從對數(shù)學史教育價值的強調(diào)，到課堂中數(shù)學史的應用，短短十余載，中國的HPM在實踐與理論的互動中，形成了以共同體支持下的HPM課例開發(fā)為核心的教學實踐與教師專業(yè)發(fā)展的特色之路。本刊曾在2018年、2019年連續(xù)兩年以專題的形式刊登華東師范大學、杭州師范大學HPM團隊有關HPM研究的專題，引起了數(shù)學教育學者、小學數(shù)學一線教師的廣泛關注，產(chǎn)生了極大的反響。近幾年，杭州師范大學岳增成博士組建了HPM共同體，對小學HPM的核心議題進行深度研究，取得了可喜的成果。本刊特刊發(fā)他們最新的研究成果以及其他HPM研究者的實踐經(jīng)驗，以期能為一線小學數(shù)學教師更好地實踐、研究HPM帶來啟發(fā)。

【摘? ?要】盡管小學HPM還存在一定的問題，但HPM與教育的互動極大地帶動了小學HPM的發(fā)展。小學HPM在理論輻射、價值認知、使用方式、內(nèi)容載體、實施空間、理論聯(lián)結(jié)、研究范式等方面涌現(xiàn)出了新的動態(tài)，這為小學HPM的實踐與研究帶來了新的增長點。

【關鍵詞】HPM;新動態(tài);增長點

一、引言

數(shù)學史向人們呈現(xiàn)的不僅僅是數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展歷程，還有隱藏在數(shù)學背后的文化內(nèi)涵。因此，在教學中應用數(shù)學史不僅能夠呈現(xiàn)知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助，還能展現(xiàn)德育之效、文化之魅，這與四基、四能、核心素養(yǎng)、情感態(tài)度價值觀等課程改革的理念相吻合，也是數(shù)學學科育人的重要舉措。數(shù)學史在小學尤其受到重視：各個版本教材中均編入了數(shù)學史素材，有些還開辟了固定欄目，比如人教版教材中的“你知道嗎”;越來越多的教師在課堂的各個環(huán)節(jié)中運用數(shù)學史;數(shù)學史也成為小學數(shù)學教師培訓的重要內(nèi)容和小學生數(shù)學閱讀的重要載體。盡管，數(shù)學史與數(shù)學教育（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）在小學教學中還存在一些問題，如教育取向的數(shù)學史匱乏，實踐中出現(xiàn)“高評價、低應用”的現(xiàn)狀，實證研究不足，研究含量不高，但基數(shù)龐大的小學數(shù)學教師的HPM實踐，新的教育理念和理論的不斷涌現(xiàn)，課程改革的不斷推進，極大地促進了小學HPM的發(fā)展，引發(fā)了小學HPM發(fā)展的新動態(tài)。而這些新動態(tài)很可能成為未來小學HPM實踐與研究的重點和熱點，對其進行梳理將有助于小學HPM的實踐與研究走向深處。

二、小學HPM新動態(tài)

（一）理論輻射

中國的HPM發(fā)展經(jīng)歷了“自下而上”與“自上而下”兩個階段：發(fā)軔于中學，HPM研究者與中學教師在合作開發(fā)案例的過程中，總結(jié)經(jīng)驗，升華理論;發(fā)展于中小學，將本土化的HPM理論應用于中小學教學，促進了HPM的快速發(fā)展。在小學階段，HPM理論的輻射主要表現(xiàn)在對象、形式、地域三個方面。

1.輻射對象：從個體行為走向共同體行動

HPM的發(fā)展是一個團隊不斷壯大的過程，其理論輻射的對象經(jīng)歷了由少到多、由個體到共同體的過程。HPM發(fā)展的早期，在教學中應用數(shù)學史是教師的個體行為，或是HPM研究者與少數(shù)幾個小學數(shù)學教師間的合作，這種合作就是研究者所說的配合或協(xié)助性合作、互利共棲合作（他們將合作分為三個層次：配合或協(xié)助性合作、互利共棲合作和有機一體性合作[1]），小學數(shù)學教師配合高校教師的HPM研究，HPM研究者協(xié)助小學數(shù)學教師進行運用數(shù)學史的實踐。但隨著HPM理論的完善、HPM理念的傳播與數(shù)學文化受重視程度的加大，越來越多的小學數(shù)學教師認識到數(shù)學史對學生全面發(fā)展的重要作用，他們開始以學科組為單位進行HPM校本研修，以名師工作室為單位進行HPM課題研究，與HPM研究者進行有機一體性合作，合作雙方有著共同的目標，切實促進學生的全面發(fā)展。近幾年，新型HPM共同體出現(xiàn)，一些地區(qū)與高校HPM研究者、一線名師緊密合作，按照“區(qū)域推進、名師領銜與課題引領、課題研究與校本研修”的模式，大范圍、有深度、有層次地借助HPM推動地區(qū)小學數(shù)學課程改革，助力教師專業(yè)成長與學生深度學習之間的雙向互動。

2.輻射形式：從線下走向線下、線上相結(jié)合

HPM的發(fā)展也是一個形式趨于多元的過程，其理論輻射的形式從線下走向了線下、線上相結(jié)合。HPM發(fā)展的初期，相關人員聚焦課堂教學，通過課例研究解決教學難題，驗證數(shù)學史的教育價值。此時，HPM的受眾較少，且在小學階段“高評價、低應用”、知易行難，致使落實HPM理念陷入困境。此后，HPM研究者通過定期舉行研討會、創(chuàng)辦相關刊物、發(fā)表學術論文、開展教師培訓等常規(guī)形式傳播理念，HPM的受眾逐漸增加，但這些與小學數(shù)學教學現(xiàn)場相剝離的形式，并未從本質(zhì)上解決上述困境。理論的輻射形式，既要扎根于教學現(xiàn)場，又要增加受眾。2020年新冠疫情的爆發(fā)為輻射形式的創(chuàng)新提供了契機，網(wǎng)絡研修與課例研究相結(jié)合成為HPM理論輻射強有力的形式：在HPM研究團隊的支持下，網(wǎng)絡共同體全員經(jīng)歷課例研究的全過程，但與線下相比，成員需先經(jīng)歷多輪的設計與準備、設計與研討、案例教學，掌握將數(shù)學史融入教學的技能，隨后成員分組進行HPM課例研究，選題與準備、設計與研討線上進行，實施與反饋環(huán)節(jié)在各個成員所在學校開展，最后全員進行交流研討。

3.輻射地域：從江浙滬走進少數(shù)民族地區(qū)

HPM的發(fā)展還是一個區(qū)域不斷擴大的過程，其理論輻射的地域從江浙滬逐漸走向少數(shù)民族地區(qū)。HPM的理論與實踐研究較早在江浙滬地區(qū)展開，華東師范大學汪曉勤教授領銜的高校HPM研究團隊、江蘇名師蔡宏圣領銜的啟東團隊、浙江名師邵漢民領銜的蕭山團隊在小學HPM領域進行了卓有成效的探索，有力地推動了HPM的實踐與理論的發(fā)展。且隨著研討會、學術論文、教師培訓等常規(guī)理念傳播活動的開展，線上與線下相結(jié)合創(chuàng)新形式的繼續(xù)推進，HPM開始在越來越多的地方生根發(fā)芽。近幾年，云南、新疆、貴州、西藏、四川等地也先后出現(xiàn)了小學HPM研究團隊。可見，HPM理論輻射的地域越來越多，將讓更多的小學數(shù)學教師和小學生受益。

（二）價值認知：從重視數(shù)學史的工具價值到工具、目標價值的兼顧

信念與實踐相互影響。小學數(shù)學教育工作者對數(shù)學史教育價值的認識大致經(jīng)歷了三個階段：第一階段，激勵因素與人格啟迪。教師認為數(shù)學史能夠激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的民族認同感，數(shù)學家的故事能夠啟迪人格。因此，此階段教師通常以附加的形式介紹數(shù)學家的事跡，特別是中國古代數(shù)學家的成就，將數(shù)學史作為課堂引入開展教學，比如祖沖之對圓周率的計算，等等。第二階段，認知工具。將數(shù)學史與教學重點的突出、教學難點的突破相結(jié)合，將數(shù)學史與數(shù)學知識的理解相結(jié)合，比如出入相補在面積推導中的應用，在一定程度上解決了數(shù)學史與現(xiàn)有考試評價關聯(lián)不強的矛盾。這是HPM發(fā)展的極大飛躍，正是由于數(shù)學史溝通了課堂教學與考試評價間的聯(lián)系，越來越多的小學數(shù)學教師開始認可數(shù)學史、應用數(shù)學史，甚至傳播HPM。第三階段，作為工具（As a Tool）與作為目標（As a Goal）的價值的統(tǒng)一。作為工具的數(shù)學史和作為目標的數(shù)學史的價值分類法是詹克韋斯特（Jankvist）提出的，前者包括數(shù)學史是數(shù)學學習的激勵因素、是數(shù)學學習的認知工具兩個方面，后者認為數(shù)學史是數(shù)學的一部分，數(shù)學在不同時空的演進是學習的一個目標，并將作為工具的數(shù)學史與數(shù)學內(nèi)部問題（In-issue，指數(shù)學概念、原理、規(guī)則、方法等）相關聯(lián)，將作為目標的數(shù)學史與數(shù)學元問題（Meta-issue，關注數(shù)學的演變與發(fā)展）相關聯(lián)[2]。對數(shù)學史教育價值認識的前兩個階段與作為工具的數(shù)學史教育價值相對應，目前越來越多的小學數(shù)學開始跳出單個課題的教學來審視數(shù)學史的教育價值，比如從數(shù)系擴充（從自然數(shù)到分數(shù)、從分數(shù)到小數(shù)、從正數(shù)到負數(shù)）的內(nèi)部動因和外部推動力來審視數(shù)學發(fā)展，試圖幫助學生建立動態(tài)的數(shù)學觀。因此，越來越多的小學數(shù)學教師站在數(shù)學發(fā)展的高度，對教學內(nèi)容進行統(tǒng)整，以兼顧數(shù)學史的工具、目標價值，既立足當下，又顧及學生的長遠發(fā)展。

（三）使用方式：數(shù)學史的使用方式更為多樣、靈活

實踐經(jīng)驗的累積升華轉(zhuǎn)化為了實踐理論。經(jīng)過十余年的本土實踐，附加式（展示有關的數(shù)學家圖片，講述有關的數(shù)學家故事等，去掉后對教學內(nèi)容沒有太大影響）、復制式（直接采用歷史上的數(shù)學問題及解法等）、順應式（根據(jù)歷史材料編制數(shù)學問題或?qū)v史上的思想方法進行適當改編）、重構(gòu)式（借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生發(fā)展歷史）等數(shù)學史的運用方式[3]已被認可，越來越多的小學數(shù)學教師運用這些方式指導自身的HPM實踐，并追求重構(gòu)式這一高水平的數(shù)學史使用方式以及各種方式的靈活運用。

作為附加式的一種方式，微視頻以其多元的優(yōu)點逐漸成為呈現(xiàn)數(shù)學史素材的重要手段，教師可以在不同的課型、不同的環(huán)節(jié)呈現(xiàn)不同類型的微視頻，創(chuàng)設情境、重現(xiàn)歷史、介紹思想、展示方法，以引發(fā)學生思考，體會動態(tài)發(fā)展，增強學習自信，展現(xiàn)方法之美。[4]比如，在融入數(shù)學史的探究活動中，學生探究了多樣的問題解決方案后得到結(jié)論，教師利用微視頻播放歷史上問題的解決方案，學生在古今對照中感悟方法之美，增強數(shù)學學習的信心。微課則將微視頻的使用從課內(nèi)延拓到課內(nèi)外相結(jié)合，比如結(jié)合數(shù)學繪本將長度單位的產(chǎn)生、發(fā)展歷史及其背后蘊含的數(shù)學文化融入微課，學生在課前通過微課了解長度測量從無到有、從多樣走向統(tǒng)一的過程，而課堂上師生只需經(jīng)歷從統(tǒng)一到標準的過程即可。中國古代著作中的問題及其解法在課堂中的出現(xiàn)，讓復制式的選材范圍更為廣泛。問題提出與歷史上數(shù)學問題的解法和思想的結(jié)合，讓順應式更為靈活、多樣，更能適應不同認知能力學生的發(fā)展需求。局部重構(gòu)，比如將分數(shù)部分與整體、除法的起源重構(gòu)于“分數(shù)的初步認識”的引入環(huán)節(jié)，讓重構(gòu)的內(nèi)涵更加豐富。

（四）內(nèi)容載體：從單課走向內(nèi)容整合

基于數(shù)學史的內(nèi)容整合具有多重優(yōu)勢，從設計上看，與多主題整合內(nèi)容相關的數(shù)學史料相對較多且可能具有一定的發(fā)展脈絡，史料的豐富性有助于教學的整體設計，有助于數(shù)學史運用層次“從歷史的角度注入數(shù)學知識活動的文化意義，在數(shù)學教育過程中實踐多元文化關懷的理想”的開展;從實施上看，HPM視角下整合內(nèi)容教學的開展確保學生有相對持續(xù)的時間浸潤在融入數(shù)學史的情境當中，有助于多維教學目標的實現(xiàn);從評價與研究上看，持續(xù)時間較長的整合內(nèi)容的實施會產(chǎn)生多元的數(shù)據(jù)，多元數(shù)據(jù)的互證能夠保證評價的科學性、研究的有效性。這些優(yōu)勢引發(fā)了作為數(shù)學史內(nèi)容載體的單元的變革，HPM共同體從單課的設計走向了內(nèi)容的整合。

目前，基于數(shù)學史的內(nèi)容整合涌現(xiàn)出了新的樣式，除了常規(guī)的單元統(tǒng)整，比如以出入相補原理為主線的“多邊形的面積”單元之外，還有基于共有數(shù)學史素材的統(tǒng)整，比如歷史上有關整數(shù)乘除法的素材將“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“三位數(shù)乘一位數(shù)”“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)乘兩位數(shù)”“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”整合在一起;基于相同發(fā)展動因及歷程的統(tǒng)整，比如數(shù)系的擴充是由現(xiàn)實需要與已有的數(shù)系不能解決或者解決現(xiàn)有問題比較復雜引發(fā)的，長度、重量、角度等測量體系的建立經(jīng)歷了從無到有、從多元到統(tǒng)一、從統(tǒng)一到標準的過程;基于相同模式的統(tǒng)整，比如平行、三角形內(nèi)角和、圓的周長等主題學習可以參照“直觀幾何→實驗幾何→論證幾何”的模式。

（五）實施空間：從課內(nèi)外的分離走向課內(nèi)外的融合

數(shù)學史教育價值的現(xiàn)實性與長遠性、課堂容量與課堂數(shù)量的有限性決定了實施數(shù)學史教學的空間需要延拓，從以往課內(nèi)外分離，課上運用數(shù)學史以發(fā)揮數(shù)學史的激勵因素、認知工具的價值，課外以閱讀、數(shù)學文化節(jié)等形式增加學生的知識面，發(fā)揮數(shù)學史作為目標的教育價值，走向課內(nèi)外相融合，將學生必備品格和關鍵能力的培養(yǎng)作為整體目標，課前通過資料查找、微課觀看，鏈接課堂，課上以多種方式運用數(shù)學史，升華課前準備，課后加以拓展，提升課堂，將常規(guī)課程與拓展課程相結(jié)合，課程學習與課外拓展相結(jié)合。

以下以“時間”主題為例來說明HPM實施空間的延拓（如表1）。在人教版三年級下冊“年、月、日” 的學習過程中，先以微課的形式幫助學生復習舊知，使學生認識到時間單位由時到分到秒背后的動因，以及時間演變的歷史，課上鏈接微課，借用太陽的東升西落、月亮的圓缺往復、四季的輪回引出更大的時間單位“年、月、日”的學習，再按照歷史的重構(gòu)由日到月到年依次學習，課后學生查閱“一百年不閏、四百年又閏”的材料，觀看微視頻，了解“年、月、日”背后的規(guī)律性與人為性，升華所學內(nèi)容。拓展課程學習中國獨特的歷法——農(nóng)歷，了解農(nóng)歷背后的數(shù)學以及農(nóng)歷的由來。課外拓展，了解與農(nóng)歷緊密相關的天干地支與節(jié)氣以及它們的作用，借此了解中國對天文歷法的貢獻，以及農(nóng)歷與文學、農(nóng)歷與風俗間的聯(lián)系。

（六）理論聯(lián)結(jié)：從HPM視角走向多視角的融合

從屬性上看，盡管數(shù)學史可以成為課堂教學的內(nèi)容載體，但它僅是教材這一核心載體的補充性素材;HPM是數(shù)學教育的一個研究領域，但它僅是眾多數(shù)學教育理論中的一個。無疑，只有HPM與其他理論相結(jié)合，才能更好地促進學生的全面發(fā)展。從中國HPM發(fā)展的歷程看，盡管中國的HPM發(fā)展是一條融合之路[5]，但這里的融合是中外HPM理論的融合、中國的HPM實踐與理論的融合，而不是與其他數(shù)學教育理論的融合。HPM本土化理論建立后，在用理論指導實踐的過程中，在研究熱點不斷涌現(xiàn)的過程中，HPM與其他理論的聯(lián)結(jié)走向了多視角。HPM開始與探究式教學、信息技術、核心素養(yǎng)、深度學習、單元統(tǒng)整、高效課堂等相融合，以更好地指導實踐。比如HPM與探究式教學活動設計與實施（如圖1）相結(jié)合，使得“評估與延伸”環(huán)節(jié)更具操作性。在“平行四邊形的面積”教學過程中，在“準備與聚焦”環(huán)節(jié)，從幾何學的起源——古埃及尼羅河泛濫后的土地分配，引出學生對平行四邊形面積的猜想，很多學生受長方形面積負遷移的影響，認為面積公式是相鄰兩邊的乘積。接下來，在“探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流”環(huán)節(jié)，教師引導學生對猜想進行驗證，師生共同探討學生的驗證結(jié)果，得到平行四邊形的面積公式。到了“評估與延伸”環(huán)節(jié)，教師借助圖2引發(fā)學生對周長不變的平行四邊形面積變化的思考，與猜想相對應，進一步幫助學生理解平行四邊形的面積公式，并引出如何才能保持平行四邊形面積不變的問題，借此與歐幾里得《幾何原本》中的命題“在同底上且在相同二平行線之間的平行四邊形彼此相等”“在等底上且在相同二平行線之間的平行四邊形彼此相等”相呼應，最后呈現(xiàn)古埃及平行四邊形的面積計算公式，相鄰兩邊的乘積（與學生的猜想相同），借此引導學生明白數(shù)學家也會犯錯，犯錯并不可怕，數(shù)學就是在犯錯與糾正的過程中進步的。

（七）研究范式：從思辨走向?qū)嵶C

國際范圍內(nèi)，HPM研究缺少與一般數(shù)學教育研究框架、理論構(gòu)建和方法論之間的聯(lián)系。我國小學HPM研究同樣存在這一問題。事實上，我們的研究還未涉及上述問題的深度，因為目前小學階段的實證研究并不多見，大部分的HPM研究屬于思辨研究和經(jīng)驗總結(jié)，要么對數(shù)學史的教育價值進行論述，要么基于實踐經(jīng)驗，總結(jié)概括數(shù)學史的使用方法、策略等[6]。目前，在全國重視實證研究與評價研究的大背景下，HPM共同體更為注重實證，已啟動一系列實證研究。比如，已基于數(shù)學史的單元統(tǒng)整對學生知識的理解與掌握、態(tài)度與信念的改變，進行行動研究、個案研究或準實驗研究;在新一輪義務教育階段數(shù)學課程標準修訂的大背景下，各地小學數(shù)學教材的修訂已啟動，在“多邊形的面積”單元，推導三角形面積、梯形面積時，出入相補這一中國古代數(shù)學的杰出成就及蘊含豐富文化內(nèi)涵的方法是否與倍拼法的地位相同？一方面，通過對群體（高校數(shù)學教育專家、教材編寫者、教研員、專家型教師、普通教師）的訪談，了解他們的看法;另一方面，專家型教師設計探究活動，通過課堂觀察與課后測試了解學生是否能夠掌握出入相補法。如果能，再讓普通教師特別是鄉(xiāng)鎮(zhèn)年輕普通教師在專家型教師的指導下創(chuàng)造性地使用已開發(fā)的案例，再次了解學生對出入相補法掌握的情況。對基于數(shù)學史的教師培訓項目的有效性進行調(diào)查研究，對HPM課例研究對教師專業(yè)發(fā)展的影響進行個案研究。

三、結(jié)語

課程改革的不斷推進帶動了小學HPM的快速發(fā)展，引發(fā)了小學HPM在理論輻射、價值認知、使用方式、內(nèi)容載體、實施空間、理論聯(lián)結(jié)、研究范式等方面的新動態(tài)。這些新動態(tài)的交織、互動，將進一步促進小學HPM的快速發(fā)展，使得小學HPM未來的發(fā)展道路更為明晰，進而更有力地促進教學內(nèi)容的改革、學生的學習、教師的教學。在今后的小學HPM實踐與研究領域，我們需要更新數(shù)學史的價值觀念，在更大的范圍內(nèi)協(xié)同合作，以實證的方法對基于內(nèi)容整合和理論聯(lián)結(jié)的課堂內(nèi)外、學校內(nèi)外的HPM活動進行深度研究。

參考文獻：

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（杭州師范大學教育學院? ?311121）