張學(xué)儀，何小妹，劉峻峰，王卓然，王一璋

（航空工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095）

葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)鍵零件，具有種類(lèi)多、數(shù)量大、曲面形狀多樣、加工工藝復(fù)雜、加工難度大等特點(diǎn)，其質(zhì)量直接影響到發(fā)動(dòng)機(jī)的氣動(dòng)性能與壽命[1–2]。隨著新型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片型面在彎、扭和掠的增強(qiáng)以及前后緣曲率半徑的小型化，對(duì)葉片的幾何尺寸和形狀測(cè)量精度要求也越來(lái)越嚴(yán)格。由于葉片的尺寸、形狀、物理和力學(xué)等因素決定了葉片的整體性能[3–5]，葉片生產(chǎn)的不同階段均需要對(duì)葉片的幾何尺寸和形狀進(jìn)行檢測(cè)[6]。

葉片型面參數(shù)描述了葉身幾何尺寸和各部分相互位置關(guān)系，參數(shù)種類(lèi)主要包括葉型形狀、位置、扭轉(zhuǎn)、前后緣、長(zhǎng)度等。總體來(lái)說(shuō)葉片型面參數(shù)可以分為4類(lèi)：尺寸類(lèi)、位置類(lèi)、角度類(lèi)和輪廓度類(lèi)。

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片型面的測(cè)量精度要求較高[5]，在對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的葉片測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性上有需求，這就需要對(duì)檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定[7–10]?，F(xiàn)階段對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片葉型測(cè)量不確定度評(píng)定尚未有統(tǒng)一的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。一方面，由于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在測(cè)量過(guò)程中影響測(cè)量結(jié)果不確定度的誤差來(lái)源復(fù)雜多樣，導(dǎo)致分析困難，各誤差源對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響難以量化[11]，誤差模型建立難度大[12]。另一方面，對(duì)葉片這類(lèi)自由曲面的復(fù)雜測(cè)量任務(wù)，葉片點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理方法、參數(shù)評(píng)定算法的不同，都會(huì)對(duì)測(cè)量不確定度評(píng)定產(chǎn)生影響[13–15]。

而在現(xiàn)階段的研究中各國(guó)學(xué)者對(duì)于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)特定測(cè)量任務(wù)的不確定度方面的研究，選擇采用了蒙特卡洛法，如Miura等[16]用蒙特卡羅模擬法估算基于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的階梯規(guī)測(cè)量不確定度；宋愛(ài)國(guó)等[17]提出基于一種種群優(yōu)化的微分進(jìn)化算法評(píng)定了圓度測(cè)量誤差，并采用蒙特卡洛法評(píng)定出圓度測(cè)量的測(cè)量不確定度；意大利Ruffa等[18]研究了 CMM 進(jìn)行圓度測(cè)量時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)和測(cè)量不確定度之間的關(guān)系；埃及Ali[19]討論了掃描式 CMM 在不同掃描速度和擬合算法的條件下，對(duì)直徑和圓度測(cè)量的影響；美國(guó) Ramaswami等[20]建立了圓柱度測(cè)量時(shí)測(cè)量精度和測(cè)量策略之間的雙向估計(jì)模型。

可以看出，國(guó)內(nèi)外對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)一些常規(guī)形位參數(shù)的不確定度測(cè)量研究成果較多且研究更有深度，在測(cè)量點(diǎn)數(shù)、測(cè)量策略等對(duì)形位測(cè)量不確定度的影響上做了大量的研究，但對(duì)于葉片這種自由曲面尚未有太多的不確定度評(píng)定方法。

因此針對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的葉片測(cè)量過(guò)程，本文提出一種基于蒙特卡洛法評(píng)定葉片型面參數(shù)測(cè)量結(jié)果不確定度的方法，并將本文的研究成果與基于GUM （Guide to the expression of uncertainty in measurement）法的部分參數(shù)評(píng)定結(jié)果進(jìn)行了比較，證明了蒙特卡洛法葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定評(píng)定方法的準(zhǔn)確性和有效性。

1 基于蒙特卡洛法的葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度評(píng)定理論

應(yīng)用蒙特卡洛法的測(cè)量不確定度評(píng)定方法是基于概率理論。利用蒙特卡洛法評(píng)定葉片型面參數(shù)的不確定度計(jì)算過(guò)程如圖1所示，x1，x2，…，xn為影響葉片參數(shù)誤差的主要因素，蒙特卡洛法首先要分析這些誤差源的測(cè)量估計(jì)值和測(cè)量不確定度，產(chǎn)生符合各參數(shù)分布狀態(tài)的隨機(jī)數(shù)；然后代入各參數(shù)誤差模型，構(gòu)成f的概率分布；最后根據(jù)f的概率分布，求出其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，即為所求的葉片參數(shù)值和測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

圖1 蒙特卡洛法評(píng)定參數(shù)不確定度Fig.1 Monte Carlo method for parameter uncertainty evaluation

針對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量葉片的過(guò)程，應(yīng)用模型模擬測(cè)量任務(wù)并估計(jì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量葉片的不確定度。模型的建立需要考慮測(cè)量點(diǎn)的分布、測(cè)頭的選擇和配置、測(cè)量系統(tǒng)所在環(huán)境等在模型中的影響表現(xiàn)。首先需要實(shí)際測(cè)量得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，考慮在仿真過(guò)程中各誤差源不確定度和采用的其分布參數(shù)[12]，為所有測(cè)量點(diǎn)指定了1組仿真三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的誤差特性[16]，通過(guò)選擇各誤差源的分布對(duì)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擾動(dòng)，生成多組測(cè)量值，并輸入到如尺寸參數(shù)（長(zhǎng)度、厚度、角度等）、輪廓參數(shù)等實(shí)際參數(shù)數(shù)學(xué)模型計(jì)算表示，得到多組模擬測(cè)量參數(shù)值，并且由于選擇算法不同，通過(guò)對(duì)特定算法進(jìn)行仿真可以得到同一參數(shù)不同算法產(chǎn)生的不確定度。

坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空間測(cè)量數(shù)學(xué)模型為：

根據(jù)誤差傳播定律，空間長(zhǎng)度d的測(cè)量誤差可表達(dá)為：

其中，測(cè)量時(shí)，坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)返回的數(shù)據(jù)格式為（x，y，z，α，β，I，J，K），其中（x，y，z）為被測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值；α、β分別為測(cè)量時(shí)A軸與B軸的角度；（I，J，K）為測(cè)量時(shí)的探測(cè)矢量。坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)返回的是合成后的數(shù)據(jù)，并不能從控制系統(tǒng)中獲得各主軸的光柵值、測(cè)桿變形量以及測(cè)頭A、B軸運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移量。

通過(guò)對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量葉片測(cè)量精度的評(píng)估與坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度的評(píng)估問(wèn)題的分析，假設(shè)坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)模型的實(shí)質(zhì)是分量誤差相互重疊，因此可以通過(guò)分析提取出測(cè)量過(guò)程中每個(gè)點(diǎn)的相互獨(dú)立的各分量誤差矢量。以試驗(yàn)采用的測(cè)量范圍為2000mm×1200mm×1000mm的坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)某發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的測(cè)量過(guò)程為例，通過(guò)分析測(cè)量設(shè)備的不確定度、探觸形狀誤差引入的測(cè)量不確定度、重復(fù)性、溫度影響的特性指標(biāo)，反映了葉片測(cè)量過(guò)程中不確定性的特征，反映各種誤差對(duì)于測(cè)量結(jié)果不確定度的影響，進(jìn)行以下分析。

1.1 測(cè)量設(shè)備的不確定度

通過(guò)分析坐標(biāo)測(cè)量機(jī)單軸測(cè)量不確定度、坐標(biāo)垂直度誤差、坐標(biāo)直線度誤差和旋轉(zhuǎn)誤差，最終合成得到測(cè)量設(shè)備的不確定度，最大示值誤差UMPE=（1.2+l/350）μm。假設(shè)在這個(gè)范圍內(nèi)測(cè)量設(shè)備不確定度任何結(jié)果都是可能的，那么測(cè)量設(shè)備的不確定度服從矩形分布。

1.2 溫度變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

環(huán)境條件影響的估算在模擬測(cè)量模型中很重要。對(duì)于幾何量，機(jī)械零件的熱梯度會(huì)顯著影響后續(xù)的測(cè)量，影響測(cè)量尺寸的其中一個(gè)因素即為溫度變化。溫度的變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響主要考慮三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)與工件之間的膨脹系數(shù)的差異及三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)標(biāo)尺膨脹系數(shù)不確定度，因此有必要在考慮熱膨脹系數(shù)的情況下提供熱補(bǔ)償。根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)，幾何測(cè)量的參考溫度為20℃。與該溫度的任何偏差均應(yīng)根據(jù)以下公式進(jìn)行校正：

其中，lc為校正后長(zhǎng)度；l為測(cè)得的長(zhǎng)度；t為溫度；α為對(duì)于給定的校準(zhǔn)元件材料采取的熱膨脹系數(shù)。

被測(cè)件和設(shè)備的膨脹系數(shù)差在半寬為2×10–6℃–1的區(qū)間內(nèi)溫度Δt=0.3℃，服從矩形分布，

1.3 算法誤差

葉片的評(píng)價(jià)結(jié)果是由坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)通過(guò)葉片參數(shù)評(píng)價(jià)算法給出。就葉片來(lái)說(shuō)，其最終測(cè)量結(jié)果的誤差源勢(shì)必包括了測(cè)量設(shè)備硬件系統(tǒng)本身誤差和測(cè)量軟件處理算法帶入的誤差因素，因此這部分主要研究對(duì)軟件評(píng)價(jià)算法的誤差估計(jì)。在算法誤差中，不考慮算法數(shù)學(xué)模型建立不同的影響，主要來(lái)源有方法誤差（截?cái)嗾`差），即算法中包含的計(jì)算公式（如泰勒公式等）本身是一種求解的近似（連續(xù)的離散化處理，無(wú)窮的有限話處理）；舍入誤差，即計(jì)算機(jī)中的數(shù)（機(jī)器數(shù)）是具有有限精度的實(shí)數(shù)的有限子集，由于計(jì)算時(shí)的四舍五入，或者因計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限而使原始數(shù)據(jù)只能用有限位數(shù)表示，由此產(chǎn)生的誤差。通過(guò)合成，算法誤差可以記為0.05μm，服從矩形分布。

1.4 探測(cè)誤差

探測(cè)誤差是使用坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)球半徑的示值變化范圍而確定的誤差，主要反映了測(cè)頭的各向異性、瞄準(zhǔn)誤差和作用直徑的影響，屬于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的方向特性參數(shù)。探測(cè)誤差是影響測(cè)量不確定度的重要因素，對(duì)于不同的測(cè)頭，探測(cè)誤差也不同。對(duì)葉片測(cè)量過(guò)程中采用的測(cè)頭，通過(guò)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行測(cè)量，得到探測(cè)誤差為2μm，服從均勻分布。

通過(guò)以上分析，論文中對(duì)MCM模型是基于以下參數(shù)的試驗(yàn)計(jì)算和估計(jì)的：三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)運(yùn)動(dòng)誤差、系統(tǒng)的和隨機(jī)的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)探頭誤差、算法的誤差分析以及環(huán)境條件的變化。對(duì)于葉片各參數(shù)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，為每個(gè)輸入量分配適當(dāng)?shù)母怕拭芏群瘮?shù)。由于蒙特卡羅方法（MCM）是基于對(duì)與參考對(duì)象的校準(zhǔn)值有關(guān)的測(cè)量誤差的統(tǒng)計(jì)評(píng)估，因此試驗(yàn)次數(shù)需要足夠多才能正確確定輸出量的分布，因此對(duì)于概率p=0.95，確定了M=106的試驗(yàn)次數(shù)。最終得到M個(gè)模擬參數(shù)值，構(gòu)成了輸出量的分布，可以確定期望值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。

應(yīng)用蒙特卡洛法對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量葉片型面參數(shù)不確定度評(píng)定的具體步驟如下：

（1）分析葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度的來(lái)源，對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)葉片測(cè)量過(guò)程中的不確定因素進(jìn)行定量評(píng)估，判斷其分布類(lèi)型及分布區(qū)間。通常不確定度來(lái)源主要有坐標(biāo)點(diǎn)測(cè)量不確定度、示值誤差引起的不確定度、環(huán)境因素等引起的不確定度[15]；

（2）針對(duì)葉片型面不同類(lèi)型的參數(shù)，模擬坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行處理運(yùn)算，確定誤差模型式中輸入變量的范圍和分布；

（3）考慮到點(diǎn)云數(shù)據(jù)中每個(gè)測(cè)量點(diǎn)相互獨(dú)立，對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)中的每個(gè)點(diǎn)，都隨機(jī)加入按各個(gè)輸入量的分布生成的誤差，來(lái)模擬葉片測(cè)量中得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。通過(guò)采用大樣本來(lái)進(jìn)行葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度評(píng)定，樣本容量越大，越能真實(shí)地模擬出實(shí)際測(cè)量值；

（4）根據(jù)以上得到的模擬測(cè)量數(shù)據(jù)，代入葉片各參數(shù)數(shù)學(xué)模型中，求得試驗(yàn)結(jié)果值。根據(jù)該組值，構(gòu)造一個(gè)概率分布，判斷其分布類(lèi)型，計(jì)算其期望值、標(biāo)準(zhǔn)差和95%置信區(qū)間，期望值即為葉片型面參數(shù)值，標(biāo)準(zhǔn)差即為所要求的各葉片型面參數(shù)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，置信區(qū)間上下限差值表示葉片型面參數(shù)的變化范圍。

2 基于蒙特卡洛法的葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度評(píng)定試驗(yàn)

為了更全面地表示葉片型面測(cè)量過(guò)程的不確定度，綜合評(píng)價(jià)葉片型面的測(cè)量結(jié)果，選取了葉片型面4類(lèi)參數(shù)中的典型參數(shù)，分別為葉型最大厚度、弦長(zhǎng)、位置度、扭轉(zhuǎn)角和輪廓度。

2.1 最大厚度

最大厚度是指葉片截面的最大厚度值[16]，是對(duì)葉型輪廓度的補(bǔ)充，為控制葉片的最大厚度分布，通常是對(duì)封閉葉型進(jìn)行內(nèi)切圓計(jì)算，得到內(nèi)切圓的最大半徑，將最大內(nèi)切圓的直徑作為葉型的最大厚度值。

葉片測(cè)量數(shù)據(jù)通常是等高截面上離散的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，首先將葉片點(diǎn)云數(shù)據(jù)粗分割成前緣、后緣、葉盆和葉背4部分，然后對(duì)粗分割獲取得到的葉片前后緣數(shù)據(jù)進(jìn)一步精確提取。

（1）計(jì)算葉片點(diǎn)云數(shù)據(jù)中距離最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，分別為葉片截面的前緣極值點(diǎn)和后緣極值點(diǎn)。

（2）從前后緣極值點(diǎn)分別向葉盆、葉背方向各延伸數(shù)點(diǎn)。

（3）對(duì)選取的點(diǎn)基于最小二乘法擬合圓，該圓的半徑作為初始前（后）緣半徑。

（4）計(jì)算半徑誤差，設(shè)待擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)為（xi，yi），擬合的圓心坐標(biāo)為（xc，yc），擬合圓半徑為R。

（5）基于初始擬合點(diǎn)往葉盆葉背方向逐步增加數(shù)據(jù)點(diǎn)，當(dāng)半徑誤差超過(guò)閾值時(shí)，到達(dá)前后緣與葉盆葉背連接處。

（6）獲取葉盆葉背與前后緣的連接點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)葉盆葉背和前后緣的分割，并可以擬合出前后緣圓弧對(duì)應(yīng)圓，計(jì)算出前后緣圓弧半徑和圓心。

（7）對(duì)精確分割得到的葉盆、葉背、前緣和后緣點(diǎn)云數(shù)據(jù)重新排序、加密來(lái)重構(gòu)葉片截面型線。由于葉盆葉背處點(diǎn)云較稀疏，而且分布疏密不均，利用B樣條曲線插值對(duì)葉盆葉背上點(diǎn)進(jìn)行加密。

（8）求取加密后的葉盆點(diǎn)Ai到葉背Bi之間距離最小值的合集，對(duì)葉盆上點(diǎn)Ai，

（9）在最小值合集中找到最大的值，即為求得的最大厚度距離。

對(duì)葉盆上所有點(diǎn)A，求得的li對(duì)應(yīng)的合集L，最大厚度h=max{li}。

選取基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)葉片截面實(shí)測(cè)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)得的1836個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)隨機(jī)加入服從均勻分布空間坐標(biāo)測(cè)量不確定度（1.2+l/350）μm；服從等概率分布的環(huán)境因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響（1.15×10–3lΔt）μm，其中假設(shè)Δt=0.3℃；服從均勻分布的校準(zhǔn)裝置探觸形狀誤差引入的不確定度2μm。輸入最大厚度的數(shù)學(xué)模型中模擬106次，得到對(duì)應(yīng)截面最大厚度的期望值，標(biāo)準(zhǔn)差及置信區(qū)間為95%的區(qū)間范圍，最大厚度直方圖如圖2所示。

由圖2可以看出，數(shù)據(jù)在[30.358mm，30.372mm]區(qū)間內(nèi)變化，且在中間值區(qū)域集中，計(jì)算出的數(shù)組的期望值作為測(cè)量值為30.365mm，標(biāo)準(zhǔn)差作為標(biāo)準(zhǔn)不確定度值為1.76μm，95%置信區(qū)間為[30.362mm，30.369mm]，上下限差值計(jì)算得到3.43μm。

圖2 蒙特卡洛法最大厚度直方圖Fig.2 Monte Carlo method maximum thickness histogram

2.2 弦長(zhǎng)

葉型的弦線是將葉型投影在葉盆的公切線上，葉型弦長(zhǎng)即為投影點(diǎn)最小值與最大值之間的距離。弦線定義如圖3所示。

圖3 弦線定義Fig.3 Definition of chord

葉型弦線的計(jì)算方法包括前后緣點(diǎn)法、公切線法和最大值法等。試驗(yàn)中選擇前后緣點(diǎn)法計(jì)算弦長(zhǎng)，選取基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)葉片5個(gè)不同截面高度的實(shí)測(cè)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，對(duì)每個(gè)截面測(cè)得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，每個(gè)點(diǎn)隨機(jī)加入服從均勻分布最大示值誤差（1.2+l/350） μm；服從等概率分布的環(huán)境因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響（1.15×10–3lΔt）μm，其中假設(shè)Δt=0.3℃；服從均勻分布的測(cè)量設(shè)備探觸形狀誤差引入的不確定度2μm；服從矩形分布的算法誤差0.05μm。由2.1節(jié)中最大厚度數(shù)學(xué)模型中前后緣點(diǎn)的求取，通過(guò)計(jì)算前、后緣兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度，模擬106次，對(duì)得到的多組數(shù)據(jù)應(yīng)用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度，結(jié)果如表1所示。

通過(guò)表1中數(shù)據(jù)可以看到，對(duì)不同高度的不確定度評(píng)定，不同高度的測(cè)量不確定度差值在1μm以?xún)?nèi)。

表1 不同高度的弦長(zhǎng)不確定度及測(cè)量值Table 1 Uncertainty and measurement value of chord length at different heights

最大厚度和弦長(zhǎng)參數(shù)的評(píng)定證明了葉片尺寸類(lèi)參數(shù)的測(cè)量不確定度是基本一致的。

2.3 位置度

葉型位置度是葉片實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相對(duì)于理論葉型坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行最佳擬合時(shí)的平移量。葉型在軸向與周向上的平移量分別稱(chēng)為軸向位置度和周向位置度。

在采用最小二乘法進(jìn)行葉型擬合時(shí)，除了最小化理論數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的方差，也最小化兩者的均方差。在這個(gè)過(guò)程中，葉型在軸向與周向上的平移量分別稱(chēng)為軸向位置度（x_offset）和周向位置度（y_offset），葉型在平面內(nèi)繞積迭點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)角，通常情況下，以檢測(cè)截面平面內(nèi)以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。

有些情況下，也采用T_offset對(duì)位置度進(jìn)行控制。T_offset的計(jì)算如下：

將實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)值與理論數(shù)據(jù)ICP配準(zhǔn)后，獲得最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T。其中最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣可以計(jì)算得到θ；通過(guò)平移向量可以求得位置度參數(shù)。葉片位置度和扭轉(zhuǎn)度評(píng)價(jià)算法流程圖如圖4所示。

圖4 葉片位置度和扭轉(zhuǎn)度評(píng)價(jià)算法流程圖Fig.4 Flow chart of blade position and torsion evaluation algorithm

選取基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)葉片中間高度的截面實(shí)測(cè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)，對(duì)這1832個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)隨機(jī)加入服從均勻最大示值誤差（1.2+l/350） μm；服從等概率分布的環(huán)境因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響（1.15×10–3lΔt）μm，其中假設(shè)Δt=0.3℃；服從均勻分布的校準(zhǔn)裝置探觸形狀誤差引入的不確定度2μm；服從矩形分布的算法誤差0.05μm。將模擬受到擾動(dòng)生成的106組數(shù)據(jù)輸入到位置度數(shù)學(xué)模型中，通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算這組值的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及95%置信區(qū)間，可以得到軸向位置度測(cè)量值為– 0.1013mm，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.089μm；周向位置度測(cè)量值為0.0538mm，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.045μm。結(jié)合圖5的直方圖可以看出，不確定度分布上和葉片型面尺寸類(lèi)參數(shù)類(lèi)似，但由于評(píng)定過(guò)程中還需要與理論數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)齊，因此必須單獨(dú)分析。

圖5 軸向和周向位置度直方圖Fig.5 Histograms of axial and circumferential position

2.4 扭轉(zhuǎn)角

葉型扭轉(zhuǎn)角是葉片實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相對(duì)于理論葉型坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行最佳擬合時(shí)，葉型在平面內(nèi)繞積疊點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度。

通過(guò)對(duì)2.3節(jié)中計(jì)算位置度及扭轉(zhuǎn)角的數(shù)學(xué)模型和試驗(yàn)，對(duì)計(jì)算得到的模擬參數(shù)值進(jìn)行分析，可得扭轉(zhuǎn)角測(cè)量值為0.0512°，標(biāo)準(zhǔn)不確定度值為0.00031°，其中95%的置信區(qū)間對(duì)應(yīng)的不確定度為0.00021°，由圖6扭轉(zhuǎn)角的直方圖可以看出，葉片型面角度類(lèi)參數(shù)受誤差變化影響較大，導(dǎo)致數(shù)據(jù)集中偏左。

圖6 扭轉(zhuǎn)角直方圖Fig.6 Torsion angle histogram

2.5 輪廓度

輪廓度一般指葉片型面上不同部位輪廓上最大值與最小值的差，包括前緣輪廓度、后緣輪廓度、葉盆輪廓度及葉背輪廓度。輪廓度定義如圖7所示。

圖7 輪廓度定義Fig.7 Definition of profile

葉型參數(shù)評(píng)價(jià)最基本的形狀誤差是輪廓度，而輪廓度的評(píng)價(jià)又需要在曲線曲面測(cè)量數(shù)據(jù)與理論模型的最佳擬合這一前提下實(shí)現(xiàn)，因此葉型輪廓度的計(jì)算涉及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的對(duì)齊，有以下計(jì)算流程。

（1）對(duì)葉型截面的測(cè)量數(shù)據(jù)和截面對(duì)應(yīng)的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行ICP算法配準(zhǔn)。

（2）按照2.1節(jié)中最大厚度數(shù)學(xué)模型中葉盆、葉背、前后緣分割，對(duì)葉型測(cè)量點(diǎn)集進(jìn)行分割，得到4個(gè)區(qū)域的點(diǎn)集。

（3） 對(duì)理論葉型型值點(diǎn)進(jìn)行NURBS曲線插值擬合，形成理論型線。

（4）基于圓裁剪和牛頓迭代算法實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到NURBS曲線距離計(jì)算。

（5）最后根據(jù)向量叉積法解決輪廓偏差方向的判定問(wèn)題。

選取基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)葉片中間高度的截面實(shí)測(cè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)，對(duì)這1832個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)隨機(jī)加入服從均勻分布最大示值誤差（1.2+l/350） μm；服從等概率分布的環(huán)境因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響（1.15×10–3lΔt）μm，其中假設(shè)Δt=0.3℃；服從均勻分布的校準(zhǔn)裝置探觸形狀誤差引入的不確定度2μm；服從矩形分布的算法誤差0.05μm?；诿商乜宸▽?duì)測(cè)量得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬106次，輸入到輪廓度測(cè)量的數(shù)學(xué)模型中，得到多組輪廓度模擬測(cè)量值，通過(guò)模擬測(cè)量值計(jì)算各位置輪廓度的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及95%置信區(qū)間，得到測(cè)量值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度。輪廓度的評(píng)定涉及葉片截面區(qū)域分割的問(wèn)題，因此各個(gè)位置的輪廓度在不確定度評(píng)估中也得到了不同的值，如表2所示。葉背的最小輪廓度分布如圖8所示。

結(jié)合表2和圖8可以分析得到前、后緣部分的輪廓度比葉盆、葉背輪廓度不確定度評(píng)定結(jié)果大，這符合前后緣部分曲率變化大的實(shí)際測(cè)量情況。葉背輪廓度概率分布與弦長(zhǎng)、最大厚度這類(lèi)僅需要實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算的尺寸類(lèi)參數(shù)的相比，中間區(qū)域出現(xiàn)明顯下降和上升，這是由于輪廓度的計(jì)算涉及到與理論數(shù)據(jù)的對(duì)齊算法的影響，也從不同角度說(shuō)明了葉片型面參數(shù)的測(cè)量不確定度各有不同。

表2 輪廓度不確定度Table 2 Uncertainty of profile

圖8 葉背輪廓度直方圖Fig.8 Leaf profile histogram

3 基于GUM法的葉片弦線參數(shù)測(cè)量不確定度評(píng)定

通過(guò)對(duì)某一葉片同一高度的截面在相同條件下重復(fù)測(cè)量多次，應(yīng)用GUM法對(duì)葉片弦長(zhǎng)參數(shù)的不確定度評(píng)定。首先定量分析影響不確定度的各分量。

（1）坐標(biāo)測(cè)量機(jī)尺寸最大允許示值誤差引入的測(cè)量不確定度u1。

坐標(biāo)測(cè)量機(jī)尺寸測(cè)量的最大允許示值誤差為（1.2+l/350） μm，按均勻分布，u1=（1.2+l/350）/（μm）。

（2）被測(cè)件和設(shè)備的熱膨脹系數(shù)引入的不確定度分量u2。

被測(cè)件和設(shè)備的膨脹系數(shù)差在半寬為2×10–6℃–1的區(qū)間內(nèi)以等概率分布，Δt=0.3℃ 時(shí)，

（3）葉片測(cè)量重復(fù)性引入的測(cè)量不確定度u3。

對(duì)葉片在重復(fù)條件下連續(xù)測(cè)量多次，得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

u3= 2.087（μm）

最后通過(guò)分量合成的方法得到葉片型面弦長(zhǎng)的測(cè)量不確定度為：

按包含概率ρ=95%，則k=1.96，擴(kuò)展不確定度為U95=1.96×uc=4.686（μm）

4 兩種方法的比較和分析

基于GUM法計(jì)算得到的擴(kuò)展不確定度和基于蒙特卡洛法的葉片弦長(zhǎng)測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果的范圍量級(jí)基本一致，同時(shí)，基于蒙特卡洛法葉片弦長(zhǎng)的分布結(jié)果符合概率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，充分說(shuō)明基于蒙特卡洛法的葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度評(píng)定模型的正確性。

基于蒙特卡洛法的葉片弦長(zhǎng)測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果與GUM法計(jì)算得到的測(cè)量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度相比，蒙特卡洛法可以給出測(cè)量不確定度的包含概率，可以更好地表示測(cè)量結(jié)果的特征。而計(jì)算擴(kuò)展不確定度時(shí)，GUM法通常假設(shè)模型輸出量屬于正態(tài)分布，采用估算的方式，在實(shí)際模型不一定是正態(tài)分布的情況下，具有一定的局限性；基于蒙特卡洛法評(píng)定的不確定度，通過(guò)大量模擬測(cè)量過(guò)程，結(jié)果包括了測(cè)量值的概率分布圖形，沒(méi)有對(duì)輸出量分布類(lèi)型假設(shè)所造成的誤差影響，更加的合理、準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于蒙特卡洛法評(píng)定坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量葉片型面參數(shù)不確定度的計(jì)算方法。該方法充分利用葉片實(shí)測(cè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)和理論模型，基于葉片型面參數(shù)評(píng)定算法及蒙特卡洛模擬試驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)葉片型面參數(shù)不確定度的準(zhǔn)確評(píng)估?；谠摲椒ㄟM(jìn)行的葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果與傳統(tǒng)GUM法評(píng)定處于一個(gè)量級(jí)范圍；利用該方法初步掌握了葉片尺寸類(lèi)、位置類(lèi)、角度類(lèi)和輪廓類(lèi)典型型面參數(shù)的測(cè)量不確定度評(píng)定規(guī)律。同傳統(tǒng)GUM評(píng)定方法相比，基于蒙特卡洛模擬試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)算不確定度的方法在理論上具有優(yōu)勢(shì)性、可靠性和在線性，值得在葉片型面參數(shù)測(cè)量及評(píng)價(jià)領(lǐng)域進(jìn)行推廣應(yīng)用。