該方案的像差大小進行評估，得到10-5量級的評價函數(shù)和0.121μm的中心點RMS，基本消除了像差對耦合效率的影響。

（3）一般光學透鏡通過先確定等效焦距和像差分配，再經(jīng)過復雜的計算確定初始結構參數(shù)，然后分別對各種像差進行矯正和優(yōu)化，與其相比較，利用透鏡位置的變化調整焦距，再調整光學面的曲率半徑來校準像差的方法，對透鏡的設計與優(yōu)化更為簡單實用，對初始結構參數(shù)和等效焦距的要求不是很嚴格。本方法可以為單模光纖耦合透鏡的設計和使用提供參考。

后續(xù)工作主要是開展透鏡組的公差分析，通過實驗驗證進一步解決衍射效應對單模光纖耦合效率限制問題，以期能將耦合效率提升至90%以上。