舒洪銘 許昌林

摘 要：對(duì)于收斂的無窮級(jí)數(shù)的求和有時(shí)候存在困難， 本文通過構(gòu)造兩種不同的概率模型，?將一個(gè)收斂的無窮級(jí)數(shù)求和問題轉(zhuǎn)化為概率問題，?然后利用概率的公理化定義以及概率運(yùn)算性質(zhì)，?對(duì)復(fù)雜收斂無窮級(jí)數(shù)的和進(jìn)行求解. 另外，?說明了對(duì)于同一個(gè)收斂無窮級(jí)數(shù)的求和，?可能存在著多種概率模型，?從而豐富了收斂級(jí)數(shù)的求和方法.

關(guān)鍵字：級(jí)數(shù)求和; 概率模型; 概率運(yùn)算性質(zhì).

中圖分類號(hào)O173 ???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

一、?引言

目前， 對(duì)于收斂無窮級(jí)數(shù)的求和方法有很多， 比如定義法、構(gòu)造關(guān)系式法、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)法、冪級(jí)數(shù)展開式等方法^[1][2][3]. 當(dāng)然除了這些級(jí)數(shù)求和方法以外， 對(duì)一些復(fù)雜收斂無窮級(jí)數(shù)的求和問題，?利用上述基礎(chǔ)方法求解起來比較困難， 此時(shí)通過構(gòu)造一些適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ瓦M(jìn)行求解收斂無窮級(jí)數(shù)的和是一種比較好的途徑^[4]. 為此， 本文針對(duì)一個(gè)復(fù)雜收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的求解問題， 適當(dāng)構(gòu)造了兩種概率模型進(jìn)行求解， 不僅解決了特殊無窮級(jí)數(shù)的求和問題， 還進(jìn)一步說明了對(duì)于一些收斂級(jí)數(shù)的求和問題來說， 可能同時(shí)存在著多種概率模型.

比如針對(duì)下列正向無窮級(jí)數(shù)

的求和問題. 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別準(zhǔn)則^[6]可知（1）式收斂. 為了求解無窮級(jí)數(shù)（1）式的和， 下面通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ蛠韺?duì)其進(jìn)行求解.

二、?無窮級(jí)數(shù)和的第一種概率模型求解

概率模型1：設(shè)有兩個(gè)一樣的盒子， 第一個(gè)盒子有1個(gè)紅球、1個(gè)白球， 第二個(gè)盒子有4個(gè)紅球、1個(gè)白球， 小球除了顏色不同， 其余特征均相同. 現(xiàn)在有放回的從兩個(gè)盒子中各取1個(gè)小球， 若取出的2個(gè)小球均為紅球， 則試驗(yàn)成功， 停止試驗(yàn); 反之試驗(yàn)失敗， 此時(shí)再向兩個(gè)盒子中分別各加入2個(gè)白球， 重復(fù)上述試驗(yàn)，?直到試驗(yàn)成功.?求該試驗(yàn)成功的概率.

• 無窮級(jí)數(shù)和的第二種概率模型求解

對(duì)于（1）式收斂級(jí)數(shù)的求和，?還可以構(gòu)造其他概率模型進(jìn)行求解，?如此可以構(gòu)造下面的概率模型進(jìn)行求解.

概率模型2： 設(shè)有兩個(gè)一樣的盒子， 第一個(gè)盒子有2個(gè)紅球、0個(gè)白球， 第二個(gè)盒子有2個(gè)紅球、3個(gè)白球， 小球除了顏色不同， 其余特征均相同. 重復(fù)模型1的試驗(yàn)步驟， 求該試驗(yàn)成功的概率.

四、?總結(jié)

本文對(duì)一個(gè)復(fù)雜收斂的無窮級(jí)數(shù)和的求解問題，?從構(gòu)造不同概率模型角度出發(fā)，?將復(fù)雜求和問題轉(zhuǎn)化為利用概率論預(yù)算性質(zhì)進(jìn)行求解， 計(jì)算過程簡(jiǎn)單明了，?簡(jiǎn)化了求和復(fù)雜程度， 同時(shí)也降低了求解難度，?這為收斂的無窮級(jí)數(shù)的求和問題提供了不同的途徑.?同時(shí)，?也能看出，?對(duì)于同一個(gè)收斂的無窮級(jí)數(shù)，?可以構(gòu)造不同的概率模型進(jìn)行求解.?可見，?運(yùn)用概率模型求解無窮級(jí)數(shù)和的靈活性.

參考文獻(xiàn)

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