呂剛, 穆明珠， 金元峰, Muhammad Israr

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870；2.廣州工商學(xué)院 通識(shí)學(xué)院，廣東 廣州 510850；3.延邊大學(xué) 理學(xué)院，吉林 延吉 133002)

0 引言

2001年，Gilǎnyi[1]證明了泛函不等式

的解具有存在唯一性.隨后，一些學(xué)者進(jìn)一步研究了此類(lèi)泛函不等式及其解的穩(wěn)定性[2-4].2015年，Park[5-6]定義了可加ρ-泛函不等式，并證明了該不等式在Banach空間和非阿基米德空間中的Hyers-Ulam穩(wěn)定性.為了獲得準(zhǔn)內(nèi)積空間的Jordan and von Neumann型特征定理，1987年Drygas[7]研究了如下泛函方程：

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+f(y)+f(-y)，

并得到了該方程準(zhǔn)內(nèi)積空間的基本性質(zhì).1992年，Ebanks等[8]給出了上述泛函方程的通解：f(x)=Q(x)+A(x)，其中A是一個(gè)可加映射,Q是一個(gè)二次映射.

近年來(lái)，許多作者對(duì)各類(lèi)Drygas泛函方程或不等式解的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，并獲得了許多有意義的結(jié)果[9-12].2019年，Sun等[13]討論了三元Drygas泛函方程

f(x+y+z)+f(x+y-z)=2f(x)+2f(y)+f(z)+f(-z)

在Banach空間中解的穩(wěn)定性，得到了該方程解的存在唯一性.如果考慮定義域是一個(gè)含單位元的交換群，則上述三元Drygas泛函方程可變?yōu)?/p>

f(xyz)+f(xyz-1)=2f(x)+2f(y)+f(z)+f(-z)，

其中x,y,z∈G.本文基于群和Banach空間的基本性質(zhì)，利用迭代法和函數(shù)不等式對(duì)三元Drygas泛函方程解的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究.

回到房間，蘇婷婷對(duì)杰克：我早跟你說(shuō)了，這不是華盛頓，這是中國(guó)！你不要?jiǎng)硬粍?dòng)就人權(quán)啊隱私啊！杰克倔強(qiáng)地：中國(guó)怎么了？中國(guó)就不講人權(quán)了嗎？中國(guó)人就該侵犯別人隱私嗎？中國(guó)不是和世界接軌了嗎？中國(guó)難道不是世界的一部分？蘇婷婷忙換了個(gè)角度：我不是說(shuō)這個(gè)意思，我是說(shuō)在中國(guó)大的事情是要講人權(quán)，可小的事情呢，要講感情，比方說(shuō)媽今天給你洗了內(nèi)褲，說(shuō)明咱媽喜歡你這個(gè)洋女婿，對(duì)你這個(gè)上門(mén)女婿很有感情！杰克搖搖頭：N O N O，我不能對(duì)咱媽有感情，我愛(ài)的是你，不是咱媽?zhuān)?/p>

1 主要結(jié)果及其證明

本文利用不等式(1)證明三元Drygas泛函方程的解具有存在唯一性.

(1)

其中s和t為實(shí)數(shù)，且|s|<1，|s|+|t|<2.

證明取x=z,y-1=z，將其代入式(1)中可得：

(2)

其中任意x,y,z∈G.則存在一個(gè)唯一的可加映射A∶G→Y, 且使得

(3)

(4)

由不等式(4)可得：

?

將上述不等式的左右兩側(cè)相加，再利用三角不等式可得：

由上式可得

(5)

因此A滿足式(1).由引理1進(jìn)一步可知，A是可加的.

下面證明A的唯一性.設(shè)T∶G→Y是滿足式(2)的另一個(gè)可加映射，對(duì)所有的x∈G，

(6)

成立.當(dāng)k→∞時(shí)式(6)趨近于0, 由此可知對(duì)所有的x∈G，有A(x)=T(x)，即表明A具有唯一性.定理1證畢.