郭閣陽

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

第二類曲面積分是高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，其物理意義抽象難以理解，計(jì)算方法多變，計(jì)算技巧多樣，相關(guān)數(shù)學(xué)知識面涉及較廣，對大多數(shù)學(xué)生來說，掌握起來有一定難度。此外，由于各學(xué)校學(xué)生基礎(chǔ)不同，教學(xué)要求也不同，一些學(xué)校只學(xué)習(xí)了第二類曲面積分的一些最基本的計(jì)算方法[1-3]，如直接積分法、Gauss公式、兩類曲面積分之間關(guān)系轉(zhuǎn)換法，導(dǎo)致學(xué)生無法應(yīng)對一些計(jì)算復(fù)雜、計(jì)算量大、需要轉(zhuǎn)化技巧的積分題目，導(dǎo)致恐懼心理。本文以天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題為例，結(jié)合十多年競賽輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，通過對競賽試題的深入分析，在第二類曲面積分常規(guī)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，給出一些重要的計(jì)算技巧。這些計(jì)算方法和重要技巧的結(jié)合使用，使得第二類曲面積分的被積函數(shù)便于簡化，實(shí)現(xiàn)積分簡單計(jì)算。同時(shí)，對每種方法和技巧的解題思路和適用條件做了充分說明，以幫助學(xué)生加深理解，加強(qiáng)對基本解題方法與技巧的掌握。

1 第二類曲面積分的計(jì)算方法

1.1 直接積分法

第二類曲面積分的直接積分法是指將曲面積分化為二重積分進(jìn)行計(jì)算，這是計(jì)算第二類曲面積分的最基本方法[4-6]。基本原則的通俗表達(dá)就是“一求”“二代”“三定域”（有時(shí)也被稱為“一投”“二代”“三定號”）。以計(jì)算積分為例?！耙磺蟆笔侵父鶕?jù)曲面所給定的側(cè)求出“±”號，特別有前側(cè)、右側(cè)、上側(cè)為“+”；有后側(cè)、下側(cè)、左側(cè)為“-”[7]?！岸笔侵笇⑶娣匠檀氡环e函數(shù)，即將曲面方程z=z（x，y）代入被積函數(shù)R（x，y，z）中替換掉z，得R（x，y，z（x，y））?！叭ㄓ颉笔侵笇⑶嫦蛑付ㄗ鴺?biāo)面投影，得到投影區(qū)域Dxy，進(jìn)而得到

關(guān)于直接積分法的兩點(diǎn)說明：

（2）注意多值問題的處理。多值問題是指曲面向某坐標(biāo)面投影時(shí)，曲面是2個(gè)曲面，如單位球面在第一、五卦限的部分曲面，當(dāng)向xoy平面作投影時(shí)，曲面就分為第一卦限部分和第五卦限部分對于多值問題，若采用直接積分法硬算，計(jì)算量很大，且有很多重復(fù)計(jì)算，所以一般可采用奇偶對稱性技巧簡化計(jì)算。

1.2 Gauss公式

關(guān)于使用Gauss公式的幾點(diǎn)說明：

（1）方向性問題。外側(cè)為正，內(nèi)側(cè)為負(fù)。

（2）是否封閉問題。若不封閉，則需要補(bǔ)面，使之封閉。

（3）有無奇點(diǎn)問題。若Ω內(nèi)含有使得P、Q、R一階導(dǎo)不存在的點(diǎn)，需要補(bǔ)面摳除該點(diǎn)。

（4）Gauss公式的適用性問題。Gauss公式并不適用于所有的第二類曲面積分，一般要求積分域規(guī)則，且很簡單，否則不能使用Gauss公式。

1.3 類型轉(zhuǎn)換法

化第二類曲面積分為第一類曲面積分[8-9]

關(guān)于類型轉(zhuǎn)化法的兩點(diǎn)說明：

（1）該方法非常適用于被積函數(shù)P、Q、R中含有抽象函數(shù)的題目。

（2）若對于第二類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性不了解的情況下，使用類型轉(zhuǎn)化法，將第二類曲面積分化為第一類曲面積分，進(jìn)而使用一類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性技巧，可簡化計(jì)算。

1.4 投影轉(zhuǎn)換法

投影轉(zhuǎn)換是指由dydz=cosads，dydz=cosβds，dydz=cosγds，得

從而

關(guān)于投影轉(zhuǎn)化法的兩點(diǎn)說明：

（1）對于被積函數(shù)P、Q、R都不恒為0的情況下，若用直接積分法，需算3個(gè)積分，過程較復(fù)雜，可使用投影轉(zhuǎn)換法，只計(jì)算1個(gè)積分，便于計(jì)算。

（2）對被積函數(shù)P、Q、R中含有抽象函數(shù)的問題，使用該方法也可行。

1.5 參數(shù)方程法

則有

雅克比行列式為r2sinφ。

2 第二類曲面積分的計(jì)算技巧

2.1 代入性

第二類曲面積分的代入性是指積分曲面是由積分變量的等式給出的，可將曲面方程代入到被積函數(shù)中，以簡化被積函數(shù)。

2.2 垂直性

2.3 奇偶對稱性

第二類曲面積分的奇偶對稱性是指若曲面∑關(guān)于xoy面對稱，當(dāng)R（x，y，-z）=-R（x，y，z）時(shí)，

2.4 輪換對稱性

第二類曲面積分的輪換對稱性[10]是指：

（1）被積函數(shù)滿足輪換對稱性，即被積表達(dá)式中x，y，z的按輪換次序：x→y→z→x代換后，被積表達(dá)式不變。

（2）積分曲面及其指定側(cè)也具有輪換對稱性，這是指曲面在各坐標(biāo)面上的投影區(qū)域相同，且所給的符號也相同。

這表明若被積表達(dá)式的變量互換位置，被積表達(dá)式不變，且區(qū)域的邊界方程中的變量互換位置，區(qū)域也不變，則互換后積分值不變。

3 典型例題分析

本文通過對2道典型的天津市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題的分析，結(jié)合前面給出的計(jì)算方法和重要技巧，給出試題的各種解法。

例1（2016年天津數(shù)學(xué)競賽試題）計(jì)算，其中曲面1被平面z=0，x-y+z=2所截出部分的外側(cè)。

解法 先利用可代入性將x2+y2=1代入積分，化簡積分得

由Gauss公式得

其中，對積分I1應(yīng)用Gauss公式計(jì)算三重積分得

對積分I2應(yīng)用垂直性得

直接積分得

對積分I3應(yīng)用投影轉(zhuǎn)換法，其中∑2法向量為（1，-1，1），方向余弦為直接積分得

綜上，得

注1Gauss公式法是對第二類曲面積分的最常用方法，但本題需要補(bǔ)一個(gè)斜的平面，這是不多見的，隨之產(chǎn)生的計(jì)算量也增加了很多，讀者可將本題作為一個(gè)典型題目。

注2整個(gè)解題過程利用到了第二類曲面積分的可代入性、垂直性、Gauss補(bǔ)面、投影轉(zhuǎn)換法、二重積分奇偶對稱性技巧。

例2（2015年天津數(shù)學(xué)競賽試題）計(jì)算曲面積分，其中z2=1外側(cè)。

分析 一般第二類曲面積分，先考察Gauss公式，從Gauss公式使用的4點(diǎn)注意上看，雖然外側(cè)、封閉沒有問題，但有奇點(diǎn)且無法摳除，同時(shí)易見第4條，很復(fù)雜，不便于計(jì)算，故不能直接使用Gauss公式。這時(shí)，可考慮用各種技巧化簡積分，進(jìn)而再用直接積分法。

解法1觀察球面∑：x2+y2+z2=1及被積函數(shù)，該二類曲面積分具有輪換對稱性，即

從而

由第二類曲面積分的奇偶對稱性得

下面計(jì)算I1，由于第二類曲面積分是多值問題，取可用奇偶對稱性處理，得到積分

進(jìn)而，利用第二類曲面積分的直接積分法可得

注1該解法需要對第二類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性有較深的理解和熟練計(jì)算的能力，一般課堂上對該知識點(diǎn)很少介紹和講解，更多見于數(shù)學(xué)競賽試題或考研試題中。

注2整個(gè)解題過程利用到了第二類曲面積分的輪換對稱性、奇偶對稱性、第二類曲面積分的多值問題以及直接積分法。

解法2利用類型轉(zhuǎn)換法，化第二類曲面積分為第一類曲面積分。曲面∑的法向量為（cosα，cosβ，cosγ）=（x，y，z），進(jìn)而得

由第一類曲面積分的奇偶對稱性得

由輪換對稱性得

故

進(jìn)而，利用一類曲面的直接積分法可得

注1該解法充分利用了學(xué)生對第一類曲面積分的奇偶對稱性和輪換對稱性較深的理解和熟練的計(jì)算，利用類型轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)到第一類曲面積分問題，進(jìn)而求解。

注2整個(gè)解題過程利用到了類型轉(zhuǎn)化法、第一類曲面積分的奇偶對稱性、第一類曲面積分的輪換對稱性、第一類曲面積分的多值問題，以及一類曲面積分直接積分法。

解法3球面參數(shù)方程法，解法2中最后一個(gè)積分的計(jì)算可以采用球面參數(shù)方程法。設(shè)球面的參數(shù)方程為

則

4 結(jié)語

本文通過一題多解，比較了每種解法的計(jì)算量和復(fù)雜性，可以看出計(jì)算方法和技巧選取的重要性。在計(jì)算第二類曲面積分時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)和積分曲面的特點(diǎn)，結(jié)合本文所給的計(jì)算方法和技巧的使用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记?，降低問題的復(fù)雜性，簡化計(jì)算。理解第二類曲面積分的計(jì)算方法是基礎(chǔ)，掌握第二類曲面積分的計(jì)算技巧是關(guān)鍵。對于學(xué)生來說，認(rèn)真分析，究其本質(zhì)，融會貫通，必定能起到事半功倍的效果。