劉寶慶，錢(qián) 錕，李國(guó)全

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言及主要結(jié)論

以N表示全體非負(fù)整數(shù)的集合，記N+=N{0}.定義P={p∈N：p為素?cái)?shù)}.對(duì)一個(gè)有限集A，以|A|表示其基數(shù).設(shè)m、n∈N+，且n≥2，對(duì)于x≥1，定義

著名的Dirichlet定理[1]斷言：如果（m，n）=1，則算術(shù)序列{m+jn：j∈N+}中含有無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)，即m，n）=+∞.Dirichlet定理的一個(gè)精確形式為下面的定理1.

定理1[2]設(shè)m、n∈N+，且n≥2.如果（m，n）=1，則有

其中Φ（n）=|{l∈N+：l＜n，（l，n）=1}|.

對(duì)于一個(gè)集合B?P，定義其相對(duì)密度為

由熟知的素?cái)?shù)定理，定理1蘊(yùn)含下面的定理2.

定理2 設(shè)m、n∈N+，且n≥2.記B={p∈P：p≡m（modn）}.如果（m，n）=1，則

設(shè)Fq為一個(gè)含有q個(gè)元的有限域.以A=Fq[t]表示Fq上的多項(xiàng)式環(huán)，將它的商域Fq（t）記為K.對(duì)a、b∈A，且b≠0，定義：當(dāng)a≠0時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0.則|·|為K上的一個(gè)非阿基米德絕對(duì)值.K在|·|下的完備化為

K∞是Fq上關(guān)于1/t的形式Laurent級(jí)數(shù)域.A、K和K∞分別起著與Z、Q和R類(lèi)似的作用.關(guān)于A中的數(shù)論及K∞上的分析可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-6].

A與Z有很多相似的數(shù)論性質(zhì)，因此在框架A中考慮上面的問(wèn)題是自然的.本文的目的是研究定理1和定理2在框架A中的對(duì)應(yīng)結(jié)論.

設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1，對(duì)x≥1，定義

其中Ω={ω∈A：ω為首1不可約的}.關(guān)于定理1的對(duì)應(yīng)結(jié)果，本文得到如下結(jié)論.

定理3 設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1，假設(shè)（a，b）=1.

（1）記?（b）=|{c∈A：|c|＜|b|，（b，c）=1}|，則

（2）對(duì)于1/q≤η≤1，存在數(shù)列{xN}，使得

對(duì)于S?Ω，定義其相對(duì)密度為

關(guān)于定理2的對(duì)應(yīng)結(jié)果，本文得到如下結(jié)論.

定理4 設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1.記S={ω∈Ω：

設(shè)a∈A{0}，定義a的因子數(shù)為

D（a）=|{c∈A{0}：c為首1的，c|a}|

數(shù)論中的許多重要問(wèn)題都涉及因子數(shù)估計(jì)，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-10].定理3和定理4的結(jié)果可用于估計(jì)A{0}中元的因子數(shù).

定理5 存在一個(gè)僅與q有關(guān)的常數(shù)M≥1，使得對(duì)a∈A{0}，當(dāng)|a|≥M時(shí)，有D（a）≤|a|1/lnln|a|.

推論[4]?ε＞0，存在一個(gè)僅與q和ε有關(guān)的常數(shù)M′≥1，使得對(duì)于a∈A{0}，有D（a）≤M′|a|ε.

注上面推論是文獻(xiàn)[4]給出的因子數(shù)估計(jì).當(dāng)|a|充分大時(shí)，定理5改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果.

2 主要結(jié)論的證明

設(shè)a、b∈A{0}，degb≥1，對(duì)N∈N+，設(shè)定義

引理1[3]設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則其中C≥1是一個(gè)僅與q和degb有關(guān)的常數(shù).

引理2 設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則數(shù)列{?（b）Nπ（N?，a，b）/N?}是收斂的，具體地，有

證明由引理1可得

因?yàn)?/p>

為證明引理，只需說(shuō)明

對(duì)j≥1，記由

可得

?1＜λ＜q，注意到，當(dāng)x≥λ時(shí)，x-1≥（1-1/λ）x，所以有

因此

由λ的任意性可得

綜上可知式（1）成立.引理結(jié)論得證.

引理3 設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則

證明對(duì)x≥1，存在唯一的Nx∈N，使得因此，由引理2可得

再由引理2可知引理結(jié)論成立.

引理4 設(shè)a、b∈A{0}，且degb≥1.如果（a，b）=1，則

證明對(duì)x≥1，存在唯一的Nx∈N，使得因此，由引理2可得

對(duì)N∈N，記則由引理2可得

綜上可知引理結(jié)論成立.

定理3的證明結(jié)論（1）是引理3與引理4的直接推論.下面證明結(jié)論（2）.

當(dāng)η=1時(shí)，由引理2，取數(shù)列為{}即可.當(dāng)η=1/q時(shí)，由引理4的證明可知，數(shù)列滿足要求.現(xiàn)在假設(shè)1/q＜η＜1.

對(duì)N∈N+，定義則由引理2可得定理證畢.

對(duì)x≥1，定義π（x）=|{ω∈Ω：|ω|≤x}|.由文獻(xiàn)[3]中關(guān)于多項(xiàng)式的素?cái)?shù)定理，應(yīng)用與引理2類(lèi)似的證明方法可得引理5.

引理5 數(shù)列{Nπ（N?）/N?}是收斂的，并且

定理4的證明對(duì)x≥1，存在唯一的Nx∈N，使得由引理2和引理5可得

定理證畢.

引理6 存在僅與q有關(guān)的常數(shù)L≥1，使得當(dāng)x≥L時(shí)，有

證明由定理3和定理4可得

由此可知引理結(jié)論成立.

命題?ε＞0，存在僅與q、ε有關(guān)的常數(shù)T，使得對(duì)a∈A{0}，當(dāng)|a|≥T時(shí)，有D（a）≤|a|(1+ε)ln2/lnln|a|.

證明設(shè)a∈A{0}，不妨設(shè)a是首1的，且|a|≥存在l∈N+，兩兩不同的ω1，…，ωl∈Ω，以及α1，…，αl∈N+，使得定義函數(shù)λ（x）：（1，+∞）→R為

引入記號(hào)

于是D（a）=D1（a）D2（a）.記

由

可得s（a）≤ln|a|/lnλ（|a|）.注意到1+αj≤2αj，則有

可知αj≤ln|a|/ln 2，再由可得

由引理6，當(dāng)|a|≥T′時(shí)，有

定義函數(shù)μ（x）：（T′，+∞）→R為

因此，當(dāng)|a|≥T時(shí)，有

命題證畢.

定理5的證明因?yàn)椋蚀嬖讦?＞0，使得（1+ε0）ln 2＜1.對(duì)ε0應(yīng)用命題即可.定理證畢.

推論的證明存在僅與q、ε有關(guān)的常數(shù)M″≥M，使得對(duì)一切x≥M″，有.因此，由定理5，當(dāng)|a|≥M″時(shí)，有D（a）≤|a|1/lnln|a|≤|a|ε.另一方面，當(dāng)|a|≤M″時(shí)，有

因此，取M′=qM″即可.