姜磊 賴(lài)?yán)?蔚濤? 羅懋康2)

1) (四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064)

2) (四川大學(xué)空天科學(xué)與工程學(xué)院, 成都 610064)

對(duì)多粒子耦合系統(tǒng)而言, 環(huán)境漲落對(duì)各粒子的作用在實(shí)際情況中往往是互異的, 為此, 本文研究不同頻率漲落驅(qū)動(dòng)下全局耦合過(guò)阻尼諧振子系統(tǒng)中的集體動(dòng)力學(xué)行為, 包括穩(wěn)定、同步和隨機(jī)共振.通過(guò)隨機(jī)平均法推導(dǎo)得出粒子行為的統(tǒng)計(jì)同步性, 進(jìn)而得到了系統(tǒng)平均場(chǎng)與單粒子行為在統(tǒng)計(jì)意義下的等價(jià)性.并且, 利用該同步性進(jìn)一步求解得到了輸出幅值增益和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件.前者為分析系統(tǒng)隨機(jī)共振行為奠定了理論基礎(chǔ), 后者給出了本文所得結(jié)論的適應(yīng)范圍.仿真表明, 耦合強(qiáng)度 ε 的增加或系統(tǒng)規(guī)模N的增大會(huì)帶來(lái)兩方面的影響: 首先, 穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大, 同步時(shí)間逐漸縮短; 其次, 系統(tǒng)的有序性增強(qiáng), 需要更大的噪聲強(qiáng)度提供更強(qiáng)的隨機(jī)性來(lái)與之實(shí)現(xiàn)最優(yōu)匹配, 從而關(guān)于噪聲強(qiáng)度 σ 的隨機(jī)共振峰逐漸右移, 反之亦然.

1 引 言

噪聲在自然和工程系統(tǒng)中無(wú)處不在, 而受噪聲影響的復(fù)雜系統(tǒng)[1]的集體動(dòng)力學(xué)行為一直是非線(xiàn)性科學(xué)的研究重點(diǎn).穩(wěn)定性作為系統(tǒng)的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)特性, 一直是隨機(jī)系統(tǒng)研究所關(guān)心的基本問(wèn)題[2,3].例如, 在天氣預(yù)報(bào)中, 預(yù)報(bào)的質(zhì)量就取決于系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性, 即在一段時(shí)間后的天氣狀況對(duì)初始觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)擾動(dòng)的依賴(lài)[4].在飛行器控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性則對(duì)飛行器的安全性與可操控程度有至關(guān)重要的影響[5].

同步作為復(fù)雜系統(tǒng)集體行為的一種最基本的表現(xiàn)形式廣泛存在于如鐘擺、樂(lè)器、生物系統(tǒng)、神經(jīng)等各種自然科學(xué)與工程系統(tǒng)中[6,7].作為一種集體行為, 同步會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生重要的影響[8].例如, 魚(yú)群鳥(niǎo)群的同步行為可減少個(gè)體被捕食的概率, 電網(wǎng)中電機(jī)的同步可以大大提高輸電效率; 而另一方面, 過(guò)橋時(shí)人群的同步踩踏會(huì)使橋面產(chǎn)生共振斷裂, 大腦神經(jīng)元突發(fā)性異常同步發(fā)電會(huì)導(dǎo)致癲癇發(fā)作.因此, 對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的同步進(jìn)行理論分析以掌握其機(jī)制往往具有重要意義.

隨機(jī)共振由于表現(xiàn)出噪聲與非線(xiàn)性系統(tǒng)中微弱周期信號(hào)的協(xié)作現(xiàn)象而受到廣泛深入的研究[9?11].這一現(xiàn)象表明, 一定強(qiáng)度的噪聲可以放大系統(tǒng)對(duì)微弱周期信號(hào)的響應(yīng)幅值[12,13].廣義上講,隨機(jī)共振指的是某些系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)(如矩、信噪比、幅值增益等)隨系統(tǒng)的某些特征參數(shù)(如周期信號(hào)的頻率、噪聲強(qiáng)度、相關(guān)率等)非單調(diào)變化的現(xiàn)象[14].隨機(jī)共振產(chǎn)生的條件為: 系統(tǒng)的非線(xiàn)性性,微弱周期信號(hào)與噪聲.因此, 早期關(guān)于隨機(jī)共振的研究主要集中在受加性白噪聲驅(qū)動(dòng)的非線(xiàn)性系統(tǒng)中[15?23].由于大部分非線(xiàn)性模型難以解析求解, 對(duì)其共振機(jī)理的分析往往難以深入, 從而使得隨機(jī)共振在物理、生物、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用具有較大局限.近期研究成果表明, 在乘性噪聲驅(qū)動(dòng)下的線(xiàn)性系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象[14,24?34].并且, 這類(lèi)線(xiàn)性系統(tǒng)通?？梢岳碚撉蠼? 這便為共振機(jī)理研究的深入與隨機(jī)共振應(yīng)用的推廣提供了有利條件.

頻率漲落通常由系統(tǒng)外噪聲引起.關(guān)于頻率漲落諧振子的動(dòng)力學(xué)行為的研究, 從Chandrasekhar[35]的研究開(kāi)始, 一直受到廣泛的關(guān)注.Berdichevsky和Gitterman[34]最先給出如下受雙態(tài)噪聲驅(qū)動(dòng)的過(guò)阻尼系統(tǒng)的解析解并分析了該系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象:

由于方程(1)在波動(dòng)障礙穿越[36]、酶動(dòng)力學(xué)[37]及核磁共振[38]等化學(xué)、生物、物理多個(gè)領(lǐng)域存在應(yīng)用, 所以關(guān)于這類(lèi)模型的研究具有較高的理論和應(yīng)用價(jià)值.文獻(xiàn)[25, 39]將方程(1)中的雙態(tài)噪聲改為非對(duì)稱(chēng)雙態(tài)噪聲, 對(duì)新的模型進(jìn)行解析求解, 分析了模型的隨機(jī)共振現(xiàn)象.并且以一階線(xiàn)性電路系統(tǒng)為例給出了該模型在新的物理場(chǎng)景中的應(yīng)用.

以上關(guān)于隨機(jī)共振的研究主要集中在非耦合系統(tǒng)中.最近, 隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的興起, 耦合系統(tǒng)中隨機(jī)共振的研究正受到越來(lái)越多的關(guān)注.研究表明, 耦合系統(tǒng)中不僅會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象而且耦合關(guān)系還會(huì)豐富系統(tǒng)的共振行為[19?23,28,40,41].Pikovsky等[22]發(fā)現(xiàn)不同類(lèi)型的耦合隨機(jī)系統(tǒng)中都存在系統(tǒng)規(guī)模共振.Li[28]研究發(fā)現(xiàn), 在合適的參數(shù)下, 調(diào)整局部耦合系統(tǒng)中的耦合強(qiáng)度與粒子個(gè)數(shù), 既能加強(qiáng)也可以削弱隨機(jī)共振的強(qiáng)度.Yu等[41]在對(duì)雙耦合諧振子共振行為的研究中發(fā)現(xiàn), 調(diào)整耦合強(qiáng)度不僅可以增強(qiáng)隨機(jī)共振, 還能改變系統(tǒng)的共振形式.特別地, Yang等[3]將模型(1)推廣為N粒子全局耦合模型, 通過(guò)理論推導(dǎo)及仿真分析了N個(gè)粒子的集體動(dòng)力學(xué)行為.但在該推廣模型中, 系統(tǒng)中各粒子的頻率漲落被建模為全同噪聲.而在實(shí)際環(huán)境中, 環(huán)境漲落在同一時(shí)刻對(duì)不同粒子的影響應(yīng)該是有所差異的.因此, 將各粒子的頻率漲落建模為獨(dú)立同分布的乘性噪聲更能反映隨機(jī)耦合系統(tǒng)的真實(shí)動(dòng)力學(xué)行為.

鑒于上述分析, 本文研究受不同頻率漲落驅(qū)動(dòng)的全局耦合系統(tǒng)的集體動(dòng)力學(xué)行為.其中, 頻率漲落建模為獨(dú)立同分布的乘性對(duì)稱(chēng)雙態(tài)噪聲.這樣建模主要是基于雙態(tài)噪聲在理論研究和工程應(yīng)用中的普適性考慮.一方面, 雙態(tài)噪聲有界且形式簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn), 常被應(yīng)用于各種物理和生物系統(tǒng)中[42?44].另一方面, 在極限條件下, 雙態(tài)噪聲可轉(zhuǎn)化為高斯白噪聲和白散粒噪聲.這使得雙態(tài)噪聲具有一定的理論研究?jī)r(jià)值[45].更重要的是, 受乘性雙態(tài)噪聲影響的線(xiàn)性模型通?？梢跃_求解, 便于進(jìn)行分析研究.在此基礎(chǔ)上, 本文通過(guò)隨機(jī)平均法推導(dǎo)出系統(tǒng)各粒子的同步性.并根據(jù)同步性求出系統(tǒng)輸出幅值增益G的表達(dá)式及穩(wěn)定的充要條件.最后通過(guò)數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)穩(wěn)定、同步及隨機(jī)共振等集體行為.

2 模 型

本文研究受乘性雙態(tài)噪聲和余弦信號(hào)共同作用的N粒子全局耦合過(guò)阻尼系統(tǒng), 該系統(tǒng)所滿(mǎn)足的微分方程如下:

其中xi(t) 為第i個(gè)粒子在t時(shí)刻的位移,N為系統(tǒng)規(guī)模,為全局耦合項(xiàng),ε≥0為耦合強(qiáng)度.系統(tǒng)的全局耦合性體現(xiàn)在系統(tǒng)中的每個(gè)粒子都與其他粒子直接相連.A0cos(?t) 為外部周期驅(qū)動(dòng)力,ω≥0 表示系統(tǒng)的固有頻率.該頻率的漲落被建模為對(duì)稱(chēng)雙態(tài)噪聲ξi(t).該噪聲為一個(gè)雙態(tài)Markov過(guò)程, 在±σ中隨機(jī)取值, 其均值和相關(guān)函數(shù)分別為

其中σ表示噪聲幅值,λ表示噪聲相關(guān)率,τc=1/λ為平均等待時(shí)間.

由于噪聲ξi(t) 隨機(jī)波動(dòng), 各粒子所處的勢(shì)場(chǎng)隨機(jī)地在

之間切換.這類(lèi)隨機(jī)勢(shì)場(chǎng)在很多類(lèi)型的系統(tǒng)中均有發(fā)現(xiàn).例如生物體內(nèi)的ATP-ADP循環(huán)勢(shì)場(chǎng), ATP將能量?jī)?chǔ)存在化學(xué)鍵中, 通過(guò)水解反應(yīng), 化學(xué)鍵中的一些電子進(jìn)入到更低的能量態(tài).這一過(guò)程產(chǎn)生了ADP及生物所需的能量.反過(guò)來(lái), ADP又可以通過(guò)消耗一定的能量生成ATP.這一循環(huán)過(guò)程產(chǎn)生了生物系統(tǒng)中的ATP-ADP漲落勢(shì)場(chǎng)[46?48].

另一方面, 在液體環(huán)境中, 粒子往往表現(xiàn)為過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng), 即其慣性項(xiàng)可被忽略[49].因此, 與文獻(xiàn)[3]類(lèi)似, 模型(2)可被看作一個(gè)受到周期驅(qū)動(dòng)的耦合蛋白質(zhì)分子馬達(dá)在液體環(huán)境下ATP-ADP勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型.文獻(xiàn)[28]在局部耦合情況下對(duì)這類(lèi)模型的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析, 并列舉了josephson結(jié)構(gòu)陣列[50]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[51]及耦合蛋白子馬達(dá)[52,53]作為其潛在應(yīng)用場(chǎng)景.另外需要指出, 若令系統(tǒng)規(guī)模N=1 , 則模型(2)退化為文獻(xiàn)[34]中的單粒子運(yùn)動(dòng)模型;N=2 時(shí), 模型(2)即變?yōu)槲覀冎拔恼轮醒芯康膭?dòng)力學(xué)模型[54]; 若令ξ1(t)=···=ξN(t), 則本文的模型又可退化為之前Yang等[3]研究的全局耦合模型.因此, 從理論和應(yīng)用兩方面考慮, 模型(2)都具有較高的研究?jī)r(jià)值.

在本文的推導(dǎo)過(guò)程中將用到指數(shù)關(guān)聯(lián)噪聲所滿(mǎn)足的Shapiro-Loginov(S-L)公式[55]的推廣版本,為此, 先對(duì)S-L公式做簡(jiǎn)要介紹, 再用該公式推導(dǎo)出本文所需的公式版本.

定理1(Shapiro-Loginov公式)η(t) 是一個(gè)噪聲.假設(shè)如下條件成立:

(1)〈η(t)〉=0,〈η(t)ξ(s)〉=σ2e?λ|t?s|,

(2)ψ(t) 是指數(shù)相關(guān)噪聲η(t) 的泛函,

則有如下公式成立:

為了對(duì)模型(2)進(jìn)行求解, 以下將(5)式推廣到多個(gè)相互獨(dú)立指數(shù)關(guān)聯(lián)噪聲的情形.

定理2(Shapiro-Loginov公式)ηi(t),(i=1···k)為k個(gè)相互獨(dú)立的噪聲.假設(shè)如下條件成立:

(1)〈ηi(t)〉=0,〈ηi(t)ηi(s)〉=σ2e?λ|t?s|,i=1···k,

(2)ψ(t) 是指數(shù)相關(guān)噪聲ηi(t) 的泛函,

則有如下公式成立:

證明顯然,η1(t)η2(t)···ηk(t) 仍然是一個(gè)噪聲(即隨機(jī)過(guò)程).以下證明該噪聲滿(mǎn)足定理1的兩個(gè)條件.由ηi(t),(i=1···k) 的相互獨(dú)立性及條件(1)可得:

故η1(t)η2(t)···ηk(t) 仍然是一個(gè)指數(shù)關(guān)聯(lián)的隨機(jī)噪聲.由條件(2)可知,ψ(t) 是噪聲η1(t)η2(t)···ηk(t)的泛函.

故由定理1得(6)式成立.

由(6)式直接可得:

其中

為集合{ξi1,ξi2,···,ξik}所包含元素的個(gè)數(shù).1≤i1,i2,···,ik≤N,i1,i2,···,ik互不相等.

3 理論結(jié)果

3.1 同步性

本節(jié)主要研究上述耦合系統(tǒng)中各粒子行為是否具有同步性, 由于各粒子所受驅(qū)動(dòng)噪聲相互獨(dú)立, 因而, 這里所說(shuō)的同步性只能是統(tǒng)計(jì)意義下的同步.為此, 設(shè)法構(gòu)造包含變量〈xi〉,i=1,2,···,N的封閉微分方程組.用 1,ξi1ξi2···ξik分別乘以(2)式兩端, 因?yàn)樾稳绂蝘1ξi2···ξik這種k個(gè)互不相同的噪聲相乘的形式的因子共有個(gè).當(dāng)k取遍1到N, 再算上常數(shù)項(xiàng)因子 1 , 共有 2N個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的乘因子.因而可以得到 2NN個(gè)隨機(jī)微分方程, 利用S-L公式取平均, 即得到包含 2NN個(gè)變量的2NN個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的非齊次常微分方程組.未知量如表1所列.

3.1.1 變量分組

接下來(lái)對(duì)表1中的變量進(jìn)行分組, 將相等的變量分到一組, 以約簡(jiǎn)變量個(gè)數(shù).各組變量間的等價(jià)關(guān)系會(huì)在下一步予以證明.

表1 變量表Table 1.Variable table.

1) 由于模型(2)中各粒子位置對(duì)稱(chēng), 表1中第一行中的各變量應(yīng)該是兩兩相等的.同理, 最后一行中的各變量也應(yīng)該是兩兩相等的.分別用U0,UN表示兩行元素構(gòu)成的集合.即:

2) 若k?=l, 則于是, 我們記

3) 對(duì)于Uk(這里假定 1 ≤k≤N?1 )中的元素〈ξi1ξi2···ξikxi〉 , 若i∈{i1,i2,···,ik}, 則表示組成該乘因子的噪聲中既有直接作用于粒子xi的, 也有先作用于其他粒子再通過(guò)耦合作用間接作用于粒子xi的.若i∈/{i1,i2,···,ik}, 則表示組成該乘因子的噪聲都是間接作用于粒子xi的.為此將集合Uk分解為兩個(gè)集合Uk1,Uk2的不交并:

那么Uk1中的變量和Uk2中的變量應(yīng)該是不相等(同步)的.

3.1.2 組內(nèi)變量等價(jià)性證明

通過(guò)上述步驟, 將表1中的變量劃分到了2N個(gè)集合中, 并猜測(cè)各集合中的變量相等.下面來(lái)證明這一猜測(cè).

1) 對(duì)于集合Uk1, 從中任意選定一個(gè)元素v1,將Uk1中除v1以外的元素分別與v1作差, 得到一個(gè)新的集合:且v1∈Uk1,v∈Uk1}.顯然Uk1中任意兩個(gè)元素的差屬于Vk1或者可以表示為Vk1中兩個(gè)元素的差, 且有|Vk1|+1=|Uk1|.

2) 對(duì)剩余的 2N?1 個(gè)集合進(jìn)行與1)完全相同的操作.

得到 2N個(gè)集合V0,···,Vk1,Vk2,···,VN,這些集合的總元素個(gè)數(shù)為 2NN?2N個(gè).顯然這2NN?2N個(gè)元素線(xiàn)性無(wú)關(guān).下面構(gòu)造一個(gè)包含這2NN?2N個(gè)變量的 2NN?2N個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的齊次常微分方程組.

對(duì)于新得到的 2NN?2N個(gè)變量中任意一個(gè)變量〈ξm1ξm2···ξmkxi〉?〈ξn1ξn2···ξnkxj〉.要得到包含該變量的微分方程, 只需用ξm1ξm2···ξmk,ξn1ξn2···ξnk分別乘以

并兩端相減, 可得

1) 若i∈/{m1,m2,···,mk},j∈/{n1,n2,···,nk}, 則有

對(duì)(15)式取均值并應(yīng)用S-L公式(9)式得

顯然(16)式中各均值號(hào)中的變量均可由Vk1等 2N個(gè)集合中的 2NN?2N個(gè)元素線(xiàn)性表示.

2) 若i∈{m1,m2,···,mk},j∈{n1,n2,···,nk}, 按照1)中同樣的步驟可得:

其中

顯然(17)式中均值號(hào)中的變量也都可以由Vk1等2N個(gè)集合中的 2NN?2N個(gè)元素線(xiàn)性表示.

(16)式或(17)式即為包含變量〈ξm1ξm2···ξmkxi〉?〈ξn1ξn2···ξnkxj〉的微分方程.由此, 對(duì)待求的 2NN?2N個(gè)變量, 可以得到包含這些變量的2NN?2N個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的齊次常微分方程組.由于本文主要關(guān)注粒子在長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的解的狀況, 而方程組的初始值對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響會(huì)隨著t的增大逐漸消失.所以這里不妨假設(shè)該方程組初始條件為0.利用Laplace變換法可得上述方程組((16)式和(17)式)只有零解.由此推導(dǎo)出各集合U0,···,Uk1,Uk2,···,UN中變量的相等關(guān)系.

3.1.3 同步性結(jié)論與意義

通過(guò)上述分析, 得到了各集合U0,···,Uk1,Uk2,···,UN中變量的相等關(guān)系.也即同步性結(jié)論如下:

上述同步性結(jié)論具有以下兩條重要意義.

1) 從同步性(19)式可以看出

又因?yàn)橄到y(tǒng)的平均場(chǎng)

從而, 由(20)式可知

對(duì)復(fù)雜耦合系統(tǒng)集體動(dòng)力學(xué)行為的研究往往圍繞其平均場(chǎng)行為展開(kāi), (22)式表明: 在本模型中,系統(tǒng)的平均場(chǎng)行為與單粒子行為具有統(tǒng)計(jì)一致性,從而, 本文可通過(guò)研究單粒子的動(dòng)力學(xué)行為來(lái)開(kāi)展對(duì)系統(tǒng)集體動(dòng)力學(xué)行為的研究.

2) 為研究單粒子的動(dòng)力學(xué)行為, 需對(duì)其一階矩〈xi〉 進(jìn)行求解.同步性(19)式的另一個(gè)重要意義在于: 可極大地簡(jiǎn)化模型的求解過(guò)程, 使對(duì)〈xi〉 的解析求解成為可能.在下一節(jié)的的分析中, 將利用該同步性((19)式)完成對(duì)〈xi〉 和相應(yīng)輸出幅值增益G的具體解析求解.

3.2 輸出幅值增益

本節(jié)利用3.1節(jié)所得結(jié)果推導(dǎo)一階矩〈xi〉 及系統(tǒng)的輸出幅值增益G的表達(dá)式.首先將可能出現(xiàn)的變量用新的符號(hào)表示如下:

其中 1 ≤i≤N, 1 ≤k≤N?1.

對(duì)(2)式中第i個(gè)式子兩邊取平均, 并利用同步性得到含有變量y0的方程如下:

(24)式出現(xiàn)了新的耦合項(xiàng)y1,1, 為了建立包含該變量的微分方程, 用ξi1ξi2···ξik乘以第i個(gè)式子兩邊.這里i∈{i1,i2,···,ik}, 則有

對(duì)(25)式兩邊取平均并利用S-L公式(9)式得

對(duì)(26)進(jìn)行整理得

由于(27)式中又出現(xiàn)了新的變量yk,2.同理, 當(dāng)i∈/{i1,i2,···,ik}時(shí), 按照同樣的步驟, 可得如下包 含變量yk,2的微分方程式:

最后, 用ξ1ξ2···ξN乘以(2)式中第i個(gè)式子兩邊,計(jì)算可得包含變量yN的微分方程式:

所得的 2N個(gè)式子((24)式, (27)式, (28)式,(29)式)可改寫(xiě)成如下矩陣形式:

其中,

其中T表示矩陣的轉(zhuǎn)置.

A為三對(duì)角矩陣, 即除了三條對(duì)角線(xiàn)上的元素外其余元素都為零.

對(duì)(30)式作Laplace變換, 有

不妨記通過(guò)求解線(xiàn)性方程組(35),可以求得向量.特別地, 有

其中

其中h0(t) 為H0(s) 的Laplace逆變換.

另一方面, 系統(tǒng)((24)式, (27)式, (28)式,(29)式)可看作一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng).根據(jù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)理論, 該系統(tǒng)的輸出信號(hào)是一個(gè)與輸入信號(hào)僅在幅值和相位上有差異的余弦信號(hào).即

其中A和?分別為〈xi〉 的振幅和相位.將(40)式作Laplace變換并對(duì)比(37)式可得

最后求得輸出振幅增益為

根據(jù)(42)式, 通過(guò)數(shù)值仿真分析不同的系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)G的影響, 可以判斷系統(tǒng)有無(wú)隨機(jī)共振現(xiàn)象產(chǎn)生.在此之前, 首先對(duì)系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性做一些簡(jiǎn)要分析.

3.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性

系統(tǒng)(2)穩(wěn)定等價(jià)于特征方程

的根都分布在左半復(fù)平面, 即矩陣A的特征值都分布在右半復(fù)平面.在此基礎(chǔ)上, 本節(jié)建立了系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件和一個(gè)充要條件.

定理3(充分條件) 當(dāng)σ2<ω(ω+λ) 時(shí), 系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的.

證明1) 首先當(dāng)σ=0 時(shí), 由同步性(20)式可知, 系統(tǒng)(2)為含一個(gè)變量的常微分方程, 又由于ω>0, 系統(tǒng)顯然是穩(wěn)定的.

2) 當(dāng)σ>0 時(shí), 證明矩陣A的所有特征值都為正實(shí)數(shù).以此推出系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性.

(i) 先對(duì)ε>0 的情況予以證明.此時(shí), 有bi+1ci>0,1≤i≤N?1.故A相似于如下實(shí)對(duì)稱(chēng)三對(duì)角矩陣[56]:

A與S有相同的特征值且都為實(shí)數(shù).下面證明當(dāng)定理?xiàng)l件滿(mǎn)足時(shí),S為正定矩陣.

令S=S1+S2.其 中S1為ε=0 時(shí)S退 化 得到的矩陣.S2=S?S1.顯然S1,S2都是分塊對(duì)角矩陣.其中S1的每個(gè)分塊是如下形式的二階方陣:

其中 0 ≤k≤N?1.S2的每個(gè)分塊為零矩陣或如下形式的二階方陣:

其 中 1 ≤k≤N?1.顯然,S1,S2都為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.易證S2半正定.以下證明定理?xiàng)l件滿(mǎn)足時(shí),S1正定.因?yàn)榉謮K矩陣各個(gè)分塊的特征值的并集即為該分塊矩陣的全部特征值.故要讓S1正定只需S1每個(gè)分塊的特征值為正即可.易得, 這只需要

(ii) 當(dāng)ε=0 時(shí), 矩陣A退化為分塊對(duì)角矩陣.用與(i)中同樣的步驟證明即可.

下面, 為給出系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的充要條件, 將特征方程(43)式看成是關(guān)于σ2和s的函數(shù)來(lái)展開(kāi)分析, 從而將其改記為f(σ2,s).特別地, 若將σ2看成參數(shù), 則f(σ2,s) 是關(guān)于變量s的 2N次多項(xiàng)式.

定理4(充要條件) 系統(tǒng)(2)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)

其中為f(σ2,0)=0 的最小正根.

證明因?yàn)榫仃嘇相似于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣(定理3), 故對(duì)任意固定的σ2,f(σ2,s)=0 有 2N個(gè)實(shí)根.將這 2N個(gè)實(shí)根從大到小排列為

則si(σ2)(1≤i≤2N) 為σ2的連續(xù)函數(shù)[57].顯然, 系統(tǒng)(2)穩(wěn)定等價(jià)于s1(σ2)<0.故由定理3 知, 當(dāng)0<σ2<ω(ω+λ) 時(shí) ,s1(σ2)<0.另一方面, 隨著σ的增加, 系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)的不穩(wěn)定性逐漸增強(qiáng); 從而, 當(dāng)σ充分大時(shí), 系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的, 此時(shí)s1(σ2)>0.所以根據(jù)s1(σ2) 的連續(xù)性可知, 存在σ>0 , 使得s1(σ2)=0.記

由于本文只關(guān)心系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的各種動(dòng)力學(xué)行為, 所以后續(xù)對(duì)同步行為與隨機(jī)共振行為的分析都是在穩(wěn)定性條件(48)式成立的前提下進(jìn)行的.

4 數(shù)值仿真算法

本節(jié)利用隨機(jī)Taylor展開(kāi)算法對(duì)模型(2)進(jìn)行數(shù)值模擬, 以此驗(yàn)證算法的有效性.對(duì)于充分小的時(shí)間步長(zhǎng) ?t, 模型(2)在離散時(shí)間下的近似表達(dá)式為

其中

其中, ?t=tn?tn?1為時(shí)間步長(zhǎng), ?Xi為單個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)雙態(tài)噪聲的增量, 可通過(guò)文獻(xiàn)[58]中的方法仿真求得.

為了驗(yàn)證仿真算法的有效性, 需要將仿真結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.首先, 進(jìn)行K次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)并記第i個(gè)粒子第k次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)的軌跡為則可得到第i個(gè)粒子位移一階矩〈xi(t)〉的數(shù)值近似為

之后, 根據(jù)(40)式可知, 輸出信號(hào)〈xi(t)〉 為與輸入信號(hào)A0cos(?t) 有相同頻率的余弦信號(hào).所以對(duì)〈xi(t)〉num作Fourier變換即可得到〈xi(t)〉 的仿真幅值A(chǔ)num.最后利用(42)式即得輸出幅值增益的數(shù)值仿真結(jié)果Gnum.圖1給出了仿真算法的一個(gè)具體的例子.其中, 圖1的第一排子圖為10個(gè)粒子進(jìn)行 1 04次Monte Carlo仿真所得平均位移, 各粒子的初始位移服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.對(duì)該平均位移作Fourier變換得到第二排子圖對(duì)應(yīng)的頻域值.由此得到在該組參數(shù)下輸出幅值增益的數(shù)值仿真結(jié)果Gnum=1.11708 與理論值G=1.11677 的相對(duì)誤差僅為 2.78×10?4.

圖1 粒子平均位移及對(duì)應(yīng)頻域值的數(shù)值仿真結(jié)果, 其中ε=1 , A 0=1 , σ =1.3,N=10 , ω =0.5 , λ =1 , ?=π/4 , ? t=10?3 , K=104,T=120Fig.1.The average realization and the corresponding frequency domain representation with ε =1 , A 0=1 , σ=1.3,N=10, ω =0.5 , λ =1 , ? =π/4 , ? t=10?3 , K=104,T=120.

以下分別討論時(shí)間步長(zhǎng) ?t、Monte Carlo仿真次數(shù)K和總仿真時(shí)長(zhǎng)T對(duì)數(shù)值算法收斂性的影響.圖2(a)—圖2(c)分別描繪了Gnum作為上述三個(gè)仿真參數(shù)的函數(shù)的曲線(xiàn)圖.可以看出, 隨著仿真?t的減小及K和T的增加, 仿真結(jié)果逐漸趨近于理論結(jié)果.且當(dāng) ?t≤0.001,K≥10000 ,T≥120時(shí), 仿真結(jié)果與理論結(jié)果的誤差小于 6×10?4, 對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差僅為 5.372×10?4.因此, 若不特別指出, 本文數(shù)值仿真結(jié)果都為固定參數(shù)?t=0.001,K=10000,T=120 下仿真求得.

圖2 仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比圖, 其中?=π/4,ω=0.5,λ=1,ε=1,A0=1,σ=2 (a) K =10000,T=120 ;(b) ? t=0.001,T=120 ; ( c) K=10000,?t=0.001Fig.2.Comparison of theoretical and simulation results with ? =π/4,ω=0.5,λ=1,ε=1,A0=1,σ=2 :(a) K =10000,T=120 ; ( b) ? t=0.001,T=120 ;(c) K =10000,?t=0.001.

5 集體動(dòng)力學(xué)行為分析

5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性

在3.3節(jié)中, 推導(dǎo)得出了粒子位移一階矩穩(wěn)定的充要條件.這里進(jìn)一步通過(guò)仿真分析穩(wěn)定性區(qū)域隨參數(shù)的變化及其對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)行為的影響.圖3(a)給出了不同的N所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域圖像.其中黑色區(qū)域?yàn)镹=2 所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性區(qū)域; 黑色區(qū)域與深灰色區(qū)域的并為N=5 所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域; 黑色區(qū)域, 深灰色區(qū)域與淺灰色區(qū)域的并集則為N=10 時(shí)的穩(wěn)定性區(qū)域.從中可以看出,系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域隨耦合強(qiáng)度ε及系統(tǒng)規(guī)模N的增加而增大.為了更直觀(guān)地反映系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域隨N的變化, 圖3(b)給出了在一組固定的參數(shù)下,系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域邊界隨N的變化曲線(xiàn).可以看出,穩(wěn)定性區(qū)域隨著N的增大單調(diào)遞增.關(guān)于圖3中現(xiàn)象的一個(gè)合理的物理解釋為: 粒子規(guī)模N及耦合強(qiáng)度ε決定粒子間的耦合力Fi, 而耦合力為系統(tǒng)輸出提供有序性.噪聲為粒子位移引入無(wú)序性, 且噪聲幅值σ越大, 粒子位移的無(wú)序性越強(qiáng).有序性和無(wú)序性相互競(jìng)爭(zhēng)決定系統(tǒng)輸出的穩(wěn)定性.當(dāng)σ∈[0,σmin)時(shí), 耦合力提供的有序性占主導(dǎo)地位.當(dāng)σ=σmin時(shí), 有序與無(wú)序的競(jìng)爭(zhēng)達(dá)到一個(gè)臨界點(diǎn),使得初值的影響不會(huì)隨時(shí)間增加而消失.系統(tǒng)輸出開(kāi)始變得不穩(wěn)定.當(dāng)σ>σmin時(shí), 噪聲引入的無(wú)序性占主導(dǎo)地位, 系統(tǒng)輸出無(wú)界.由于增加N及ε可以增加耦合力Fi, 使得系統(tǒng)輸出的有序性增強(qiáng).此時(shí)就需要更大的σ才能使得系統(tǒng)輸出達(dá)到穩(wěn)定性的臨界點(diǎn).所以, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域會(huì)隨著粒子規(guī)模N及耦合強(qiáng)度ε的增加而增大.

圖3 ( a) 不同的N所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域, 其中ω=0.5,λ=1 ; ( b) 系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域邊界隨N的變化曲線(xiàn), 其中 ε =1 , 其他參 數(shù)同圖(a)Fig.3.( a) System stability region corresponding to different N with ω =0.5,λ=1 ; ( b) curve of the boundary of the system stability region with N with ε =1 , other parameters are the same as panel ( a).

為了直觀(guān)反應(yīng)穩(wěn)定性區(qū)域?qū)αＷ悠骄灰频挠绊?不失一般性, 這里固定N=10 并從圖3(a)中選擇A(1.5,1),B(2,1) 兩點(diǎn)進(jìn)行仿真實(shí)現(xiàn).結(jié)果如圖4所示.從圖4(a)可以看出, 粒子平均位移有界, 此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.圖4(b)中的系統(tǒng)輸出隨著時(shí)間的增大向無(wú)窮遠(yuǎn)發(fā)散, 此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.這與定理4的結(jié)論相符.

圖4 粒子平均位移實(shí)現(xiàn), 其中ω=0.5,λ=1,?=π/4,ε=1,A0=1,N=10 (a)σ=1.5(b)σ=2Fig.4.The average displacements of particles with ω=0.5,λ=1,?=π/4,ε=1,A0=1,N=10:(a)σ=1.5 ; ( b) σ =2.

由于本文只關(guān)心系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的各種動(dòng)力學(xué)行為, 所以以下兩節(jié)的仿真都是在穩(wěn)定性條件成立的前提下進(jìn)行的.

5.2 粒子的集體同步行為

本節(jié)通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)3.1節(jié)中的結(jié)論(20)式予以驗(yàn)證.即隨著系統(tǒng)時(shí)間的演化,N個(gè)粒子的平均位移會(huì)達(dá)到同步狀態(tài).

圖5給出了系統(tǒng)(2)在不同參數(shù)條件下不同粒子平均位移的仿真結(jié)果和對(duì)應(yīng)的方差, 其中各粒子的初始位置服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.從圖5(a)—圖5(c)的第一行子圖中可以看出, 具有不同初始值的粒子隨著時(shí)間的增加最終都會(huì)達(dá)到同步狀態(tài).這與3.1節(jié)中的結(jié)論相符, 即方程組(16)式, (17)式的初值條件不改變長(zhǎng)時(shí)間后系統(tǒng)中粒子的同步狀態(tài).為直觀(guān)反映粒子的同步速度, 引入粒子平均位移〈xi(t)〉num的方差?(t) 如下:

其中

圖5(a)—圖5(c)的第二行子圖給出了方差隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)圖.從中可直觀(guān)地看出, 圖5(a)中曲線(xiàn)的下降速度慢于圖5(b)和圖5(c).且當(dāng)t=1 時(shí),三幅圖對(duì)應(yīng)的方差?分別是4.21×10?3,9.2×10?7,1.2×10?7.下面通過(guò)定義同步時(shí)間t0, 對(duì)不同參數(shù)下系統(tǒng)(2)的同步速度進(jìn)行定量描述.由于系統(tǒng)(2)中各噪聲ξi獨(dú)立同分布, 且實(shí)驗(yàn)仿真次數(shù)有限, 所以?隨著時(shí)間增加不會(huì)降為零.因此, 這里假設(shè)?(t)≤10?5時(shí), 即認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài), 并記相應(yīng)的同步時(shí)間為:

將圖5(a)—圖5(c)第二行子圖中各方差曲線(xiàn)圖橫縱坐標(biāo)以對(duì)數(shù)形式表示得到第三行子圖.三幅子圖中系統(tǒng)達(dá)到同步的時(shí)間分別是 3.53,0.72,0.55.對(duì)比三幅圖中的同步時(shí)間可知, 增加耦合強(qiáng)度ε和系統(tǒng)規(guī)模N可顯著加快粒子的同步速度.這是由于一方面增加耦合強(qiáng)度ε使得粒子間的耦合力

圖5 系統(tǒng)(2)在不同參數(shù)條件下的仿真實(shí)現(xiàn)和所對(duì)應(yīng)的方差, 其中ω=0.5,λ=1,σ=0.7,A0=1,?=π/4 (a)ε=1,N=2 ; ( b) ε =4,N=2 ; ( c) ε =1,N=10.三幅子圖的頂部圖中不同顏色的實(shí)線(xiàn)代表不同粒子的平均位移Fig.5.The realization of the system (2) under different parameter conditions and the corresponding variance with ω=0.5,λ=1,σ=0.7,A0=1,?=π/4 : ( a) ε =1,N=2 ; ( b) ε =4,N=2 ; ( c) ε =1,N=10.The solid lines in different colors in the first panel of the three subfigure represent the average displacement of different particles.

加大, 而耦合力的作用是使得各粒子相互吸引, 這使得系統(tǒng)可以更快同步.另一方面由于系統(tǒng)中的耦合關(guān)系為全局耦合, 增加N也會(huì)加大粒子間的吸引力, 從而讓各粒子更快達(dá)到同步狀態(tài).另外, 從圖6也可以定量地看出, 隨著N的增加, 系統(tǒng)的同步時(shí)間t0逐漸變小.

圖6 同步時(shí)間 t0 隨群體規(guī)模N的變化曲線(xiàn), 所選系統(tǒng)參數(shù)與圖5相同F(xiàn)ig.6.The change curve of synchronization time t0 with system size N.The selected system parameters are the same as the Fig.5.

最后需要指出, 耦合強(qiáng)度只改變系統(tǒng)的同步時(shí)間而不改變系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的同步狀態(tài).這是由于系統(tǒng)中各粒子的位移主要受周期外力、粒子所處勢(shì)場(chǎng)、各粒子的初始位置以及粒子間的耦合力四個(gè)因素影響.這四個(gè)因素中, 決定粒子同步的本質(zhì)因素為周期外力和粒子所處勢(shì)場(chǎng).一方面, 各粒子受相同的周期外力作用; 另一方面, 各粒子有相同的本征頻率, 頻率噪聲有相同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì), 這使得各粒子所處的勢(shì)場(chǎng)從統(tǒng)計(jì)意義看是相同的.所以一段時(shí)間后, 系統(tǒng)初值對(duì)各粒子位移的影響消失.耦合強(qiáng)度的存在只是加速了粒子的同步速度, 當(dāng)ε=0 時(shí)各粒子所滿(mǎn)足的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程相同, 此時(shí)各粒子仍然會(huì)同步.故耦合強(qiáng)度不改變系統(tǒng)的同步性.

5.3 隨機(jī)共振

隨機(jī)共振現(xiàn)象是噪聲的隨機(jī)性與驅(qū)動(dòng)力的有序性在非線(xiàn)性作用下相互協(xié)作的結(jié)果.在本文的模型中, 隨機(jī)性由噪聲提供, 有序性由正弦驅(qū)動(dòng)力和耦合作用力兩部分組成.由于正弦驅(qū)動(dòng)力的作用在以往的文獻(xiàn)中已展開(kāi)過(guò)大量充分的討論, 因而本文主要分析噪聲與耦合力的協(xié)作現(xiàn)象.它們相互協(xié)作產(chǎn)生隨機(jī)共振的機(jī)理如下: 噪聲ξi(i=1,2,···,N)為系統(tǒng)提供隨機(jī)性, 噪聲幅值σ越大, 則隨機(jī)性越強(qiáng); 耦合力Fi(i=1,2,···,N) 為系統(tǒng)提供有序性,耦合強(qiáng)度ε或系統(tǒng)規(guī)模N越大, 則有序性越強(qiáng).在“乘性”這種非線(xiàn)性作用方式下, 有序與無(wú)序相互競(jìng)爭(zhēng), 當(dāng)兩者間達(dá)到某種最優(yōu)匹配時(shí), 系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振, 從而使得系統(tǒng)輸出達(dá)到最大.

在上述共振機(jī)理的指導(dǎo)下, 接下來(lái)通過(guò)數(shù)值分析的方式, 逐一對(duì)輸出幅值增益G關(guān)于耦合強(qiáng)度ε、系統(tǒng)規(guī)模N以及噪聲幅值σ的共振行為進(jìn)行具體分析.

5.3.1 關(guān)于耦合強(qiáng)度ε的參數(shù)隨機(jī)共振

圖7(a)和圖7(b)分別給出了不同的σ,N下,G隨ε的變化曲線(xiàn).可以看出, 除了σ=0 外, 其他曲線(xiàn)都有不同強(qiáng)度的共振峰.且共振峰主要出現(xiàn)在低耦合區(qū)域.隨著耦合強(qiáng)度ε的增大, 每條曲線(xiàn)都趨于一個(gè)定值.這是因?yàn)楫?dāng)參數(shù)σ,N固定時(shí), 系統(tǒng)輸出有序性主要由ε確定.且系統(tǒng)輸出有序性隨ε增加而增強(qiáng).當(dāng)ε過(guò)小時(shí), 過(guò)弱的耦合力不能有效協(xié)調(diào)粒子的運(yùn)動(dòng).當(dāng)ε過(guò)大時(shí), 過(guò)強(qiáng)的耦合力會(huì)使粒子相互吸引組成一個(gè)整體而完全抑制噪聲帶來(lái)的隨機(jī)性的影響.兩種情況都限制了噪聲與輸入信號(hào)的協(xié)作效應(yīng).因此, 使得輸出幅值增益G最大的ε一定是介于兩者之間的.

圖7 不同的 σ , N下 G (ε) 的變化曲線(xiàn), 其中ω=0.5,λ=1,A0=1,?=π/4 (a)N=10 ;(b)σ=0.7Fig.7.The curve of G (ε) under different σ and N with ω=0.5,λ=1,A0=1,?=π/4 : ( a) N =10 ; ( b) σ =0.7.

圖7 (a)中, 當(dāng)σ=0 時(shí),G取常值.這是由于當(dāng)σ=0時(shí), 噪聲消失.此時(shí)模型(2)退化為確定性模型, 統(tǒng)計(jì)意義下的同步〈x1〉=〈x2〉=···=〈xN〉 變?yōu)閤1=x2=···=xN.耦 合 力Fi(i=1,2,···,N)使各粒子相互吸引組成一個(gè)整體, 之后變?yōu)榱?因此,ε對(duì)G不產(chǎn)生影響.另一方面, 將σ=0 代入(42)式直接計(jì)算可得:

當(dāng)σ≥0 時(shí), 共振峰的高度隨著σ的增大而增大.這說(shuō)明增加噪聲幅值σ可加大隨機(jī)共振的強(qiáng)度.

圖7(b)中, 隨著系統(tǒng)規(guī)模N的增加, 共振峰變得越來(lái)越尖銳, 同時(shí)共振峰的位置左移, 共振峰的高度不斷增加.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因如下: 由于系統(tǒng)中的耦合關(guān)系為全局耦合, 增加N會(huì)加大粒子間的吸引力, 所以當(dāng)N較大時(shí), 隨著ε的增加,粒子間的吸引力增大得更快.因此G隨ε的變化曲線(xiàn)也更陡.同樣地, 更強(qiáng)的耦合力進(jìn)一步抑制了噪聲帶來(lái)的隨機(jī)性, 使得G不能達(dá)到最優(yōu).所以當(dāng)噪聲幅值σ固定時(shí), 增加N會(huì)使得共振峰左移.另外注意到, 圖7(b)中所有曲線(xiàn)都有共同的起點(diǎn).這是由于當(dāng)粒子間的耦合作用消失時(shí)(ε=0 ), 模型(2)變?yōu)镹個(gè)彼此獨(dú)立且相同的系統(tǒng).此時(shí), 改變系統(tǒng)規(guī)模N并不改變系統(tǒng)中各粒子的受力狀況.因此N的變化不影響G.同樣地, 將ε=0 代入(42)式可得:

所以, 從(58)式也可得出上述結(jié)論.

5.3.2 關(guān)于系統(tǒng)規(guī)模N的參數(shù)隨機(jī)共振

圖8(a)和圖8(b)分別給出了不同的σ,ε下,G隨N的變化曲線(xiàn).可以看出, 除了σ=0,ε=0外, 其他曲線(xiàn)都有不同強(qiáng)度的單峰共振.這表明在合適的參數(shù)下, 存在最優(yōu)的系統(tǒng)規(guī)模N使得輸出幅值增益G達(dá)到最優(yōu).這里系統(tǒng)中有序與無(wú)序競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的變化主要由系統(tǒng)規(guī)模N的變化引起.在給定參數(shù)ε,σ的條件下, 系統(tǒng)規(guī)模N的增加使粒子間的耦合力Fi(i=1,2,···,N) 變大, 進(jìn)而使得系統(tǒng)輸出有序逐漸增大.當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模N較小時(shí), 過(guò)弱的耦合力不能有效協(xié)調(diào)粒子的運(yùn)動(dòng), 即噪聲引入的隨機(jī)性過(guò)大.當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模N較大時(shí), 過(guò)強(qiáng)的耦合力會(huì)完全抑制噪聲帶來(lái)的隨機(jī)性的影響, 使系統(tǒng)(2)近似于確定性系統(tǒng).這兩種極端情況都會(huì)限制粒子的平均運(yùn)動(dòng).因此, 使得輸出幅值增益G最大的N一定是介于兩者之間的.

圖8(a)中, 當(dāng)ε=0 時(shí),G取常值.當(dāng)ε>0 時(shí),隨著耦合強(qiáng)度ε的增加, 使共振曲線(xiàn)趨于穩(wěn)定值的N減小.這與圖7(b)中的結(jié)論一致.另外還可以看出, 隨著ε的增加, 共振曲線(xiàn)下移.這表明增加耦合強(qiáng)度ε會(huì)減弱系統(tǒng)關(guān)于N的參數(shù)隨機(jī)共振強(qiáng)度.

圖8(b)中, 當(dāng)σ=0 時(shí),G取常值.這是由于此時(shí)模型(2)退化為確定性模型, 而耦合力Fi(i=1,2,···,N)使各粒子相互吸引組成一個(gè)整體, 之后變?yōu)榱?此時(shí), 不論粒子個(gè)數(shù)多少, 系統(tǒng)中的各粒子都只受周期外力A0cos(?t) 的作用.所以改變系統(tǒng)規(guī)模N不影響輸出幅值增益.該結(jié)論也與(57)式一致.當(dāng)σ>0 時(shí), 隨著σ的增加, 共振峰右移, 共振強(qiáng)度加大.這是由于更大的σ會(huì)使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生更強(qiáng)的隨機(jī)性, 過(guò)強(qiáng)的隨機(jī)性又會(huì)抑制系統(tǒng)的輸出.這種情況下, 要使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)輸出就需要加強(qiáng)粒子間的吸引力使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡更加有序.所以當(dāng)σ增加時(shí), 使系統(tǒng)輸出達(dá)到最大的N增大.另外還可以看出, 增加噪聲幅值σ可以加強(qiáng)系統(tǒng)的參數(shù)隨機(jī)共振強(qiáng)度.

圖8 不 同 的 σ , ε 下 G (N) 的 變 化 曲 線(xiàn), 其 中ω=0.5,λ=1,A0=1,?=π/4 (a)σ=0.7 ;(b)ε=1Fig.8.The curve of G (N) under different σ and ε with ω=0.5,λ=1,A0=1,?=π/4: ( a) σ =0.7 ; ( b) ε =1.

5.3.3 關(guān)于噪聲幅值σ的隨機(jī)共振

圖9(a)和圖9(b)分別給出了不同的ε,N下,G隨σ的變化曲線(xiàn).可以看出, 所有曲線(xiàn)都表現(xiàn)出不同強(qiáng)度的共振現(xiàn)象.這表明, 在合適的參數(shù)下,系統(tǒng)關(guān)于噪聲幅值σ會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)共振.從圖9(a)和圖9(b)還可以看出, 當(dāng)σ=0 時(shí), 所有曲線(xiàn)都有共同的起點(diǎn).這一現(xiàn)象與圖7(a), 圖8(b)及(57)式得到的結(jié)論一致.

圖9(a)中, 隨著耦合強(qiáng)度ε從0增加到1, 共振強(qiáng)度變大且共振峰位置右移.當(dāng)ε從1繼續(xù)增加到10時(shí), 共振強(qiáng)度逐漸減弱, 并且也逐漸趨向于一個(gè)極限值, 而共振峰的位置相對(duì)變化較小.這說(shuō)明增加耦合強(qiáng)度既能增強(qiáng)也可以削弱隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖9(b)中, 隨著系統(tǒng)規(guī)模N的增加, 共振強(qiáng)度變大且共振峰位置右移.出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因與圖8(b)類(lèi)似.更大的系統(tǒng)規(guī)模N使系統(tǒng)各粒子間的相互吸引力變強(qiáng), 而過(guò)強(qiáng)的吸引力進(jìn)一步抑制了噪聲帶來(lái)的隨機(jī)性, 使系統(tǒng)(2)產(chǎn)生與確定性系統(tǒng)類(lèi)似的有序輸出.因此, 隨著N的增加, 使系統(tǒng)輸出G達(dá)到最大的σ變大, 共振峰右移.圖9(b)表明, 增加系統(tǒng)規(guī)模N可增強(qiáng)系統(tǒng)的隨機(jī)共振強(qiáng)度.

圖9 不同的 ε , N下 G (σ) 的變化曲線(xiàn), 其中ω=0.5,λ=1,A0=1,?=π/4 (a)N=10;(b)ε=1Fig.9.The curve of G (σ) under different ε and N with ω=0.5,λ=1,A0=1,?=π/4: ( a) N =10 ; ( b) ε =1.

6 結(jié) 論

本文研究了不同頻率噪聲驅(qū)動(dòng)下過(guò)阻尼全局耦合系統(tǒng)的集體動(dòng)力學(xué)行為.理論方面, 主要通過(guò)隨機(jī)平均法來(lái)展開(kāi)研究.首先, 得到了各粒子行為的統(tǒng)計(jì)同步性, 該同步性使得系統(tǒng)平均場(chǎng)行為與單粒子行為具有統(tǒng)計(jì)一致性, 從而可通過(guò)對(duì)單粒子行為的研究來(lái)完成對(duì)平均場(chǎng)行為(也即集體行為)的研究.其次, 利用該同步性, 完成了對(duì)系統(tǒng)輸出幅值增益的解析求解, 為進(jìn)一步分析系統(tǒng)的隨機(jī)共振行為奠定了理論基礎(chǔ).最后, 推導(dǎo)給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和充要條件, 為本文所得結(jié)論的適用范圍給出了參考.數(shù)值仿真方面, 主要通過(guò)隨機(jī)Taylor展開(kāi)算法進(jìn)行研究.首先, 分析了粒子規(guī)模N及耦合強(qiáng)度ε對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域與同步時(shí)間的影響, 結(jié)果表明, 隨著耦合強(qiáng)度ε的增加或系統(tǒng)規(guī)模N的增大,粒子間的耦合力增大, 系統(tǒng)有序性增強(qiáng), 從而使得穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大, 同步時(shí)間逐漸縮短.其次, 對(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振行為展開(kāi)了研究.噪聲為系統(tǒng)提供隨機(jī)性, 耦合力為系統(tǒng)提供有序性, 兩者相互競(jìng)爭(zhēng),從而使得系統(tǒng)輸出關(guān)于噪聲強(qiáng)度σ、耦合強(qiáng)度ε與系統(tǒng)規(guī)模N均表現(xiàn)出隨機(jī)共振行為.隨著耦合強(qiáng)度的增加或系統(tǒng)規(guī)模的增大, 系統(tǒng)的有序性增強(qiáng),需要更大的噪聲強(qiáng)度提供更強(qiáng)的隨機(jī)性來(lái)與之實(shí)現(xiàn)最優(yōu)匹配, 從而關(guān)于噪聲強(qiáng)度σ的共振峰逐漸右移.反之, 隨著噪聲強(qiáng)度σ的增大, 關(guān)于耦合強(qiáng)度ε與系統(tǒng)規(guī)模N的共振峰也會(huì)右移.本文的研究工作雖然圍繞特定耦合模型展開(kāi), 但相關(guān)結(jié)論具有很強(qiáng)的普適性, 對(duì)其他復(fù)雜耦合系統(tǒng)的研究具有很好的理論指導(dǎo)和參考意義.后續(xù), 將在本文工作的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步結(jié)合實(shí)際需求展開(kāi)深入研究.