劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長(zhǎng)，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國(guó)培專(zhuān)家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實(shí)證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實(shí)質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點(diǎn)，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國(guó)教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》等。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)有哪些基本數(shù)量關(guān)系？這些數(shù)量關(guān)系的邏輯結(jié)構(gòu)是什么？相對(duì)來(lái)說(shuō)，小學(xué)生關(guān)于數(shù)量關(guān)系所形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是什么，其關(guān)鍵“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”在哪兒，又如何突破呢？學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”概念伊始的教學(xué)片段能為我們提供一個(gè)思考的支點(diǎn)。

師（出示下圖）：看到這幅圖，你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？（全班100%的學(xué)生舉起了手）

生1：一共有多少顆星星？

生2：藍(lán)星比白星多多少顆？

師（用手勢(shì)有意識(shí)地引導(dǎo)）：再拿藍(lán)星和白星比一比，你還能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生3：白星比藍(lán)星少多少顆？

師：還能提出其他問(wèn)題嗎？（學(xué)生沉默。幾秒鐘后，只有一位學(xué)生舉起了手）

生4：以“”為一份，藍(lán)星比白星多幾份？

學(xué)生為什么不主動(dòng)地提出“藍(lán)星是白星的幾倍”呢？這個(gè)問(wèn)題與其他問(wèn)題之間有怎樣的邏輯關(guān)系？小學(xué)生理解倍為什么很難？倍的本質(zhì)是什么？倍與乘除法、分?jǐn)?shù)以及比等概念之間的聯(lián)系與區(qū)別是什么？要回答這些問(wèn)題，首先要弄清楚小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)量關(guān)系及其所屬的兩種基本結(jié)構(gòu)：加法結(jié)構(gòu)與乘法結(jié)構(gòu)。它們是小學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本組成。

一、概念視域下的加法結(jié)構(gòu)與乘法結(jié)構(gòu)

美國(guó)學(xué)者吉爾德·維格諾德從概念域視角提出，小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。史寧中提出小學(xué)數(shù)學(xué)主要有加法模型和乘法模型的觀點(diǎn)與此不謀而合。前者是從學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度提出的，后者是從數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的角度提出的，二者相輔相成。那么加法結(jié)構(gòu)與乘法結(jié)構(gòu)在小學(xué)階段的主要內(nèi)容有哪些？我們從數(shù)量關(guān)系角度來(lái)分析。

小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系包括兩類(lèi)。一類(lèi)是加減法關(guān)系，其對(duì)應(yīng)的基本模型包括合并模型（部分量+部分量=總量）和比較模型（兩個(gè)量之間，誰(shuí)比誰(shuí)多或誰(shuí)比誰(shuí)少的問(wèn)題），后者也叫兩個(gè)量的差比關(guān)系，其本質(zhì)是一一對(duì)應(yīng)思想。另一類(lèi)是乘除法關(guān)系，主要包括四種基本模型：（1）部分是整體（或另一部分）的幾分之幾，用分?jǐn)?shù)表示。（2）以其中一個(gè)量為“標(biāo)準(zhǔn)”，考查另一個(gè)量包含了幾個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”，或者研究另一個(gè)量是“標(biāo)準(zhǔn)”的幾分之幾，用倍或分?jǐn)?shù)表示。（3）要研究的兩個(gè)或兩個(gè)以上的量能夠找到共同的“標(biāo)準(zhǔn)”，數(shù)出每個(gè)量各自包含了幾個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”，定義每個(gè)量所包含“標(biāo)準(zhǔn)”的個(gè)數(shù)為比，用比表示這幾個(gè)數(shù)量之間的比例關(guān)系。例如，配制檸檬蜂蜜水的三種成分之比為：檸檬汁∶蜂蜜∶水=1∶2∶100，無(wú)論一份（標(biāo)準(zhǔn)）是“勺”還是“5ml”，按照1∶2∶100所配制的液體，無(wú)論其量有多少，它的味道、口感都相同（濃度相同）。（4）現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的比率關(guān)系。例如，總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)（或，總價(jià)∶數(shù)量=單價(jià)）。速度、工作效率以及密度等概念的產(chǎn)生與單價(jià)完全相同，都是兩個(gè)不同類(lèi)量相比導(dǎo)出的量。

實(shí)際上，前述數(shù)量關(guān)系分別屬于加法結(jié)構(gòu)與乘法結(jié)構(gòu)。加法結(jié)構(gòu)是一個(gè)概念域，是以加法概念、減法概念為核心的概念體系，是多種數(shù)學(xué)概念（被減數(shù)、減數(shù)、差、部分?jǐn)?shù)、總數(shù)……）圍繞加法概念、減法概念形成的聯(lián)結(jié)網(wǎng)，主要涉及加減運(yùn)算，對(duì)應(yīng)著“已知部分、部分，求整體”與“已知整體、部分，求另一部分”，以及比較兩個(gè)數(shù)量誰(shuí)多誰(shuí)少的問(wèn)題。小學(xué)生在一、二年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容多數(shù)是加法結(jié)構(gòu)，例如加減法的初步認(rèn)識(shí)，兩個(gè)數(shù)量的相差關(guān)系問(wèn)題，連加、連減以及加減混合問(wèn)題等。

乘法結(jié)構(gòu)中的概念體系按照自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、比的順序依次建立。在自然數(shù)范圍內(nèi)，首先認(rèn)識(shí)乘法、除法，接著認(rèn)識(shí)倍（刻畫(huà)兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系），然后初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)（刻畫(huà)部分與整體之間的比率關(guān)系），最后進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)（刻畫(huà)部分與整體之間或兩個(gè)量之間的比率關(guān)系）以及比（既能刻畫(huà)兩個(gè)同類(lèi)量之間的比例關(guān)系，又能刻畫(huà)兩個(gè)不同類(lèi)量之間的比率關(guān)系。前者是源，后者是流）。

從解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的視角來(lái)看，吉爾德·維格諾德認(rèn)為，乘法結(jié)構(gòu)主要包括三個(gè)子結(jié)構(gòu)：度量同構(gòu)、度量的積以及復(fù)合比例。度量同構(gòu)由兩個(gè)測(cè)量空間之間的簡(jiǎn)單正比例關(guān)系組成，主要指價(jià)格、速度、按比例分配等問(wèn)題。度量的積是由兩個(gè)測(cè)量空間的笛卡爾組合形成的第三個(gè)測(cè)量空間，主要指求面積、體積及其他相關(guān)的量的問(wèn)題，還有搭配問(wèn)題。例如，“米×米=平方米”“立方米÷平方米=米”“男人個(gè)數(shù)×女人個(gè)數(shù)=男女舞伴的組合數(shù)”。復(fù)合比例與度量的積類(lèi)似，即第三個(gè)測(cè)量空間與其他兩個(gè)不同的測(cè)量空間成比例。例如，“農(nóng)場(chǎng)里6頭牛在14天內(nèi)共產(chǎn)奶1932升，每頭牛每天產(chǎn)奶多少升？”復(fù)合比例問(wèn)題在當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)課程中并不多見(jiàn)。

二、“倍”是加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)

從數(shù)學(xué)發(fā)展以及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的角度看，加法結(jié)構(gòu)是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中最基本的內(nèi)容，尤其是部分與整體之間的加減問(wèn)題，其次是兩個(gè)量之間比多少的問(wèn)題。因?yàn)閷W(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)及來(lái)自直覺(jué)和本能的一一對(duì)應(yīng)思想，所以掌握這些基本內(nèi)容是比較容易的。學(xué)生認(rèn)知中的加法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ńY(jié)構(gòu)時(shí)，哪個(gè)數(shù)學(xué)概念是承接點(diǎn)，哪個(gè)數(shù)學(xué)概念是轉(zhuǎn)折點(diǎn)呢？

初步認(rèn)識(shí)乘法是從“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”這一問(wèn)題出發(fā)的，雖然乘法是一種“新”運(yùn)算，但這時(shí)的乘法仍然是合并或累加的過(guò)程，是特殊的加法，可以說(shuō)是加法結(jié)構(gòu)的延續(xù)?；诖?，乘、除法的初步認(rèn)識(shí)是加法結(jié)構(gòu)與乘法結(jié)構(gòu)的承接點(diǎn)，而不是轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

倍的產(chǎn)生不再涉及合并、累加以及比較誰(shuí)多誰(shuí)少的問(wèn)題，而是著眼于研究新的數(shù)量關(guān)系——倍比關(guān)系或比例關(guān)系，需要徹底打破加法結(jié)構(gòu)的原有認(rèn)知基礎(chǔ)，建立真正的乘法結(jié)構(gòu)?；诖?，倍是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變不是先天地存在于學(xué)生頭腦中，所以小學(xué)生不會(huì)主動(dòng)地提出有關(guān)倍的問(wèn)題，學(xué)習(xí)倍也會(huì)存在比較大的困難。如前述案例，在比較兩個(gè)數(shù)量時(shí)，有92%的學(xué)生都不能自發(fā)、主動(dòng)地提出關(guān)于倍的問(wèn)題，個(gè)別學(xué)生寧可提出“誰(shuí)比誰(shuí)多幾份（倍）”也不提出“誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍”，這也說(shuō)明此時(shí)學(xué)生頭腦中仍以加法結(jié)構(gòu)為主。

小學(xué)生理解倍之所以困難，除前述所談倍是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)外，還有其他因素影響學(xué)生掌握倍概念以及解決相關(guān)問(wèn)題。例如，日常語(yǔ)言中的“倍”與數(shù)學(xué)的“倍”在意義與用法上稍有區(qū)別，日常生活中說(shuō)到“倍”好像就是增加、擴(kuò)大的意思，常用的詞匯是倍增、倍加等?！冬F(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“倍”的解釋與數(shù)學(xué)上也不太相同：“跟原數(shù)相等的數(shù)，某數(shù)的幾倍就是用幾乘某數(shù)”。這里側(cè)重用乘法求“幾倍數(shù)”，忽視了倍刻畫(huà)的是兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，相關(guān)問(wèn)題的解決既可能用乘法，也可能用除法，而不是見(jiàn)倍就乘。此外，漢語(yǔ)語(yǔ)言的歧義也給學(xué)生學(xué)習(xí)倍帶來(lái)一定的困難。例如，A比B多1倍，也就是A是B的2倍，學(xué)生容易把“多1倍”等同于“是1倍”。另外，倍與其他概念混淆也會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在理解上出現(xiàn)困難。例如“倍數(shù)”與“倍”是兩個(gè)概念，二者都與乘法和除法運(yùn)算有關(guān)，倍數(shù)是在自然數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的概念，倍則可以超越自然數(shù)的范圍。倍數(shù)與因數(shù)是一對(duì)建立在整除基礎(chǔ)上的具有相對(duì)性的概念，表示能被某個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)。例如，15=5×3，15就是5和3的倍數(shù)，5和3都是15的因數(shù)。倍表示的是兩個(gè)量的倍比關(guān)系，結(jié)果不一定非是自然數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)和小數(shù)。

倍是后繼學(xué)習(xí)較復(fù)雜的比例關(guān)系的認(rèn)知基礎(chǔ)，理解和掌握倍對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極為重要，是學(xué)生形成乘法結(jié)構(gòu)的核心抓手。

三、“份”是認(rèn)識(shí)乘法、除法、倍、分?jǐn)?shù)以及比的基礎(chǔ)和關(guān)鍵

研究量之間的比例（率）關(guān)系時(shí)，倍是基礎(chǔ)，可以貫穿分?jǐn)?shù)、比等內(nèi)容的始終，只不過(guò)表達(dá)上有種“約定俗成”：當(dāng)商大于1時(shí)，習(xí)慣說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)的多少倍;當(dāng)商小于1時(shí)，習(xí)慣說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)的幾分之幾，并用分?jǐn)?shù)來(lái)表達(dá);當(dāng)商等于1時(shí)，被除數(shù)與除數(shù)相等（要比較的兩個(gè)量相等），叫“同樣多”或者“1倍”。六年級(jí)學(xué)生在理解并掌握了比之后，就用比來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量之間的比率關(guān)系，而不再用倍或分?jǐn)?shù)來(lái)表示，否則會(huì)增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，降低學(xué)生問(wèn)題解決的效率。

倍、分?jǐn)?shù)、比以及除法是內(nèi)涵相互關(guān)聯(lián)的四個(gè)概念，是乘法結(jié)構(gòu)的基本內(nèi)容。前三個(gè)概念用來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)量之間的比率、比例關(guān)系，三者都以除法運(yùn)算為基礎(chǔ)，并通過(guò)除法運(yùn)算算出具體結(jié)果。四個(gè)概念之間具有相同的基本性質(zhì)（商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)或比的基本性質(zhì)），它們有共同的認(rèn)知基礎(chǔ)——份。

幫助學(xué)生建立乘法結(jié)構(gòu)的認(rèn)知基礎(chǔ)是“份”，份是學(xué)習(xí)乘法、除法、倍、分?jǐn)?shù)、比等概念以及解決相關(guān)問(wèn)題的基本要素。例如，倍就是以其中一個(gè)量為比較標(biāo)準(zhǔn)，將其作為“1份”，另一個(gè)量中包含幾個(gè)這樣的“1份”，就是標(biāo)準(zhǔn)的幾倍。在日常教學(xué)中，用“幾個(gè)這樣的一份（動(dòng)手圈畫(huà)出1份、幾份，同時(shí)用語(yǔ)言描述）”來(lái)認(rèn)識(shí)倍，比用“幾個(gè)幾”更好。再如，分?jǐn)?shù)的含義與倍基本相同，只不過(guò)習(xí)慣上不夠“1份”的常用分?jǐn)?shù)表示。理解分?jǐn)?shù)仍然離不開(kāi)“份”，先通過(guò)平均分產(chǎn)生更小的“份”，再研究“更小份”之間的比率關(guān)系。比的含義亦如此，要比較的兩個(gè)量需要有相同的“份”做單位，這個(gè)“份”也是比較的標(biāo)準(zhǔn)。

“份”不僅是理解上述概念的基礎(chǔ)，更是解決相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。例如，與倍相關(guān)的基本問(wèn)題、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）的問(wèn)題以及按比例分配等問(wèn)題的解決，都需要“份”作為推理、計(jì)算的基礎(chǔ)。

幫助學(xué)生建構(gòu)清晰、穩(wěn)定的乘法結(jié)構(gòu)是小學(xué)階段的重要教育目標(biāo)，是一個(gè)長(zhǎng)期、復(fù)雜而艱辛的過(guò)程?；诖?，教師需要明確乘法結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵，重視倍的教學(xué)，以“份”“倍”貫穿分?jǐn)?shù)、比及按比例分配問(wèn)題學(xué)習(xí)的全過(guò)程。

助理編輯 ?劉佳