張秀云，王志強，卞 杰

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)汽車與交通學(xué)院，天津300222；3.云南工業(yè)技師學(xué)院，曲靖655300）

在多軸輪廓軌跡的跟蹤控制中，提高輪廓精度、實現(xiàn)精密輪廓跟蹤一直是運動控制領(lǐng)域研究的重點課題之一。在傳統(tǒng)方法中，各軸的運動慣性、負(fù)載不平衡以及響應(yīng)不及時等問題會造成軌跡轉(zhuǎn)折點處輪廓誤差大、動態(tài)響應(yīng)速度慢的問題[1]，通?？梢酝ㄟ^降低單軸的跟蹤誤差來提高輪廓精度，近年來已有很多學(xué)者通過設(shè)計更高精度的單軸控制器來提升系統(tǒng)輪廓性能，如采用前饋控制[2]、零相位誤差跟蹤控制[3]等。但是僅僅提高單軸跟蹤精度不能完全保證多軸輪廓誤差的降低[4]，為此需要同時協(xié)同多軸控制，Koren[5]最早提出交叉耦合輪廓控制（cross-coupling contour control，CCCC）以提高雙軸運動系統(tǒng)的輪廓精度，隨后許多學(xué)者結(jié)合變增益控制[6]、魯棒控制[7]、自適應(yīng)控制[8]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[9]、迭代學(xué)習(xí)控制[10]、預(yù)測控制[11]以及模糊控制[12]等設(shè)計控制器，改善雙軸運動系統(tǒng)的輪廓性能。廣義預(yù)測控制（generalized predictive control，GPC）是Clarke等[13]于1987年提出的一種自適應(yīng)模型預(yù)測控制算法，該算法被廣泛應(yīng)用于電機控制中。文獻(xiàn)[14-15]將顯式廣義預(yù)測控制用于三相永磁同步電機的速度和位置控制，并設(shè)計單積分和雙積分的預(yù)測算法跟蹤階躍和斜坡參考信號。文獻(xiàn)[16]提出基于廣義預(yù)測控制和擴展?fàn)顟B(tài)觀測器的永磁同步電機控制，通過對擾動量的補償，提高魯棒性。

本文基于統(tǒng)一建模的思想建立統(tǒng)一預(yù)測模型，通過多步預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正的方法對雙軸運動系統(tǒng)的輪廓精度進(jìn)行優(yōu)化。

1 雙軸運動系統(tǒng)輪廓誤差及交叉耦合輪廓控制

本文所選用的雙軸運動系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 雙軸運動系統(tǒng)

伺服軸的實際位置P與電機機械角位置θ之間的關(guān)系為

式中：r為滾珠絲杠的螺距。

跟蹤誤差e和線性輪廓誤差ε的計算方法為

式中：β為輪廓軌跡期望位置點處的切線與x軸正方向的夾角。

傳統(tǒng)交叉耦合輪廓控制策略簡稱為級聯(lián)CCCC策略，該控制策略結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)交叉耦合控制結(jié)構(gòu)圖

從圖2可以看出，傳統(tǒng)交叉耦合輪廓控制結(jié)構(gòu)具有一定局限性：①控制結(jié)構(gòu)冗余，控制器參數(shù)調(diào)節(jié)繁瑣。②采用經(jīng)典級聯(lián)型控制結(jié)構(gòu)，多控制環(huán)極大地限制了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度，存在軌跡轉(zhuǎn)折點處動態(tài)響應(yīng)速度慢、輪廓誤差大等問題。

2 雙軸運動系統(tǒng)廣義預(yù)測輪廓控制

為了解決傳統(tǒng)級聯(lián)CCCC結(jié)構(gòu)的局限性，本文區(qū)別于傳統(tǒng)的“級聯(lián)”控制結(jié)構(gòu)，基于統(tǒng)一建模的思想，建立整合型同步控制架構(gòu)，并設(shè)計緊湊的預(yù)測輪廓控制器，其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

從圖3可以看出，應(yīng)用預(yù)測控制建立緊湊的預(yù)測輪廓控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)輪廓誤差的預(yù)測控制，且具有建模直觀、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點。

2.1 永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型

PMSM的動態(tài)方程和運動方程為

式中：ud、uq分別為d軸、q軸電壓；id、iq分別為d軸、q軸電流；Rs為定子電阻；Ls為定子電感；ω為電機轉(zhuǎn)子機械角速度；p為極對數(shù)；ψf為永磁體磁鏈；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；KT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為摩擦系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

式（6）可以表示為關(guān)于θ的二次函數(shù)，即

當(dāng)電機空載即TL=0，由式（7）和式（5）可得PMSM機械運動開環(huán)傳遞函數(shù)為

針對式（8），加入零階保持器，并進(jìn)行z變換，得到PMSM機械運動z域傳遞函數(shù)為

式中：a1=-（1+e-Ts·B/J）；a2=e-Ts·B/J；b0=（KT/B）·[Ts-（J/B）·（1-e-Ts·B/J）]；b1=（KT/B）·[（J/B）·（1-e-Ts·B/J）-Ts·e-Ts·B/J]；Ts為采樣周期。

考慮隨機擾動，可得到單軸PMSM的受控自回歸積分滑動平均（CARIMA）模型為

式中：ξ（k）表示隨機擾動；Δ=1-z-1為差分算子；A（z-1）=1+a1z-1+a2z-2；B（z-1）=b0+b1z-1。

故雙軸運動系統(tǒng)CARIMA模型可以表示為

iq（k-1）=[iqx（k-1） iqy（k-1）]T；T表示轉(zhuǎn)置。

2.2 雙軸運動系統(tǒng)廣義預(yù)測輪廓控制算法

本文基于統(tǒng)一建模的思想，采用GPC設(shè)計x、y軸整體位置-電流多步預(yù)測控制器，得到輸出位置的預(yù)測序列，將預(yù)測序列與設(shè)定序列比較，得到跟蹤誤差與輪廓誤差序列，將輪廓誤差作為該雙軸運動系統(tǒng)的內(nèi)部變量，加入價值函數(shù)，通過最優(yōu)化價值函數(shù)，確定作用于當(dāng)前時刻的電流控制量，電流環(huán)采用id*=0控制，將其簡稱為GPCC策略，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 GPCC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中θx*、θy*為x、y軸電機的未來位置設(shè)定值；θx（k）、θy（k）為x、y軸電機當(dāng)前時刻的位置反饋值。在當(dāng)前采樣時刻kTs，基于統(tǒng)一預(yù)測模型，利用當(dāng)前和未來Nu步的控制增量序列ΔIqT=[ΔIqxΔIqy]、過去的控制增量序列ΔIq_0T=[ΔIqx_0ΔIqy_0]以及當(dāng)前和過去的系統(tǒng)輸出ΘT=[ΘxΘy]，對x、y軸電機未來有限時域[（k+1）·Ts，（k+N）Ts]的輸出序列進(jìn)行預(yù)測，將得到的預(yù)測序列與經(jīng)平滑后的位置設(shè)定序列ΘrT=[ΘrxΘry]進(jìn)行比較，得到x、y軸電機的跟蹤誤差序列ET=[ExEy]，經(jīng)過變換得到系統(tǒng)的輪廓誤差序列Φ，將E和Φ加入價值函數(shù)，通過對min J（k）進(jìn)行最優(yōu)化處理，得到x、y軸電機當(dāng)前時刻的控制量iqx*和iqy*。

（1）平滑

參考軌跡為一階滯后模型，有

式中：0≤α＜1，α被稱為柔化因子；j=1，…，N。

（2）優(yōu)化

價值函數(shù)選為

式中：μ為輪廓誤差系數(shù)；λ為控制加權(quán)系數(shù)。

（3）統(tǒng)一預(yù)測模型建立

若令N為預(yù)測域，Nu為控制域，nax和nay分別為Ax（z－1）和Ay（z－1）的最高階次，nbx和nby分別為Bx（z－1）和By（z－1）的最高階次，則可將x、y軸電機位置設(shè)定序列，預(yù)測序列和跟蹤誤差序列Θrx、Θry、Θ^x、Θ^y，Ex和Ey用統(tǒng)一符號Y表示，則有Y=[y（k+1），…，y（k+N）]；隨機擾動序列為ζ=[ξ（k），…，ξ（k+N）]；輪廓誤差序列為Φ=[ε（k），…，ε（k+N）]；x、y軸電機的當(dāng)前、未來和過去時刻的控制增量序列分別為ΔIqx=[ΔIqx（k），…，Δiqx（k+Nu－1）]；ΔIqy=[Δiqy（k），…，Δiqy（k+Nu－1）]；ΔIqx_0=[Δiqx_0（k－ 1），…，Δiqx_0（k -nbx）]；ΔIqy_0=[Δiqy_0（k－1），…，Δiqy_0（k-nby）]；當(dāng)前和過去的位置輸出序列分別為Θx=[θx（k），...，θx（k-nax）]；Θy=[θy（k），…，θy（k-nay）]。

為得到j(luò)步后輸出θ^（k+j）的最優(yōu)預(yù)測值，使用Diophantine方程，即

由已知的2臺電機Ax（z－1）、Ay（z－1）、Bx（z－1）和By（z－1），根據(jù)Diophantine方程參數(shù)的遞推公式可以得到x、y軸電機控制過程變量，分別為Dx、Fx、Gx、Hx和Dy、Fy、Gy、Hy，且D=diag[Dx，Dy]；F=diag[Fx，F(xiàn)y]；G=diag[Gx，Gy]；H=diag[Hx，Hy]；其中

因此N步最優(yōu)輸出預(yù)測值為

將式（16）代入式（15），可得

當(dāng)前時刻廣義預(yù)測控制量為

3 雙軸運動系統(tǒng)GPCC性能分析

情況1：當(dāng)μ=0，即價值函數(shù)不含輪廓誤差項時，代入式（18），可得

在這種情況下，為獲得令人滿意的同步性能，雙軸在動態(tài)和靜態(tài)下應(yīng)該完全同步。

情況2：當(dāng)Ax（z-1）=Ay（z-1），Bx（z-1）=By（z-1）且λ=0時，Gx（z-1）=Gy（z-1），代入式（18），可得

可以看出，當(dāng)λ=0時，即價值函數(shù)中不含控制增量項，通過計算可以得到控制量與μ無關(guān)，但是為獲得穩(wěn)定及光滑的系統(tǒng)反饋，在大多數(shù)控制輸入計算中，通常選λ>0。

4 仿真研究與分析

為驗證所提出的GPCC策略對雙軸運動系統(tǒng)的控制效果，通過Matlab的Simulink模塊對雙永磁同步電機系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。

4.1 GPCC與CCCC算法對比

給定雙軸運動系統(tǒng)折線運動軌跡，角度β為45°和-45°，x、y軸的進(jìn)給速率均為10 mm/s，在0.1 s時，x軸電機加5 N負(fù)載，而y軸電機加3 N負(fù)載；在0.2 s時，x軸給定軌跡方向不變，y軸給定軌跡方向呈現(xiàn)90°彎折，即運動軌跡經(jīng)過拐點，分別給出傳統(tǒng)CCCC策略和所提出的GPCC策略下的軌跡、跟蹤誤差和輪廓誤差的變化曲線，傳統(tǒng)CCCC與GPCC下雙軸運動系統(tǒng)輸出響應(yīng)如圖5所示。

圖5 傳統(tǒng)CCCC與GPCC下雙軸運動系統(tǒng)輸出響應(yīng)

由圖5（a）可以看出，采用GPCC時軌跡的跟蹤效果更好，特別是在電機運行過程中外加負(fù)載擾動時，位置信號跌落更小，且更快地恢復(fù)到給定值。由圖5（b）和（c）可以看出，在加載和拐點時，采用GPCC時超調(diào)量更小，響應(yīng)速度變快，即誤差能更快速地收斂，具有更好的動態(tài)特性。由圖5（d）可以看出，在加載和拐點時，采用GPCC時輪廓誤差更小，且能夠更快速地收斂，動態(tài)性能更好。

4.2 GPCC（μ=0）和GPCC（μ=2）對比

為了更好地驗證輪廓誤差項對于所提出的雙軸運動系統(tǒng)GPCC策略的作用，將μ=0時與μ=2時兩種情況相比較。給定與上述相同的雙軸運動系統(tǒng)折線運動軌跡，圖6為預(yù)測輪廓控制對應(yīng)的軌跡、跟蹤誤差和輪廓誤差的變化曲線。

由圖6（a）可以看出，2種方法的跟蹤性能沒有明顯差別。由圖6（b）和（c）可以看出，在加載和拐點時，不含輪廓誤差項的x軸跟蹤誤差在拐點時由于參考信號不變，跟蹤誤差曲線近乎一條直線，但是增加輪廓誤差項時，x軸跟蹤誤差在拐點時會向y軸跟蹤誤差的方向傾倒，即犧牲一部分跟蹤性能以提高同步性能，加載時情況亦是如此。由圖6（d）可以看出，在加載和拐點時，采用改進(jìn)算法時，輪廓誤差雖然幅值沒有明顯變小，但快速性提高，動態(tài)性能更好。

圖6 GPCC(μ=0)與GPCC(μ=2)下雙軸運動系統(tǒng)輸出響應(yīng)

4.3 輪廓誤差系數(shù)對系統(tǒng)輪廓誤差的影響

為了說明輪廓誤差系數(shù)μ選取不同值時對輪廓誤差的影響，給定與上述相同的雙軸運動系統(tǒng)折線運動軌跡，圖7為不同μ時的輪廓誤差圖。

圖7 不同μ時的輪廓誤差圖

從圖7可以看出，當(dāng)在加載或軌跡拐點時，μ=2比μ=0.1輪廓誤差動態(tài)響應(yīng)快，但當(dāng)μ=10時，會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，這是因為當(dāng)μ取很大的值時，相對來說跟蹤效果的調(diào)節(jié)作用變?nèi)?，容易出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。

5 結(jié)論

本文通過對比研究所提出的廣義預(yù)測輪廓控制策略與交叉耦合輪廓控制策略，得到如下結(jié)論：

（1）本文所提算法基于統(tǒng)一建模的思想，將雙軸運動系統(tǒng)中2臺電機的位置環(huán)和速度環(huán)看作整體進(jìn)行統(tǒng)一建模，能夠簡化雙軸運動系統(tǒng)的整體控制結(jié)構(gòu)，具有建模直觀的優(yōu)點。

（2）本文所提算法能夠在保證穩(wěn)態(tài)輪廓跟蹤性能的前提下，提高系統(tǒng)瞬態(tài)輪廓跟蹤性能，特別是在發(fā)生大轉(zhuǎn)折時，輪廓誤差會減小，且動態(tài)響應(yīng)速度也會加快。

（3）本文所提算法易于拓展到三維運動軌跡，并且在多臺電機的協(xié)同控制中也能夠有較為廣泛的應(yīng)用。