朱國軍

【摘 要】讓每一個兒童在“玩”中體會探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的無窮趣味，是一個值得研究的話題。“A4紙中的數(shù)學(xué)問題”是以圖形的面積計(jì)算為例重新拓延的一節(jié)課，主要教學(xué)思路是通過引導(dǎo)學(xué)生玩轉(zhuǎn)A4紙，滲透“等積變形”的思想，促使他們在深化圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)圖形之間本質(zhì)的共通性，感悟數(shù)學(xué)思想的魅力，形成靈活變通的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】“A4紙中的數(shù)學(xué)問題”;等底等高;變與不變;不同角度

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）43-0061-05

【作者簡介】朱國軍，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校小學(xué)部（南京，211102）教師，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，新一輪南京市“斯霞獎”（首屆）獲得者，南京市中青年拔尖人才。

【背景】

數(shù)學(xué)大師陳省身曾為廣大少年兒童題詞“數(shù)學(xué)好玩”，呼吁我們的數(shù)學(xué)教育要讓學(xué)生在“玩”中學(xué)，讓每一個兒童在“玩”中體會探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的無窮樂趣，真切地感受到數(shù)學(xué)充滿魅力。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生興趣的激發(fā)、素養(yǎng)的形成，多依賴他們參與其中的活動及其對這些活動的感悟與思考。數(shù)學(xué)知識與技能是顯性的，數(shù)學(xué)思考與經(jīng)驗(yàn)是隱性的，我們要嘗試在學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)上將隱性的素養(yǎng)通過顯性的基礎(chǔ)知識進(jìn)行顯性的培養(yǎng)。

在“圖形與幾何”教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維不夠靈活，思路不夠開闊，對基本圖形的面積計(jì)算均能熟練地掌握，但在進(jìn)行組合圖形的面積計(jì)算時，時常束手無策。認(rèn)真審視這類問題，最主要的原因在于學(xué)生的思維沒有打開，認(rèn)知不夠靈活，未能在“變”中找“不變”，未能發(fā)現(xiàn)組合圖形的本質(zhì)。在平時的教學(xué)中，不少教師都偏重于關(guān)注解決這類問題的方法策略及技能的訓(xùn)練，而對于“等積變形”的思想體驗(yàn)不夠深入，教材中也恰恰缺少跨越這道思維之坎的內(nèi)容。因此，在學(xué)生熟練掌握“三角形的面積計(jì)算”之后，筆者拓延出了“A4紙中的數(shù)學(xué)問題”這節(jié)課，借助玩轉(zhuǎn)A4紙滲透“等積變形”的思想，在深化圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間本質(zhì)的共通性，感悟數(shù)學(xué)思想的魅力，培養(yǎng)靈活變通的數(shù)學(xué)思維。

【教學(xué)過程及分析】

一、基于情境，培養(yǎng)創(chuàng)想意識

課件播放A4紙的魔法視頻，渲染氣氛。（最后定格在一摞彩色A4紙上）

師：大千世界，創(chuàng)意無限，一張A4紙竟然有如此的魔法。不過，這樣的創(chuàng)意想法要靠我們大膽的想象。今天，我們也借助具有魔法的A4紙來探尋數(shù)學(xué)上的相關(guān)知識。

二、動手操作，尋找共性問題

1.動手操作。

師：研究A4紙的什么呢？請看大屏幕。

課件出示：折一折、畫一畫設(shè)計(jì)圖案，使陰影部分的面積是A4紙的[12]，盡量多設(shè)計(jì)幾種不同的圖案，看誰設(shè)計(jì)的圖案獨(dú)特、新穎、有創(chuàng)意。

教學(xué)中如果沒有挑戰(zhàn)性的任務(wù)或要求，學(xué)生一般都會把A4紙對折平均分成兩份。鼓勵學(xué)生盡可能多地設(shè)計(jì)不同、新穎、獨(dú)特的圖案，就是逼著學(xué)生突破原有的認(rèn)知和思維定勢，使他們巧妙運(yùn)用“等積變形”的知識設(shè)計(jì)作品。

2.展示作品。

學(xué)生活動，教師搜集典型作品貼到黑板上。

3.分類梳理。

師：把這些作品分分類，你打算怎么分？

（1）A4紙對折類

師：我們先看這幾幅圖（如圖1），哪些同學(xué)是這樣畫的？講給大家聽聽。

小結(jié)：這個對折的方法操作簡單，一眼就能看出對折后的三角形是A4紙的一半。不過折是有講究的哦。（引導(dǎo)學(xué)生說出折痕通過中心點(diǎn)）

（2）頂點(diǎn)在長邊或?qū)掃?/p>

師：誰來說說，這幾幅圖（如圖2）的陰影部分為什么是A4紙的[12]？你是怎么想的？

生：因?yàn)檫@個三角形的底和A4紙所在的長方形的長相等，高和這張紙的寬相等，所以三角形的面積就等于這張紙的長×寬÷2，也就是這張紙面積的一半。

師：三角形的頂點(diǎn)是否可以是紙的長或?qū)捝系娜我庖稽c(diǎn)呢？

生：可以，只要在A4紙的四條邊上任意一點(diǎn)畫出的三角形都和A4紙等底等高，面積都是A4紙的[12]。

生：沿著長邊和寬邊延長找個點(diǎn)連起來的三角形的面積也相當(dāng)于這張紙面積的一半。

幾何畫板演示在長方形的長和寬上不斷地滑動動點(diǎn)（如圖3），邊演示邊小結(jié)：這個P點(diǎn)的位置沿著長邊或?qū)掃叢粩嘧兓銈儼l(fā)現(xiàn)了嗎？隨著這個點(diǎn)慢慢移動，銳角三角形慢慢變成了直角三角形。什么在變？什么沒變？沿著這條邊移動到長方形的外面，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（底和高依然不變，面積也依然不變）真好！同學(xué)們能從變中找到不變。（板書：等底等高）

（3）頂點(diǎn)在長方形內(nèi)

師（出示圖4）：這些圖案形狀有點(diǎn)怪，情況有點(diǎn)復(fù)雜了，誰來解釋一下？

學(xué)生借助輔助線匯報，略。

師：那么，這兩個三角形的交點(diǎn)除了圖中的位置，還可以在其他位置嗎？

生1：可以在A4紙內(nèi)任意位置。

生2：不管怎樣連，都是利用等底等高的知識。

師：真好！借助輔助線我們可以透過現(xiàn)象看本質(zhì)。實(shí)際上，不論這個交點(diǎn)移到哪里，三角形都和它所在的長方形等底等高。想象的確很重要，不過，老師還是想讓你們看到你們想象的圖案，讓你們看得清楚、想得明白。

幾何畫板演示P點(diǎn)移動到長方形的任意位置。（如圖5）

師：老師沿著這條輔助線向右慢慢移動P點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？再向上移動呢？

生：圖形之間實(shí)際上是一樣的，移動P點(diǎn)可以把不一樣的圖形變成一樣的圖形。

小結(jié)：學(xué)會在變化中找不變才能真正發(fā)現(xiàn)變與不變之間的關(guān)系。我們學(xué)習(xí)就要這樣，發(fā)現(xiàn)別人發(fā)現(xiàn)不了的才是最棒的。只要巧妙地移動P點(diǎn)，這些陰影部分的形狀都是相通的。

此環(huán)節(jié)是在學(xué)完圖形的面積計(jì)算之后，要求學(xué)生用多種方法表示A4紙的[12]，力求獨(dú)特新穎。然后要求學(xué)生根據(jù)不同的作品分分類，在分類交流時發(fā)現(xiàn)同樣是A4紙的[12]，卻可以有很多種不同的形狀來表示。在此過程中，借助“面積相等”強(qiáng)刺激，讓學(xué)生在變中找不變，突出等底等高的三角形面積相等。接著通過幾何畫板動態(tài)演示三角形的“等積變形”，讓學(xué)生感受到點(diǎn)在動，形在變，高與面積依然不變，透過表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其實(shí)每一個圖案之間都有共通性，它們的本質(zhì)是一樣的，力求從“思維的多樣化”向“本質(zhì)的統(tǒng)一性”過渡。

三、靈活運(yùn)用，拓寬思維邊界

1.研究一張A4紙。

師：我們把這張紙的四個角分別標(biāo)上A、B、C、D，剛才老師提到為了便于研究，把這張紙的面積約定為多少？（600平方厘米）也就是長方形ABCD的面積為600平方厘米。E、F、G、H分別是這四條邊的中點(diǎn)，請你嘗試連接其中任意三個點(diǎn)畫出大小不一的三角形，并求出它的面積。

學(xué)生動手操作后展示交流。

師：誰來說一說你畫的三角形？

生：我畫的這個三角形和長方形的紙等底等高，所以是長方形面積的一半，300平方厘米。（如下頁圖6中第一個圖形）

師：有比300平方厘米更大的三角形嗎？

生：沒有。

師：看來最大的三角形就是長方形面積的一半。那么有面積是300平方厘米、形狀不一樣的嗎？

生：第二個三角形我們可以借助輔助線發(fā)現(xiàn)它和半張長方形紙等底等高，那它的面積就是這張紙的一半的一半，150平方厘米。（如下頁圖6中第二個圖形）

生：借助輔助線發(fā)現(xiàn)，這個三角形和A4紙的[14]長方形等底等高，所以它是[14]張A4紙的一半，A4紙面積的[18]，75平方厘米。（如下頁圖6中第三個圖形）

師：還有比75平方厘米小的三角形嗎？還有和這三個面積不一樣的三角形嗎？

生：我先沿著這四條邊的中點(diǎn)畫出兩條輔助線，發(fā)現(xiàn)三角形ADE是長方形AEGD的[12]，也就是A4紙的[14]，三角形EBF是[14]張A4紙的[12]，也就是A4紙的[18]，三角形DFC是半張紙的[12]，也就是A4紙的[14]，那么陰影部分面積就是A4紙的[38]，225平方厘米。（如圖6中第四個圖形）

小結(jié)：與眾不同，真厲害！發(fā)現(xiàn)別人發(fā)現(xiàn)不了的問題。有時候，添加輔助線可以使圖形簡單化，也是你想象力和創(chuàng)造力的集中體現(xiàn)。

如果說第一個環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)是大膽想象，更多的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，那么這個環(huán)節(jié)更多是思維力的提升。通過開放性的設(shè)計(jì)，在A4紙中找大小不一的三角形，從弄清三角形與等底等高長方形面積之間的關(guān)系提升到靈活運(yùn)用的水平，意在充分盤活所學(xué)的知識，既是對前面找A4紙的[12]進(jìn)行鞏固，也是一種變式和超越，同時能推動學(xué)生的空間觀念得到更好的發(fā)展。

2.研究1 [14]張A4紙。

師：老師看出有的同學(xué)洋洋得意了，現(xiàn)在，我們把這張A4紙對折再對折平均分成四個小長方形，那么這個小長方形和大長方形（很相似，只是大小不一樣），將小長方形和大長方形拼在一起，你還能連接圖中的三個點(diǎn)，連出大小不一的三角形嗎？

學(xué)生操作時，教師巡視并提醒：能否挑戰(zhàn)一下自己，不要總畫大家一眼就看明白的簡單的直角三角形。之后學(xué)生展示交流。

生1：在講之前，我先補(bǔ)上兩條輔助線，這個三角形ABF是這個1 [12]張紙的一半，450平方厘米。（如圖7中第一個圖形）

生2：這個三角形BDE雖然和前一個形狀不一樣，但面積是一樣的，只是它的底變成它的高，它的高變成它的底，換來換去，實(shí)質(zhì)不變。（如圖7中第二個圖形）

師：還有同學(xué)有不一樣的三角形嗎？

生：這個三角形BDF的面積是小長方形ABCD面積的 [12]，150平方厘米。我是這樣想的，連接CF，我們發(fā)現(xiàn)CF和BD互相平行，平行線之間的距離處處相等，也就是三角形BDF和三角形BCD同底等高，所以它的面積是150平方厘米。（如圖8中第一個圖形）

師：輔助線起到立竿見影的作用了，我們再來看看這個同學(xué)的三角形。（如圖8中第二個圖形）

生：三角形AEG和三角形EGC等底等高，所以看似窄窄的三角形，實(shí)際上也是小長方形面積的一半。

小結(jié)：同學(xué)們真不錯！活學(xué)活用，平行線的知識在這兒起作用了！眼睛不要眨，我會讓你們剛才的推理盡情地顯現(xiàn)出來，（幾何畫板演示）瞧！點(diǎn)在線上平移，面就發(fā)生了變化，什么沒變？（高）

師：會看的人既能看到三角形，又能看到這個三角形隱形的樣子，還能看到三角形與它所在的圖形之間的關(guān)系。

師：老師還想了解一下，你們沒上這節(jié)課之前是怎么求它面積的呢？

生：用大面積減去幾個空白三角形的面積。

師：一個一個減？看來有些時候過程復(fù)雜，思考起來卻很簡單;有些時候過程簡單，思考起來卻很復(fù)雜。抓住變與不變就能讓復(fù)雜的思路簡單地呈現(xiàn)出來?。ò鍟簭?fù)雜 簡單）

此環(huán)節(jié)問題開始升級，讓學(xué)生在1 [12]張A4紙中設(shè)計(jì)各種不同形狀的三角形，組合圖形中連接三角形，實(shí)質(zhì)上是讓學(xué)生的思維呈現(xiàn)在他們的設(shè)計(jì)中，這樣的問題是具有挑戰(zhàn)性、開放性的。此時，可以“等積變形”的圖形呼之欲出，但有些學(xué)生能畫出來，卻看不出其中的門道，教師讓學(xué)生在作業(yè)紙上添加輔助線，讓學(xué)生一起想象移動三角形頂點(diǎn)，形在變，平行線之間的高的長度依然不變。這時，有少部分學(xué)生依然難以在直覺上充分感知，教師借助幾何畫板讓他們再次感受“等積變形”的動態(tài)變化，推動他們的想象變得形象、可感，使他們真正領(lǐng)會了變與不變，對所學(xué)知識、方法也有了提升和創(chuàng)新，思維不斷向縱深挺進(jìn)。

3.組合圖形。

師：老師在A4紙上畫出了這幅圖（如圖9中第一個圖形），告訴我，你看到了什么？你能求出陰影部分的面積嗎？

生：我看到四個三角形，但不知道底和高。

師：我看到的是這樣的?。▌赢嬎牟窖菔救鐖D9第二～四個圖形）

生：太奇妙了！一個四邊形竟然變變變，變成了面積相等的三角形。

師：是什么起了作用？

生1：等底等高。

生2：能在變中找不變。

師：老師希望，今天這節(jié)課留給大家印象最深的，不是“等底等高”，不是求三角形面積，也不是A4紙的一半，更多是思考“為什么我看不到的，他卻能看得到;我想不到的，他卻能想到;我做不到的，他卻能做到”。答案就在這里——

播放視頻“換個角度看世界——1分鐘”。

師：法國雕塑藝術(shù)家羅丹說，換個角度看問題，生命就會展現(xiàn)出另一種美。此時，朱老師想說，從不同角度思考問題，數(shù)學(xué)就會展現(xiàn)出獨(dú)特的魅力。

課尾，筆者設(shè)計(jì)了四個三角形組成的四邊形，這個圖形的多次變形給學(xué)生的視覺以強(qiáng)大的沖擊，看起來4個不知底與高、無從下手求面積的三角形，竟然變魔術(shù)一樣變成了一個直角三角形（即A4紙的 [18]），學(xué)生直呼神奇。信息技術(shù)應(yīng)用到課堂實(shí)踐中，能讓數(shù)學(xué)知識以綜合化的形式呈現(xiàn)出來，集萬千特色于一身，繼而形成對學(xué)生多重感官的刺激，幫助學(xué)生建立空間與圖形觀念，在提升知識傳遞和內(nèi)化效率的同時達(dá)成培養(yǎng)興趣、啟迪思維的核心素養(yǎng)培育目標(biāo)，課堂的寬度和廣度也得到了很好的提升。