謝祖強(qiáng)，倪 永，繆秋蓮

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院 機(jī)械與智能制造學(xué)院，福建 福州 350007)

0 引言

液壓自定心中心架具有定心及重復(fù)定位精度高、夾持范圍大、安裝操作方便等優(yōu)點(diǎn)，是細(xì)長軸類零件加工的理想輔助支撐裝置[1，2]，長期以來，國內(nèi)用戶主要依賴進(jìn)口。近年來，國內(nèi)對(duì)其研究取得一系列成果，在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[3-7]對(duì)中心架關(guān)鍵部件平移凸輪及聯(lián)動(dòng)復(fù)位機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析與設(shè)計(jì)；在制造方面，文獻(xiàn)[8]基于CAXA軟件CAM平臺(tái)用凸輪理論曲線等距平移的方法生成數(shù)控加工代碼，文獻(xiàn)[9]將凸輪實(shí)際廓線坐標(biāo)值導(dǎo)入U(xiǎn)G軟件生成實(shí)體模型及數(shù)控加工代碼對(duì)凸輪進(jìn)行非等徑銑削加工。

1 自定心中心架的工作原理

自定心中心架工作原理如圖1所示。液壓油缸1與箱體3連接，驅(qū)動(dòng)平移凸輪4左、右平動(dòng)，實(shí)現(xiàn)松開、夾緊；活塞2與平移凸輪4、滾輪8(即滾輪E)剛性連接，凸輪廓面與擺桿6上滾輪5接觸，驅(qū)動(dòng)擺桿6繞軸7(O2)旋轉(zhuǎn)，擺桿滾輪10(即滾輪C)、滾輪D與滾輪E形成3點(diǎn)夾持工件。夾持過程中，滾輪C、D、E同步運(yùn)動(dòng)，使被夾持工件9軸心始終保持在O3位置，實(shí)現(xiàn)全程自定心。

1-液壓油缸；2-活塞；3-箱體；4-平移凸輪；5，8,10-滾輪；6-擺桿；7-軸；9-工件

2 平移凸輪廓線的設(shè)計(jì)與分析

2.1 平移凸輪廓線方程

自定心中心架凸輪機(jī)構(gòu)參數(shù)及坐標(biāo)系如圖1所示,其中L=OE,L0=O1O3,L1=O1D,L2=O1A,R為工件半徑，r、r0均為滾輪半徑，δ=φ-α-β。根據(jù)對(duì)稱性，只求凸輪在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)廓線方程。由圖1可得夾持角：

(1)

A點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2)

式(2)中的A點(diǎn)坐標(biāo)即為凸輪理論廓線方程。

根據(jù)包絡(luò)線法原理，自定心中心架凸輪實(shí)際廓線方程是一組以A點(diǎn)為圓心、以r0為半徑圓的內(nèi)包絡(luò)線方程，表達(dá)式為：

(3)

由式(3)整理得凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)際廓線方程為：

(4)

2.2 算例驗(yàn)證

依據(jù)文獻(xiàn)[9]，自定心中心架參數(shù)如下：L0=74.946 mm，L1=L2=74 mm,L=118 mm,φ=171°,β=43.919°,r0=9.5 mm,r=17.5 mm,工件半徑R=[4,50.5] mm,對(duì)應(yīng)夾持角α=[16.580,57.380]°。將上述模型編寫MATLAB程序，得到(xH，yH)坐標(biāo)值，計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后10位。與文獻(xiàn)[9]計(jì)算結(jié)果比較，兩種計(jì)算結(jié)果吻合，驗(yàn)證了公式正確性，凸輪廓線如圖2所示?？梢姡远ㄐ闹行募芡馆喞€為一單調(diào)下降的非圓曲線。

圖2 凸輪廓線曲線

2.3 凸輪廓線曲線分析

(5)

(6)

對(duì)式(3)求一階導(dǎo)數(shù)得：

(7)

式(7)中對(duì)d、e表達(dá)式整理得：

(8)

由式(7)得：

(9)

由式(8)、式(9)得：

(10)

由式(10)知，凸輪理論廓線與實(shí)際廓線斜率相等。

則由式(2)得：

(11)

(12)

由式(11)得：

(13)

3 凸輪廓線等誤差直線逼近

3.1 直線逼近誤差分析原理

圖3 直線逼近弓高誤差

(14)

設(shè)點(diǎn)C(xc,yc)為弦線AB的中點(diǎn)，CM垂直x軸，記：M(x1/2,y1/2)，直線CM與PQ交于N點(diǎn)。作CE⊥PQ，MD⊥CE，xC=x1/2=x0+h，yC=(y0+y1)/2。當(dāng)非圓曲線段在一個(gè)直線逼近步長內(nèi)不存在凹凸性變化時(shí)，弓高誤差δmax=TR=CE=CNcosγ。因直線逼近弦長很小，M和N點(diǎn)非常接近，且CM

δmax≈CD=CMcosγ=|yC-y1/2|cosγ.

(15)

(16)

因此，式(14)為弓高誤差精確計(jì)算公式，式(16)為弓高誤差近似計(jì)算公式，與傳統(tǒng)方法相比[13]，避免了求解復(fù)雜多元非線性方程組，提高了計(jì)算效率。

3.2 等誤差直線逼近算法

當(dāng)非圓曲線用直線逼近時(shí)，如果每一段逼近弓高誤差都相等稱等誤差法。根據(jù)上述分析，對(duì)非圓曲線進(jìn)行直線逼近時(shí)，先找出曲線上所有拐點(diǎn)和端點(diǎn)，將曲線分成若干凹凸區(qū)間，在每個(gè)凹凸區(qū)間上分別用直線逼近。

(1) 給定微段逼近起點(diǎn)α0、增量Δα，計(jì)算：A(xH0,yH0)，B(xH1,yH1)，弦線AB斜率kAB。

(17)

(3) 根據(jù)迭代計(jì)算得到αk+1值，由式(4)得到切點(diǎn)T坐標(biāo)值，由式(14)計(jì)算弓高誤差δmax。

(4) 比較δmax與δy的大小。若δmax>δy，縮小步長：Δα←Δα/2；若δmax<δy，增大步長：Δα←Δα+Δα/2，回到步驟(1)直到|δmax-δy|≤ε，計(jì)算終止。輸出：B(xH1,yH1)且作為下一段逼近起點(diǎn)，α0←α0+Δα作為下一段逼近起始角，回到步驟(1)開始下一段逼近計(jì)算。

(5) 若α0超出[αmin,αmax]，將曲線端點(diǎn)作為終點(diǎn)，計(jì)算終止，輸出逼近點(diǎn)坐標(biāo)值、弦長及弓高誤差。

由式(14)將上述算法編寫MATLAB程序，取ε=1.0×10-7，允差δy=0.001 mm，得到凸輪廓線方程等誤差直線逼近分段坐標(biāo)值及弓高誤差如表1所示，當(dāng)δy=0.001 mm時(shí)，等誤差直線逼近法需要55段直線逼近凸輪廓線方程，逼近弦長在起點(diǎn)處為1.450 12 mm，在終點(diǎn)前一段為1.253 09 mm,其中序號(hào)56已超出夾持角α的范圍，用端點(diǎn)57代替。

表1 等誤差逼近計(jì)算結(jié)果

由式(16)選取相同迭代精度及允差計(jì)算，兩種算法對(duì)應(yīng)弦長差值如圖4所示，可見兩種算法逼近段數(shù)相等，對(duì)應(yīng)每段弦長差值最大為6.313 4×10-5mm，相對(duì)誤差為0.0044%，驗(yàn)證了算法有效性。

圖4 兩種算法計(jì)算弦長差值

4 結(jié)束語

(1) 根據(jù)包絡(luò)線法建立自定心中心架平移凸輪實(shí)際廓線方程，編程計(jì)算并與文獻(xiàn)公式計(jì)算結(jié)果比較，計(jì)算結(jié)果吻合，驗(yàn)證了公式正確性。

(2) 根據(jù)包絡(luò)線法求得的凸輪實(shí)際廓線方程分母含有無理式，直接求導(dǎo)表達(dá)式復(fù)雜，可利用理論廓線求解實(shí)際廓線一階、二階導(dǎo)數(shù)值，以簡化計(jì)算。

(3) 分析非圓曲線直線逼近弓高誤差計(jì)算原理，分別得到精確計(jì)算及近似計(jì)算弓高誤差表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)結(jié)合牛頓迭代法與伸縮步長法的等誤差直線逼近算法。

(4) 針對(duì)中心架凸輪廓線，選取相同計(jì)算精度與弓高允差，用兩種弓高誤差算法對(duì)凸輪廓線進(jìn)行等誤差直線逼近，編程計(jì)算得到凸輪廓線弓高誤差為0.001 mm時(shí)直線逼近點(diǎn)坐標(biāo)。計(jì)算結(jié)果表明：兩種算法逼近直線段數(shù)相等，對(duì)應(yīng)每段弦長差值很小，驗(yàn)證了算法的有效性。用近似計(jì)算弓高誤差的方法，只需求解凸輪實(shí)際廓線方程一階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算更方便。本文研究結(jié)果為中心架凸輪廓線及其他非圓曲線優(yōu)質(zhì)、高效的設(shè)計(jì)與制造提供了理論依據(jù)。