田選華，胡 罡，2，李鵬春

(1.廣東石油化工學院 石油工程學院(廣東省非常規(guī)能源工程技術研究中心)，廣東 茂名 525000；2.成都理工大學 能源學院，四川 成都 610059；3.中國科學院 邊緣海與大洋地質(zhì)重點實驗室(中國科學院南海海洋研究所)，廣東 廣州 510301)

引 言

縱覽全球，非常規(guī)油氣資源將成為從傳統(tǒng)油氣資源邁向新能源的第三次能源變革中最現(xiàn)實的資源類型[1]。作為一種新型非常規(guī)油氣資源，致密油藏總體勘探程度與地質(zhì)認識程度較低，在勘探開發(fā)中仍存在一些關鍵問題需要進一步探究[2]。譬如人們雖然已經(jīng)認識到致密油藏的滲流規(guī)律為存在啟動壓力梯度的非達西滲流，且只有當驅(qū)動壓力梯度超過啟動壓力梯度時油才開始流動[3-11]，但是對于如何確定存在啟動壓力梯度時致密油藏采油井技術極限井距[9-19]尚缺乏一個公認的且符合礦場生產(chǎn)實際的方法。

近年來，研究人員提出了多種確定致密油藏采油井技術極限井距的方法[9-19]。這些方法雖然給出了較為合理的致密油藏技術極限井距算法，但是其算法都具有一定前提條件或假設條件，因而存在一些缺陷：(1)王廣濤等[12]、時佃海[13]、孫黎娟等[14]、陳家曉等[15]、李愛芬等[16]算法的前提條件是假定采油井處于穩(wěn)定流動狀態(tài)下生產(chǎn)，而實際上在井底壓降傳播到油藏邊界之前，采油井始終處于不穩(wěn)定流動狀態(tài)；(2)時佃海[13]、王建華等[17]、雷光倫等[18]、孫黎娟等[14]、陳家曉等[15]、李愛芬等[16]算法的前提條件是假定采油井采用定井底壓力生產(chǎn)，而礦場上的采油井大多都采用定產(chǎn)量生產(chǎn)，顯然不符合生產(chǎn)實際情況；(3)王廣濤等[12]、時佃海[13]、王建華等[17]、雷光倫等[18]、孫黎娟等[14]、陳家曉等[15]、李愛芬等[16]、王端平等[19]算法忽視非線性滲流影響，直接采用直線近似處理致密油藏非線性滲流曲線段?？梢姮F(xiàn)有算法既不符合理論實際，又不符合礦場生產(chǎn)實際，采用假定采油井處于穩(wěn)定流動狀態(tài)下生產(chǎn)[12-16]的算法確定技術極限井距會偏大；采用假定采油井定井底壓力生產(chǎn)[13-16]的算法確定技術極限井距會偏小，且不符合礦場實際；采用忽視非線性滲流對采油井產(chǎn)能影響的算法[12-19]確定技術極限井距會偏小?？傊?，現(xiàn)有算法在適用性、實用性上存疑。

致密油藏的滲流規(guī)律為存在啟動壓力梯度的非線性滲流，從其流態(tài)分布上可以分為3個區(qū)域[9,13,18]：(1)線性滲流區(qū)。該區(qū)內(nèi)驅(qū)替壓力梯度大于臨界驅(qū)替壓力梯度，此時油藏區(qū)域內(nèi)原油滲流速度與驅(qū)替壓力梯度呈線性關系，服從達西滲流規(guī)律；(2)非線性滲流區(qū)。該區(qū)內(nèi)驅(qū)替壓力梯度大于啟動壓力梯度，卻小于臨界驅(qū)替壓力梯度，此時油藏區(qū)域內(nèi)原油滲流速度與驅(qū)替壓力梯度呈非線性關系；(3)不流動區(qū)。該區(qū)內(nèi)驅(qū)替壓力梯度小于啟動壓力梯度，此時油藏區(qū)域內(nèi)原油不流動，滲流速度為零。針對現(xiàn)有技術極限井距算法的不足，基于致密油藏非線性滲流理論[10-11]，通過求解平面徑向流不穩(wěn)定滲流的地層壓力分布問題，將啟動壓力梯度作為技術極限井距的判斷依據(jù)，推導出了計算致密油藏定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下的技術極限生產(chǎn)井井距的數(shù)學模型，為致密油藏合理井距的確定和開發(fā)動用效果評價提供了重要的理論依據(jù)及技術支撐。

1 數(shù)學模型的建立

1.1 技術極限生產(chǎn)半徑計算公式推導

不論地層是定壓邊界，還是封閉邊界，在壓力傳播到邊界之前，采油井可視為從無限大地層中采油[20]。因此，研究采油井的不穩(wěn)定流動問題，通常轉(zhuǎn)化為研究無限大地層的滲流問題。當采油井投產(chǎn)后，地層中的流體流動為平面徑向流。

(1)當原油在線性滲流區(qū)內(nèi)流動時采油井極限泄油半徑

在技術極限條件下，采油井線性滲流區(qū)產(chǎn)量

(1)

式中：ql為采油井線性滲流區(qū)產(chǎn)量，m3/s；k為油層滲透率，10-3μm2；h為油層厚度，m；μ為地下原油黏度，mPa·s；pc為線性滲流區(qū)與非線性滲流區(qū)處臨界壓力梯度所對應的平均地層壓力，MPa；pw為采油井井底流動壓力，MPa；rc為線性滲流區(qū)與非線性滲流區(qū)處臨界壓力梯度所對應采油井泄油半徑，m；rw為井眼半徑，m。

在定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下，在井底壓降傳播到地層邊界之前，油井所采出的油量都是靠油層自身彈性能量驅(qū)動的[20]。因此，致密油藏線性滲流區(qū)平面徑向不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型[19]可以寫成

(2)

式中：pi為原始地層壓力，MPa；ql為采油井線性滲流區(qū)產(chǎn)量，m3/s；η為地層導壓系數(shù)，m2/ks；r為徑向距離，m；t為油井生產(chǎn)時間，ks。

求解數(shù)學模型式(2)，即可得到服從線性滲流規(guī)律的不穩(wěn)定流動的地層壓力分布。P.Y.Polubarionova-Kochina得到了服從線性滲流規(guī)律的平面徑向流的不穩(wěn)定流動的精確壓力解[20]。其表達式為

(3)

由于冪積分函數(shù)為一無窮積分，因此，式(3)實際上是不方便應用的。此外，冪積分函數(shù)可以展開成常用函數(shù)：

(4)

式中，0.577 21為Euler常數(shù)近似值。

式(4)可組合成

(5)

式中，γ=e0.577 21≈1.781。

冪積分函數(shù)的基本特征是：當u→∞時，Ei(u)→0；當u→0時，Ei(u)→∞。實際上，當u>5.0時，Ei(u)已接近于0。研究發(fā)現(xiàn)，若用對數(shù)函數(shù)去近似冪函數(shù)積分，則在u特別小時誤差較小；在u特別大時誤差較大[20]。根據(jù)計算，在u<0.01時，兩函數(shù)之間的最大誤差約為0.2%。因此，在工程允許的誤差范圍內(nèi)，為計算方便，可以用對數(shù)函數(shù)來近似冪積分函數(shù)，即

(6)

由于r在10-1～103m數(shù)量級，η在102～103m2/ks數(shù)量級，因此，在井底附近，只要t>0.002 ks，u<0.01的條件即可滿足。換而言之，u<0.01的條件在礦場上是很容易滿足的。于是，式(3)可以寫成對數(shù)函數(shù)的形式，即

(7)

在式(7)兩邊分別求導，得致密油藏線性滲流區(qū)壓力梯度為

(8)

當驅(qū)替壓力梯度等于臨界壓力梯度時，有

(9)

式中：λc為致密油藏臨界壓力梯度，MPa/m。

將式(9)代入式(1)中，得

(10)

式(10)即為致密油藏線性滲流區(qū)采油井最大泄油半徑rc計算公式，即在rc半徑內(nèi)的原油受采油井壓差控制參與線性流動。聯(lián)立式(1)、(9)、(10)，通過試算即可求出致密油藏采油井線性滲流區(qū)最大泄油半徑rc。

(2)當原油在非線性滲流區(qū)內(nèi)流動時采油井極限泄油半徑

低速非達西滲流可描述[6,10-11]為

(11)

若將rc視作非線性滲流區(qū)的井筒半徑，致密油藏采油井非線性滲流區(qū)產(chǎn)量

(12)

將式(12)分離變量積分，得

(13)

于是，可得極限條件下致密油藏平面徑向流采油井非線性滲流區(qū)產(chǎn)量計算公式為

(14)

式中：pe為無窮大地層邊界壓力，MPa；re為無窮大地層邊界半徑，m；ra為致密油藏極限泄油半徑，m。

對于無限大地層來說，地層邊界壓力與原始地層壓力相等、地層邊界半徑與油藏極限泄油半徑相等，即有

pe=pi，

(15)

ra=re。

(16)

將式(15)、(16)代入式(14)中，得

(17)

當前，求解致密油藏非線性滲流區(qū)平面徑向不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型多采用數(shù)值解法[21-22]、Laplace空間解析解法[21,23]，兩種解法的計算量都很大，同時Laplace 空間解數(shù)值反演時部分曲線跳躍性很強[23]。為了簡化計算，致密油藏非線性滲流區(qū)平面徑向不穩(wěn)定滲流壓力分布近似解[23]為

λa[R(t)-r]。

(18)

式中：R(t)為t時刻井底流動壓力壓力波所能影響到區(qū)域的外邊界(動邊界半徑)，m。

在定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下，t時刻致密油藏的動邊界半徑R(t)應滿足條件：

(19)

式中，q為定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下的采油井產(chǎn)量，m3/s。

式(18)對r求導可得壓力梯度表達式

(20)

當驅(qū)替壓力梯度等于啟動壓力梯度時，有

(21)

于是，當原油在非線性滲流區(qū)內(nèi)流動時，致密油藏采油井的極限泄油半徑為

ra=R(t)。

(22)

聯(lián)立式(10)、(17)、(19)、(22)，通過試算即求出致密油藏采油井的極限泄油半徑ra， 即在ra半的原油受采油井壓差控制同時參與線性流動和非線性流動。

1.2 技術極限井距計算

根據(jù)定義，致密油藏采油井的極限泄油半徑r極限、非線性滲流區(qū)技術極限泄油半徑rca計算公式分別為

r極限=ra；

(23)

rca=ra-rc。

(24)

式中：r極限為致密油藏采油井的極限泄油半徑，m；rca為致密油藏采油井非線性滲流區(qū)的極限泄油半徑，m。

2 應用實例

渤海灣盆地勝利油區(qū)某油田14口采油井巖心的啟動壓力梯度、臨界壓力梯度數(shù)據(jù)見表1。該油田田原始地層壓力為26.5 MPa，平均空氣滲透率為3.0×10-3μm2，平均孔隙度為20.0%，綜合壓縮系數(shù)1.5×10-3MPa-1，地層原油流體黏度3.0 mPa·s，油層有效厚度為10.0 m，采油井井眼半徑0.1 m，采油井產(chǎn)量10 m3/d。

表1 勝利油區(qū)某油田技術極限井距計算結(jié)果(本文方法)Tab.1 Calculation results of technical limit well spacing of an oilfield in Shengli Oilfield (using the method in this paper)

應用本文方法，計算渤海灣盆地勝利油區(qū)某油田14口采油井極限井距，其計算結(jié)果見表1。由表1可見，渤海灣盆地勝利油區(qū)某油田技術極限采油井井距變化范圍較大，為56.4～277.1 m，且非線性滲流區(qū)技術極限井距遠大于易流區(qū)技術極限井距，這是由于采油井井底附近地層壓力下降速度較快，遠離采油井地層壓力下降速度較慢，即隨著徑向距離的增加，油藏驅(qū)替壓力梯度減小的幅度越來越小的原因所導致。因而，本文方法計算結(jié)果符合致密油藏技術極限生產(chǎn)井(采油井)井距實際情況。

為了檢驗本文新方法應用價值，選用5種前人提出的算法進行定產(chǎn)量條件下采油井技術極限井距計算，且在計算過程中，假定該致密砂巖油藏采用正方形反九點法布井，計算結(jié)果見表2?？梢钥闯?，雷光倫法[18]、孫黎娟法[14]、陳家曉法[15]、時佃海法[13]、王端平法[19]通過直線近似處理油藏非達西滲流曲線段，因而計算結(jié)果均大于利用本文方法計算的易流區(qū)技術極限井距，小于利用本文方法計算的技術極限井距，其中雷光倫法與孫黎娟法從計算原理上看，計算結(jié)果應該相等，但是孫黎娟法由于在推導壓力梯度公式時出錯，致使其壓力梯度計算值等于實際值的2倍，從而導致孫黎娟法技術極限生產(chǎn)井(采油井)井距計算值約等于雷光倫法計算值的1.4倍；陳家曉法、時佃海法、王端平法等不僅均采用直線近似處理油藏非達西滲流曲線段，還均采用穩(wěn)態(tài)法計算地層壓力分布，因而技術極限生產(chǎn)井(采油井)井距計算結(jié)果較接近。雖然陳家曉法、時佃海法、王端平法等采用穩(wěn)態(tài)法計算油藏地層壓力分布，會引起生產(chǎn)井(采油井)生產(chǎn)壓差計算值普遍偏大，進而導致定產(chǎn)量條件下求得的技術極限生產(chǎn)井(采油井)井距偏大，但是由于致密油藏非線性滲流區(qū)技術極限井距計算值遠大于易流區(qū)(這是由于注采井之間的大部分區(qū)域的驅(qū)替壓力梯度小于臨界壓力梯度。處于低速非線性滲流狀態(tài)的緣故，即由注采井之間大部分區(qū)域為非線性滲流區(qū)[19,24]造成的)，因而此3種方法的計算結(jié)果仍小于本文方法的計算值。

表2 勝利油區(qū)某油田技術極限井距計算結(jié)果(前人方法)Tab.2 Calculation results of technical limit well spacing of an oilfield in Shengli Oilfield (using previous methods)

3 結(jié)論與認識

(1)本文基于非達西滲流理論，通過采用Boltzmann變換和近似求解平面徑向流的不穩(wěn)定滲流的地層壓力分布問題，首次全面考慮致密油藏線性、非線性滲流定律的不穩(wěn)定滲流規(guī)律建立了利用啟動壓力梯度計算致密油藏定產(chǎn)量生產(chǎn)時技術極限生產(chǎn)井(采油井)井距的數(shù)學模型，不但可為致密油藏合理井距的確定及開發(fā)動用效果評價提供理論依據(jù)及技術支持，而且可為油田的開發(fā)規(guī)劃、綜合調(diào)整及日常生產(chǎn)管理提供重要的理論依據(jù)。

(2)具有啟動壓力梯度的致密油藏不穩(wěn)定非線性滲流規(guī)律及其引起的地層壓力分布狀態(tài)對于定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下技術極限井距計算結(jié)果影響較大，因此礦場應用時應盡可能獲取油藏巖石、流體的常規(guī)及高壓物性、啟動壓力梯度、臨界啟動壓力梯度、導壓系數(shù)等基礎數(shù)據(jù)，以免影響計算結(jié)果的準確性。需要注意的是，對于致密油藏中同一口定產(chǎn)量生產(chǎn)井(采油井)來說，在線性滲流區(qū)致密油藏服從線性滲流定律的平面徑向流不穩(wěn)定滲流規(guī)律，而在非線性滲流區(qū)致密油服從非線性滲流定律的平面徑向流不穩(wěn)定滲流規(guī)律。正是由于致密油藏線性滲流區(qū)、非線性滲流區(qū)滲流規(guī)律的不同及油藏內(nèi)大部分區(qū)域為非線性滲流區(qū)，才會造成非線性滲流區(qū)技術極限井距遠大于易流區(qū)技術極限井距。

(3)實例研究結(jié)果表明，本文方法不僅完整考慮致密油藏線性、非線性滲流的平面徑向流不穩(wěn)定滲流規(guī)律，而且還考慮到礦場上的生產(chǎn)井(采油井)大多采用定產(chǎn)量生產(chǎn)的實際情況，因而本文方法具備充分的致密油藏滲流及開發(fā)理論依據(jù)，是可以完全滿足致密油藏開發(fā)生產(chǎn)實踐需要的。與本文方法相比較，以往方法由于只考慮穩(wěn)定、線性滲流問題，或假定采用定井底壓力生產(chǎn)，導致其技術極限井距計算值普遍失真，且均小于本文方法的計算值?？偠灾疚姆椒o論是從理論上還是從實踐上均較以往方法更可靠、更合理，而且適用范圍更廣，極具推廣前景。

(4)為了簡化計算，本文在求解致密油藏非線性滲流區(qū)不穩(wěn)定非線性滲流問題時采用了近似解法。在實際應用中，該近似解可能會影響到技術極限井距的計算精度。因此，求解不穩(wěn)定非線性滲流壓力分布問題解析解或數(shù)值解將成為進一步提高致密油藏技術極限井距計算精度的關鍵性問題。