余 銳，竺曉程，沈 昕，周代偉，陽 虹，杜朝輝

(1.上海交通大學，上海 200240;2.上海電氣電站設(shè)備有限公司汽輪機廠，上海 200240)

葉片設(shè)計是汽輪機、燃氣輪機等設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，直接影響葉片的效率以及整個機組的性能表現(xiàn)。設(shè)計成形的葉片各截面型線包含了葉型的重要信息，如葉型弦長、最大厚度、進出口幾何角、安裝角等幾何特性［1］，以及葉型的面積、重心、慣性矩、抗彎模量等機械特性［2］。這些是葉片氣動特性、葉片強度以及振動計算的原始數(shù)據(jù)，其精度會直接影響到葉片氣動特性、葉片應(yīng)力以及頻率計算的準確性。因而對以上參數(shù)的計算方法既要求簡單易行，又要求具有足夠的精度。由于葉型幾何形狀復(fù)雜且葉型數(shù)據(jù)來源眾多，既可以由多項式曲線、Bézier 曲線及B 樣條曲線等連續(xù)曲線定義，也可以由一系列離散點數(shù)據(jù)定義(尤其是在借鑒引進技術(shù)的葉型資料時)［3］。不過無論是何種形式定義的葉型，根據(jù)型線數(shù)據(jù)逆向求解葉型的幾何特性及機械特性參數(shù)都具有重要意義。因此，本文基于原始葉型型線的數(shù)據(jù)對原葉型的設(shè)計信息進行逆向工程研究，獲取葉型設(shè)計中關(guān)鍵的幾何及機械特性參數(shù)，為葉型的修改優(yōu)化以及新葉型的開發(fā)奠定基礎(chǔ)。

1 葉型定義及幾何參數(shù)

如圖1 所示，本文研究的葉型是由兩段參數(shù)化Bézier 曲線定義得到的，葉型尾緣開口未封閉。根據(jù)葉型型線的定義，采用連續(xù)密集坐標點描述葉型，可以將其視作葉片型線的離散形式。

在計算葉型機械特性參數(shù)時，僅要求數(shù)據(jù)坐標點按順時針方向排序且葉片前緣在尾緣的左側(cè)，而對起始點的位置無要求，可以從葉片上任何位置開始。

圖1 基于貝塞爾曲線描述的葉型

基于上述葉型描述方式，對于本文研究所涉及的葉型及葉柵幾何參數(shù)主要分為兩類:(1)由葉型、葉柵幾何外形決定的參數(shù):中弧線、葉片弦長、安裝角、最大厚度、通道收斂性、喉部特性、幾何進出氣角及前緣、尾緣小圓等;(2)由前一特性得到的相關(guān)衍生參數(shù):折轉(zhuǎn)角、最大厚度對應(yīng)內(nèi)、背弧上的點、最小通道尺寸等。

其中通道收斂性、最大厚度、喉部特性均與求解兩曲線間公切圓相關(guān)，而葉片弦長、葉片安裝角則與曲線公切線求解相關(guān)。因此，本文主要介紹曲線公切線及公切圓的求解方法，以此為基礎(chǔ)可完成以上所有參數(shù)的求解。

2 葉型壓力面公切線求解

首先定義平面曲線p(u)=［x(u)，y(u)］的相對曲率:

如圖2 所示，下面介紹本文求解葉型壓力面處公切線的方法:

1)首先在葉片壓力面上找到彎曲方向變化的兩點O1、O2，則公切線切點分別在O1、O2點兩側(cè);

2)用兩分法尋找公切線，在圖中O1靠近葉片前緣上找控制點A1，過該控制點的切線為;在O2靠近葉片尾緣上找控制點C2，過該控制點的切線為使得切線:

這樣就可求得葉型壓力面處的公切線以及對應(yīng)的切點，進而可求得與之相關(guān)的葉型幾何參數(shù)，如弦長、安裝角等。

圖2 葉型壓力面處公切線

3 曲線間公切圓求解

根據(jù)葉型中弧線的定義:中弧線是通過葉型所有內(nèi)切圓圓心的連線，是一個重要的葉型幾何參數(shù)。求解葉型的中弧線即求解葉型壓力面和吸力面一系列內(nèi)切圓的圓心［4］，另外葉柵通道特性及喉部特性的求解也可歸結(jié)為求解構(gòu)成葉柵通道的兩型線間的公切圓圓心。在此以葉型中弧線求解為例，采用直接法求解曲線間的公切圓。

直接法求解公切圓圓心的步驟如下:

1)如圖3(a)所示，在吸力面上A1點沿其法線做射線A1C1，其中A1C1與壓力面或吸力面(或其延長線上)交于C1點，如果A1C1與壓力面或吸力面均無交點(從壓力面與吸力面未連接一段空隙射出)，則給定C1點x 坐標同吸力面端點x 坐標值;

2)此時過吸力面A 點與吸力面和壓力面的公切圓圓心在A1與C1點之間;

3)在線段A1C1上尋找公切圓圓心:

①C1點在壓力面上，其中C1P1為壓力面在C1點上的切線，如圖3(a)所示:

a.當∠A1C1P1＞90°，則在壓力面C1P1反向上找B1點(u1=uC1，u2=uled)，否則在C1P1方向?qū)ふ褺1點(u1=uC1，u2=1);

b.B1點尋找方式按照兩分法，當D1E1＞A1E1時u2=uD1，否則u1=uD1。

②C1點在吸力面或與吸力面、壓力面均無交點，此時u1=uled，u2=1 。如圖3(b)所示:

當D1E1＞A1E1時u1=uD1(如圖3(c)所示)，否則u2=uD1(如圖3(d)所示)。

按照上述曲線間公切圓的求解方法，可以求出葉型的中弧線，根據(jù)中弧線端點處的切線方向就可以求得葉型的幾何進出氣角;同時可確定葉型最大厚度及位置，以及葉柵通道特性等參數(shù)，如圖4 所示。

圖3 直接法求解公切圓圓心

圖4 葉柵通道特性示意圖

需要注意的是，本文的葉型是由兩條Bézier曲線組成，雖然在前緣處連接，但此連接點并不一定是葉型的前緣點，因此需要作出進一步的判斷。從葉型前緣連接點處開始，若葉型壓力面和吸力面型線的曲率變化均單調(diào)遞減，說明在連接點處曲率最大，則該點為前緣點;若非單調(diào)遞減情況，則找出兩型線在前緣附近曲率最大的一點，即為所要尋找的前緣點。

尾緣處由于未封閉，根據(jù)曲線間公切圓求解原理，可以求出與葉型壓力面、吸力面以及尾緣處控制點連線的公切圓，即尾緣小圓。中弧線尾緣處切線與小圓的交點即為葉型尾緣點。

4 葉型機械特性計算

根據(jù)葉型定義可以離散出足夠多的連續(xù)坐標點，因此相鄰兩點之間可以采用直線段的連接形式去計算積分，按照文獻［2］中針對葉型面積、慣性矩以及高次矩等機械特性的理論計算方法，可以求出相應(yīng)的機械特性參數(shù)，為強度及振動計算提供必要信息。

計算時為避免由于直線斜率為無窮大，導(dǎo)致數(shù)值計算時引起計算機處理出現(xiàn)上溢或下溢問題，對數(shù)據(jù)采取了積累弦長參數(shù)化法處理。圖5給出了根據(jù)葉型數(shù)據(jù)計算葉型幾何特性和機械特性參數(shù)的流程圖。

圖5 葉型幾何和機械特性計算

5 結(jié)論

本文詳細介紹了曲線間公切線以及公切圓的求解方法，以此為基礎(chǔ)研究某Bézier 曲線定義的葉型，對其中弧線、最大厚度、安裝角以及葉柵的通道特性等幾何特性參數(shù)進行計算，并采用參數(shù)化的方法求解葉型的機械特性參數(shù)，建立起一套完整的葉型幾何及機械特性計算方法，為葉型進一步的改型設(shè)計和再開發(fā)奠定了重要的基礎(chǔ)。

［1］周岳琨，王建新，管繼偉，等.汽輪機葉片設(shè)計和幾何成型方法綜述［J］.汽輪機技術(shù)，2001，43(4):198-202.

［2］丁有宇.汽輪機強度計算手冊［M］.北京:中國電力出版社，2010.

［3］徐旭嶺，丁旭東，隋永楓，等.汽輪機葉型的數(shù)字化及幾何信息采集［C］// 2009年學術(shù)研討會論文集.北京:中國動力工程學會透平專業(yè)委員會，2009.

［4］陸啟超.中弧線的計算問題［J］.數(shù)學的實踐與認識，1979(4):24-35.