飛惠玲 袁科虹

【摘? ?要】將知識的歷史發(fā)展順序、教材的知識邏輯順序、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序這樣“三序”融合，是數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)所在。結(jié)合“圓的認(rèn)識”教學(xué)案例，以學(xué)習(xí)路徑為主線，梳理學(xué)習(xí)路徑與HPM的互動過程，發(fā)現(xiàn)理論的互動有助于難點(diǎn)的突破，可以有效實(shí)現(xiàn)“三序”的融合。

【關(guān)鍵詞】HPM;學(xué)習(xí)路徑;“三序”融合

在中國，數(shù)學(xué)史從象牙塔進(jìn)入中小學(xué)課堂已有近20年的歷史。近些年來，隨著國家課程對數(shù)學(xué)文化的重視，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的核心部分越發(fā)受到關(guān)注。然而，“高評價(jià)、水平不高的應(yīng)用”仍是現(xiàn)階段小學(xué)HPM的現(xiàn)狀。究其原因，除了“無米之炊”的素材制約外，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教材的知識邏輯順序與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序，再加上知識的歷史發(fā)展順序這樣“三序”的融合，更是數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)所在。學(xué)習(xí)路徑是“對學(xué)生在特定數(shù)學(xué)內(nèi)容上的思考和學(xué)習(xí)的描述，而且需要假定學(xué)生發(fā)展思維水平所需的思考過程或行動，基于此推測出相關(guān)的路徑，并設(shè)計(jì)一組教學(xué)任務(wù)來加以促進(jìn)”，它不僅關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程，還關(guān)注與之相匹配、促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的相關(guān)任務(wù)設(shè)計(jì)，因此它與HPM相結(jié)合，將有助于教學(xué)設(shè)計(jì)中“三序”的融合。結(jié)合上海、云南4位教師開展10余次教學(xué)的“圓的初步認(rèn)識”（滬教版四年級上冊）、“圓的認(rèn)識”（人教版六年級上冊），對學(xué)習(xí)路徑與HPM互動下案例的生成進(jìn)行分析，探索理論的互動如何突破“三序”融合這一設(shè)計(jì)難點(diǎn)。

一、影響“三序”融合的關(guān)鍵——用圓規(guī)畫圓的價(jià)值何在

教材分析與學(xué)情分析是教學(xué)設(shè)計(jì)的重要組成部分，指向的是教材的邏輯順序和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序。無論是滬教版，還是人教版，有關(guān)“圓的認(rèn)識”的內(nèi)容在教材編排結(jié)構(gòu)上基本相似，都是從介紹生活中的圓到引導(dǎo)學(xué)生畫圓，進(jìn)而得到圓心、半徑及圓的性質(zhì)等，但滬教版對用除圓規(guī)之外的其他工具畫圓的重視程度明顯強(qiáng)于人教版。雖然學(xué)生對圓并不陌生，但圓是曲線圖形學(xué)習(xí)的開端，因此從生活經(jīng)驗(yàn)中的圓到數(shù)學(xué)中的圓的過渡是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

人們對圓的認(rèn)識，是從對形的直覺中萌發(fā)出來的。史前人大概首先從自然界中提取了圓的樣子，并在器皿制作、建筑設(shè)計(jì)及繪畫設(shè)計(jì)中加以再現(xiàn)，經(jīng)驗(yàn)幾何隨著人們的實(shí)踐活動不斷擴(kuò)展，進(jìn)而進(jìn)入論證幾何時(shí)代。接著是畫圓的工具——圓規(guī)的出現(xiàn)，《墨經(jīng)》《幾何原本》中陸續(xù)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)上圓的定義，“圓，一中同長也”“圓是由一條線包圍成的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上的點(diǎn)連接成的所有線段都相等”?？梢姡瑲v史上圓的發(fā)展經(jīng)歷了“對自然界中圓形物體的觀察、圓的繪制、數(shù)學(xué)中的圓、圓性質(zhì)的運(yùn)用”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其中圓的繪制開始用的不是圓規(guī)，數(shù)學(xué)中的圓及其性質(zhì)也不是通過圓規(guī)畫圓得出的。

對比上述“三序”，不難發(fā)現(xiàn)，無論是古人，還是今人，認(rèn)識直觀的圓是認(rèn)識圓的起點(diǎn)，通過畫圓認(rèn)識圓心和半徑是共有的路徑，思考教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用哪種工具畫圓以及用圓規(guī)畫圓的價(jià)值何在是影響“三序”融合的關(guān)鍵所在。

二、實(shí)現(xiàn)“三序”融合——學(xué)習(xí)路徑與HPM的互動

基于學(xué)習(xí)路徑分析的數(shù)學(xué)教學(xué)的基本流程由“理解學(xué)習(xí)目標(biāo)、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)、分析學(xué)習(xí)路徑、設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)任務(wù)”四步構(gòu)成。

（一）理解學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定是教學(xué)的起點(diǎn)與方向，在教學(xué)中具有重要的地位。理解、確定學(xué)習(xí)目標(biāo)要從教學(xué)的核心內(nèi)容入手。深入分析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對“圖形的認(rèn)識”提出的要求，得出“圓的認(rèn)識”的核心內(nèi)容是圓的特征，即圓心和半徑，也即定點(diǎn)和定長，其中定點(diǎn)確定圓的位置，定長確定圓的大小，理解了圓的特征也就能判斷給定的圖形是否為圓。

結(jié)合核心內(nèi)容，參照“教學(xué)任務(wù)的設(shè)計(jì)與實(shí)施”，在“圓的認(rèn)識”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，引入古巴比倫泥板中的圓的圖片、歷史上圓的定義，讓學(xué)生在問題解決中認(rèn)識圓、在古今對照中加深對圓的性質(zhì)的理解，由此確定“圓”的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：（1）通過對古今各種形狀物體的觀察、比較，感受圓之美，初步認(rèn)識圓;（2）嘗試?yán)酶鞣N工具畫圓，從中認(rèn)識圓心、半徑;（3）在古今對照中，加深對圓的認(rèn)識，能辨析給定的圖形是否為圓，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心。

（二）確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

學(xué)習(xí)的起點(diǎn)也是教學(xué)的起點(diǎn)，基于學(xué)習(xí)起點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠切實(shí)提高教學(xué)的效率。在“圓的認(rèn)識”的教學(xué)設(shè)計(jì)前，對學(xué)生“圓的概念意向”進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查只有一個(gè)題目：“看到圓，你想到了什么？”在“圓的認(rèn)識”的設(shè)計(jì)研討中，教師一致認(rèn)為現(xiàn)實(shí)生活中的圖形是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，教學(xué)可以從不同形狀的圖形的區(qū)分開始，但有的教師認(rèn)為學(xué)生需要花一些時(shí)間于曲線圖形與直線圖形、立體圖形與幾何圖形的區(qū)分上，有的教師認(rèn)為學(xué)生能夠較容易地區(qū)分出這些形狀的差別，認(rèn)識圓心、半徑才是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)?！皥A的概念意向”的調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生看到圓想到的都是生活中的圓形、球形、橢圓（球）形物體，想到了團(tuán)圓、圓滿等隱喻。結(jié)合這一調(diào)查結(jié)果，最終確定了學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)應(yīng)該是圓形、球形、橢圓形物體的區(qū)分，而認(rèn)識圓心、半徑則是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。

（三）分析學(xué)習(xí)路徑

學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑應(yīng)該是多元的，只要從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)，能真正促進(jìn)學(xué)生理解的，就可以認(rèn)為是合理的學(xué)習(xí)路徑。歷史相似性原理告訴我們，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知過程和歷史上該知識的發(fā)展過程存在一定的相似性。因此，將對圓的歷史的考察融入學(xué)習(xí)路徑的分析，有助于學(xué)習(xí)路徑的確定。

根據(jù)“圓”的歷史分析，首先預(yù)設(shè)學(xué)生“圓的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)路徑是：自然界中圓形物品的感知—圓形的繪制—數(shù)學(xué)中圓定義的得出—圓的性質(zhì)的運(yùn)用。然后對此學(xué)習(xí)路徑的合理性進(jìn)行分析，推測學(xué)生的認(rèn)知能否按學(xué)習(xí)路徑的順序展開，并將學(xué)習(xí)路徑進(jìn)一步細(xì)化。在“圓的認(rèn)識”的課例中，上述學(xué)習(xí)路徑由淺入深，從初步認(rèn)識到認(rèn)識，再到加深理解，直至問題解決，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序?！俺醪秸J(rèn)識圓”要求學(xué)生從所舉的圓的例子中區(qū)分直線圖形與曲線圖形、立體圖形與平面圖形。對學(xué)生而言，從感官上區(qū)分圓與其他圖形較為容易（其實(shí)就是“夠不夠圓”的問題），但從數(shù)學(xué)角度刻畫“夠不夠圓”是一件困難的事情，直指“認(rèn)識圓心與半徑”。初步的學(xué)習(xí)目標(biāo)中認(rèn)識圓心與半徑是要通過操作來完成的，這里回到用圓規(guī)畫圓的價(jià)值上來。圓規(guī)是根據(jù)圓的性質(zhì)制作出來的，其最重要的價(jià)值就是畫圓，如果用圓規(guī)畫圓得到“圓是什么、圓的性質(zhì)”，容易陷入邏輯循環(huán)的誤區(qū)，因此這里的操作所用到的工具應(yīng)是除圓規(guī)之外的其他工具。這與滬教版教材的安排順序、圓的歷史發(fā)展順序相一致。

需要注意的是，學(xué)習(xí)路徑的合理性論證并不是一蹴而就的，需要反復(fù)推敲，還要根據(jù)設(shè)計(jì)與實(shí)施的情況進(jìn)行完善和修正。

（四）設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)任務(wù)

教學(xué)任務(wù)的設(shè)計(jì)以學(xué)習(xí)起點(diǎn)為基礎(chǔ)，以論證好的學(xué)習(xí)路徑為指引，是學(xué)習(xí)路徑的具體化，指向?qū)W習(xí)目標(biāo)的達(dá)成。在“圓的認(rèn)識”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，可首先從古代圓形物體的美觀性以及它的使用引出圓，然后讓學(xué)生舉出他們見到的圓的例子?；诖耍處熆稍O(shè)置任務(wù)讓學(xué)生區(qū)分直線圖形與曲線圖形、立體圖形與平面圖形，讓學(xué)生從感官上的“夠不夠圓”來初步認(rèn)識圓。承接感官上的“夠不夠圓”，借用古巴比倫泥板中的圓的圖片（如圖1），提問：“你們覺得古巴比倫人畫的圖形夠不夠圓？”（學(xué)生：不夠圓）“你們能比他們畫得更圓嗎？”（學(xué)生徒手畫圓的效果不夠理想）“你們雖畫得比古巴比倫人好，但仍然不夠圓，為什么呢？”（學(xué)生：沒有畫圓的工具）由此引出畫圓的操作任務(wù)：“選擇合適的工具（三角尺、繩子、回形針、大頭針、橡皮筋、硬幣、細(xì)紙條）畫出漂亮的圓，比一比哪一組找到畫圓的方法多?！蓖ㄟ^畫圓任務(wù)的完成，學(xué)生認(rèn)識了確定位置的定點(diǎn)，也即圓心，確定大小的定長，也即半徑，在學(xué)生知道了圓心、半徑的表示及半徑的數(shù)量后，教師首先借用《墨經(jīng)》《幾何原本》中圓的定義提出問題：“所謂‘一中和‘同長指的是什么呢？”“歐幾里得定義要告訴我們什么？”供學(xué)生辨析，其中前者和定點(diǎn)、定長相對應(yīng)，后者告訴學(xué)生圓是一條首尾相連的線，圓心不屬于這個(gè)圖形，這個(gè)圖形的特征是“這條線上點(diǎn)與圖形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)的連線的長度都相等”，借此加深學(xué)生對圓的認(rèn)識。之后，教師設(shè)置了幾組任務(wù)供學(xué)生解決，一組是討論“課始學(xué)生所舉的摩天輪、硬幣、臉盤、窨井蓋是不是圓，圓存在于這些形狀的哪里”，一組是討論“圓的哪個(gè)要素在靶子、奧運(yùn)五環(huán)中起作用”，還有一組討論“窨井蓋、車輪為什么是圓的”。

教學(xué)任務(wù)確定后還需要進(jìn)一步細(xì)化，對各個(gè)教學(xué)任務(wù)的重要程度進(jìn)行評估，對實(shí)施教學(xué)任務(wù)所需要的時(shí)間進(jìn)行預(yù)估，對教學(xué)任務(wù)間的銜接進(jìn)行處理，以使教學(xué)任務(wù)的實(shí)施更具操作性、教學(xué)環(huán)節(jié)的過渡更為自然、教學(xué)設(shè)計(jì)更為完善。比如，用各種工具畫圓的任務(wù)是教學(xué)的難點(diǎn)、認(rèn)識圓的關(guān)鍵，在所有的教學(xué)任務(wù)中最為重要，需占用較多的課堂時(shí)間。為了更有效地開展這一探究活動，課例團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步思考了學(xué)生用硬幣拓圓、用橡皮筋無法畫圓、用其他工具畫圓之間的銜接，也思考了這一探究任務(wù)與古代圓的定義的銜接，提出：“你們找到了畫圓的要素，你們的想法和2000多年前古人的想法是多么相似！墨子是我國古代的哲學(xué)家，早在2000多年前他就給圓下了一個(gè)定義……”

如“理解學(xué)習(xí)目標(biāo)”所述，學(xué)習(xí)目標(biāo)的完善需要結(jié)合任務(wù)的設(shè)計(jì)，根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)將學(xué)習(xí)目標(biāo)具體化，確定最終的學(xué)習(xí)目標(biāo)。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)完成后，可以編制教學(xué)問卷和課堂觀察單，用以檢測學(xué)生的課堂表現(xiàn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度。教學(xué)任務(wù)的實(shí)施有檢驗(yàn)、修正兩種功能：一是通過學(xué)生的課堂表現(xiàn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度來檢驗(yàn)學(xué)習(xí)路徑的合理與否、教學(xué)設(shè)計(jì)的好壞，一是根據(jù)教學(xué)中出現(xiàn)的問題來修正學(xué)習(xí)路徑、教學(xué)設(shè)計(jì)。如“圓的認(rèn)識”課例中，通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑真實(shí)發(fā)生，學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度較好，這說明學(xué)習(xí)路徑的分析到位;盡管從古巴比倫人所畫圓不夠完美引出用多種工具畫圓的教學(xué)任務(wù)相當(dāng)自然，也激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，但教師沒有很好地處理拓圓到用橡皮筋畫圓，再到用其他工具畫圓之間的銜接，導(dǎo)致探究任務(wù)的實(shí)施較為冗長，且學(xué)生根本不會用回形針、長紙條畫圓，這為教學(xué)設(shè)計(jì)的修改指明了方向：減少畫圓工具，進(jìn)一步處理拓圓、用橡皮筋畫圓、用其他工具畫圓之間的銜接。

三、結(jié)語

在“圓的認(rèn)識”教學(xué)中，“圓規(guī)的價(jià)值何在”是教材的知識邏輯順序、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序、知識的歷史發(fā)展順序不能融合的關(guān)鍵所在。按照基于學(xué)習(xí)路徑分析的教學(xué)流程對“圓的認(rèn)識”的案例生成過程進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)路徑與HPM，特別是學(xué)習(xí)路徑與歷史相似性的互動產(chǎn)出的“生活中的圓、用各種工具（除圓規(guī)外）畫圓、數(shù)學(xué)中的圓、圓的性質(zhì)、圓的性質(zhì)的應(yīng)用”路徑，實(shí)現(xiàn)了“三序”的融合。“三序”融合，重構(gòu)了數(shù)學(xué)史，取得了較好的教學(xué)效果，學(xué)生從中感受到了圓之美，探索了圓之理，體會了圓之用，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史多元的教育價(jià)值。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)基于學(xué)習(xí)路徑分析，對教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的難點(diǎn)——“三序”融合的突破進(jìn)行了探索，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)路徑與HPM的互動取得了不錯(cuò)的成效。事實(shí)上，為了將數(shù)學(xué)史更好地融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，HPM還需要與更多的理論進(jìn)行互動，比如探究式教學(xué)、深度學(xué)習(xí)等。

參考文獻(xiàn)：

[1]CLEMENTS D，SARAMA J.Learning trajectories in mathematics education[J].Mathematical Thinking and Learning， 2014，6（2）.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論：第2版[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]章勤瓊. 基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)：概述與基本框架[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)），2019（7/8）.

[4]趙瑤瑤，張小明.關(guān)于歷史相似性理論的討論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（4）.

（云南省玉溪聶耳小學(xué)? ?653100）