羅玉濤 盧若皓

（華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州 510000）

0 引言

車用驅(qū)動(dòng)電機(jī)噪聲問題由于受到輕量化、高速化、高轉(zhuǎn)矩密度化等電機(jī)技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)影響而愈發(fā)明顯，已經(jīng)成為評(píng)價(jià)驅(qū)動(dòng)電機(jī)性能乃至整車性能的關(guān)鍵指標(biāo)[1-3]。電機(jī)噪聲包括空氣動(dòng)力噪聲、機(jī)械傳遞噪聲及電磁振動(dòng)噪聲。其中，電磁振動(dòng)噪聲相較于前兩種噪聲，幅值更高，更易引起人體不適且抑制更為困難[4-5]。

電機(jī)電磁噪聲的直接抑制常通過優(yōu)化電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法入手。對(duì)于定子結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化，D.Torregrossa等[6]以定子齒寬、齒深以及斜槽度為優(yōu)化對(duì)象，通過解析分析其與定子模態(tài)頻率的關(guān)系確定最優(yōu)定子結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而避免發(fā)生共振。李巖等[7]分析了定子齒削角與聲壓級(jí)之間的關(guān)系，并通過有限元法比較了四種齒削角下的聲壓級(jí)水平，從而確定最佳齒削角的大小。轉(zhuǎn)子參數(shù)的優(yōu)化方面，T.Ishikawa等[8]以永磁體的排列位置參數(shù)為優(yōu)化對(duì)象，以降低電磁振動(dòng)并保證輸出轉(zhuǎn)矩不降低為優(yōu)化目標(biāo)，通過響應(yīng)面法確定永磁體的最佳位置。

通過優(yōu)化徑向電磁力密度與電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)以間接抑制電磁噪聲的方法同樣受到關(guān)注。文獻(xiàn)[9-12]指出，徑向電磁力密度與切向電磁轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)水平是電磁噪聲水平的重要表征，并對(duì)其進(jìn)行了解析推導(dǎo)與驗(yàn)證。王凱等[13]對(duì)優(yōu)化徑向電磁力和切向轉(zhuǎn)矩波動(dòng)所需關(guān)注的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行總結(jié)，包括斜槽角、定子槽形、極弧系數(shù)、磁鋼形狀等。優(yōu)化實(shí)例方面，王曉遠(yuǎn)等[14]對(duì)轉(zhuǎn)子隔磁橋的形狀進(jìn)行改進(jìn)，在保證不降低轉(zhuǎn)子強(qiáng)度的前提下降低徑向電磁力的幅值，從而對(duì)電磁噪聲進(jìn)行抑制。鮑曉華等[15]解析了轉(zhuǎn)子磁極輔助槽對(duì)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的影響，并通過枚舉法確定能最大限度地降低轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的輔助槽槽形。左曙光等[16]對(duì)氣隙電磁力密度進(jìn)行解析推導(dǎo)，以峰值最小為優(yōu)化目標(biāo)，基于敏感性分析結(jié)果確定了定子槽形、磁鋼尺寸與氣隙大小的優(yōu)化值，其團(tuán)隊(duì)后續(xù)還建立了外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)的電磁-結(jié)構(gòu)-聲學(xué)模型，仿真和實(shí)驗(yàn)表明，齒槽效應(yīng)引起的電磁力對(duì)噪聲影響最為顯著，在對(duì)槽口寬進(jìn)行優(yōu)化后電磁噪聲得以抑制[17]。

基于上述內(nèi)容可以看出，電磁噪聲的直接抑制與間接抑制都需要對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)優(yōu)化過程需解決的關(guān)鍵問題在于不犧牲電機(jī)輸出性能的前提下如何對(duì)繁多的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行有序、有效和高效的優(yōu)化。針對(duì)該問題，本文選用以徑向電磁力密度峰值最小、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例最小以及切向電磁轉(zhuǎn)矩均值最大為優(yōu)化目標(biāo)的間接電磁噪聲抑制方法；采用基于多項(xiàng)式擬合的關(guān)鍵系數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性；對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行篩選并分為強(qiáng)敏感性、中敏感性、弱敏感性三級(jí)；綜合多目標(biāo)遺傳算法、響應(yīng)面法以及下降單純形法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分級(jí)優(yōu)化；通過結(jié)構(gòu)聲學(xué)仿真驗(yàn)證電磁噪聲強(qiáng)度抑制及聲品質(zhì)改善的效果。

1 徑向電磁力與電磁轉(zhuǎn)矩模型

優(yōu)化目標(biāo)選擇原因?yàn)椋孩購(gòu)较螂姶帕γ芏扰c切向電磁轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)水平與電磁噪聲水平直接關(guān)聯(lián)[9-12]；②對(duì)徑向電磁力密度與切向電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化，能夠?qū)﹄姶旁肼暜a(chǎn)生較好的抑制效果[13-17]；③由于直接抑制過程為多物理場(chǎng)耦合計(jì)算，間接抑制過程為電磁場(chǎng)獨(dú)立計(jì)算，因此前者對(duì)計(jì)算機(jī)處理能力有更高的要求，在同樣計(jì)算能力下前者計(jì)算效率低于后者。

基于以上三點(diǎn)，本文采用間接抑制電磁噪聲的方法，選擇以徑向電磁力密度的峰值最小、切向電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)最小為本文主要優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)以切向電磁轉(zhuǎn)矩平均值最大為約束，從而避免以過度犧牲輸出能力為代價(jià)抑制電磁噪聲。以下對(duì)徑向電磁力密度與切向電磁轉(zhuǎn)矩求解模型進(jìn)行說明。

1.1 徑向電磁力密度模型

電機(jī)空載時(shí)，氣隙磁場(chǎng)b1(t,θ)全部由轉(zhuǎn)子永磁體建立，等于氣隙磁導(dǎo)λ(t,θ)與氣隙磁動(dòng)勢(shì)l(t,θ)的乘積[16]，有

式中，Z1為齒數(shù)；t為時(shí)間；θ為空間機(jī)械角；Bmμ為轉(zhuǎn)子徑向磁場(chǎng)Bm第μ次諧波的幅值；*0Λ為恒定磁導(dǎo)分量；*NΛ為在定子開槽，轉(zhuǎn)子光滑時(shí)的磁導(dǎo)分量，N為正整數(shù)；ω1為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；p為極對(duì)數(shù)。其中，μ滿足

式中，r為正整數(shù)，r= 0 ,1,2,3,…。

繞組通入三相正弦電流的負(fù)載工況下，氣隙磁場(chǎng)增加定子繞組產(chǎn)生的徑向磁場(chǎng)分量b2(t,θ)為

其中

式中，Bnv為定子徑向磁場(chǎng)Bn第ν次定子徑向磁場(chǎng)諧波幅值；γ為定子繞組電流的相位；k為正整數(shù)，k= 0 ,1,2,3,…。

此時(shí)負(fù)載工況下的氣隙磁場(chǎng)等于空載氣隙磁場(chǎng)b1(t,θ)與繞組電流磁場(chǎng)b2(t,θ)的和，有

根據(jù)Maxwell應(yīng)力張量法，永磁電機(jī)徑向電磁力密度f(t,)θ為

式中，0μ為真空磁導(dǎo)率。

將式（5）代入式（6），在展開中略去與時(shí)間無關(guān)，僅產(chǎn)生靜變形的常態(tài)力以及高階次低幅值力[18]，由此得到對(duì)電磁噪聲影響較大的徑向電磁力密度模型為

式中，Bm、Bn下角標(biāo)的數(shù)字表示諧波次數(shù)。

式（7）由四項(xiàng)組成，可以分為兩類：第一類為定子主波磁場(chǎng)或轉(zhuǎn)子主波磁場(chǎng)單獨(dú)作用下產(chǎn)生的力波（此時(shí)μ=ν=p= 2 ），對(duì)應(yīng)第Ⅰ、Ⅲ項(xiàng)。其磁場(chǎng)幅值最大，產(chǎn)生的力波幅值也最大，是強(qiáng)烈電磁噪聲的重要激勵(lì)；第二類為空載工況下轉(zhuǎn)子第μ次諧波磁場(chǎng)和轉(zhuǎn)子主波磁場(chǎng)勵(lì)磁下定子1次諧波磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生的力波，以及負(fù)載工況下定子齒諧波磁場(chǎng)（ν=Z1?p= 2 2，k=2）與轉(zhuǎn)子第μ次諧波磁場(chǎng)作用產(chǎn)生的力波，分別對(duì)應(yīng)第Ⅱ、Ⅳ項(xiàng)。該類力波除幅值較高外，組成成分還包含引起強(qiáng)烈電磁噪聲的零階呼吸力波（μ=22時(shí)的力波）。

在氣隙中心圓周對(duì)f(t,θ)進(jìn)行積分，其中，圓周半徑為

式中，Rairgap為氣隙中心圓弧半徑；Ristator為定子內(nèi)徑；dr為氣隙長(zhǎng)度。因此徑向電磁力密度沿氣隙中心圓弧的分布為

結(jié)構(gòu)參數(shù)通過影響磁場(chǎng)強(qiáng)弱來影響F(t,)θ的峰值，而F(t,)θ的峰值直接影響結(jié)構(gòu)聲學(xué)響應(yīng)的強(qiáng)弱[16,19]，因此，將F(t,)θ的峰值p(t,)θ最小作為優(yōu)化目標(biāo)，p(t,)θ為

1.2 切向電磁轉(zhuǎn)矩模型

由于有限元求解器可直接求解切向電磁力波的平均值，無需定義其求解式，在下文中以Tavg(t)表示，以數(shù)值最大為優(yōu)化目標(biāo)。轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例則按式（11）進(jìn)行計(jì)算，以絕對(duì)值最小為優(yōu)化目標(biāo)。Tmax(t)、Tmin(t)分別為輸出轉(zhuǎn)矩的最大、最小值，有

至此完成優(yōu)化目標(biāo)p(t,)θ、Tavg(t)、WT模型定義。

2 電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的分級(jí)優(yōu)化

2.1 電機(jī)基本參數(shù)

本文研究對(duì)象為一臺(tái)24槽4極表貼式永磁同步電機(jī)，其橫截面如圖1所示，電機(jī)工作參數(shù)與基本結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。為實(shí)現(xiàn)在給定電流幅值下輸出最大轉(zhuǎn)矩，通過參數(shù)化掃描確定A相激勵(lì)電流初相位。

表1 電機(jī)工作參數(shù)與基本結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Motor operating parameters and basic structural parameters

圖1 待優(yōu)化電機(jī)橫截面Fig.1 The cross section of motor which will be optimized

本文的優(yōu)化原則為：在盡可能不對(duì)電機(jī)基本尺寸進(jìn)行修改的前提下對(duì)電機(jī)其余結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而降低電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)整體關(guān)于電磁噪聲抑制的設(shè)計(jì)成本。待優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)按照參數(shù)來源分為定子結(jié)構(gòu)參數(shù)、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)以及裝配參數(shù)。定子結(jié)構(gòu)參數(shù)為槽形參數(shù)，包括槽口寬Bs0、槽心寬Bs1、槽底寬Bs2、槽底圓角半徑Rs、槽口高Hs0、槽寬高Hs2；轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)為永磁體形狀參數(shù)，包括極弧系數(shù)Emb以及厚度Thi；定、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。

圖2 定、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.2 The structural parameters of stator and rotor

裝配參數(shù)為定子連續(xù)斜槽總斜度Ske以及氣隙大小dr，其中，dr變化時(shí)定子內(nèi)徑不變，轉(zhuǎn)子外徑變化。上述10個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的初始值與變化范圍見表2。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值與變化范圍Tab.2 Initial value and range of structure parameters

結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化范圍以不造成模型干涉為原則，盡量包含所有的可能取值進(jìn)行確定。

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性分析

首先對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，并根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響程度對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行篩選與分級(jí)。敏感性分析流程如圖3所示。

圖3 敏感性分析流程Fig.3 The process of sensitivity analysis

2.2.1 參數(shù)樣本空間采樣與樣本點(diǎn)求解

共10個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)參與分析，若采用全空間均勻掃描法，每個(gè)參數(shù)取 10個(gè)樣本點(diǎn)，則需采集 1010個(gè)樣本點(diǎn)，后續(xù)計(jì)算量龐大。為保證敏感性分析精度的同時(shí)降低計(jì)算量，采用基于蒙特卡洛抽樣的進(jìn)階拉丁超立方抽樣法（Advanced Latin Hypercube Sampling, ALHS）進(jìn)行抽樣。

該方法適用于參數(shù)數(shù)量小于50的敏感性分析，通過引入隨機(jī)進(jìn)化策略，最小化參數(shù)之間的無關(guān)聯(lián)系對(duì)后續(xù)敏感性分析結(jié)果的影響，因此在小容量樣本的情形下仍可獲得較為精確的敏感性分析結(jié)果[20-21]。對(duì)于10個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)及其變化范圍組成的樣本空間共采集500個(gè)樣本，相比全空間掃描法大大減少了后續(xù)敏感性分析計(jì)算量。

完成采集后，將樣本點(diǎn)導(dǎo)入有限元求解器并計(jì)算對(duì)應(yīng)的p(t,)θ、Tavg(t)與WT，求解時(shí)間設(shè)為2個(gè)電周期共5ms，步長(zhǎng)為0.05ms。

2.2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響程度

在同樣的抽樣方法下，常用的基于方差的敏感性分析相較于基于關(guān)鍵系數(shù)的敏感性分析需要更大數(shù)量的樣本[22]；同時(shí)由于后續(xù)響應(yīng)面優(yōu)化同樣需要進(jìn)行2次多項(xiàng)式擬合，考慮方法的計(jì)算效率以及平臺(tái)延續(xù)性，采用基于多項(xiàng)式擬合的關(guān)鍵系數(shù)表征結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的敏感性水平。

基于所采集的樣本以及對(duì)應(yīng)的求解結(jié)果，擬合目標(biāo)函數(shù)y(Xi)對(duì)待分析參數(shù)Xi多項(xiàng)式回歸方程為

式中，pT(Xi)為關(guān)于結(jié)構(gòu)參數(shù)的多項(xiàng)式，有

式中，β為多項(xiàng)式的系數(shù)行列式；iε為擬合誤差。多項(xiàng)式最高次數(shù)為2次的原因在于，雖然2次多項(xiàng)式無法精確描述多個(gè)敏感性不同的設(shè)計(jì)參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系，但對(duì)于敏感性分析而言，2次多項(xiàng)式已經(jīng)可以獲得較為理想的分析結(jié)果[23-24]，同時(shí)計(jì)算量也可控制在較為合適的范圍內(nèi)。

進(jìn)一步可基于擬合方程計(jì)算判定系數(shù)R2，有

式中，yi為樣本目標(biāo)實(shí)際值；μy為樣本目標(biāo)均值；為y(xi)對(duì)應(yīng)計(jì)算值；M為樣本數(shù)。

為避免過擬合情況的影響，對(duì)判定系數(shù)進(jìn)行修正，有

式中，P為所擬合多項(xiàng)式的系數(shù)的數(shù)量。基于判定系數(shù)可以計(jì)算待分析參數(shù)Xi對(duì)目標(biāo)Yi的關(guān)鍵系數(shù)（Coefficient of Importance, CoI），有

式中，被減項(xiàng)表示包含所有結(jié)構(gòu)參數(shù)的全擬合模型的決定系數(shù)；減項(xiàng)表示去除結(jié)構(gòu)參數(shù)Xi的線性項(xiàng)、二次項(xiàng)以及相互作用項(xiàng)后的擬合模型的決定系數(shù)；二者的差值即表示去除該結(jié)構(gòu)參數(shù)后擬合模型的變化情況，因此，CoI(Xi,Yi)數(shù)值越高，結(jié)構(gòu)參數(shù)Xi相對(duì)于優(yōu)化目標(biāo)Xi的敏感性越高。計(jì)算結(jié)果見表3。

表3中，總體結(jié)構(gòu)參數(shù)的CoI是指對(duì)某一優(yōu)化目標(biāo)產(chǎn)生影響的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)鍵系數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性分析結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

表3 結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性計(jì)算結(jié)果Tab.3 Results of sensitivity calculation of structural parameters

（1）總體結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的CoI均在90%以上，說明優(yōu)化目標(biāo)和與其有關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)間存在較強(qiáng)的相關(guān)性。

（2）Emb、Thi、dr與Ske對(duì) 3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中的一個(gè)或多個(gè)產(chǎn)生超過20%的影響，因此，將這4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性等級(jí)設(shè)為強(qiáng)敏感級(jí)。

（3）Bs0、Hs0主要對(duì)p(t,)θ產(chǎn)生影響，且影響水平在8%以上；Bs1對(duì)Tavg(t)、p(t,)θ產(chǎn)生影響，但其主要影響p(t,)θ，對(duì)Tavg(t)影響較小，因此，將這3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性等級(jí)設(shè)為中敏感級(jí)。

（4）Bs2、Hs2主要對(duì)切向電磁轉(zhuǎn)矩平均值Tavg(t)產(chǎn)生影響，影響水平分別為3.9%和4.2%，在5%以下。因此，將這兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性等級(jí)確定為低敏感級(jí)。

（5）槽底圓角半徑Rs為與優(yōu)化目標(biāo)無關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，被過濾，不參與下一階段的優(yōu)化計(jì)算，待優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)量減少為9個(gè)。

2.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)的分級(jí)優(yōu)化與優(yōu)化全局性判斷流程

基于上述參數(shù)敏感性分級(jí)結(jié)果，對(duì)每一級(jí)參數(shù)采用與其數(shù)量、影響優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)量以及影響水平相適應(yīng)的優(yōu)化方法，降低每級(jí)優(yōu)化計(jì)算量的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)每個(gè)參數(shù)的深度優(yōu)化，優(yōu)化中的激勵(lì)電流為表1中的激勵(lì)電流，對(duì)應(yīng)額定轉(zhuǎn)速下輸出額定轉(zhuǎn)矩工況。結(jié)構(gòu)參數(shù)分級(jí)優(yōu)化流程如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)分級(jí)優(yōu)化流程Fig.4 The process of structure parameter hierarchical optimization

優(yōu)化中樣本的隨機(jī)性和全局性對(duì)優(yōu)化結(jié)果的全局性有較大影響[25]。對(duì)此通過ALHS在優(yōu)化空間中進(jìn)行抽樣確定各級(jí)優(yōu)化初始樣本，對(duì)于優(yōu)化中的迭代環(huán)節(jié)，則通過引入自適應(yīng)策略確定每次迭代的樣本（以上次迭代最優(yōu)值為中心進(jìn)行二次 ALHS抽樣），以此提高初始樣本和迭代的隨機(jī)性與全局性。

通過歸一化的加權(quán)函數(shù)給出對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)[26]，有

完成一輪分級(jí)優(yōu)化后，對(duì)優(yōu)化結(jié)果在所給出的優(yōu)化環(huán)境下的全局性進(jìn)行判斷：將優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為初始值，導(dǎo)入優(yōu)化流程進(jìn)行二次搜索。如果二次搜索后的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)數(shù)值gmin相比一輪結(jié)果降低幅度在 1%以下，則判斷一輪結(jié)果在所給出的優(yōu)化環(huán)境下具有較好的全局性，并將一輪結(jié)果作為結(jié)構(gòu)參數(shù)最終優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行輸出。否則將二輪結(jié)果再次作為輸入進(jìn)行下一輪全局搜索，直至滿足全局性要求。上述流程即為優(yōu)化結(jié)果全局性判斷流程，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化全局性判斷流程Fig.5 The progress of optimization globality judgment

2.3.1 強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)的一輪優(yōu)化

強(qiáng)敏感級(jí)結(jié)構(gòu)參數(shù)具有以下特點(diǎn)：①共4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)均有影響，屬于多參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化，構(gòu)造結(jié)構(gòu)參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間的直接函數(shù)關(guān)系較困難；② 4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響較大，需要較高的優(yōu)化深度，計(jì)算量較大；③ 3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間存在權(quán)衡，p(t,θ)、WT的降低往往需犧牲Tavg(t)。

針對(duì)強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)的特點(diǎn)，采用多目標(biāo)遺傳算法（Multi-Objective Genetic Algorithm, MOGA）進(jìn)行全局優(yōu)化。優(yōu)化過程中可以基于多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)gmin(xi)快捷地對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本進(jìn)行評(píng)價(jià)；優(yōu)化收斂性較好，無需過多調(diào)用求解器求解樣本；針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化以及優(yōu)化目標(biāo)之間的權(quán)衡，可通過Pareto前沿面的方式直觀地給出最優(yōu)解[27]。

優(yōu)化設(shè)置方面：設(shè)置初始樣本數(shù)為20；最低衍化代數(shù)為5代，最高衍化代數(shù)為20代；采用自適應(yīng)的變異方式確定下一代的樣本，變異比例為20%。

優(yōu)化計(jì)算完成后，每一代優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)最小值對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成Pareto前沿面如圖6所示?？梢钥闯觯教幱凇扒岸恕钡狞c(diǎn)，徑向力密度峰值p(t,θ)越小，切向電磁轉(zhuǎn)矩均值Tavg(t)越高，同時(shí)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例WT越小，對(duì)應(yīng)多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)數(shù)值越小。因此，最前點(diǎn)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)值為本級(jí)參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)值，結(jié)構(gòu)參數(shù)以及優(yōu)化結(jié)果相對(duì)于初始數(shù)值的變化見表4。

圖6 優(yōu)化目標(biāo)Pareto前沿面Fig.6 The Pareto front surface of optimization target

表4 強(qiáng)敏感級(jí)優(yōu)化后參數(shù)與目標(biāo)數(shù)值變化Tab.4 The value change of parameter and target after optimization of strong sensitivity level

可以看出，強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)經(jīng)過MOGA優(yōu)化后，各項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo)均得到一定程度的優(yōu)化，其中，徑向電磁力密度峰值p(t,θ)降低28.94%，切向電磁轉(zhuǎn)矩均值Tavg(t)小幅度提高3.6%，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例WT大幅降低75.19%。完成優(yōu)化后，4個(gè)強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)數(shù)值修正為優(yōu)化后的數(shù)值，作為定值參與后續(xù)優(yōu)化。

2.3.2 中敏感級(jí)參數(shù)的一輪優(yōu)化

中敏感級(jí)結(jié)構(gòu)參數(shù)具有以下特點(diǎn)：①共有3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，影響的優(yōu)化目標(biāo)共兩個(gè)，其中，Bs0與Hs0主要與徑向電磁力密度峰值p(t,θ)有關(guān)，與輸出轉(zhuǎn)矩平均值Tavg(t)有關(guān)的僅有Bs1，且敏感性較低，因此，本級(jí)優(yōu)化認(rèn)為是對(duì)p(t,θ)的單目標(biāo)優(yōu)化；②由于結(jié)構(gòu)參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)相對(duì)較少，通過數(shù)值優(yōu)化法構(gòu)造擬合函數(shù)無需采集過多的樣本；③結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)仍存在一定程度影響，直接優(yōu)化收斂慢。

基于中敏感級(jí)參數(shù)的上述特點(diǎn)，采用響應(yīng)面法（Response Surface Method, RSM）作為本級(jí)優(yōu)化方法。由于本級(jí)優(yōu)化為單目標(biāo)三參數(shù)優(yōu)化，通過多項(xiàng)式擬合構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)不會(huì)過于復(fù)雜，同時(shí)可通過求解極值便捷地給出本級(jí)優(yōu)化最優(yōu)解。

p(t,θ)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間關(guān)系的二次擬合多項(xiàng)式[28]表示為

其中

式中，α0～αij為多項(xiàng)式系數(shù)；σ0為誤差；mi為本級(jí)的優(yōu)化參數(shù)。

完成計(jì)算后，得出的響應(yīng)面如圖7所示。

圖7 響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)果Fig.7 The result of RSM

求解響應(yīng)面方程，得到P極小值以及對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)值，中敏感級(jí)參數(shù)優(yōu)化后參數(shù)與目標(biāo)數(shù)值變化見表5。

表5 中敏感級(jí)參數(shù)優(yōu)化后參數(shù)與目標(biāo)數(shù)值變化Tab.5 Value change of parameters and targets after the optimization of medium sensitivity level

對(duì)于受中敏感級(jí)參數(shù)影響的優(yōu)化目標(biāo)，可以看出，經(jīng)過RSM優(yōu)化后，徑向電磁力密度峰值p(t,)θ降低6%，得到進(jìn)一步優(yōu)化；受Bs1數(shù)值變化的影響，切向電磁轉(zhuǎn)矩均值Tavg(t)出現(xiàn)1.5%的小幅降低。

此外，Bs0、Bs1、Hs0數(shù)值的變化并未引起轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例WT的數(shù)值變化。由此可以看出，中敏感級(jí)3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)主要對(duì)p(t,)θ、WT產(chǎn)生影響，與表3給出的結(jié)論（3）一致。

完成第二級(jí)的優(yōu)化后，3個(gè)中敏感級(jí)參數(shù)數(shù)值修正為優(yōu)化后的數(shù)值，與修正后的強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)一起作為定值參與第三級(jí)弱敏感級(jí)參數(shù)的優(yōu)化。

2.3.3 弱敏感級(jí)參數(shù)的一輪優(yōu)化

弱敏感級(jí)結(jié)構(gòu)參數(shù)具有以下特點(diǎn)：①包含Bs2和Hs2兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，主要對(duì)切向電磁轉(zhuǎn)矩均值Tavg(t)產(chǎn)生影響；②影響水平較低，結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)值變化不會(huì)導(dǎo)致Tavg(t)的劇烈變化，采用直接尋優(yōu)法進(jìn)行優(yōu)化可較快得到收斂結(jié)果，不會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率過低。

基于上述特點(diǎn)，采用下降單純形法（Downhill Simplex Method, DSM）對(duì)弱敏感級(jí)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。其通過采集一定樣本，在空間中構(gòu)造一個(gè)初始單純形。通過對(duì)該單純形進(jìn)行幾何變換（移動(dòng)、縮放、旋轉(zhuǎn)等）使單純形逼近優(yōu)化目標(biāo)的極值。其中，每一次迭代單純形的變化方式通過自適應(yīng)原則進(jìn)行確定。當(dāng)單純形縮小到最小值，或后續(xù)變化若持續(xù)收斂于所逼近的極值，則判斷 DSM 收斂，本級(jí)優(yōu)化結(jié)果實(shí)現(xiàn)最優(yōu)[29]。

基于上述過程，對(duì)Bs2和Hs2的單純形變換進(jìn)行收斂計(jì)算，由于 DSM 要求切向電磁轉(zhuǎn)矩均值以極小值為優(yōu)化目標(biāo)，因此，對(duì)Tavg(t)取相反數(shù)。優(yōu)化收斂過程如圖8所示。

圖8 弱敏感級(jí)參數(shù)優(yōu)化收斂過程Fig.8 The convergence process of optimization of weak sensitive parameters

根據(jù)優(yōu)化收斂過程可以看出，經(jīng)過25次單純形幾何變換，Tavg(t)的相反數(shù)就收斂于極小值。第一次趨于極小值的變換為第8次單純形變換，對(duì)應(yīng)本級(jí)優(yōu)化最優(yōu)解，其數(shù)值見表6。

表6 弱敏感級(jí)優(yōu)化后參數(shù)與目標(biāo)數(shù)值變化Tab.6 Value change of parameter and target after the optimization of weak sensitivity level

從而可以看出，完成第三級(jí)弱敏感級(jí)參數(shù)優(yōu)化后，切向電磁轉(zhuǎn)矩均值Tavg(t)相較于第二級(jí)優(yōu)化后的數(shù)值提高了4%，同時(shí)徑向電磁力密度峰值p(t,θ)、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例WT未受到弱敏感級(jí)參數(shù)變化的影響，與表3給出的結(jié)論（4）一致。

2.3.4 分級(jí)優(yōu)化結(jié)果的全局性判斷結(jié)果

將表4、表5優(yōu)化后的結(jié)果進(jìn)行匯總，作為一輪優(yōu)化結(jié)果并再次導(dǎo)入分級(jí)優(yōu)化流程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行二輪全局搜索，二輪全局搜索結(jié)果與一輪結(jié)果的對(duì)比見表7。

根據(jù)表7結(jié)果，二輪搜索后，多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)gmin(xi)降低了0.613%，改善程度小于1%，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果全局性判斷流程，最終輸出的結(jié)果為一輪優(yōu)化結(jié)果。

表7 分級(jí)優(yōu)化兩輪優(yōu)化結(jié)果比較Tab.7 The results comparison between two rounds of hierarchical optimization

由此說明，9個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)經(jīng)分級(jí)優(yōu)化得到的結(jié)果在給定的優(yōu)化初值、優(yōu)化范圍組成的優(yōu)化空間中具有較好的全局性。

2.4 分級(jí)優(yōu)化與單級(jí)優(yōu)化的對(duì)比

由于單級(jí)優(yōu)化為9參數(shù)3目標(biāo)的全局優(yōu)化，適用于單目標(biāo)優(yōu)化的直接搜索法 DSM 無法使用；對(duì)于數(shù)值優(yōu)化法RSM，為避免出現(xiàn)局部?jī)?yōu)化需采集大量的樣本，同時(shí)在構(gòu)造擬合模型時(shí)計(jì)算代價(jià)極高，因此，也不適于單級(jí)優(yōu)化；采用全局搜索法MOGA進(jìn)行單級(jí)優(yōu)化則無需計(jì)算任何擬合模型或函數(shù)梯度，但為了避免局部?jī)?yōu)化，相比分級(jí)優(yōu)化中的強(qiáng)敏感級(jí)優(yōu)化需要采集更多的樣本?；谏鲜龇治?，采用MOGA對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行單級(jí)優(yōu)化。

單級(jí)優(yōu)化采用與強(qiáng)敏感級(jí)優(yōu)化相同的多目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)，計(jì)算出的Pareto前沿面如圖9所示。為保證單級(jí)優(yōu)化的全局性，對(duì)單級(jí)優(yōu)化應(yīng)用優(yōu)化結(jié)果全局性判斷流程，相應(yīng)的結(jié)果對(duì)比見表8。

圖9 單級(jí)優(yōu)化Pareto前沿Fig.9 The Pareto front of targets from single level optimization

表8 單級(jí)優(yōu)化兩輪優(yōu)化結(jié)果比較Tab.8 The results comparison between two rounds of single level optimization

二輪搜索后，多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)數(shù)值gmin降低了0.04%，小于1%，由此說明了9個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)經(jīng)單級(jí)MOGA優(yōu)化得到的結(jié)果在給定的優(yōu)化初值、優(yōu)化范圍組成的優(yōu)化空間中具有較好的全局性。

因此，單級(jí)優(yōu)化也以一輪結(jié)果作為結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的輸出結(jié)果。

以下將根據(jù)表7和表8，對(duì)單級(jí)優(yōu)化與分級(jí)優(yōu)化在優(yōu)化效果、優(yōu)化方法適應(yīng)性以及優(yōu)化計(jì)算量方面的水平進(jìn)行對(duì)比。

在優(yōu)化效果方面，對(duì)于降低徑向電磁力密度峰值的優(yōu)化目標(biāo)，相較于初始結(jié)果，單級(jí)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了27.63%的峰值降低，同時(shí)分級(jí)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了32.89%的峰值降低；在轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例方面，單級(jí)優(yōu)化降低了68.50%，而分級(jí)優(yōu)化則實(shí)現(xiàn)了75.19%的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)降低；在切向電磁轉(zhuǎn)矩均值方面，單級(jí)優(yōu)化相較初始結(jié)果提升了 5.38%，分級(jí)優(yōu)化相較于初始結(jié)果提升了6.14%。

優(yōu)化方法適應(yīng)方面，對(duì)優(yōu)化結(jié)果做進(jìn)一步的觀察，可以發(fā)現(xiàn)，單級(jí)優(yōu)化的優(yōu)化效果與分級(jí)優(yōu)化強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)優(yōu)化的效果相當(dāng)，說明MOGA對(duì)于強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)較高深度的優(yōu)化，但對(duì)于中弱敏感級(jí)參數(shù)的優(yōu)化深度較低。因此，當(dāng)優(yōu)化參數(shù)中強(qiáng)敏感級(jí)參數(shù)數(shù)量所占比例更高時(shí)，MOGA可以獲得更高效的利用，即更為適應(yīng)所優(yōu)化的參數(shù)。

通過比較分級(jí)優(yōu)化與單級(jí)優(yōu)化的求解器調(diào)用次數(shù)表征分級(jí)優(yōu)化與單級(jí)優(yōu)化的計(jì)算量。分級(jí)優(yōu)化的3個(gè)敏感級(jí)優(yōu)化分別調(diào)用求解器200次、14次與25次，全局性判斷中調(diào)用次數(shù)分別為190次、14次與25次，分級(jí)優(yōu)化合計(jì)468次；而單級(jí)優(yōu)化一輪優(yōu)化和二輪全局性判斷流程調(diào)用次數(shù)分別為 300次和240次，共 540次。因此，在對(duì)同樣數(shù)量且敏感性不同的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，分級(jí)優(yōu)化計(jì)算量低于單級(jí)優(yōu)化。

綜上所述，當(dāng)優(yōu)化過程屬于多參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化，且各參數(shù)所影響的優(yōu)化目標(biāo)數(shù)量與影響程度不一時(shí)，分級(jí)優(yōu)化在優(yōu)化效果、優(yōu)化方法適用性與優(yōu)化效率上，相對(duì)采用MOGA的單級(jí)優(yōu)化能實(shí)現(xiàn)一定程度的改善。

2.5 優(yōu)化結(jié)果的有限元驗(yàn)證

由于在分級(jí)優(yōu)化中電磁力與轉(zhuǎn)矩模型的數(shù)值來自優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的求解，因此，需要將優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)導(dǎo)入有限元模型驗(yàn)證實(shí)際結(jié)果是否與優(yōu)化過程的計(jì)算結(jié)果一致，以驗(yàn)證優(yōu)化的可靠性[30]。

對(duì)徑向電磁力在氣隙中心圓周分布與切向電磁轉(zhuǎn)矩時(shí)間分布曲線進(jìn)行計(jì)算，分別如圖10和圖11所示。p(t,)θ、Tavg(t)與WT的分級(jí)優(yōu)化、有限元驗(yàn)證以及優(yōu)化前的結(jié)果的對(duì)比見表9。

表9 分級(jí)優(yōu)化后優(yōu)化目標(biāo)有限元計(jì)算結(jié)果Tab.9 The finite results of the target value after the hierarchical optimization

圖10 徑向電磁力密度在氣隙圓周上的分布Fig.10 Distribution of radial electromagnetic force density on the air gap circumference

圖11 輸出電磁轉(zhuǎn)矩的時(shí)間分布Fig.11 The time distribution of the output electromagnetic torque

與分級(jí)優(yōu)化給出的目標(biāo)數(shù)值相比，p(t,)θ有限元計(jì)算結(jié)果與分級(jí)優(yōu)化給出結(jié)果一致，Tavg(t)與WT的結(jié)果則存在誤差范圍內(nèi)的微小差距，基于該結(jié)論認(rèn)為優(yōu)化結(jié)果具有可靠性。

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的電磁噪聲抑制效果驗(yàn)證

由于上述分級(jí)優(yōu)化未直接對(duì)電磁噪聲水平進(jìn)行抑制優(yōu)化，因此本節(jié)將通過結(jié)構(gòu)聲學(xué)仿真計(jì)算結(jié)構(gòu)參數(shù)分級(jí)優(yōu)化后的電機(jī)電磁噪聲水平，并與初始參數(shù)下的電磁噪聲水平進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證抑制與改善效果。

根據(jù)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立定子的三維模型。由于在電磁計(jì)算中采用 1/4模型以提高計(jì)算效率，因此所建立的定子三維模型由4段1/4模型組成。同時(shí)按照網(wǎng)格質(zhì)量大于0.7的要求劃分六面體網(wǎng)格。定子三維模型與網(wǎng)格模型如圖12所示。

圖12 定子三維模型與網(wǎng)格模型Fig.12 The 3D model and grid model of stator

定子材料按DW360?50的機(jī)械參數(shù)進(jìn)行定義，其中，等效彈性模量由于受硅鋼片疊壓過程中產(chǎn)生的間隙的影響，按照實(shí)心材料的75%進(jìn)行定義。

本文采用等輻射聲功率級(jí)（Equivalent Radiated Power Level, ERPL）對(duì)電磁噪聲水平進(jìn)行表征。相較于聲壓級(jí)（Sound Pressure Level, SPL），ERPL更能表現(xiàn)出噪聲自身能量水平，且不易受傳播過程的影響，ERPL的計(jì)算方式[19]為

式中，L0為參考聲功率級(jí)，數(shù)值為10?12W；L為聲功率，有

其中

式中，ρ為鐵心密度；c為聲速；f為激勵(lì)頻率；σ為定子在電磁力作用下產(chǎn)生的形變；RSTA為定子外徑；LSTK為定子疊壓長(zhǎng)度?？紤]定子電磁噪聲水平高于轉(zhuǎn)子且電磁激勵(lì)主要集中分布于定子齒面，選擇在定子齒面導(dǎo)入電磁有限元計(jì)算的氣隙電磁激勵(lì)，包括徑向電磁力與切向轉(zhuǎn)矩，導(dǎo)入的氣隙電磁激勵(lì)與其作用面如圖13所示。圖中，圓環(huán)即為所導(dǎo)入的電磁激勵(lì)。

圖13 導(dǎo)入的氣隙電磁激勵(lì)與其作用面Fig.13 The input air gap electromagnetic excitation and its applied surface

采用模態(tài)疊加法求解 ERPL，其中，激勵(lì)頻率區(qū)間為0～10kHz，并按照總步數(shù)為50步進(jìn)行頻率分解，求解各頻率下的ERPL。

為了對(duì)抑制效果進(jìn)行驗(yàn)證，按照優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立定子模型，導(dǎo)入優(yōu)化前的氣隙電磁激勵(lì)并同樣采用模態(tài)疊加法對(duì)優(yōu)化前的ERPL進(jìn)行求解。優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比如圖14所示，其中，ERPL為負(fù)值的點(diǎn)由于不具備工程意義，對(duì)其取零值處理。

優(yōu)化前后ERPL峰值、峰值對(duì)應(yīng)激勵(lì)頻率，以及定子整體的ERPL平均值見表10。

表10 優(yōu)化前后電磁噪聲水平對(duì)比Tab.10 The comparison of origin and optimized electromagnetic noise level

可以看出，優(yōu)化后ERPL峰值降低了14.47%，平均值降低了 9.47%，因此，優(yōu)化后的電磁噪聲水平在強(qiáng)度上得到了有效抑制；同時(shí)ERPL峰值對(duì)應(yīng)的電磁激勵(lì)頻率有所降低，且從圖14可以看出，優(yōu)化后 6～10kHz的 ERPL幅值相較于優(yōu)化前降低明顯，因此，電磁噪聲高頻尖銳度得到有效改善，聲品質(zhì)水平得以提高。綜上所述，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分級(jí)優(yōu)化后，電機(jī)電磁噪聲強(qiáng)度得到有效抑制，同時(shí)電磁噪聲的聲品質(zhì)也得到改善。

圖14 優(yōu)化前后ERPL對(duì)比Fig.14 The comparison of origin and optimized ERPL

4 結(jié)論

1）為保證不以降低電機(jī)性能為代價(jià)抑制電磁噪聲，以徑向電磁力密度峰值最小、切向電磁轉(zhuǎn)矩均值最大以及輸出轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例最小為優(yōu)化目標(biāo)。

2）通過基于多項(xiàng)式擬合的關(guān)鍵系數(shù)計(jì)算了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的敏感程度，從而對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行篩選與敏感性分級(jí)。

3）綜合MOGA、RSM以及DSM，根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性等級(jí)對(duì)其進(jìn)行分級(jí)優(yōu)化，并對(duì)全局性進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后徑向電磁密度峰值降低32.89%，輸出轉(zhuǎn)矩平均值提高 6.14%，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)比例降低75.19%。

4）通過比較單級(jí)優(yōu)化與分級(jí)優(yōu)化的優(yōu)化效果、優(yōu)化方法適用性以及優(yōu)化效率，說明在本文給出的優(yōu)化環(huán)境下，分級(jí)優(yōu)化在上述三個(gè)方面相較單級(jí)優(yōu)化均有所改善。

5）通過結(jié)構(gòu)聲學(xué)仿真驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的電磁噪聲抑制效果和聲品質(zhì)改善效果。結(jié)果顯示，ERPL峰值降低了14.47%，平均值降低了9.47%；同時(shí)高頻尖銳度相較于優(yōu)化前明顯降低。因此，認(rèn)為電磁噪聲強(qiáng)度得到了有效抑制的同時(shí)噪聲聲品質(zhì)也得到了改善。