李業(yè)學，成 羽，薛金順，王元元

(湖北文理學院 土木工程與建筑學院，湖北 襄陽 410053)

1 研究意義

能源礦產(chǎn)資源對國家社會經(jīng)濟發(fā)展具有重要的戰(zhàn)略意義. 近年來，資源用量增大和儲存量減少之間的矛盾日益突出，能源礦業(yè)開采日漸向地下深部推進，由此引發(fā)的開采安全問題越來越受到業(yè)內(nèi)專家和各級部門的關(guān)注，資源的高效安全開采成為本領(lǐng)域內(nèi)的重要研究課題. 縱觀整個礦業(yè)開采方法中，盡管近年來已經(jīng)提出了諸如流態(tài)化開采的新理論和新方法，但鉆爆法仍然是礦業(yè)開采主要采用的技術(shù)之一. 當根據(jù)需要采用線狀爆源時，產(chǎn)生的爆炸波則為柱面波，柱面波能量一部分用于礦石開采，另一部分則導致結(jié)構(gòu)圍巖損傷. 為確保地下開采的高效性和安全性，除了設計好炸藥的埋設點位和當量外，充分理解柱面波在節(jié)理巖體中的傳播規(guī)律也尤為重要. 查明柱面波的傳播規(guī)律，最大限度利用爆炸柱面波的能量破碎礦體巖石. 由于能量是守恒的，用于破巖的柱面波能量越大，則損傷破壞圍巖的能量就越小，保證高效破巖的同時，有效減小了圍巖坍塌發(fā)生的概率. 查明柱面波的傳播規(guī)律，也能為支護結(jié)構(gòu)設計提供可靠的動力荷載參數(shù)，進而保證圍巖穩(wěn)定性，降低礦難發(fā)生的風險. 因而，探討柱面波在節(jié)理巖體中傳播規(guī)律對高效破巖和資源安全開采有著非常重要的理論意義和很強的工程實用價值.

2 應力波穿過節(jié)理傳播規(guī)律研究進展

采用理論方法探討應力波穿越節(jié)理的傳播規(guī)律，主要需要解決三大問題：

1)應力波傳播理論的研究方法和手段 即建立應力波入射節(jié)理和出射節(jié)理時應力、位移或質(zhì)點速度間的關(guān)系.

2)確定節(jié)理的本構(gòu)關(guān)系 依據(jù)節(jié)理的變形特征，節(jié)理本構(gòu)可能選擇線性本構(gòu)或非線性本構(gòu). 線性本構(gòu)相對簡單，非線性本構(gòu)則不同，可以選擇雙曲線模型(BB模型)、三參數(shù)模型、黏彈性本構(gòu)(如廣義Voiget模型)等.

3)選取節(jié)理邊界條件 已有研究通常采用三類邊界條件，即應力位移均連續(xù)邊界，應力連續(xù)但位移不連續(xù)邊界，應力位移均不連續(xù)邊界.

已有研究在這三方面做的工作詳述如圖1.

圖1 應力波穿過節(jié)理傳播規(guī)律研究進展

2.1 應力波入射節(jié)理的研究方法

探討應力波入射節(jié)理傳播規(guī)律通常采用以下三類研究方法：

2.1.1 特征線法該方法不考慮應力波來回多次的透反射過程，只分析疊加后的總波場，而后導出節(jié)理前后的透反射波.

文獻[1]首次采用特征線法研究了應力波與節(jié)理的相互作用. 該文獻基于位移不連續(xù)體模型，引入非線性單一節(jié)理變形本構(gòu)(BB模型)，采用特征線分析節(jié)理前后波場波速，建立速度對時間的偏微分方程，采用差分法，給出了透反射系數(shù)與節(jié)理參數(shù)間的關(guān)系. 其貢獻不是導出了新的特征線，而是利用現(xiàn)有線性偏微分方程的特征線，解決了應力波入射非線性節(jié)理的傳播問題. 文獻[2]做了類似工作，創(chuàng)新之處在于考慮了應力波加卸載兩個過程，并將加卸載過程的應力波波動方程統(tǒng)一起來，使得利用特征線求解兩個過程的波動問題變成了求解一個波動方程問題，求解過程變得更加簡單.

但文獻[1-2]僅考慮了節(jié)理的非線性變形特征. 事實上，不僅節(jié)理在荷載作用下可以表現(xiàn)非線性特征，而且?guī)r石介質(zhì)也可能表現(xiàn)出很強的非線性特點. 為此，文獻[3]利用Hokstad模型[4]建立了非線性波動方程. 顯然，已有研究基于線性波動方程導出的特征線是不適用的. 為此，文獻[3]導出了非線性方程的特征線相容關(guān)系，并基于該特征線方程，導出了從t到t+1時刻的應力波遞歸方程. 該文獻的創(chuàng)新在于，考慮了巖石與節(jié)理的雙重非線性特征，導出了非線性偏微分方程的新特征線方程.

當節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)不同時，應力波在左右兩側(cè)巖體中傳播的特征線方程也有所不同，為此文獻[5]考慮所謂的“從硬到軟”或“從軟到硬”情況，分別給出節(jié)理左右側(cè)巖體的不同特征線. 特征線的不同之處在于其中的波速參數(shù)不同，依據(jù)新的特征線. 導出了速度波的透反射系數(shù)解析解. 該文獻的創(chuàng)新之處在于導出了應力波入射左右?guī)r體性質(zhì)不同的節(jié)理的特征線方程.

以上研究用特征線方法解決了應力波在單一節(jié)理中的傳播問題，此方法是否也能解決應力波在平行節(jié)理中的傳播問題？文獻[6]經(jīng)過推導得出，應力波疊加后總波場的偏微分方程與經(jīng)典一維波動方程形式一致，特征線方法適用經(jīng)典波動方程，當然也適用于總波場的偏微分方程. 因而，該文獻提出了一個由四條左右行特征線組成的棱形狀特征線模型，基于位移不連續(xù)體模型和線性節(jié)理本構(gòu)，給出了速度遞歸方程. 基于遞歸方程，分析了節(jié)理透反射系數(shù)與節(jié)理剛度、節(jié)理數(shù)量、節(jié)理間距之間的關(guān)系. 該文獻第一次采用特征線法研究應力波穿過平行節(jié)理問題，并提出了一個棱形狀特征線模型.

在棱形狀特征線模型中，波動遞歸方程涉及j+1、j、j-1前后三個時間的質(zhì)點速度，當求解速度波的數(shù)值解時，求解過程相對復雜. 為簡化模型和波動方程的求解，文獻[7]對文獻[6]的特征線進行了修正，提出了修正的特征線方法. 僅保留了棱形狀特征線的上半部分，簡化了特征線模型，建立了由j時間到j+1時間的應力速度遞歸方程. 通過參數(shù)研究，分析了節(jié)理參數(shù)對應力波透反射系數(shù)的影響. 相對文獻[6]的棱形狀特征線，半棱形狀特征線的最大優(yōu)點的是，建立了涉及j、j+1兩個時間點之間的遞推方程，顯然比棱形狀特征模型中三個時間點的遞推方程要簡單得多. 采用半棱形狀特征線，文獻[8-9]考慮節(jié)理存在一定厚度，導出速度和應力的遞推關(guān)系. 盡管該研究探討的是單一薄層介質(zhì)節(jié)理對應力波傳播的影響，但實質(zhì)的研究方法仍然是應力波穿過平行節(jié)理的半棱形狀特征線法，即將半棱形狀特征線引入到應力波穿過有一定厚度節(jié)理的傳播問題，提供了一種利用特征線研究應力波穿過薄層介質(zhì)節(jié)理透反射規(guī)律的方法.

總之，特征線法的優(yōu)點是：對于應力波入射單一節(jié)理問題，能將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組，簡化求解過程；另外，對于成組節(jié)理問題，能有效避開考察復雜的透反射過程而直接關(guān)注總波場，進而探討應力波穿過節(jié)理的傳播規(guī)律，而缺點是分析斜入射問題困難很大.

2.1.2 時域遞歸法該方法分別建立穿過節(jié)理和傳播在節(jié)理之間巖體的速度遞歸方程，進而導出透反射波的波動方程.

文獻[10]提出了一種求解節(jié)理兩壁法向、切向的應力和速度的方法，即為時域遞歸法. 基于波前動量守恒定律，利用三角形微單元體，考慮該問題是一個平面應變問題，導出P波和S波入射線性節(jié)理時節(jié)理兩壁的法向切向的應力和速度. 基于位移不連續(xù)體模型和節(jié)理線性本構(gòu)，探討了應力波穿過單一節(jié)理的傳播規(guī)律. 該文獻首次提出了時域遞歸法，并采用時域遞歸法探討了應力波入射線性變形節(jié)理問題.

采用時域遞歸法，依據(jù)研究問題的不同，可引入線性、非線性、黏彈性本構(gòu)和摩爾庫倫模型等. 因此，大量學者基于時域遞歸法，并引入不同本構(gòu)關(guān)系，探討了應力波以任意角入射各類節(jié)理的傳播規(guī)律. 文獻[11]基于時域遞歸法，法向引入非線性本構(gòu)(BB模型)，導出了應力P波在非線性法向變形節(jié)理中傳播的波動方程. 文獻[12]考慮節(jié)理在切向方向滑移前后兩種情況，引入摩爾庫倫模型和線性本構(gòu)，建立了可以考慮裂縫面法向開合和切向相對滑移的應力波斜入射時域遞歸方程組. 文獻[13]考慮了節(jié)理的黏彈性變形特征，引入Maxwell和Kelvin模型，建立了位移與速度的矩陣方程，研究單一黏彈性節(jié)理對應力波傳播的影響. 文獻[14]也考慮節(jié)理的黏彈性變形特征，但為了更加符合實際變形特征，法向單元采用Kelvin-Voigt模型串聯(lián)一個彈簧，建立了對應的時域遞歸方程. 總之，已有研究基于時域遞歸法，研究了應力波穿過各類單一節(jié)理的傳播問題，取得了豐碩的研究成果.

以上研究考察的是單一節(jié)理對應力波傳播的影響. 而當應力波入射一組節(jié)理時，由于多重透反射使得問題變得異常復雜. 文獻[15]認為，在總波場中，節(jié)理前總存在左行P波、S波和右行P波、S波，節(jié)理后總存在左行P波、S波和右行P波、S波，一共8個波形. 為此，要導出節(jié)理前后法向和切向的應力和速度，需分別導出8個波形在節(jié)理前后各自產(chǎn)生的應力和速度，而后線性疊加. 采用時移函數(shù)、位移不連續(xù)體模型及線性本構(gòu)，導出了以矩陣形式表達的應力波動方程. 該研究與文獻[10]的思路基本相同，但由于節(jié)理前后的應力波不同，最終導致節(jié)理前后的應力不同. 文獻[15]不僅解決應力波穿過一組節(jié)理問題，而且提出一種研究類似問題的修正時域遞歸法. 文獻[16]利用修正時域遞歸法，探討了含薄層介質(zhì)的應力波傳播問題，導出應力波斜入射多條含充填介質(zhì)平行節(jié)理的透反射系數(shù)，并分析節(jié)理閉合度與透反射系數(shù)間的關(guān)系.

以上研究探討了平面波，文獻[17]考慮柱面波入射線彈性節(jié)理，修正了已有的時域遞歸法. 與平面波平行入射節(jié)理不同的是柱面波呈放射狀入射節(jié)理，入射線間存在一定夾角. 因而，在求解節(jié)理面法向、切向應力時，柱面波的時域遞歸法與已有平面波的時域遞歸法存在差異. 為此，借鑒平面波入射節(jié)理的研究思路，并考慮柱面波與平面波的差異，文獻[17]選取微小三角形單元體，分別求出柱面入射波、反射P波、S波和透射P波、S波等五種波在節(jié)理左右分別產(chǎn)生的應力，而后疊加出節(jié)理左右兩側(cè)的法向切向應力，并求出對應質(zhì)點合速度. 引入線性位移本構(gòu)，建立柱面波穿過節(jié)理面的遞歸方程，研究了波源和節(jié)理的水平距離、垂直距離以及無量綱節(jié)理剛度對透反射系數(shù)的影響. 該文獻最大的貢獻是建立了柱面波的遞歸方程.

總之，時域遞歸法的主要優(yōu)點有：1)可研究以任意角度入射節(jié)理的P波和S波傳播問題；2)可在研究中采用現(xiàn)有的任何一種節(jié)理本構(gòu)，如線性節(jié)理本構(gòu)，非線性節(jié)理本構(gòu)(BB模型)和黏彈性節(jié)理本構(gòu)(Maxwell模型和Kelvin模型及其對應廣義模型)；3)可分析應力波穿越單一節(jié)理和節(jié)理組的傳播問題. 不足之處在于：當入射角超過臨界角，此時產(chǎn)生了界面波，該方法不再適用.

2.1.3 虛擬波源法和等效介質(zhì)法等效介質(zhì)法等效節(jié)理巖體為一個完整巖體，力學參數(shù)也對應等效，而后借鑒已有應力波理論求解透反射波. 虛擬波源法在每個節(jié)理處虛設一個波源，當入射波到達該節(jié)理時虛擬波源產(chǎn)生對應的透反射波，透反射波先后到達節(jié)理前后壁，分別疊加節(jié)理后壁的透射波、節(jié)理前壁的入射波和所有反射波，導出最終的透反射波. 一般情況下，等效介質(zhì)法和虛擬波源法被聯(lián)合使用.

應力波穿越節(jié)理時，發(fā)生多重透反射且伴隨波型轉(zhuǎn)換現(xiàn)象. 為了避免直接考察復雜的透反射和疊加過程，早期研究中學者們通常采用等效介質(zhì)法，主要思路是借鑒巖石損傷力學的Lemaitre等效應變假設，將含一組節(jié)理的巖體等效成各向同性、均質(zhì)的線彈性體，計算等效參數(shù)，如等效彈性模量、等效節(jié)理剛度等. 利用已有的線性研究成果，導出應力波通過不同類型節(jié)理時的透反射系數(shù). 文獻[18]利用等效介質(zhì)法研究了非線性變形節(jié)理對應力P波傳播的影響規(guī)律. 將非線性變形節(jié)理等效為線性變形節(jié)理，通過對雙曲線模型中的d求導，得到非線性節(jié)理剛度，將非線性節(jié)理剛度作為線性變形節(jié)理的等效節(jié)理剛度代入L. J. Pyrak-Nolte的研究成果，導出縱波垂直入射的透反射系數(shù). 文獻[19]開展了類似研究，通過引入分形損傷變量，將分形節(jié)理剛度等效為線性節(jié)理剛度，代入縱波穿過線性節(jié)理的透反射系數(shù)公式，得到了考慮粗糙度影響(以分形維數(shù)描述)的透反射系數(shù)解析解. 等效介質(zhì)方法有效避免了考慮應力波的復雜傳播過程，通過等效假定簡潔地導出應力波入射各類節(jié)理的透反射系數(shù).

然而，文獻[20]研究表明，應力波在一個節(jié)理巖體的傳播，不僅有波幅值的衰減而且還有時間的滯后，該現(xiàn)象和應力波通過廣義Voiget模型介質(zhì)的情況非常相似，而與采用彈性體等效方法得出的結(jié)論存在一定偏差. 另外，將不連續(xù)巖體簡化為一個彈性介質(zhì)，忽略了節(jié)理巖體的頻率相關(guān)性和離散性，即沒有考慮應力波在節(jié)理之間的多次反射，導致最終計算出的結(jié)果與實際情況相差甚遠. 為此，文獻[21]采用廣義Voiget模型，將一組平行節(jié)理巖體等效為黏彈性體，并提出了虛擬波源概念來考慮應力波在節(jié)理間的多重透反射和疊加現(xiàn)象，進而探討應力波穿過平行成組節(jié)理巖體的透反射規(guī)律. 該文獻建立了應力波在等效黏彈性體中的傳播方程，給出了節(jié)理處虛擬波源產(chǎn)生的新波的波動方程，并與應力波通過單一彈性節(jié)理的透射方程比較，確定了波動方程中的頻率相關(guān)性和波幅值的衰減性參數(shù)，由此反過來確定黏彈性等效體中的彈性模量和黏滯系數(shù)，給定了節(jié)理巖體動態(tài)的一維等效介質(zhì)模型. 為了驗證模型的正確性，采用傅里葉變換和逆變換，文獻[21]分別與采用特征線求解的應力波入射一組平行節(jié)理和任意角入射節(jié)理的透射波進行了比較，兩種情況下的透射波與基于文獻[21]模型求解的透射波吻合很好.

在文獻[21]提出的虛擬波源法中，每個虛擬波源代表節(jié)理及節(jié)理間的一段完整巖體. 事實上，該文獻引入虛擬波源的目的是解決應力波在節(jié)理間多重透反射問題，而導致透反射的原因是巖體中存在的節(jié)理，而不包括節(jié)理間的完整巖體. 鑒于此，文獻[22]修正了虛擬波源法，指定虛擬波源僅存在于節(jié)理處，表示節(jié)理力學性質(zhì)，當入射波經(jīng)過節(jié)理時，虛擬波源激發(fā)兩個新波，一個透射波，一個反射波，可由穿過節(jié)理的應力波乘以透反射系數(shù)得到，這些生成的新波也發(fā)生類似的透反射. 基于提出的修正虛擬波源法，文獻[22]給出了應力波正入射一組平行節(jié)理時的透射波方程. 在研究應力波正入射節(jié)理透射波方程的基礎上，文獻[23]進一步利用虛擬波源法探討了應力波斜入射一組平行節(jié)理后的透射波方程，并修正Gu，et al[24]的研究成果，給出了應力波穿過各類節(jié)理(線性節(jié)理、非線性節(jié)理及黏彈性節(jié)理)的透反射系數(shù). 在推導過程中，文獻[23]再次對虛擬波源概念進行了修正，虛擬波源仍然存在節(jié)理處，不同的是，應力波經(jīng)過節(jié)理時，虛擬波源將產(chǎn)生四個新波，分別是透射P波、S波和反射P波、S波. 這四個波可由穿過節(jié)理的應力波乘以相應系數(shù)得到，采用傅里葉變換輸入一個頻域形式的正弦波，得到各個虛擬波源激發(fā)的透射波，而后疊加先后到達巖體右端所有透射波，經(jīng)過傅里葉逆變換，得到時域形式的透射波.

等效介質(zhì)法與虛擬波源法的聯(lián)合方法，其優(yōu)點是能有效借鑒已有研究成果并清晰考慮應力波透反射過程，其缺陷是需要進行復雜的傅里葉變換和傅里葉逆變換.

2.2 節(jié)理本構(gòu)關(guān)系

節(jié)理變形特征對應力波的傳播影響很大. 節(jié)理變形表現(xiàn)出線性特征、非線性特征及黏彈性特征等. 為描述上述變形特征，已有研究給出了不同的節(jié)理本構(gòu)，包括線性本構(gòu)、BB模型和黏彈性模型.

2.2.1 線性變形節(jié)理本構(gòu)早期的研究工作中，考慮應力波入射能量較小，與節(jié)理作用時，節(jié)理處于線性變形狀態(tài). 文獻[25]通過引入線性變形本構(gòu)，給出了應力波穿越線性變形節(jié)理時透反射系數(shù)的解析解. 文獻[26]也研究了應力波與以節(jié)理剛度系數(shù)描述的線性滑移巖石界面間的相互作用，給出了其透、反射波波幅的一般表達式. 分析認為，應力波垂直入射界面時，巖石界面的節(jié)理剛度對應力波傳播的影響顯著，巖石界面對應力波具有高頻濾波作用. 類似的研究還有文獻[27]，該文獻采用特征線法，引入節(jié)理線性變形本構(gòu)，研究了裂縫面的合并-張開行為對P波垂直入射巖石節(jié)理時傳播規(guī)律的影響，驗證發(fā)現(xiàn)考慮裂縫張開行為時得到的波動傳播規(guī)律更加符合實際情況. 文獻[12]根據(jù)波前動量守恒定律，結(jié)合裂縫面變形破壞特征，在切向和法向分別引入線性本構(gòu)，建立了可以考慮裂縫面法向開合和切向相對滑移的應力波斜入射時域遞歸方程組，并論證了其正確性.

以上研究通常假定節(jié)理厚度為0，在自然節(jié)理中，相比波長而言，有些節(jié)理厚度比較大. 為了考慮節(jié)理厚度及充填介質(zhì)對應力波的影響，文獻[9]將含充填介質(zhì)的結(jié)構(gòu)面等效為一個單元、結(jié)構(gòu)面左右的兩個完整巖體等效為另外兩個單元，由此提出了一個三單元模型. 兩個界面的邊界條件采用位移不連續(xù)體模型，基于特征線法和線性節(jié)理本構(gòu)，建立了一維P波在含充填結(jié)構(gòu)面巖體中的傳播方程，探討了充填介質(zhì)及其厚度對節(jié)理剛度和彈性模量影響.

以上研究僅探討了應力波在一維和二維節(jié)理中的透反射問題，沒有全面分析三維節(jié)理線性本構(gòu)方程中的交叉耦合剛度系數(shù)項對應力波傳播的影響. 為此，文獻[28]假定節(jié)理發(fā)生線性變形，基于細觀接觸理論分析了巖石三維節(jié)理的應力-變形本構(gòu)方程一般形式，探討了平面諧波與三維節(jié)理面上的變形與應力之間的變化規(guī)律，并引入位移不連續(xù)體模型，給出P波、SV波與SH波在三維節(jié)理面上透反射系數(shù)的解析解.

2.2.2 BB模型以上探討的是線性變形節(jié)理對應力波傳播的影響，然而當入射節(jié)理的應力波能量很大時，節(jié)理一般產(chǎn)生非線性變形，繼續(xù)在非線性問題中采用線性本構(gòu)可能是不合適的. 文獻[19]通過對應性原理，引入分形損傷本構(gòu)，將非線性變形節(jié)理等效為線性變形節(jié)理，采用位移不連續(xù)體模型，間接地分析了P波正入射非線性變形節(jié)理時的透反射規(guī)律，探討了節(jié)理面分形維數(shù)對應力波透反射系數(shù)的影響. 該研究采用的等效方法是一種間接方法，直接采用非線性節(jié)理本構(gòu)揭示其非線性變形特征更為合適. 為此，文獻[29]提出了一種非線性節(jié)理本構(gòu)關(guān)系，即雙曲線模型(BB模型)，文獻[1]引入BB模型作為法向節(jié)理本構(gòu). 為了避免復雜的波型轉(zhuǎn)換導致求解困難，文獻[1]僅考慮P波正入射節(jié)理情形，從理論上導出了應力波偏微分方程，并采用差分法得到了透反射系數(shù)的數(shù)值解.

然而，BB模型是在靜態(tài)或準靜態(tài)條件下獲得的法向節(jié)理本構(gòu)關(guān)系. 顯然，采用靜態(tài)本構(gòu)研究動態(tài)荷載作用下的節(jié)理變形是不適宜的. 為此，文獻[30]通過一系列準靜態(tài)和動態(tài)試驗，測試節(jié)理的閉合響應，建立考慮加載速率影響的動態(tài)BB模型，通過數(shù)值分析給出了P波穿過該節(jié)理時透反射系數(shù)的解析解. 文獻[31]也研究了常用的BB模型，發(fā)現(xiàn)此模型存在固有的數(shù)學缺陷，為了修正這一問題，通過重新定義并引入最大允許閉合量，提出了一個三參數(shù)節(jié)理本構(gòu)模型——改進的巖石節(jié)理彈性非線性法向變形本構(gòu)關(guān)系. 文獻[32]基于改進的節(jié)理本構(gòu)，分析了P波在節(jié)理巖體內(nèi)的傳播規(guī)律，研究了應力波與節(jié)理的相互作用.

在探討正入射非線性變形節(jié)理的基礎上，斜入射非線性變形節(jié)理問題也受到廣泛關(guān)注. 文獻[11]在借鑒時域遞歸法基礎上，法向采用非線性節(jié)理本構(gòu)(BB模型)，切線仍然采用線性本構(gòu)，探討了非線性變形節(jié)理對斜入射應力波的影響，分析了非線性節(jié)理剛度、應力波入射角和入射波幅值等因素對縱波傳播的影響規(guī)律. 類似的研究還有文獻[33].

2.2.3 黏彈性節(jié)理本構(gòu)模型應力波以任意角度入射一般非線性變形節(jié)理時，采用BB模型能較好地反映節(jié)理變形特征. 當入射含有充填介質(zhì)的較厚節(jié)理，節(jié)理變形表現(xiàn)出一定黏彈性，采用Maxwell模型、Voigt模型或多個元件的串并聯(lián)模型比較合適. 文獻[34]采用連續(xù)分段直線近似BB模型，將每段直線的首末端點落在BB曲線上，每段應力應變關(guān)系采用廣義Voigt模型，結(jié)合特征線法，引入等效介質(zhì)概念，導出了等效模型的相關(guān)參數(shù)，給出了速度波和透反射系數(shù)的理論解. 文獻[13，35]也開展了類似研究，即以位移不連續(xù)體模型作為邊界條件，分別采用Kelvin模型和Maxwell模型描述節(jié)理的黏彈性變形性質(zhì)，基于時域遞歸法分析節(jié)理兩壁的正應力和切應力，探討了節(jié)理參數(shù)對應力波透反射系數(shù)的影響.

2.3 節(jié)理邊界條件

節(jié)理邊界條件選擇也是應力波傳播規(guī)律研究中的重要一環(huán). 現(xiàn)有研究中，節(jié)理邊界條件有三種，即應力和位移連續(xù)邊界、位移不連續(xù)體邊界和應力位移均不連續(xù)邊界.

2.3.1 應力和位移連續(xù)邊界在完好粘接界面模型、弱連接界面模型和接觸界面模型中，法向應力和位移連續(xù). 通過這一邊界條件，已有研究由淺入深開展了大量研究.

為研究地震波在節(jié)理中的傳播，文獻[36-37]提出了完好粘接界面模型，即假定兩界面粘接完好，應力波通過節(jié)理面的應力連續(xù)、節(jié)理兩壁的位移連續(xù)，且節(jié)理兩壁不存在相對滑移. 顯然，完好粘接界面模型是一個非常理想化的模型. 事實上，自然界中的天然巖體節(jié)理并不如同上述模型假設那樣粘接完好，而是一個連接左右完整巖體的一個軟弱界面. 當小波幅應力波通過光滑軟弱界面時，節(jié)理面上法向應力和位移連續(xù)，波動方程是一個線性偏微分方程，依據(jù)已有數(shù)理方程理論可以求解. 文獻[38]利用上述邊界條件導出了聲波通過節(jié)理面的透反射系數(shù)解析解. 然而，經(jīng)過億萬年成巖和地質(zhì)侵蝕作用形成的節(jié)理兩壁必然粗糙. 當能量較大的應力波入射粗糙節(jié)理面時，節(jié)理兩壁部分分離或摩擦滑移，求解過程中必須將節(jié)理面分為粘結(jié)區(qū)、分離區(qū)、滑移區(qū)，而后分別給出邊界條件并各自求解[39]. 上述問題比較復雜，為了簡化問題，文獻[40]考慮應力波能量很大，節(jié)理面所有點均能克服摩擦作用發(fā)生相對滑移，此時法向應力和位移連續(xù)，切向應力等于摩擦角的正切值與法向應力的乘積. 利用簡化后的邊界條件，文獻[41]給出透反射系數(shù)解析解，并提出了節(jié)理面滑移的判斷準則.

2.3.3 應力不連續(xù)位移不連續(xù)邊界隨著研究的深入，人們逐漸認識到，在某些條件下，位移不連續(xù)體模型作為邊界條件與實際邊界上的應力、位移特征不符. Zhu等[49]指出，位移不連續(xù)體模型適用于充填介質(zhì)密度相對于巖石密度可忽略的節(jié)理，而對于較厚的軟弱充填介質(zhì)，如飽和黏土和砂土等，邊界條件應采用位移不連續(xù)和應力不連續(xù)邊界. 文獻[49]分別給出了采用Kelvin模型和Maxwell模型時的應力不連續(xù)位移不連續(xù)邊界條件；文獻[35]基于應力和位移皆不連續(xù)邊界，針對充填節(jié)理的黏彈性特性，建立P波和S波斜入射單個充填節(jié)理的頻域形式的透反射系數(shù)方程組. 通過數(shù)值計算和參數(shù)分析，進而討論入射角、入射波頻率以及節(jié)理剛度等參數(shù)對應力波斜入射充填節(jié)理時的透反射影響.

3 研究評述

理論研究方面，已有研究采用了特征線法、時域遞歸法、等效介質(zhì)法和虛擬波源法，基于位移應力連續(xù)邊界、位移不連續(xù)邊界及位移應力均不連續(xù)邊界，結(jié)合線性節(jié)理本構(gòu)、BB模型和黏彈性節(jié)理本構(gòu)，并假定節(jié)理左右?guī)r體性質(zhì)完全相同，探討了平面應力波穿過單一節(jié)理、平行節(jié)理及兩條交叉節(jié)理的透反射問題，導出了應力波在節(jié)理巖體中的透反射系數(shù)解析解，引入初值條件，分析節(jié)理參數(shù)(節(jié)理剛度、節(jié)理間距、節(jié)理數(shù)量、節(jié)理充填介質(zhì))對透反射系數(shù)和能量的影響. 相關(guān)研究也初步涉足了柱面波穿過節(jié)理的傳播規(guī)律，探討了單一節(jié)理對柱面波透反射系數(shù)的影響. 上述研究由淺入深地探討了節(jié)理巖體中應力波的透反射問題、能量耗散規(guī)律等，在應力波理論應用于地下礦產(chǎn)資源的安全開采等方面做了大量理論研究工作.

已有研究大量探討了平面波問題. 事實上，自然界中并不真正存在平面波. 當柱面波傳播至遠場時，圓柱形波陣面可近似看成平面，柱面波可簡化為平面波. 也就是說，平面波是柱面波傳播至遠場時為研究問題方便而作的簡化，這樣簡化所得出的結(jié)論也可能是不準確的. 因而，直接探討柱面波在節(jié)理中傳播問題能導出更精確的解析解. 從實際工程需求層面來看，在礦業(yè)開采中，最關(guān)注的問題是如何利用爆炸波能量高效破巖和防止爆破能量損傷結(jié)構(gòu)圍巖，此時研究的范圍仍是柱面波的近場區(qū)域，柱面波在近場傳播時不能近似為平面波. 因而，探討近場中柱面波傳播才能有效解決礦業(yè)開采中的實際工程問題.

另外，已有研究通常假定節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)相同，將節(jié)理簡化為簡單節(jié)理. 因而，應力波入射節(jié)理前后的入射角、反射角、透射角相等，這很大程度上簡化了應力波在節(jié)理巖體中傳播問題. 事實上，天然節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)存在差異，通常是復雜節(jié)理，應力波入射復雜節(jié)理時入射角和透射角不再相等，波存在折射現(xiàn)象，這使得波在節(jié)理中的傳播問題更加復雜. 顯然，簡單節(jié)理是自然界中復雜節(jié)理的簡化和特例. 因此，柱面波在復雜節(jié)理中的傳播問題是平面波在簡單節(jié)理中的傳播問題的深化和延拓，相比已有研究，探討柱面波在復雜節(jié)理中的傳播規(guī)律所導出的速度波和透反射系數(shù)更具有一般性和普適性.

從已有研究可以看出，未來一定時期內(nèi)，應力波在節(jié)理巖體中傳播涉及如下亟待解決的問題：考慮折射對速度波和透反射系數(shù)的影響，探討柱面P波、S波斜入射單一復雜節(jié)理巖體(節(jié)理左右兩側(cè)巖體性質(zhì)不同的節(jié)理巖體)的傳播規(guī)律，從理論上導出速度波和透反射系數(shù)；在修正時域遞歸法的基礎上，探討柱面P波、S波斜入射一組平行復雜節(jié)理的傳播規(guī)律，給出速度波和透反射系數(shù)；借鑒柱面波斜入射平行復雜節(jié)理的研究思路，導出柱面P波、S波斜入射含充填介質(zhì)復雜節(jié)理的速度波和透反射系數(shù)；探討P波、S波穿過交叉節(jié)理巖體的傳播規(guī)律，導出其透反射系數(shù).