孫 靜 韓雪艷 魏元浩 陳 爽 李仕華

1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

0 引言

并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)作為一種工作性能要求很高的精密設(shè)備，必須具有高精度、高可靠性和長使用壽命等特征。機(jī)構(gòu)的支承或構(gòu)件在生產(chǎn)加工和裝配中產(chǎn)生的微小誤差以及在各種復(fù)雜環(huán)境中長期使用后產(chǎn)生的磨損都可能導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動副出現(xiàn)間隙，這些運(yùn)動副間隙相比結(jié)構(gòu)本身的尺寸可能很小，但是在間隙內(nèi)產(chǎn)生的零部件接觸-分離的碰撞現(xiàn)象會導(dǎo)致剛度的突變，降低機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度，使其運(yùn)動軌跡出現(xiàn)非線性波動，令機(jī)構(gòu)出現(xiàn)明顯的振動現(xiàn)象[1]，同時也會對機(jī)構(gòu)的模態(tài)特性產(chǎn)生影響。固有頻率的變化可能會導(dǎo)致不可預(yù)測的共振發(fā)生，從而大大降低設(shè)備的工作精度和使用壽命。然而實(shí)際中往往無法直接使用設(shè)備樣機(jī)進(jìn)行含間隙機(jī)構(gòu)非線性模態(tài)實(shí)驗(yàn)，因此有必要尋找有效的方法建立含間隙并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)振動模型以對其非線性模態(tài)特性進(jìn)行分析。

模態(tài)和間隙振動特性研究是進(jìn)行含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化、壽命預(yù)測和故障診斷的基礎(chǔ)，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了許多相關(guān)研究。李艷清等[2]利用加權(quán)平均方法對含間隙兩自由度彈簧-質(zhì)量分段振動系統(tǒng)的非線性模態(tài)進(jìn)行了研究。張艷龍等[3]將Dankowicz動摩擦模型引進(jìn)力學(xué)系統(tǒng)中，結(jié)合數(shù)值仿真方法研究了非光滑因素間隙及摩擦作用下強(qiáng)非線性系統(tǒng)動力學(xué)行為。李新泉等[4]建立了一類兩自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)動力學(xué)模型，并構(gòu)建了Poincaré映射方程，采用數(shù)值計算方法探究了系統(tǒng)的混沌振動特性。唐俊杰等[5]考慮受力變化頻繁的關(guān)節(jié)處運(yùn)動副間隙，利用有限元軟件和靜力學(xué)計算分析了運(yùn)動副間隙對機(jī)構(gòu)模態(tài)振動特性的影響。尹鳳偉等[6]基于一類帶有間隙-彈性約束的兩自由度受迫振動系統(tǒng)，通過多目標(biāo)和多參數(shù)協(xié)同仿真分析，研究了非光滑振動系統(tǒng)的周期性沖擊振動特征。ZHAO等[7]研究了一種基于改進(jìn)變分模式分解的分解技術(shù)以自適應(yīng)提取一系列頻域特征，并有效地檢測氣門機(jī)構(gòu)間隙異常故障。王強(qiáng)等[8]基于模態(tài)綜合法，結(jié)合有限元分析和模態(tài)試驗(yàn)對含間隙折疊舵面的非線性動態(tài)特性進(jìn)行了分析。上述文獻(xiàn)針對不同特征結(jié)構(gòu)所進(jìn)行的非線性振動分析多屬于仿真以及針對間隙或其他非線性因素的研究，對動態(tài)間隙和非線性振動特性之間聯(lián)系的理論研究并不充分，且研究對象多具有對稱特性或?yàn)楹唵螜C(jī)械結(jié)構(gòu)，因此有必要針對考慮運(yùn)動副間隙的復(fù)雜空間并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)模態(tài)特性進(jìn)行深入研究。

本文針對SUN等[9]提出的一種新型3-RRCPR并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)，將數(shù)軸法應(yīng)用到具有復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)的振動系統(tǒng)建模中，并驗(yàn)證其可行性；考慮殘余剛度，提出含間隙運(yùn)動副的改進(jìn)非線性等效剛度系數(shù)建立方法，并建立考慮時變間隙的非線性振動模型。

1 含間隙機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)建模

1.1 基于數(shù)軸法的機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)建模

圖1所示的3-RRCPR六自由度并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)[9]具有3條構(gòu)造相同的支鏈，每條支鏈由固定于基座上的轉(zhuǎn)動驅(qū)動副、第1連桿、從動轉(zhuǎn)動副、第2連桿、等效圓柱副和位移驅(qū)動副組成，動平臺和3條支鏈的位移驅(qū)動電機(jī)之間通過轉(zhuǎn)動副連接。機(jī)構(gòu)通過驅(qū)動轉(zhuǎn)動副調(diào)整姿態(tài)，通過微動移動驅(qū)動副調(diào)整動平臺位置。

圖1 3-RRCPR并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)構(gòu)型[9]Fig.1 3-RRCPR parallel pointingmechanism configuration[9]

若采用常用的動力學(xué)建模方法(如拉格朗日方程等)來對該機(jī)構(gòu)的振動特性進(jìn)行建模分析，則建模的難度很大，且由于存在大量結(jié)構(gòu)和力傳遞參數(shù)，求解過程也會十分困難，甚至?xí)霈F(xiàn)數(shù)學(xué)模型求解失敗的情況,在進(jìn)行具有針對性的振動模態(tài)分析時，若采用此類建模方法，將嚴(yán)重影響分析效率且無法保證能夠得到計算結(jié)果。

為降低考慮間隙的空間并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)非線性模態(tài)建模與求解的難度，本文將數(shù)軸建模法[10]應(yīng)用到圖1所示機(jī)構(gòu)的振動模型建模中。由于機(jī)構(gòu)的阻尼和振幅都很小，故將結(jié)構(gòu)中慣性和剛度較大的部件視為質(zhì)量集中的質(zhì)點(diǎn)，慣性小且結(jié)構(gòu)剛度較小的部件視為無質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。機(jī)構(gòu)的基座、驅(qū)動轉(zhuǎn)動副和動平臺的剛度遠(yuǎn)大于連桿剛度，振動特性主要受3條支鏈影響，故在振動建模過程中忽略固定連接處的剛度及上下平臺結(jié)構(gòu)剛度，重點(diǎn)考慮連桿特征參數(shù)。

考慮到所分析的并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動為低速運(yùn)動，其工作狀態(tài)下的自振頻率一般較低，且該機(jī)構(gòu)對振動最為敏感的微動結(jié)構(gòu)的垂直方向的振動相比其他方向更為顯著，因此本文對所建立的振動系統(tǒng)模型進(jìn)行了一定程度的簡化，選擇垂直于動平臺的方向?yàn)殛P(guān)注的振動方向進(jìn)行建模。

圖2 基于數(shù)軸法建立的機(jī)構(gòu)振動模型Fig.2 Vibration model based on number axis method

在垂直于動平臺的方向上，基于數(shù)軸法建立了簡化后的3-RRCPR并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)振動模型，如圖2所示。圖中mi、ki、ci分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，各個集中質(zhì)量塊所代表的指向機(jī)構(gòu)零部件見圖2中標(biāo)注。R副表示轉(zhuǎn)動驅(qū)動副，P副表示移動驅(qū)動副。

機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)微分方程為

(1)

式中，x為所建立的振動模型中各質(zhì)量塊mi的廣義物理坐標(biāo)的振動位移；M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；C為阻尼矩陣；F為振動方向上的外力。

利用圖2所示的基于數(shù)軸法所建立的振動模型，對質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和阻尼矩陣C進(jìn)行構(gòu)造并將其代入式(1)中，即可較為簡便地得到機(jī)構(gòu)的振動模型。

構(gòu)造的機(jī)構(gòu)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K可以表示為

M=diag(m1+m11+m12+m13,m21,
m22,m23,m31+m32+m33+m3)

(2)

(3)

K1=k11+k12+k13K2=k11+k21

K3=k12+k22K4=k13+k23

K5=k21+k22+k23+k3

因?yàn)橹赶驒C(jī)構(gòu)的阻尼主要是源自材料內(nèi)的阻力和部件結(jié)合面之間的干摩擦[11]，所以選擇在機(jī)械結(jié)構(gòu)振動分析中廣泛應(yīng)用的瑞利阻尼。阻尼矩陣C可表示為

(4)

c11=α(m1+m11+m12+m13)+β(k11+k12+k13)
c12=-βk11c13=-βk12c14=-βk13
c22=αm21+β(k11+k21)c25=-βk21
c33=αm22+β(k12+k22)c35=-βk22
c44=αm23+β(k13+k23)c45=-βk23
c55=α(m3+m31+m32+m33)+
β(k3+k21+k22+k23)

其中，α、β分別為質(zhì)量阻尼系數(shù)和剛度阻尼系數(shù)，可以根據(jù)某兩階固有頻率確定：

(5)

(6)

式中，ωi、ωj為某兩階固有頻率；ξi、ξj為與之對應(yīng)的兩階模態(tài)振型阻尼比。

1.2 振動模型的正確性驗(yàn)證

為驗(yàn)證由式(1)～式(4)所構(gòu)造的機(jī)構(gòu)數(shù)軸法振動模型的正確性，需要利用此模型計算得到的固有頻率結(jié)果同有限元分析結(jié)果進(jìn)行對比。根據(jù)指向機(jī)構(gòu)各部位使用的材料，得到振動模型質(zhì)量參數(shù)數(shù)值，如表1所示。

表1 振動模型質(zhì)量參數(shù)

利用靜應(yīng)力分析結(jié)合曲線擬合可得到振動模型剛度參數(shù)數(shù)值，如表2所示。

表2 振動模型剛度參數(shù)數(shù)值

令并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)在零初始條件下的初始速度和位移為零，則復(fù)平面上的振動響應(yīng)方程為

(s2M+sC+K)X(s)=0

(7)

式中,s為振動方程經(jīng)拉氏變換后的復(fù)變量；X(s)為廣義坐標(biāo)的振動幅值和方向。

考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際阻尼很小，對機(jī)構(gòu)的模態(tài)特性影響也有限，本文針對無阻尼非線性振動系統(tǒng)進(jìn)行分析。忽略式(7)中阻尼參數(shù)，并將表1、表2中數(shù)值代入式(2)所示質(zhì)量矩陣和式(3)所示剛度矩陣中，可得無阻尼振動系統(tǒng)的特征方程：

|s2M+K|=0

(8)

進(jìn)一步可得廣義特征方程：

KU=-s2MU

(9)

將矩陣M進(jìn)行Cholesky分解，即

M=LLT

(10)

由于M為正定對角矩陣，可知L=LT。令A(yù)=L-1K，B=LT，可將求解式(8)的問題轉(zhuǎn)化為廣義特征值的求解問題：

L-1KU=-s2LTU

(11)

AU=s2BU

(12)

表3 理論模型模態(tài)參數(shù)計算精度

表3結(jié)果顯示，理論建模計算結(jié)果最大誤差不超過5%，符合工程精度要求，證明了該建模方法的可行性。

1.3 考慮殘余剛度的改進(jìn)非線性等效剛度系數(shù)

若要將上文所建立的基于數(shù)軸法的理想機(jī)構(gòu)振動模型拓展至考慮間隙的機(jī)構(gòu)振動模型中，需要對含間隙運(yùn)動副內(nèi)的剛度系數(shù)進(jìn)行定義。

目前研究含間隙運(yùn)動副的相關(guān)文獻(xiàn)所使用的間隙接觸模型多為圖3所示的轉(zhuǎn)動副間隙模型，主要針對軸和軸套之間存在間隙ebj時的非線性剛度kn及法向接觸力FN進(jìn)行研究，含間隙非線性剛度系數(shù)在軸與軸套之間發(fā)生接觸、分離及相互嵌入時，會呈現(xiàn)出多段函數(shù)的特征[12]，且以是否分離為邊界決定剛度系數(shù)是否為零，分離時軸與軸套互不接觸。

圖3 間隙副軸與軸套的接觸模型Fig.3 Contact and collision model of clearancecountershaft and bushing

對于并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)的振動模態(tài)特性分析，需考慮系統(tǒng)整體的剛度特性。振動模型中的剛度參數(shù)不僅需要考慮運(yùn)動副內(nèi)的接觸支撐剛度，還需要考慮該部位裝配特征對局部剛度產(chǎn)生的影響，如階梯軸支撐面、聯(lián)軸器的連接等，這些特征可能對間隙內(nèi)零部件的相對運(yùn)動產(chǎn)生一定程度的抑制，因此在運(yùn)動副接觸部位由于間隙發(fā)生分離時，該處剛度并不會像傳統(tǒng)模型中定義的一樣為零，而是會出現(xiàn)一定程度的削弱，將此時的剛度定義為殘余剛度。因此上述間隙接觸等效模型需要進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)模型中軸套和軸的半徑差(即初始間隙)設(shè)為ΔR，隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動時動態(tài)變化的軸套和軸的中心距離(即間隙值)設(shè)為δ。

由文獻(xiàn)[13]可知含間隙運(yùn)動副內(nèi)非線性接觸剛度系數(shù)

(13)

(14)

式中，l為兩間隙接觸面的長度；n為力指數(shù)；e為兩接觸面在接觸時的變形量，隨時間變化；E*為兩接觸面材料的等效彈性模量；ν1、ν2分別為兩接觸面材料的泊松比；E1、E2分別為兩接觸面材料的彈性模量。

令剛度系數(shù)ks為運(yùn)動副接觸部位由于間隙發(fā)生分離時的殘余剛度，kε為間隙處兩接觸面之間發(fā)生接觸碰撞時的非線性接觸剛度系數(shù)，結(jié)合以上兩參數(shù)的多段函數(shù)作為改進(jìn)后的非零含間隙非線性等效剛度系數(shù)ke：

(15)

1.4 考慮時變運(yùn)動副間隙的機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)建模

為了將運(yùn)動副的間隙特征嵌入由式(1)～式(4)所構(gòu)造的機(jī)構(gòu)理想振動模型中，將含間隙運(yùn)動副在圖2所示模型中的對應(yīng)位置上添加間隙ΔR，并用式(15)所建立的考慮殘余剛度的非線性等效剛度系數(shù)ke代替原始常值剛度系數(shù)kr，例如若A支鏈連桿1、連桿2之間的從動轉(zhuǎn)動副含有間隙，則所構(gòu)造的含間隙振動模型如圖4所示。

圖4 考慮運(yùn)動副間隙的振動模型Fig.4 Vibration model considering the clearance ofthe kinematic pair

考慮運(yùn)動副間隙的機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)微分方程為

(16)

式中，Ks為含間隙振動系統(tǒng)的包含殘余剛度系數(shù)的總體剛度矩陣；FG為振動系統(tǒng)中由于間隙的存在而額外產(chǎn)生的內(nèi)力[14]。

隨著振動系統(tǒng)中含間隙運(yùn)動副內(nèi)的間隙值δ的變化，非線性等效剛度系數(shù)ke也隨之變化，該系數(shù)中已包含了含間隙運(yùn)動副的接觸特征，能表征接觸部位的任何時刻的剛度特性。將式(16)中的系統(tǒng)內(nèi)力FG等效為εx，ε作為該振動系統(tǒng)中某些運(yùn)動副存在間隙時整個振動系統(tǒng)剛度特征的表征符號，本文將其構(gòu)造為如下形式的含間隙剛度矩陣Ke來對剛度特征進(jìn)行描述(此處矩陣Ke與圖4模型相對應(yīng)):

(17)

由式(16)和式(17)，考慮運(yùn)動副間隙機(jī)構(gòu)的振動系統(tǒng)微分方程可以表示為

(18)

并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)中含間隙運(yùn)動副的類型及數(shù)量不同，式(18)所示的間隙剛度矩陣的參數(shù)構(gòu)造也會有所不同，但構(gòu)造原理和過程是相同的。

已知含間隙振動系統(tǒng)方程的特征多項式為

|s2M+Ke(e)|=0

(19)

綜上可建立考慮時變間隙的機(jī)構(gòu)無阻尼非線性振動模型：

(20)

殘余剛度ks與原始剛度、間隙特征均有一定聯(lián)系，本文簡化為縮減一定比例的殘余剛度ks。

若考慮運(yùn)動副間隙對阻尼的影響，與建立的改進(jìn)非線性等效剛度系數(shù)類似，可以建立非線性等效阻尼系數(shù) 。殘余阻尼系數(shù)cs與間隙副內(nèi)接觸面發(fā)生碰撞摩擦?xí)r的非線性阻尼系數(shù)cε[15]共同構(gòu)成含間隙機(jī)構(gòu)振動模型的非線性等效阻尼系數(shù)ce。振動系統(tǒng)中各項的阻尼系數(shù)cs及cε分別構(gòu)成阻尼矩陣Cs及Cε，由Cs及Cε即可構(gòu)造出非線性等效阻尼矩陣Ce。

Cs(cs)=αM+βKe(e)

(21)

(22)

(23)

式中，g為恢復(fù)系數(shù)，與材料本身的性質(zhì)有關(guān)；v0為接觸碰撞前的速度。

進(jìn)而可以建立考慮時變間隙的有阻尼機(jī)構(gòu)振動模型：

(24)

2 考慮時變間隙的機(jī)構(gòu)非線性模態(tài)分析

2.1 并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)間隙動力學(xué)仿真

若要分析考慮時變間隙的3-RRCPR并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)非線性模態(tài)特性，需要得到機(jī)構(gòu)含間隙運(yùn)動副內(nèi)的間隙數(shù)據(jù)δ，這里通過ADAMS中建立的含間隙動力學(xué)模型并進(jìn)行仿真分析來實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的獲取。

考慮到所分析機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和負(fù)載特征，對存在間隙時的機(jī)構(gòu)支鏈上連桿1和連桿2之間的從動轉(zhuǎn)動副以及基座上驅(qū)動轉(zhuǎn)動副進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，利用反饋控制力矩方式在間隙動力學(xué)仿真中模擬電機(jī)驅(qū)動；根據(jù)運(yùn)動副的裝配特征設(shè)置仿真模型的間隙運(yùn)動副連接；調(diào)整間隙運(yùn)動副的接觸碰撞參數(shù)以盡可能減少接觸碰撞的失真；在最容易發(fā)生振動的滾珠花鍵處參考日本THK公司LF系列滾珠花鍵的參數(shù)設(shè)置摩擦參數(shù)。這些設(shè)置使仿真模型盡可能符合工程實(shí)際。由于現(xiàn)階段對復(fù)雜并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)進(jìn)行含間隙動力學(xué)實(shí)驗(yàn)時在成本和實(shí)現(xiàn)難度等方面還存在較大問題，尤其是變化的間隙特征難以在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行實(shí)時測量，因此通過理論模型結(jié)合間隙動力學(xué)中已有大量應(yīng)用的ADAMS仿真工具對機(jī)構(gòu)非線性模態(tài)進(jìn)行研究，可以為這類問題的研究提供一定理論依據(jù)。間隙動力學(xué)仿真模型如圖5所示。

(a)并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)仿真模型

仿真條件設(shè)置如下：A支鏈驅(qū)動轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)速10°/s，驅(qū)動時間5 s，即驅(qū)動轉(zhuǎn)角0°～50°，設(shè)置驅(qū)動轉(zhuǎn)動副間隙為0～0.5 mm，第1、第2連桿之間的從動轉(zhuǎn)動副間隙為0～5mm，分別對存在不同間隙特征的機(jī)構(gòu)進(jìn)行間隙動力學(xué)仿真。

由于本文分析所得到的機(jī)構(gòu)含間隙動力學(xué)仿真間隙數(shù)據(jù)圖較多，故僅以機(jī)構(gòu)A支鏈的驅(qū)動轉(zhuǎn)動副出現(xiàn)0.1 mm間隙且驅(qū)動轉(zhuǎn)速為10°/s時情況為例進(jìn)行展示，并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)的含間隙運(yùn)動副內(nèi)位移如圖6所示。

圖6 指向機(jī)構(gòu)含間隙驅(qū)動轉(zhuǎn)動副內(nèi)位移Fig.6 Pointing mechanism with clearance drive andinternal collision displacement of rotating pair

2.2 改進(jìn)的非線性等效剛度系數(shù)ke求解

通過ADAMS仿真可以得到式(15)中的非線性等效剛度系數(shù)ke中的間隙位移參數(shù)δ，其他參數(shù)如表4所示。

表4 非線性接觸剛度系數(shù)kε的已知參數(shù)

由表4中的參數(shù)結(jié)合式(14)可求得接觸面材料的等效彈性模量E*為113.5 GPa。根據(jù)式(15)，在MATLAB中建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并將機(jī)構(gòu)中含間隙運(yùn)動副的對應(yīng)剛度系數(shù)設(shè)置為變量，然后將ADAMS仿真得到的間隙數(shù)據(jù)作為數(shù)值矩陣導(dǎo)入該數(shù)學(xué)模型中，結(jié)合式(13)、式(14)求得非線性等效剛度系數(shù)ke。圖7、圖8所示為當(dāng)A支鏈驅(qū)動轉(zhuǎn)動副和從動轉(zhuǎn)動副分別出現(xiàn)0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm的間隙時，間隙副內(nèi)非線性等效剛度系數(shù)的變化情況。

圖7 含間隙驅(qū)動副非線性等效剛度系數(shù)變化Fig.7 Nonlinear equivalent stiffness coefficient changeof driving pair with gap

圖8 含間隙從動副非線性等效剛度系數(shù)變化Fig.8 Variation of nonlinear equivalent stiffnesscoefficient of driven pair with gap

并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)的驅(qū)動轉(zhuǎn)動副固定于基座上，空間位置不隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動變化，故間隙副內(nèi)碰撞運(yùn)動主要受重力、間隙值和轉(zhuǎn)速因素的影響。由圖7、圖8可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速為10°/s時，隨著驅(qū)動轉(zhuǎn)動副間隙值的增大，含間隙非線性等效剛度瞬時突變峰值有所衰減；從動轉(zhuǎn)動副由于位于連桿連接處，空間位置會隨連桿運(yùn)動發(fā)生變化，此時相比于轉(zhuǎn)動副間隙值的大小，重力和連桿空間交錯位置會對間隙副內(nèi)碰撞運(yùn)動產(chǎn)生更為顯著的影響，在一定轉(zhuǎn)速下連桿轉(zhuǎn)角處于0°～10°和30°～50°時非線性等效剛度突變峰值較大，明顯出現(xiàn)相較于10°～30°區(qū)域更激烈的接觸碰撞。

2.3 含間隙并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)模態(tài)特性分析

將上文求解得到的非線性等效剛度系數(shù)代入形如式(17)的含間隙剛度矩陣中，有

Ke(e)=K(ks,kε(e))

(25)

而在q個時刻內(nèi)，隨著間隙變化的時變非線性等效剛度系數(shù)可構(gòu)成數(shù)組{ke}q，將其代入含間隙剛度矩陣式(17)中，則可得三維含間隙剛度矩陣：

(26)

將此矩陣代入式(20)所示的考慮時變間隙的無阻尼非線性振動模型中，即可求解時變模態(tài)固有頻率。將運(yùn)動副出現(xiàn)不同間隙值時指向機(jī)構(gòu)的時變模態(tài)固有頻率進(jìn)行整合，即可得到機(jī)構(gòu)的模態(tài)固有頻率分布域。

本文針對在A支鏈驅(qū)動轉(zhuǎn)動副0°～50°轉(zhuǎn)動范圍內(nèi)，驅(qū)動轉(zhuǎn)動副以及第1連桿、第2連桿之間的從動轉(zhuǎn)動副分別出現(xiàn)0～0.5 mm的間隙，以及支鏈上的驅(qū)動轉(zhuǎn)動副和從動轉(zhuǎn)動副同時出現(xiàn)0～0.5 mm的間隙時，機(jī)構(gòu)的非線性模態(tài)固有頻率分布域進(jìn)行了分析，其結(jié)果見圖9～圖11。

(a)1階固有頻率 (b)2階固有頻率 (c)3階固有頻率

(a)1階固有頻率 (b)2階固有頻率 (c)3階固有頻率

(a)1階固有頻率 (b)2階固有頻率 (c)3階固有頻率

由圖9～圖11可知，驅(qū)動轉(zhuǎn)動副和從動轉(zhuǎn)動副的不同間隙值對并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)非線性模態(tài)產(chǎn)生的影響有明顯不同。驅(qū)動轉(zhuǎn)動副間隙的存在會使固有頻率出現(xiàn)短時間內(nèi)的劇烈突變，這種現(xiàn)象在間隙值為0.4～0.5 mm時尤為明顯；從動轉(zhuǎn)動副間隙則會使固有頻率出現(xiàn)較為均勻的波動，且在機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角較大時更加明顯；當(dāng)兩種間隙同時存在時，產(chǎn)生的耦合效應(yīng)又會使頻率分布域呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)，可以較為直觀地看出除了第2階固有頻率之外的幾階波動都明顯減弱。

為了更為直觀地了解含間隙運(yùn)動副對指向機(jī)構(gòu)模態(tài)固有頻率的影響，依據(jù)圖9～圖11整理了如圖12和表5所示的并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)模態(tài)固有頻率波動范圍圖。

圖12 不同間隙特征影響下模態(tài)固有頻率波動Fig.12 The modal natural frequency fluctuation underthe influence of different gap characteristics

表5 模態(tài)固有頻率波動上下限

分析圖9～圖12和表5可知，并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)運(yùn)動副存在0～0.5 mm間隙時，含間隙運(yùn)動副的非線性等效剛度的瞬時變化會使機(jī)構(gòu)模態(tài)固有頻率發(fā)生波動。驅(qū)動副間隙影響下模態(tài)分布域波動較為均勻，大范圍波動集中在間隙0～0.1 mm和0.4～0.5 mm處；從動副間隙影響下模態(tài)分布域波動主要集中在機(jī)構(gòu)初始位置和第1連桿30°～50°轉(zhuǎn)動范圍內(nèi)；機(jī)構(gòu)的驅(qū)動轉(zhuǎn)動副和從動轉(zhuǎn)動副同時出現(xiàn)間隙時，機(jī)構(gòu)的第1和第3～第5階模態(tài)固有頻率的分布域波動會大大減弱，幾乎只存在于間隙值0～0.1 mm范圍內(nèi)，只有第2階模態(tài)固有頻率分布域仍然存在明顯的均勻波動，且對第1、2階模態(tài)頻率的波動上下限影響也明顯增大，波動上限增加了5～6 Hz，而對5階模態(tài)頻率的上下限影響與單驅(qū)動副間隙時相比有所降低，分析后判斷是由于多個間隙的耦合使得支鏈的柔度有所增加，機(jī)構(gòu)的高頻振動得到一定抑制，低頻高振幅的振動影響更加顯著，這會使得機(jī)構(gòu)各階固有頻率分布域尤其是第1階的波動次數(shù)明顯降低，但第1、2階波動的幅度會有所提高。

理論模型計算的5階模態(tài)中，第5階模態(tài)對運(yùn)動副間隙較為敏感，在發(fā)生接觸時，頻率波動可達(dá)40～150 Hz，且驅(qū)動副間隙對模態(tài)固有頻率的影響與從動副相比更為顯著；第1～第4階模態(tài)在不同運(yùn)動副間隙特征的影響下波動范圍較小，整體不高于15 Hz。這說明機(jī)構(gòu)在低階工作頻率下具有較好的穩(wěn)定性。

3 結(jié)論

(1)3-RRCPR并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)單個支鏈的驅(qū)動轉(zhuǎn)動副在0°～50°轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)，驅(qū)動轉(zhuǎn)動副出現(xiàn)間隙時，機(jī)構(gòu)的非線性模態(tài)固有頻率會出現(xiàn)較為均勻的時變波動，且在間隙值為0～0.1 mm、0.4～0.5 mm時波動較為明顯；從動轉(zhuǎn)動副出現(xiàn)間隙時，會使機(jī)構(gòu)固有頻率在初始位置和連桿30°～50°轉(zhuǎn)動范圍內(nèi)出現(xiàn)較為頻繁的波動；驅(qū)動副和從動轉(zhuǎn)動副同時出現(xiàn)間隙時，機(jī)構(gòu)第2階之外的模態(tài)固有頻率波動頻繁程度會明顯降低，但是第1、第2階的波動上下限會出現(xiàn)5～15 Hz的變化；機(jī)構(gòu)的第5階模態(tài)固有頻率對運(yùn)動副間隙的敏感度遠(yuǎn)大于第1～第4階，其波動值至多是第1～第4階模態(tài)的數(shù)10倍，這說明在并聯(lián)指向機(jī)構(gòu)某一從動副、驅(qū)動副或兩者同時出現(xiàn)間隙時，機(jī)構(gòu)的1～4階固有頻率數(shù)值不會發(fā)生過大的突變，也說明了在低頻域下運(yùn)轉(zhuǎn)時該機(jī)構(gòu)具有較好的穩(wěn)定性。

(2)本文的研究內(nèi)容可以為所分析的3-RRCPR機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能優(yōu)化、結(jié)構(gòu)共振域分析、故障預(yù)測等供理論分析依據(jù)，也可以為其他復(fù)雜機(jī)構(gòu)的振動模態(tài)建模分析提供一種可行的研究方法和思路。