蘇建民，范亞萍，翟彥春，李 強

(1.濰坊科技學院 山東省高校設施園藝實驗室，山東 濰坊 262700；2.濰坊市輕質材料先進制備及成型重點實驗室，山東 濰坊 262700)

0 引言

水平集(level set)的基本思想是將界面看成高一維空間中某一函數(shù)ψ(稱為水平集函數(shù))的零水平集，同時界面的演化也擴充到高一維的空間中。我們將水平集函數(shù)按照它所滿足的發(fā)展方程進行演化或迭代，由于水平集函數(shù)不斷進行演化，因此對應的零水平集也在不斷變化，當水平集演化趨于平穩(wěn)時，演化停止，得到界面形狀。

文獻[1-3]將均勻法應用于拓撲優(yōu)化分析，引入數(shù)學插值的方法將均勻法不斷優(yōu)化，并得到材料的最佳分布和最優(yōu)形狀結構；張衛(wèi)紅等[4]利用隱式水平集函數(shù)建立結構拓撲優(yōu)化的基本特征模型,以柔度最小化為目標,將拓撲優(yōu)化結構轉化為CAD設計域內特征布局和形狀優(yōu)化問題；文獻[5]利用有限元將單元實體離散化，分析了雙線性結構優(yōu)化方法的收斂速度與網格的關系；文獻[6]提出了采用Kirchhoff板單元利用剛度等效理論和最小柔順度為設計目標，利用水平集方法拓撲優(yōu)化薄板加強筋分布理論；文獻[7,8]利用Python編程語言實現(xiàn)了實體模型的拓撲優(yōu)化，并分析了溫度對材料的影響；文獻[9]利用水平集拓撲優(yōu)化方法和最小柔度理論優(yōu)化解決了機構的應力集中問題；文獻[10]針對水平集優(yōu)化過程中的邊界形成進行優(yōu)化，建立了新的拓撲優(yōu)化導數(shù)數(shù)值變化的準則，同時提升了水平集的優(yōu)化速度和收斂速度，減少了運算迭代次數(shù)；文獻[11，12]利用水平集理論結合空間三角形面片法逼近拓撲優(yōu)化后的水平集曲面，利用散點優(yōu)化擬合提取曲線并轉換成G代碼實現(xiàn)數(shù)控編程進行拓撲結構的制造加工；文獻[13，14]提出了將能量法引入水平集理論，將水平集方法進一步提升，并使用反應擴散方程在編程語言中進行進一步驗證。

國內外對水平集的研究中主要是針對單目標、收斂速度的優(yōu)化[15-17]，針對多目標拓撲優(yōu)化設計較少。本文通過擴散反應方程更新水平集函數(shù)方程引入退火算法，結合多個目標函數(shù)建立新的邊界，使優(yōu)化過程中的形狀結構改變通過對目標函數(shù)的約束來實現(xiàn)，并以體積、應力、變形、頻率作為目標進行優(yōu)化，將4個目標控制在一定范圍內，加快優(yōu)化收斂速度，減少優(yōu)化時間。

1 邊界求解

水平集多目標拓撲優(yōu)化是通過求解多目標函數(shù)建立擴散反應方程更新水平集函數(shù)的，從而在結構中生成新的空洞區(qū)域和邊界區(qū)域。本文以兩邊穿孔板(見圖1)為例，平板左端圓孔固定，以體積最小、應力最大320 MPa、變形最大0.5 mm為優(yōu)化目標。帶孔平板具體參數(shù)如表1所示。

表1 帶孔平板參數(shù)

圖1 帶孔平板

根據(jù)改進水平集理論建立數(shù)學模型進行迭代計算，收斂速度較快，迭代40次滿足條件，體積最小為原來的47%，導出16、23、40次的迭代情況，結果如圖2～圖4所示。

圖2 迭代16次體積為原來56%時 圖3 迭代23次體積為原來50%時 圖4 迭代40次體積為原來47%時的模型邊界的模型邊界的模型邊界

通過圖1～圖4我們看到：由于平板左端圓孔固定，迭代開始時右端材料減小較多，同時平板右端出現(xiàn)孔洞，面積較大；隨著迭代的進行，大面積的孔洞開始消融分解向左端固定圓孔延伸，形成分散分布的小面積孔洞；迭代達到40次時平板的優(yōu)化形狀固定，在平板上分布著大小不一的相對規(guī)則的孔洞，此時平板體積為原來的47%。從優(yōu)化開始到結束總共迭代40次，收斂較快，并且優(yōu)化的形狀較為規(guī)則。迭代次數(shù)與體積變化、應力、變形、頻率的關系如圖5～圖8所示。

圖5 迭代次數(shù)與體積變化的關系 圖6 迭代次數(shù)與應力的關系

圖7 迭代次數(shù)與變形的關系 圖8 迭代次數(shù)與頻率的關系

由圖5可知：迭代開始后體積迅速減小，迭代到16次時體積已經減少50%左右，迭代20次后體積減少的曲線變得比較平緩，在后期的20次迭代體積只減少了9%左右，在迭代后期主要進行形狀和結構優(yōu)化分布，由于受到應力、變形和頻率的限制，體積并不會無限制減少，達到原來的47%時體積基本不再減少，迭代停止。

由圖6可知：迭代開始后應力逐漸增加，迭代10次之后增速變大，20次之后應力增加變緩接近水平線。由于體積的減少，受力部分及約束位置應力會不斷增加，迭代20次之后應力已經接近300 MPa，此時應力已經接近本文設置臨界值320 MPa，應力不再大面積調整平板的體積減少，主要是調整形狀和結構來平衡應力分布。

由圖7可知：隨著迭代次數(shù)的增加變形逐漸增大，并且迭代開始時增加較快，前16次的迭代曲線近似于線性變化，變形增加非常快，隨著迭代的深入變形逐漸變得平緩，逐漸靠近目標值0.05 mm。

由圖8可知：隨著迭代次數(shù)的增加預應力下頻率逐漸增大，并且迭代前期比迭代后期增加速度快，前10次的迭代頻率呈線性變化，增加非?？?，隨著迭代次數(shù)的增加曲線逐漸變得平緩，逐漸靠近目標值2 000 Hz，由于平板質量減少頻率逐漸增大，但是同時要受到體積、應力、變形的約束。

通過以上分析可知，在預應力保持不變的情況下，多目標拓撲優(yōu)化時，在體積最小的前提下設置應力、變形和頻率等邊界條件限制，隨著體積的減少應力、變形和頻率都逐漸增大，并且接近極限值時結構體積變化較小，主要進行形狀和結構的排列優(yōu)化。用引入退火算法后的水平集理論同時對4個目標進行優(yōu)化，拓撲優(yōu)化的收斂速度非?？?，只進行了40次迭代。

2 實驗驗證

將最終優(yōu)化的模型按照邊界建模，如圖9所示。導入ANSYS進行網格劃分，如圖10所示。網格質量屬性如表2所示，網格質量屬性非常好。然后進行模擬計算，結果如圖11～圖13所示。

圖9 優(yōu)化模型圖10 網格劃分模型

圖11 優(yōu)化模型的應力分布情況圖12 優(yōu)化模型的變形分布情況圖13 優(yōu)化模型的第1階模態(tài)

表2 網格質量屬性

由圖9～圖13可知:優(yōu)化后的模型體積為137.88 mm3，最大應力為314.8 MPa，最大變形為0.049 406 mm，第1階模態(tài)頻率為1 986.6 Hz。與利用Metropolis準則控制的擴散反應方程更新水平集的多目標拓撲優(yōu)化方法計算結果對比如表3所示。

由表3可知，利用Metropolis準則控制的擴散反應方程更新水平集的多目標拓撲優(yōu)化方法計算數(shù)值與建模分析數(shù)值誤差在2%以內，結果表明新的改進水平集計算數(shù)值完全滿足設計要求。

表3 計算數(shù)值與模擬數(shù)值對比

3 結論

(1) 利用退火算法控制的擴散反應方程更新水平集的多目標拓撲優(yōu)化方法實現(xiàn)體積、應力、變形、頻率多目標同時優(yōu)化收斂速度較快，迭代次數(shù)較少。

(2) 基于退火算法的水平集優(yōu)化過程中體積變化的同時受到應力、變形、頻率的約束，應力、變形、頻率等多個目標在變化過程中不僅受到各自條件的約束，它們之間與體積相互制約，有效地控制了收斂速度與迭代次數(shù)，實現(xiàn)了水平集多目標的拓撲優(yōu)化。

(3) 通過提取退火算法水平集拓撲優(yōu)化模型邊界建模并計算驗證了本文得到的拓撲模型和改進水平集拓撲優(yōu)化方法的有效性，可為水平集多目標拓撲優(yōu)化的改進提供有效依據(jù)。