朱志輝,王 凡,羅思慧,李 奇,蔣麗忠
(1.中南大學 土木工程學院,湖南 長沙 410075;2.中南大學 高速鐵路建造技術國家工程實驗室,湖南 長沙 410075;3.同濟大學 土木工程學院, 上海 200092)
在以往的鋼軌振動研究中,多用格林函數法結合Euler-Bernoulli 梁或Timoshenko 梁理論表示鋼軌的垂向動力學行為,通常假設鋼軌受等效連續(xù)支撐。Remington[1]采用位移導納及傳遞率方法求解軌道作為Euler梁在彈性地基支撐上的解。徐志勝等[2]使用模態(tài)疊加法建立了車輛-軌道垂向耦合振動頻域分析模型,分析了輪軌高頻振動的基本特征。孫文靜等[3-4]用格林函數法分別建立了基于兩層連續(xù)支撐Timoshenko 梁模型和單層離散支撐Euler梁模型的車輛-軌道耦合頻域分析模型,孫宇等[5]基于格林函數法建立了車輛-軌道耦合時域分析模型,但因未考慮扭力,梁模型不能很好地預測鋼軌的橫向響應。格林函數法所建梁模型只能用中性軸代替整個鋼軌截面的位移,且無法準確模擬高頻時的橫截面變形。傳統(tǒng)的3維有限元方法可以考慮剪切變形和橫截面變形的影響,但3維模型的規(guī)模較大,對于需要高頻分析的問題,計算效率低。而短實體模型研究的鋼軌長度有限,不能全面分析鋼軌在各頻率的振動傳遞特性和振型。劉林芽等[6]、吳天行等[7]建立了鋼軌的實體有限元模型,發(fā)現縱向單元長度為0.05 m時才能滿足計算精度。
近年來,一些學者提出了2.5維有限元方法,用于表示具有二維幾何形狀且在第三方向不變的結構。采用二維有限元網格對截面進行建模和常規(guī)形狀函數假設,在垂直截面方向采用波數解。這種方法已被用于研究軌道、薄壁梁[8]、肋板加筋板[9]和汽車輪胎[10]等結構。早期相關工作由Knothe等[11]和Gavric[12]完成,已獲得自由軌道上傳播的自由波。Ryue等[13]利用2.5維有限元和邊界元耦合模型確定了在80 kHz內連續(xù)支撐軌道上傳播的波;Nilsson等[14]計算了在一個點力激勵下連續(xù)支撐軌道的振動和聲輻射。但在這些研究中,邊界條件只包括單層軌道墊支撐。Zhang等[15]建立了多層支撐軌道模型,軌枕采用柔性梁模擬,一定程度上降低了計算效率。
本文基于彈性理論,建立無限長2.5維有限元鋼軌模型,采用荷載等效法模擬離散支撐并求得鋼軌的振動響應。模型考慮了鋼軌幾何斷面和載荷的非對稱性,且只對鋼軌結構進行二維離散,計算效率高。通過與格林函數結果進行對比,驗證了本文模型的正確性。結合分步求解法和柔度矩陣法求解軌道高低不平順引起的垂向動態(tài)輪軌力,運用虛擬激勵法及疊加法快速求得輪軌力功率譜;將虛擬輪軌力施加到離散支撐的2.5維軌道模型上,計算得到輪軌多點接觸工況下的軌道系統(tǒng)隨機振動響應。利用該模型對鋼軌橫截面不同位置、沿鋼軌縱向不同距離、不同墊板剛度下的鋼軌振動響應進行了分析。
單節(jié)移動高速車輛模型考慮為具有二系懸掛的10自由度多剛體模型,如圖1所示,沿軌道以恒定速度v行駛。其中:mc和Jc分別為車體質量和轉動慣量;mt和Jt分別為轉向架質量和轉動慣量;mw為輪對質量;zc和θc分別為車體沉浮和點頭自由度;zti(i=1,2,…,4)和θti(i=1,2)分別為前后轉向架沉浮和點頭自由度;zwi為4個輪對沉浮自由度;kpz和cpz分別為一系懸掛剛度和阻尼;ksz和csz分別為二系懸掛剛度和阻尼;lc為車輛定距之半;lt為轉向架輪對定距之半。
圖1 車軌耦合系統(tǒng)模型
車輛系統(tǒng)運動微分方程可表示為
(1)
式中:MV、CV、KV分別為車輛系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣;UV(t)為系統(tǒng)的位移向量;FV(t)為由軌道不平順隨機激勵產生的車輛動荷載向量。動荷載、動位移可分別表示為
(2)
將式(2)代入式(1)得
(KV+iωCV-ω2MV)UV(ω)=FV(ω)
(3)
頻域內車輛系統(tǒng)車輪位移點的導納可表示為
(4)
式中:AV(xij)為荷載作用在j車輪,所得到i車輪的傳遞導納,AV為一節(jié)車廂在輪對處的導納矩陣。
采用線性赫茲接觸模型來模擬輪軌關系[16],輪軌接觸導納矩陣AC可表示為
(5)
式中:Uδ為輪軌接觸變形位移;kH為接觸彈簧剛度,由輪軌預加載荷和曲率半徑通過赫茲接觸理論得到。
車輛-軌道耦合系統(tǒng)的激勵包含4個輪軌接觸點的激勵,采用疊加法[17]得到輪軌接觸點處車輪和軌道的振動響應UV和Ur,可分別表示為
UV=-AVFV
Ur=-ArFC
(6)
式中:Ar為軌道導納矩陣。
單位簡諧荷載下,離散支撐軌道位置x處的導納Ar(xij)為
(7)
式中:Ar(xij)為荷載作用在j車輪,所得到i車輪處鋼軌的傳遞導納;Ar為在一節(jié)車廂四個輪對處鋼軌的導納矩陣。
輪軌接觸變形位移可表示為
Uδ=UV-Ur-r
(8)
根據柔度矩陣法,以軌道不平順r作為輸入,根據式(4)、式(5)和式(7)結果,得到輪軌力計算表達式為
(9)
采用高效的虛擬激勵法求解輪軌力功率譜。同一軌道不平順譜下,不同輪軸所受激勵的相位不同,激勵可表示為
(10)
式中:Δr(t)為軌道不平順平穩(wěn)隨機激勵的時間歷程函數;n為假設系統(tǒng)所受不同相位激勵點數,n=4m,m為車廂數量。假設Δr(t)的時域自功率譜密度為SX(ω),則由虛擬激勵法可得相應虛擬激勵表達式為
(11)
簡化可得
(12)
空間域功率譜密度函數SX(ω)和時間域功率譜密度函數SX(k)的轉換關系為
SX(ω)=SX(k)/c
(13)
式中:c為波速,m/s;k為激勵空間波數,rad/m。
(14)
(15)
假設鋼軌在y-z平面上的橫截面恒定,沿x方向上材料特性、截面形狀不變,在圓頻率ω上的簡諧運動用隱式時間依賴eiωt假設。將鋼軌視為彈性體,由Hamilton原理得
δU(ω)-δT(ω)-δW(ω)=0
(16)
式中:δ表示一階變分;U和T分別為系統(tǒng)的勢能和動能;δW為結構上的虛功。
將保守力產生體系勢能、體系總動能和非保守力所做功的一階變分代入式(16)得
(17)
式中:ε為材料中的應變振幅;u為節(jié)點位移;ρm為重力密度;f為鋼軌所受外載荷;V對應一個2.5維有限元單元;D為材料剛度矩陣。
應變可用位移表示為
(18)
式中:B0為包含y、z方向的偏導;B1為與x方向偏導有關的參數。位移u和虛位移δu可近似表示為
(19)
式中:N(y,z)為八節(jié)點等參四邊形單元的二維有限元形狀函數。將式(18)和式(19)代入式(17),結構在圓頻率ω的簡諧激勵下的運動方程可表示為[14]
(20)
式中:
采用高斯求積法求解二維截面上的積分。
為了得到波數域內的運動方程,對x坐標進行傅里葉變換
(21)
式中:k為x方向上的波數;~表示波數域中的傅里葉變換性質。將式(20)轉換到波數域可表示為
(22)
鋼軌在單頻率荷載下的位移可通過對k進行積分等到
(23)
當在xe=0處施加幅值為1的單位集中力時,自由鋼軌任意位置x處的位移導納為
(24)
圖2 離散支撐軌道動力學模型
假設軌道受圓頻率為ω的簡諧激勵作用,支撐點i的位移可以表示為[15]
(25)
通過阻抗Z將每個支撐點的力與相應的位移聯(lián)系起來,即
(26)
式中:
(27)
其中:sp為軌道墊線剛度;sb為道砟線剛度。
各點豎向位移可表示為
(28)
在所有支撐點處xj(j=1,…,N)按式(28)進行計算,則可以得到支撐位置處的一組線性方程,求解方程可得支撐點位移,再次利用式(28)求解得到任意位置x處的位移。由此得到鋼軌在外荷載和支撐荷載共同作用下任意位置的位移響應。
聯(lián)立式(15)和式(7),2.5維離散支撐軌道系統(tǒng)響應功率譜可表示為
(29)
根據上述理論,基于Matlab平臺編制了高速列車引起的2.5維有限元軌道高頻振動特性求解程序,主要計算流程如圖3所示。
圖3 計算流程圖
研究表明[18],當輪軌接觸點與軌道邊界的距離不小于10倍軌枕距時,軌道長度對頻響結果影響較小。本文選取131個軌枕離散支撐的軌道模型,以第65個軌枕上方鋼軌及第64個與第65個軌枕跨距中間鋼軌的軌頂中心為單位簡諧荷載作用點,利用2.5維有限元法求解該軌道模型,分別計算得到軌枕上方鋼軌及軌枕跨距中間的原點位移導納。本文選用CHN60鋼軌進行分析,所取參數與文獻[7]一致,鋼軌及軌道支撐參數如表1所示。
表1 CHN60有砟軌道參數
其中鋼軌橫截面包括20個平面8節(jié)點單元,共有99個節(jié)點和297個自由度,鋼軌橫截面網格劃分情況如圖4所示。
圖4 橫截面網格劃分圖
圖5為2.5維有限元法與格林函數法計算結果對比。
圖5 2.5維有限元法與格林函數法結果對比
由圖5可知,頻率80 Hz處出現第一個峰值,此頻率是軌枕和道砟組成的系統(tǒng)的共振頻率;頻率530 Hz處出現第二個峰值,此頻率是軌枕和扣件組成的系統(tǒng)的共振頻率,此時鋼軌和軌枕受墊板剛度影響異相振動;頻率250 Hz處出現1個反共振峰值,這是由于鋼軌受雙層彈簧阻尼結構支撐,軌枕充當了鋼軌的動力吸振器,此處軌枕振幅較大。頻率1 090 Hz和4 210 Hz兩處出現1階和2階“pinned-pinned”共振現象,力作用在軌枕正上方時響應出現最小值;力作用在兩軌枕中間時響應出現峰值,此時鋼軌中的垂向彎曲振動波波長λ分別等于2倍和1倍軌枕間距。
采用Sato高低短波不平順及我國高速鐵路軌道不平順聯(lián)合譜作為輸入[19]。不平順波長小于2 m時采用Sato譜,大于2 m時采用我國高速鐵路軌道譜。軌道結構計算參數如表1所示,車輛采用CRH3型高速動車,計算參數如表2所示。
表2 CRH3車輛參數
車輛軌道定點激勵,軌道不平順以列車運行速度在列車和鋼軌之間移動,形成相對位移激勵,采用虛擬激勵法,在車速為300 km/h時對離散支撐軌道模型進行隨機振動分析。當輪軌接觸點位于軌枕上方及軌枕跨距中間時,兩者除 “pinned-pinned”共振頻率外結果基本相同。以下分析中均假設輪軌接觸點位于軌枕上方,求解車輛-軌道系統(tǒng)垂向隨機振動響應。
圖6為輪軌耦合系統(tǒng)導納幅頻曲線,10~35 Hz低頻段內車輪導納幅值大于鋼軌和輪軌接觸導納幅值,說明在該范圍內車輪導納在輪軌耦合系統(tǒng)的振動響應中起主要影響;35~1 820 Hz中頻段內主要由鋼軌導納決定輪軌耦合系統(tǒng)導納;1 820~5 000 Hz高頻段內輪軌耦合系統(tǒng)導納主要由鋼軌與接觸導納決定。
圖6 輪軌系統(tǒng)導納幅頻曲線
圖7為車輛的車體中心、轉向架、車輪和軌道軌頂中心的振動加速度功率譜。車輪和鋼軌的振動加速度功率譜在低于50 Hz時基本一致,在高頻振動時差別逐漸明顯。由于一系、二系懸掛的減振作用,輪軌力及車輪振動在傳遞至轉向架及車體的過程中存在一定程度上的衰減,并且頻率越高減振效果越好,衰減速率越快。車體在中高頻處均有多個峰值和谷值,其中峰值點與車體的激勵頻率有關,谷值點與車輛的幾何濾波現象有關。
圖7 車-軌系統(tǒng)加速度功率譜
為分析高頻隨機振動對鋼軌橫截面變形的影響,選取鋼軌橫截面5個采樣點進行分析,采樣點選取示于圖4。單位諧荷載作用下鋼軌位移導納結果如圖8(a)所示,共振頻點包括250、530、1 120、3 000、4 210 、4 860 Hz。低于250 Hz時鋼軌截面各部位同相位整體垂向振動,未產生振動變形;250~3 000 Hz內軌底翼緣振幅小于其他部位;高于3 000 Hz時因根部翹曲運動導致軌底彈性變形逐漸顯著,軌底翼緣振幅最大。高于1 200 Hz時鋼軌截面出現全面的變形,不同頻段各采樣點振幅的大小關系為:1 200~3 000 Hz內軌頂>軌底>軌腰>軌頭翼緣>軌底翼緣;3 000~4 210 Hz內軌底翼緣>軌頂>軌底>軌頭翼緣>軌腰;4 210~5 000 Hz內軌底翼緣>軌頂>軌頭翼緣>軌底>軌腰。
圖8(b)為一節(jié)車廂運行下鋼軌橫截面不同點的振動加速度功率譜。低于1 000 Hz時5個采樣點加速度功率譜密度曲線變化一致,高于2 800 Hz時軌腳與其他四點出現明顯差別。4 800 Hz處存在明顯的谷值,各采樣點達到谷值的順序為軌腳、軌頂中心、軌頭腳部、軌腰、軌底中心。45 Hz處加速度功率譜密度最大,此時鋼軌振動最為劇烈。
圖8 x=0處鋼軌橫截面不同位置處響應
車輛-軌道耦合系統(tǒng)的激勵包含4個輪軌接觸點的激勵,因而需計算沿軌道縱向不同距離的鋼軌垂向位移幅值特性,分析鋼軌垂向振動沿鋼軌縱向傳遞過程中的變化。
圖9(a)為單位激勵點一側沿鋼軌縱向不同距離(分別距激勵點0、2.4、17.4、19.8 m)軌頂中心的垂向位移導納,100 Hz以下各截面振動的幅值差別明顯;70~160 Hz和300~1 090 Hz間鋼軌傳遞導納與原點導納的差值逐漸變小,160~300 Hz間差值又顯著增大?!皃inned-pinned”頻率之后鋼軌上出現波的振動,幅值衰減且衰減幅度增大。振動傳遞到距激勵點17.4、19.8 m處時幅值曲線基本吻合,證明已經衰減穩(wěn)定,但是在100~600 Hz因為軌道墊、軌枕和道砟的系統(tǒng)的影響,導致幅值出現較為明顯的振動。低頻振動在傳遞到距激勵點2.4 m幅值已經衰減了20倍左右,傳遞到距激勵點17.4 m衰減了107倍左右,在荷載作用點附近幾跨衰減更明顯。
圖9 軌頂中心沿鋼軌縱向不同距離處響應
圖9(b)為一節(jié)車廂運行下四個輪對處的振動加速度功率譜,低于20 Hz時輪對二和輪對四加速度功率譜略大于輪對一和輪對三,20~50 Hz時輪對一、二、三加速度功率譜略大于輪對四。中頻段四個輪對處的加速度功率譜密度基本相同,1 200~4 100 Hz時輪對二、三振動較輪對一、四劇烈。
為分析不同墊板剛度對鋼軌垂向振動的影響,選取三種不同剛度的墊板(柔性板180 MN/m、半剛性板350 MN/m、剛性板600 MN/m)。
單位諧荷載作用下軌頂中心位移導納結果如圖10(a)所示,190 Hz以下低頻段墊板剛度的影響較小,該頻段特性主要由道砟剛度決定。190~1 090 Hz時隨頻率增加,位移幅值先由一階谷值達到二階峰值,然后逐漸衰減到“pinned-pinned”頻率處,該頻段為墊板剛度主要影響頻段。墊板剛度影響一階谷值和二階峰值大小及頻率,剛度越大,一階谷值和二階峰值越小,兩處頻率越高。二階峰值隨著墊板剛度增加分別為340、480、610 Hz,此時鋼軌和軌枕在墊板剛度作用下異相振動。在“pinned-pinned”頻率處墊板剛度越大,鋼軌的振動幅值越小,但是對該頻率大小沒有影響。1 090 Hz以上高頻范圍保持較好的一致性,在1 110、3 000、4 210、4 860 Hz共振頻率處,墊板剛度越大,對應頻率略大,幅值越大,但是隨頻率增加墊板剛度的影響逐漸減小。墊板剛度對導納在全頻域內產生影響。
圖10(b)為一節(jié)車廂運行下軌頂中心振動加速度功率譜,170 Hz以上墊板剛度對加速度產生影響。170~300 Hz時剛度越大,幅值越大;300~1 090 Hz時剛度越小幅值越大,但是差值逐漸減??;1 090~3 000 Hz時剛度越大,鋼軌振動越劇烈;3 000 Hz后墊板剛度影響變小。
圖10 x=0處不同墊板剛度下軌頂中心響應
(1)本文將2.5維有限元法所建立的離散支撐軌道應用于車軌耦合系統(tǒng)隨機振動過程,將鋼軌視為實體單元,建立離散支撐彈性軌道模型,采用2.5維有限元法及荷載等效法得到全頻域上離散支撐鋼軌任意位置的頻響特性,結合高速CRH3型車輛動力學模型,以真實軌道譜為激勵,使用虛擬激勵法和荷載疊加法快速精確地對軌道結構進行隨機振動分析。
(2)單位諧響應分析中,1 200~5 000 Hz主要產生三種不同形式橫截面變形;振動傳遞到距激勵點17.4、19.8 m處時,在100~600 Hz因為軌道墊、軌枕和道砟的系統(tǒng)的影響,導致幅值出現較為明顯的振動;墊板剛度對導納在全頻域內產生影響。
(3)隨機振動分析中,高于2 80 0Hz軌道結構的橫截面開始明顯變形;低于50 Hz時四個輪對處的振動加速度功率譜密度差別顯著;在170~3 000 Hz墊板剛度對軌道結構振動加速度影響較大。
(4)2.5維有限元法解決了格林函數法不能考慮橫截面變形的問題,包含2.5維離散支撐彈性軌道的模型更加符合實際情況;與3維有限元法相比具有更高的計算效率。隨著列車速度提高,輪軌激振頻率增加,更加符合實際情況且為今后軌道結構高頻振動研究及耦合系統(tǒng)減振降噪提供依據。