劉默斯，孫志媛，李明珀，竇騫

(廣西電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，廣西南寧 530023

電力系統(tǒng)低頻振蕩是指系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)中并列運(yùn)行的同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子間發(fā)生相對(duì)搖擺導(dǎo)致系統(tǒng)中出現(xiàn)功率、電壓等電量振蕩的現(xiàn)象。低頻振蕩一旦發(fā)生，將持續(xù)較長(zhǎng)一段時(shí)間才消失，嚴(yán)重威脅電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，可能造成大規(guī)模停電[1]。研究電力系統(tǒng)低頻振蕩的目的，就是要分析系統(tǒng)是否存在著弱阻尼振蕩模式，并在系統(tǒng)中有弱阻尼震蕩模式時(shí)，采取措施增強(qiáng)這些模式阻尼，以減少發(fā)生振蕩可能，或者在產(chǎn)生振蕩時(shí)，使其能盡快地平息振蕩。

用于低頻振蕩模態(tài)辨識(shí)的信號(hào)處理方法有：傅里葉變換法、卡爾曼濾波法[2]、Prony法[3]以及HHT法[4]等。傅里葉變換對(duì)所處理的信號(hào)要求較高，當(dāng)信號(hào)不滿足絕對(duì)可積的條件時(shí)，傅里葉變換將無能為力，同時(shí)，傅里葉變換的時(shí)頻窗口是固定的，這樣不利于對(duì)信號(hào)不同頻率成分進(jìn)行分析，無法反映低頻振蕩模態(tài)的阻尼特性?？柭鼮V波法存在反映不出低頻振蕩阻尼衰減特性的缺點(diǎn)，極大地限制在低頻振蕩分析領(lǐng)域的發(fā)展。HHT方法是一種自適應(yīng)的時(shí)頻分析方法，可根據(jù)信號(hào)本身的局部時(shí)變特性進(jìn)行自適應(yīng)分解，不僅可以得到很高的時(shí)頻分辨率，還具有很好的時(shí)頻聚集性。然而，HHT方法缺乏堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，其中EMD分解過程中存在諸多不確定因素，嚴(yán)重影響了該方法在低頻振蕩模態(tài)辨識(shí)中的可靠性。

Prony算法作為一種信號(hào)處理方法，用指數(shù)函數(shù)的線性組合來擬合等間隔采樣數(shù)據(jù)，并能擬合出該數(shù)據(jù)的振蕩幅值、頻率、衰減因子和相位，辨識(shí)結(jié)果具有很高的準(zhǔn)確性。但Prony算法的精度受信號(hào)噪聲影響很大[5]，為此，研究者們開展了大量的研究工作以期找到一種具有良好的抗噪效果的方法。本文提出了基于改進(jìn)閾值和閾值函數(shù)的小波去噪方法。最后經(jīng)過仿真實(shí)驗(yàn)證明本文提出的改進(jìn)小波閾值算法的優(yōu)越性。

1 Prony算法簡(jiǎn)介

法國(guó)數(shù)學(xué)家Prony提出，可以用指數(shù)函數(shù)的一個(gè)線性組合來描述等間距采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，形成能估算給定信號(hào)頻率、衰減、幅值和初相的算法。

Prony算法是提取平穩(wěn)振蕩模式的常用算法。利用時(shí)域計(jì)算法對(duì)給定的運(yùn)行方式和敏感故障形態(tài)進(jìn)行時(shí)域穩(wěn)定計(jì)算，得到發(fā)電機(jī)相對(duì)功角曲線或聯(lián)絡(luò)線功率變化曲線等，對(duì)所得曲線進(jìn)行Prony分析可以得出曲線的各構(gòu)成頻率及其相應(yīng)阻尼比等較豐富的信息，從而計(jì)算人員可以方便地知道某些需要重點(diǎn)關(guān)注的振蕩模式的阻尼比是否滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性運(yùn)行標(biāo)準(zhǔn)。

Prony算法針對(duì)等間距采樣點(diǎn)，假設(shè)模型是由一組p個(gè)具有任意幅值、相位、頻率與衰減因子的指數(shù)函數(shù)的線性組合，其離散時(shí)間的函數(shù)形式為[6]：

(1)

(n=0,1,…,N-1)

式中，Ai為幅值；θi為相位；αi為衰減因子；fi為振蕩頻率；Δt為采樣間隔。N為采樣個(gè)數(shù)。

(2)

(3)

(4)

(5)

將(5)式代入(4)中可得：

(6)

做如下定義：

(7)

(8)

(9)

擴(kuò)展Prony方法的主要步驟可以敘述如下：

(10)

用奇異值分解的方法確定矩陣R的有效秩P以及系數(shù)a1,…,ap的總體最小二乘估計(jì)。

③將指數(shù)模型式(1)簡(jiǎn)化為未知參數(shù)bi的線性方程，用矩陣形式表示為：

(11)

利用上式計(jì)算參數(shù)b1,…,bp。

④當(dāng)系數(shù)b1,…,bp和z1,…,zp求出后，便可用下式計(jì)算幅值A(chǔ)i、相位θi、頻率fi和衰減因子αi：

(12)

在對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理時(shí)，可以更有效地降低噪聲信號(hào)的影響，從而提高Prony算法辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[7]將平滑濾波算法與Prony算法相結(jié)合，并采用插值算法以提高采樣率。該算法在一定程度上提高了Prony算法的抗干擾能力和精度，但該算法靈敏度低，對(duì)偶然出現(xiàn)的脈沖性干擾的抑制作用較差。文獻(xiàn)[8]采用小波閾值去噪，可以抑制噪聲，但是文中采用的閾值是固定閾值，去噪的效果有待進(jìn)一步提高。文獻(xiàn)[9]提出了一種用于Prony算法的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方案及幅相補(bǔ)償方法：首先仿照周期信號(hào)濾波要求設(shè)計(jì)了模擬濾波器，針對(duì)模擬濾波器造成的Prony算法辨識(shí)的偏移，提出幅值及相位補(bǔ)償方法，然后基于脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器離散化為數(shù)字濾波器，以此增強(qiáng)Prony算法的抗噪性。文獻(xiàn)[10]提出了一種利用SDM方法確定Prony階數(shù)的新思路，該方法受外界噪聲影響小，能在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確辨識(shí)模態(tài)信息，適應(yīng)性較強(qiáng)，但無法將高頻干擾項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)進(jìn)行準(zhǔn)確去除。文獻(xiàn)[11]提出了一種在線去噪算法，用于檢測(cè)采集數(shù)據(jù)中不可避免的測(cè)量噪聲。所提出的去噪過程基于離散小波變換(DWT)，在噪聲局部化和算法停止準(zhǔn)則方面沒有閾值。文獻(xiàn)[12]在小波去噪的基礎(chǔ)上對(duì)閾值進(jìn)行改進(jìn)，使得閾值隨著小波的分解層數(shù)而改變，從而對(duì)輸入信號(hào)取得了較好的濾波效果，但該文中的閾值函數(shù)采用的是硬閾值函數(shù)，仍有待改進(jìn)以提高濾波效果。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于非凸稀疏正則化去噪和自適應(yīng)稀疏分解的新方法，能夠有效地從原始振動(dòng)信號(hào)中提取出微弱的故障頻率及其諧波。文獻(xiàn)[14]通過小波變換方法進(jìn)行同調(diào)機(jī)組分群，該方法可以有效地提取功角信號(hào)的特征信息，但是需要將測(cè)量數(shù)據(jù)分解為時(shí)空模式，以特殊的主振蕩模式檢測(cè)同調(diào)機(jī)群，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理時(shí)會(huì)帶來計(jì)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[15]提出一種基于Prony分析特征提取的同調(diào)機(jī)組分群方法，利用集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)方法對(duì)含噪聲的信號(hào)降噪。為消除原始信號(hào)中存在噪聲或間斷時(shí)，EMD存在的模態(tài)混疊現(xiàn)象，采用EEMD方法對(duì)量測(cè)功角數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，通過本征模態(tài)分量和量測(cè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)來選取能真實(shí)反映原始信號(hào)特征的本征模態(tài)分量進(jìn)行重構(gòu)達(dá)到降噪效果。文獻(xiàn)[16]通過采用互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMD)和小波包變換(WPT)相結(jié)合的去噪方法改善信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行CEEMD分解得到固有模態(tài)函數(shù)(IMF)，并對(duì)得到的IMF 分量計(jì)算其排列熵(PE)值，根據(jù)排列熵值提取出含噪聲較大的分量進(jìn)行小波包去噪，然后將去噪重構(gòu)后的IMF分量與剩余IMF分量重構(gòu)信號(hào)進(jìn)而提高Prony參數(shù)辨識(shí)的精度。文獻(xiàn)[17]針對(duì)非平穩(wěn)性、突變性和短時(shí)持續(xù)性的信號(hào)，提出一種基于提升小波和改進(jìn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擾動(dòng)定位與識(shí)別方法。對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行提升小波分解，并利用自適應(yīng)學(xué)習(xí)率和增加動(dòng)量項(xiàng)相結(jié)合的方法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)并進(jìn)行擾動(dòng)識(shí)別訓(xùn)練。文獻(xiàn)[18]提出了基于變分模態(tài)分解的電力系統(tǒng)泛頻帶振蕩辨識(shí)方法，通過帶通濾波器實(shí)現(xiàn)不同頻段信號(hào)的分離，再利用有高噪聲魯棒性的變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition, VMD)方法提取各個(gè)振蕩模態(tài)信號(hào)，對(duì)信號(hào)中不同類別振蕩模態(tài)進(jìn)行有效區(qū)分與提取，精確識(shí)別每個(gè)模態(tài)的信息，針對(duì)已發(fā)生劇烈振蕩的信號(hào)或是含有潛在振蕩的類噪聲信號(hào)進(jìn)行模態(tài)辨識(shí)，但是該方法目前尚不能做到在線識(shí)別。

2 基于小波變換的信號(hào)處理

由上述分析和文獻(xiàn)可知，在利用Prony算法時(shí)，需要對(duì)來自電力系統(tǒng)的實(shí)際信號(hào)進(jìn)行去噪預(yù)處理，這樣才能使得最后的結(jié)果更加準(zhǔn)確。目前常用的適用于Prony分析法的去噪算法包括平滑濾波算法、模糊濾波法、小波閾值去噪法等方法，其中小波閾值去噪法因?yàn)殪`敏度高、抗干擾力強(qiáng)和去噪效果好而應(yīng)用廣泛，但是常用的小波閾值去噪也存在自適應(yīng)能力差、重構(gòu)信號(hào)可能失真等問題。

針對(duì)以上問題，本文對(duì)傳統(tǒng)的小波閾值去噪算法進(jìn)行了改進(jìn)，引入了新的閾值選取和閾值函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了適用于Prony分析的小波閾值去噪算法，能夠?qū)Υ幚淼男盘?hào)進(jìn)行去噪，提高Prony算法的準(zhǔn)確性，有利于對(duì)電力系統(tǒng)低頻振蕩進(jìn)行更準(zhǔn)確的辨識(shí)，最大程度的降低噪聲的影響。

小波信號(hào)是一類衰減較快的波動(dòng)信號(hào)，其能量有限，且相對(duì)集中在局部區(qū)域。由小波函數(shù)ψ(t)經(jīng)過展縮和平移構(gòu)成小波函數(shù)族ψj,k(t)。由尺度函數(shù)φ(t)經(jīng)過展縮和平移構(gòu)成小波函數(shù)族φj,k(t)。利用小波函數(shù)族和尺度函數(shù)族，信號(hào)的小波展開式可表示為[19-20]：

(13)

展開系數(shù)cj0,k反映了信號(hào)y(t)中的低頻分量的分布情況，而一系列展開系數(shù)dj,k反映了信號(hào)y(t)中的高頻分量的分布情況，這些展開系數(shù)就是信號(hào)的離散小波變換。

信號(hào)的小波變換是對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析的有效方法，其對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的線性時(shí)頻分析在時(shí)頻平面不同位置具有不同的分辨率，即小波變換是一種多分辨分析方法。

2.1 小波閾值去噪

含有噪聲的信號(hào)y(t)的數(shù)學(xué)模型一般為：

y(t)=x(t)+ε(t)

(14)

式中，x(t)為有用信號(hào)，ε(t)為噪聲信號(hào)。

對(duì)信號(hào)y(t)進(jìn)行去噪處理的目的就是抑制其噪聲信號(hào)分量ε(t)，從而恢復(fù)信號(hào)x(t)。

在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行濾波時(shí)，是根據(jù)有用信號(hào)和噪聲信號(hào)在頻域所處的頻譜分布的位置的不同從而對(duì)兩者進(jìn)行分離。一般認(rèn)為，電力系統(tǒng)主要存在白噪聲，而白噪聲在較寬的頻率范圍內(nèi)，各等帶寬的頻帶所含的噪聲能量相等，信號(hào)的譜和噪聲的譜在頻域重疊，基于頻域的濾波是沒有效的。

在信號(hào)的小波變換中，許多實(shí)際信號(hào)的展開系數(shù)大多集中在較少的系數(shù)上，為數(shù)據(jù)處理創(chuàng)造了有利條件。在基于小波變換的信號(hào)處理中，可以根據(jù)有用信號(hào)和無用信號(hào)的展開系數(shù)的幅值來分離信號(hào)的不同分量，有用分量對(duì)應(yīng)的少數(shù)展開系數(shù)的幅值必然較大，而無用分量對(duì)應(yīng)的多數(shù)展開系數(shù)的幅值必然較小。

2.2 閾值的選取

(15)

式中，σ為噪聲強(qiáng)度，N為信號(hào)長(zhǎng)度，σ=(median|dj,k|)/0.6745，median|dj,k|表示尺度j上的小波系數(shù)的中值。

(16)

式中：Lj表示j尺度下，小波系數(shù)的長(zhǎng)度。

取新的閾值為：

(17)

若第j層的小波系數(shù)中有用分量較多，則Wj的值會(huì)較大，λj的值就會(huì)相對(duì)較??；若第j層的小波系數(shù)中噪聲分量較多，則Wj的值會(huì)較小，λj的值就會(huì)相對(duì)較大，這樣閾值的選取便更符合實(shí)際中擾動(dòng)信號(hào)的噪聲分布[22]。新的閾值既考慮到了一般情況下隨著尺度j的增加，小波系數(shù)的幅值是逐漸減少的，又兼顧了不同類型信號(hào)中噪聲在各層的實(shí)際分布情況，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)[12]中閾值的不足。

2.3 閾值函數(shù)的選取

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)有硬閾值和軟閾值函數(shù)兩種。軟閾值處理是將低于閾值的系數(shù)置為零，而高于閾值的系數(shù)也相應(yīng)減少。硬閾值處理是只將低于閾值的系數(shù)都置為零。設(shè)λ為閾值，兩種閾值函數(shù)的定義分別如下：

硬閾值函數(shù)：

(18)

軟閾值函數(shù)：

(19)

為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)閾值函數(shù)的不足，本文提出了一種改進(jìn)算法：

(20)

3 構(gòu)造信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

本文定義的信噪比為：

(21)

特別注意英文字母表示，要求如下：

(22)

為了證明本文的改進(jìn)去噪方法在小波閾值去噪方法中的優(yōu)越性，構(gòu)造信號(hào)：

y(t)=3e-0.25cos(2π×1.2t+180°)

+8.5e-0.15tcos(2π×0.6t+60°)

(23)

信號(hào)的采樣頻率為100Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1000點(diǎn)。

對(duì)信號(hào)疊加10dB的白噪聲擾動(dòng)，然后在Matlab中分別采用軟閾值法、硬閾值法、文獻(xiàn)[12]所述基于小波去噪與擴(kuò)展Prony算法相結(jié)合的高精度低頻振蕩模態(tài)辨識(shí)方法，以下簡(jiǎn)稱改進(jìn)閾值去噪方法以及本文的改進(jìn)方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真中采用的小波基是sym6小波，分解層數(shù)為5層。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下圖1及表1-2所示。

圖1 四種方法去噪效果的比較圖Fig.1 Comparison of denoising effects of four methods

表1 四種方法的去噪效果比較Tab.1 Comparison of denoising effect of four methods

表1的結(jié)果可以看出，本文提出的改進(jìn)方法的去噪效果在信噪比和均方誤差意義上都優(yōu)于其他幾種方法。

對(duì)使用改進(jìn)閾值去噪方法和本文改進(jìn)方法去噪后的信號(hào)使用擴(kuò)展Prony算法進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)的結(jié)果如表2所示。

表2 兩種方法的辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Identification results of two methods

從表2的結(jié)果可以看出，對(duì)含有噪聲的信號(hào)，利用本文改進(jìn)方法去噪后再使用擴(kuò)展Prony算法能更準(zhǔn)確地提取振蕩模式參數(shù)。

4 結(jié)論

Prony算法由于其良好的數(shù)學(xué)特性而在電力系統(tǒng)低頻振蕩分析中得到了廣泛的應(yīng)用，但其對(duì)輸入信號(hào)要求較高，對(duì)噪聲較為敏感[23-25]。本文在分析傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)以及固定閾值的優(yōu)缺點(diǎn)后，提出了基于改進(jìn)的閾值和閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法。利用改進(jìn)的小波閾值去噪算法對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，有效克服了噪聲對(duì)Prony算法的辨識(shí)精確度的影響，有效提高Prony算法的抗干擾能力。

通過Matlab仿真實(shí)驗(yàn)分別采用軟閾值法、硬閾值法、改進(jìn)閾值去噪方法以及本文的改進(jìn)方法進(jìn)行比較，本文提出的改進(jìn)方法的去噪效果在信噪比和均方誤差意義上都優(yōu)于其他幾種方法，對(duì)信號(hào)使用擴(kuò)展Prony算法進(jìn)行辨識(shí)。對(duì)使改進(jìn)閾值去噪方法和本文改進(jìn)方法去噪后的信號(hào)使用擴(kuò)展Prony算法進(jìn)行辨識(shí)的結(jié)果表明，對(duì)含有噪聲的信號(hào)，利用本文改進(jìn)方法去噪后再使用擴(kuò)展Prony算法能更準(zhǔn)確地提取振蕩模式參數(shù)。仿真驗(yàn)證了利用本文提出的改進(jìn)小波閾值去噪算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理能有效提高擴(kuò)展Prony算法的辨識(shí)精確度。