陳 龍，王秀蓮

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

破產(chǎn)理論在保險(xiǎn)精算領(lǐng)域中占有重要地位[1-4].近些年，再保險(xiǎn)作為保險(xiǎn)公司進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的一項(xiàng)必要措施，引起相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注，再保險(xiǎn)與投資決策成為目前的熱點(diǎn)課題之一，其研究成果十分豐富[5-12].文獻(xiàn)[5]考慮將盈余投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，得到了s型最小絕對(duì)破產(chǎn)函數(shù)及其最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式.文獻(xiàn)[6]研究了再保險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)投資模型的最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率問(wèn)題和最大化分紅問(wèn)題.文獻(xiàn)[7]基于用跳躍擴(kuò)散刻畫(huà)的盈余過(guò)程，研究了基于損失規(guī)避行為的最優(yōu)保險(xiǎn)投資與再保策略選擇，得到了最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略的解析表達(dá)式.文獻(xiàn)[8]研究了投資和再保險(xiǎn)策略下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)合并時(shí)刻問(wèn)題.文獻(xiàn)[10]考慮在相依風(fēng)險(xiǎn)模型的框架下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題，得到最優(yōu)時(shí)間一致的投資和再保險(xiǎn)策略以及相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù).文獻(xiàn)[11]研究了CEV模型下的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題.文獻(xiàn)[12]研究了保險(xiǎn)市場(chǎng)和金融市場(chǎng)具有相依情形下的投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題.

本文基于純擴(kuò)散模型，考慮將盈余投資于Black-Scholes風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，同時(shí)可以購(gòu)買(mǎi)比例再保險(xiǎn).以盈余達(dá)到一定的負(fù)值定義破產(chǎn)，得到破產(chǎn)概率對(duì)應(yīng)的HJB方程，通過(guò)劃分不同的控制區(qū)域，在每個(gè)控制區(qū)域上分別求解HJB方程，從而得到最小絕對(duì)破產(chǎn)概率的顯式解及相應(yīng)的投資和比例再保險(xiǎn)的最優(yōu)策略.

1 模型建立

沒(méi)有投資的盈余過(guò)程可用擴(kuò)散近似模型刻畫(huà)[13-14]，保險(xiǎn)公司的動(dòng)態(tài)盈余為

其中：Rt為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余；x為初始盈余；c＞0為保險(xiǎn)公司單位時(shí)間的保費(fèi)收入；σ＞0為與賠付風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)的常數(shù)；ω(0)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).設(shè)保險(xiǎn)公司將盈余的一部分a投資于Black-Scholes風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即

其中：St=a；ω(1)為一個(gè)獨(dú)立于ω(0)的布朗運(yùn)動(dòng)；μ＞0為風(fēng)險(xiǎn)投資收益率；σ1＞0為與投資風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)的常數(shù).盈余St-a投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即

其中：Bt=Rt-a；r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資利率.本文假設(shè)μ＞r＞0.保險(xiǎn)公司為了更好地管理資產(chǎn)，還可以購(gòu)買(mǎi)一定的比例再保險(xiǎn)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)（1-b）的比例再保險(xiǎn)（0≤b≤1）.在投資和保險(xiǎn)控制策略π={a，b}下，盈余動(dòng)態(tài)可表示為

其中λ為再保險(xiǎn)公司安全載荷的比例常數(shù)，且λ＞c.

設(shè)風(fēng)險(xiǎn)投資上界為A≥0，當(dāng)0≤a≤A，0≤b≤1時(shí)，稱(chēng)投資策略π={a，b}為可允許的.所有可允許策略構(gòu)成的集合記為Π.

在策略π下，初始盈余為x的絕對(duì)破產(chǎn)概率Vπ（x）為

為避免破產(chǎn)的發(fā)生，保險(xiǎn)公司需采取一定的策略，即確定最優(yōu)策略π*，使得值函數(shù)Vπ（x）達(dá)到最小，即最優(yōu)值函數(shù)Vπ*（x）為

顯然，V（x）是遞減的，為方便，設(shè)V（x）為C2函數(shù).特別地，當(dāng)a=0，b=1時(shí)，破產(chǎn)慨率可以表示為一個(gè)二階連續(xù)可導(dǎo)的積分形式，故V（x）是非平凡的[16].

2 HJB方程

定理1 設(shè)V（x）是定義在上的C2函數(shù)，且V（x）遞減，則最優(yōu)值函數(shù)V（x）滿(mǎn)足HJB方程

其中

且V（x）滿(mǎn)足邊界條件（3）.此外，對(duì)于所有的x*，若a*（x）、b*（x）滿(mǎn)足

則π*={a*（Rtπ*），b*（Rtπ*）}t≥0即為最優(yōu)策略，即V（x）=Vπ*（x）.

證明令τπM=inf{t＞0：X（t）=M}，τπM，N=τπM∧τπN.由動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理[17-18]可得HJB方程（4）.

因?yàn)閂（x）是方程（4）滿(mǎn)足邊界條件（3）的C2解，由文獻(xiàn)[5]可得，對(duì)于任意-∞＜M＜N＜+∞，τπM，N＜+∞恒成立.取，對(duì)V（Rtπ）應(yīng)用It?公式可得

對(duì)式（5）取期望得

令N→x*，由邊界條件（3）可得

注意到

所以V（x）≤Vπ（x）.特別地，當(dāng)π*={a*（Rtπ*），b*（Rtπ*）}t≥0時(shí)，式（5）和式（6）中的不等號(hào)變?yōu)榈忍?hào)，則有V（x）=Vπ*（x）.

3 最優(yōu)值函數(shù)的解

對(duì)方程（4）分別關(guān)于a、b求導(dǎo)，可得極值點(diǎn)為

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性取不同的控制區(qū)域，定義

引理1 設(shè)V（x）為方程（4）的解，則

（1）在區(qū)域D1上，a*（x）=aV（x），b*（x）=bV（x）；

（2）在區(qū)域D2上，a*（x）=aV（x），b*（x）=1；

（3）在區(qū)域D3上，a*（x）=A，b*（x）=bV（x）；

（4）在區(qū)域D4和D5上，a*（x）=A，b*（x）=1.

證明在區(qū)域D1上，方程（4）可以看作關(guān)于a的開(kāi)口向上的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a*（x）=aV（x），b*（x）=bV（x）.同理可得區(qū)域D2、D3、D4上的結(jié)論.在區(qū)域D5上，方程（4）可以看作關(guān)于a的開(kāi)口向下的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a*（x）=A，b*（x）=1.

結(jié)合引理1和方程（4）可得引理2.

引理2（1）在區(qū)域D1上，方程（4）等價(jià)于

（2）在區(qū)域D2上，方程（4）等價(jià)于

（3）在區(qū)域D3上，方程（4）等價(jià)于

（4）在區(qū)域D4和D5上，方程（4）等價(jià)于

引理3 設(shè)V（x）為方程（4）的解，則D1=（x1∨x2，x*），D2=（x3，x2]，D3=（x4，x1]，D4∪D5=（-∞，x3∧x4]其中：

證明在區(qū)域D1上，由于V″（x）＞0，所以x＜x*，將式（8）代入式（7）可得

由aV（x）＜A可得x＞x1，由bV（x）＜1可得x＞x2，又x1、x2＜x*，因此D1=（x1∨x2，x*）.同理可得，D2=（x3，x2]，D3=（x4，x1]，D4∪D5=（-∞，x3∧x4）.

由引理3中xi的表達(dá)式易得引理4.

引理4 記當(dāng)μ＞r且A＞時(shí)，有x2＞x1，x2＞x3，x4＞x1，x4＞x3.

當(dāng)μ＞r且時(shí)，由引理3和引理4可得由定義區(qū)間，通過(guò)比較x2、x3與的大小關(guān)系可得

令

利用邊界條件（3）以及V（x）的連續(xù)性，分別求解方程（12）～方程（14），可得定理2～定理4.

定理2 當(dāng)且時(shí)，最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率函數(shù)V（x）滿(mǎn)足

a*和b*分別為

定理3 當(dāng)且時(shí)，最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率函數(shù)V（x）滿(mǎn)足

其中a*和b*分別為

定理4 當(dāng)且時(shí)，最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率函數(shù)V（x）滿(mǎn)足

引理5當(dāng)μ＞r且時(shí)，有x2≤x1，x2≤x3，

當(dāng)μ＞r且時(shí)，由引理3和引理5可得D1=由定義區(qū)間，通過(guò)比較x1、x4與的大小關(guān)系可得

定理5 當(dāng)且時(shí)，最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率函數(shù)V（x）滿(mǎn)足

a*和b*分別為

定理6 當(dāng)μ＞r，且時(shí)，最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率函數(shù)V（x）滿(mǎn)足

定理7 當(dāng)μ＞r，且時(shí)，最小化絕對(duì)破產(chǎn)概率函數(shù)V（x）滿(mǎn)足

注結(jié)合定理4和定理7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)μ＞r時(shí)，最優(yōu)投資返回函數(shù)a*（x）是連續(xù)遞減的，但隨著盈余水平的增加，該策略變得越來(lái)越保守，風(fēng)險(xiǎn)投資會(huì)越來(lái)越少，直到不再購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；最優(yōu)比例再保險(xiǎn)返回函數(shù)b*（x）也是連續(xù)遞減的，隨著盈余水平的增加，購(gòu)買(mǎi)的比例再保險(xiǎn)會(huì)越來(lái)越多，直到選擇100%的再保險(xiǎn).另外，當(dāng)初始盈余足夠大時(shí)，保險(xiǎn)公司會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)100%的再保險(xiǎn)而不購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，此時(shí)破產(chǎn)概率為0，與邊界條件的分析結(jié)果一致.

4 數(shù)值模擬

例1 取參數(shù)μ=0.2，r=0.1，σ=0.5，σ1=0.25，c=1，A=0.7，λ=1.2，此時(shí)有滿(mǎn)足定理4，計(jì)算得

此時(shí)V（x）、a*（x）、b*（x）的圖像如圖1所示.

圖1 例1中V（x）、a*（x）和b*（x）的圖像Fig.1 Images of V（x），a*（x）and b*（x）for Example 1

例2 取參數(shù)μ=0.2，r=0.1，σ=0.5，σ1=0.25，c=1，A=0.2，λ=1.2，此時(shí)有，滿(mǎn)足定理7，計(jì)算得

此時(shí)V（x）、a*（x）和b*（x）的圖像如圖2所示.

圖2 例2中V（x）、a*（x）和b*（x）的圖像Fig.2 Images of V（x），a*（x）and b*（x）for Example 2

由圖1和圖2可見(jiàn)，隨著初始盈余的增加，2種情況的絕對(duì)破產(chǎn)概率均連續(xù)且單調(diào)遞減；最優(yōu)投資返回函數(shù)a*（x）均先保持一定的水平，在初始盈余達(dá)到一定值后，a*（x）變?yōu)閱握{(diào)遞減函數(shù)，即風(fēng)險(xiǎn)投資的數(shù)量不斷減少；最優(yōu)比例再保險(xiǎn)返回函數(shù)b*（x）則先保持自留比例為1，在初始盈余達(dá)到一定值后，自留比例會(huì)不斷減小.