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        “特殊值”思維在初中數(shù)學(xué)中的作用

        2021-08-02 11:27:10陳潔
        魅力中國(guó) 2021年19期
        關(guān)鍵詞:平分正數(shù)負(fù)數(shù)

        陳潔

        (云南省昭通市威信縣第一中學(xué),云南 昭通 657900)

        “特殊值”是什么意思呢?說(shuō)得準(zhǔn)確點(diǎn)“特殊值”就是特定的值,而“特殊值”思維呢也就是指如果一個(gè)一般性問(wèn)題一時(shí)不易解決,不妨先考慮它的特殊情形,通過(guò)對(duì)特殊情況的研究,從而發(fā)現(xiàn)解決一般性問(wèn)題的方法,這種思維就是“特殊值”思維。

        三十多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯,深深體會(huì)到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的很多問(wèn)題用“特殊值”來(lái)解決作用很大,這對(duì)我們老師和學(xué)生們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題的探究及解決上幫助較大。

        案例1:已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,

        化簡(jiǎn)3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

        很多同學(xué)遇到這樣的題都很難理解,也不容易解決。覺(jué)得很抽象,由圖可知a<0,b<0,c>0,基礎(chǔ)好的同學(xué)還會(huì)觀察到lal>lbl>lcl,但是如何把題目中的絕對(duì)值符號(hào)去掉,就無(wú)從下手了,我們知道去掉絕對(duì)值符號(hào)關(guān)鍵是要確定絕對(duì)值里面的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。該題中的a-b、a+b、c-a、b-c如何確定是正數(shù)還是負(fù)數(shù)呢?用一般思維來(lái)解決就比較復(fù)雜的和抽象,很多學(xué)生都無(wú)法解決,但是用“特殊值”思維就簡(jiǎn)單明了,根據(jù)a<0,b<0,c>0且lal>lbl>lcl,可在其范圍內(nèi)取特殊值(確保a為負(fù)數(shù),b為負(fù)數(shù),c為正數(shù)且lal>lbl>lcl),當(dāng)然取的特殊值為整更好便于計(jì)算,如a=-4,b=-3,c=1, 則 a-b=-4-(-3)=-1;a+b=-4+(-3)=-7;c-a=1-(-4)=5;b-c=-3-1=-4。

        由-1是負(fù)數(shù)可確定a-b為負(fù)數(shù),由-7是負(fù)數(shù)可確定a+b為負(fù)數(shù),由5是正數(shù)可確定c-a為正數(shù),由-4是負(fù)數(shù)可確定b-c為負(fù)數(shù),根據(jù)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)。

        ∴3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

        =-3(a-b)-(a+b)-(c-a)-2(b-c)

        =-3a+3b-a-b-c+a-2b+2c

        =-3a+c

        顯然用“特殊值”思維很容易就去掉了絕對(duì)值符號(hào),把一個(gè)不易解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)容易解決的問(wèn)題——化難為易,這讓同學(xué)們感受到成功的快樂(lè),體驗(yàn)獨(dú)自克服困難,解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,有克服困難的勇氣,增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

        又如:案例2.若-1<x≤2,化簡(jiǎn)lx+1l-lx-2l。

        解析:該題思維一樣,用“特殊值”思維就可搞定,在-1<x≤2范圍內(nèi)取x為0(取的值最好避開(kāi)端點(diǎn)值2),則x+1=0+1=1,x-2=0-2=-2,由于1為正數(shù),所以當(dāng)-1<x<2時(shí)x+1為正數(shù),由于-2為負(fù)數(shù),所以當(dāng)-1<x≤2時(shí)x-2為負(fù)數(shù)。

        ∴l(xiāng)x+1l-lx-2l

        =x+1+(x-2)

        =x+1+x-2

        =2x-1

        如果我們把x的取值范圍改為-2<x<5,化簡(jiǎn)lx+1l-lx-2l時(shí)要先求出零點(diǎn)值,x+1=0,x=-1;x-2=0,x=2,則取值范圍劃分為:-2<x<-1,-1≤x<2,2≤x<5,再分別在其范圍內(nèi)取“特殊值”,如-2<x<-1時(shí)取x=-1.5來(lái)看:x+1=-0.5為負(fù)數(shù),x-2=-3.5為負(fù)數(shù),所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3,當(dāng)-1≤x<2時(shí)取x=0來(lái)看,(取的值最好避開(kāi)端點(diǎn)值-1),x+1=1(正數(shù)),x-2=-2(負(fù)數(shù))

        ∴l(xiāng)x+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

        當(dāng)2≤x<5時(shí)取x=3來(lái)看(取的值最好避開(kāi)端點(diǎn)值2),x+1=4(正數(shù)),x-2=1(正數(shù))

        ∴l(xiāng)x+1l-lx-2l=x+1-(x-2)=3

        如果我們又把x的取值范圍去掉,題目改為化簡(jiǎn)lx+1l-lx-2l,零點(diǎn)值求出來(lái)為-1和2,則x的取值范圍為:x<-1;-1≤x<2;x≥2,分別在各范圍內(nèi)取“特殊值”再討論化簡(jiǎn),當(dāng)x<-1時(shí)不妨取“特殊值”x=-2,則x+1=-1(負(fù)數(shù)),x-2=-4(負(fù)數(shù)),所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3。當(dāng)-1≤x<2時(shí),不妨取“特殊值”x=1,則x+1=1(正數(shù));x-2=-1(負(fù)數(shù)),所以lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1,當(dāng)x≥2時(shí),不妨取“特殊值”x=3(取的值最好避開(kāi)端點(diǎn)值2),則x+1=4(正數(shù));x-2=1(正數(shù)),所以lx+1l-lx-2l=x+1-(x-2)=3。(注:避開(kāi)端點(diǎn)值其目的是判斷其是正數(shù)或負(fù)數(shù),免得值為0時(shí)不能確定其絕對(duì)值是本身還是相反數(shù)。)

        綜上所述:當(dāng)x<-1時(shí),lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=-3

        當(dāng)-1≤x<2時(shí),lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

        當(dāng)x≥2時(shí),lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=3

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,通過(guò)“特殊值”入手進(jìn)行分析,將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易懂的問(wèn)題,增強(qiáng)了同學(xué)們戰(zhàn)勝困難的信心,提高了他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

        “特殊值”思維不但在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中作用較大,在初中平面幾何學(xué)習(xí)中同樣用途也很廣。

        案例4:已知∠MON,在∠MON內(nèi)畫(huà)很多條射線,如果加上∠MON的兩邊OM和ON共有n條射線,問(wèn)圖中共有多少個(gè)角,(①小于平角的角;②用n的代數(shù)式表示;③n≥3。)

        因?yàn)閚不是具體的數(shù)字,所以學(xué)生們理解及解決都很困難,但如果把n給一個(gè)“特殊值”就很簡(jiǎn)單了。

        1.當(dāng)n=3時(shí),如圖(一)所示,一看共有3個(gè)角,分別為∠MOA,∠MON和∠AON。

        又如:

        例5:將兩個(gè)直角三角形紙板,如下圖所示的擺放,∠ACB=∠CED=90°,∠A=∠B=45°,∠ECD=60°,CF平分∠ACE,CM平分∠BCD,求∠FCM的度數(shù)。

        這是一道難度較大的幾何題,求解不易,絕大多數(shù)學(xué)生都難解決,但是我們把圖(一)稍微改變,變成:如圖(二)所示的特殊情形問(wèn)題就好解決了。

        ∴∠FCM=∠FCE+∠BCM

        =45° +30°

        =75°

        但只從這種特殊情況下求得的∠FCM的度數(shù),在圖(一)這種情況下是不是還是75°呢?

        在圖(一)中:∵CF平分∠ACE,CM平分∠BCD

        其是,我們將60°的∠ECD繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度(如圖(三)或如圖(四))在相應(yīng)的情況下求得的∠FCM都等于75°。這種從特殊位置著手分析解決問(wèn)題,變抽象為具體,把不易解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊形式的問(wèn)題來(lái)探究,并且發(fā)現(xiàn)圖(二)的∠FCM等于一個(gè)具體的數(shù)“75°”,這讓同學(xué)們聯(lián)想到其他情況下,這個(gè)∠FCM會(huì)不會(huì)都是“75°”,這揭發(fā)了同學(xué)們探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。

        利用“特殊值”思維來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的情形還很多,由此可見(jiàn)“特殊值”思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中作用很大,它讓同學(xué)們把復(fù)雜抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單特殊的問(wèn)題來(lái)解決。讓學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲,在解決問(wèn)題的過(guò)程中讓他們體驗(yàn)獲得成功的樂(lè)趣。鍛煉克服困難的意志,建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,這樣對(duì)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幫助很大,所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中請(qǐng)我們的老師和同學(xué)們大膽用“特殊值”思維來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,當(dāng)然也要分情況來(lái)看,具體問(wèn)題具體分析,也并不是所有問(wèn)題都能用“特殊值”思維來(lái)解決。

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