王治鈞

不可思議的“倍增”

生活中有很多看似普通但是實際上會讓我們大吃一驚的結(jié)論。比如2001 年，美國女生布蘭妮在當?shù)爻姓业揭痪黹L1.2 千米而且比較薄的衛(wèi)生紙，在父母的幫助下花了7 個多小時，完成了“把一張紙折疊12 次”的有趣項目，而這竟成為一項新的吉尼斯世界記錄。

如果一張足夠大的A4 白紙持續(xù)對折，那么在四十多次對折后的厚度就相當于地球到月球的距離，50次對折之后的厚度就能達到一億千米——這是太陽和地球之間2/3 的距離。這是不是超出你的想象了？

同樣，國王用象棋盤獎賞大臣麥粒的故事也是類似的道理：在象棋盤上放置麥粒，第1 個棋格放1粒，此后每一棋格放置的麥粒數(shù)是前一棋格的2 倍，國王答應送大臣放滿棋盤上所有棋格的麥粒。這是一個等比數(shù)列的求和問題。國王知道實情后很快就后悔了，因為這樣下去全國的糧食都不夠送。這個問題經(jīng)常被用來說明指數(shù)增長的速度會遠超大家想象。這就是數(shù)學“幾何倍增”的威力。在很多情況下我們的第一直覺都會出現(xiàn)錯誤，但是數(shù)學計算能幫助我們認清事實。

在探索世界的過程中，數(shù)學多次顛覆人類的世界觀。比如，兩千多年前古希臘的時代，人們只探索了世界的很小一部分，而地球看上去是無邊無際無限大，當時的數(shù)學家埃拉托色尼利用兩地正午桿子陰影長度變化測算了地球的周長，而這個數(shù)值和現(xiàn)在的數(shù)據(jù)相比，誤差只有驚人的2%。 由此我們能看出，數(shù)學能幫助我們測量看似不可測的地球，探索我們所無法觸及的領(lǐng)域。

數(shù)學家羅根在 TED 的演講提到，數(shù)學并不是“加減乘除幾何，代數(shù)等”枯燥公式的學科，它是我們在觀察物質(zhì)世界時對其中蘊含的模式、關(guān)系和邏輯的感知。

宇宙中編織的數(shù)學現(xiàn)實

隱藏的數(shù)學規(guī)律滲透在我們整個物質(zhì)世界中，有些我們的感官能捕捉，但更多需要通過數(shù)學這個放大鏡才能觀察到它神奇的美感，通過尋找某種聯(lián)系、結(jié)構(gòu)、規(guī)律或者規(guī)則來探索超出你理解能力之外的領(lǐng)域，你就能感受數(shù)學的魅力。

數(shù)學“分形之父”蒙德布羅特在TED 演講時提出，為更好地描述、解釋真實的大自然，我們需要“分形幾何”的概念，它又稱碎形、殘形，意思是一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個部分，且每一部分都是整體縮小后的形狀，具有自相似的性質(zhì)。

伽利略曾說：“自然之法是數(shù)學語言寫就的，它的代表符號就是三角形、圓圈和其他幾何形”，引入分形幾何有助于我們了解大自然的復雜性。

如果你眼光實在不夠犀利，依然沒有找到大自然中明顯的分形圖，不妨對照下自己的人體，人體其實也是分形的杰作：比如大腦的表面皺紋、肝膽和小腸的結(jié)構(gòu)、泌尿系統(tǒng)、神經(jīng)元的分布、雙螺旋的DNA 結(jié)構(gòu)甚至蛋白質(zhì)的分子鏈等，都有明顯的分形特征（具有自相似性以及無窮多的層次）。

自然界中的分形幾何不僅展示了數(shù)學之美，使自然景物的描繪得以實現(xiàn)，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式。

特殊的“語言表達”

如果沒有現(xiàn)成的語言，還可以用數(shù)學創(chuàng)造一種特殊語言來描述各種模式。數(shù)學家戈特弗里德·萊布尼茨在1675 年發(fā)明了微積分符號，他創(chuàng)造的這種“語言”描述現(xiàn)在被廣泛使用，比如拋物線的場景，就可以用微積分把這個模式表達出來，在真實世界里應用于對炮彈軌道的預測。

關(guān)于數(shù)學語言表達的另外一個例子是內(nèi)莫斯盲文數(shù)學代碼，它使用標準的六點盲文單元格線性編碼數(shù)學和科學記數(shù)法，幫助視力障礙者能夠進行觸覺閱讀，了解這個世界。這些代碼是一種緊湊的、人類可讀標記語言的示例，世界各地有大量系統(tǒng)都使用這套盲文表達法。

數(shù)學表達不僅僅是可以看的，可以觸摸的，也可以用來聽，比如我們經(jīng)常在一些諜戰(zhàn)影片里看到的特工會用摩爾斯電碼發(fā)信號，摩爾斯電碼是一種時通時斷的信號代碼，通過不同的排列順序來表達不同的英文字母、數(shù)字和標點符號。

隨著現(xiàn)代通信工具的發(fā)展，摩爾斯電碼幾乎成為業(yè)余無線愛好者的專利，但是它曾經(jīng)在百年前發(fā)揮過巨大通信溝通作用。我們在日常生活中也能看到蘊含大量信息的數(shù)學表達載體，比如條形碼、二維碼等。我們能看到的只是不同的線條或條塊，它們有一定的編碼規(guī)則排列，用以表達一組信息的圖形標識符等，包含個人、商品類別、交易、日期等大量信息。

數(shù)學是一種訓練人使用不同角度解釋事物的學科。隨著數(shù)字領(lǐng)域的飛速發(fā)展，越來越多的問題需要用數(shù)學分析來解決，它在諸多領(lǐng)域都能發(fā)揮巨大作用，所以學好數(shù)學至關(guān)重要。