王 野，于建杰，余世舟

(中國地震局工程力學(xué)研究所，中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080 )

我國是一個破壞性地震頻發(fā)的國家，近幾十年來隨著經(jīng)濟的高速發(fā)展，財富集中、人口密集，地震風(fēng)險增加，為減少地震造成的損失，開展震害預(yù)測工作對地震預(yù)防和震后應(yīng)急尤為重要。其中，地震人員傷亡評估結(jié)果是震前預(yù)防和震后應(yīng)急工作的重要參考依據(jù)[1-7]。

對比國內(nèi)外已有研究成果，地震人員傷亡的評估方法，按照結(jié)果表達(dá)方式來分，則主要分為兩類，其一是給出地震造成人員傷亡的期望值，如國外的Samardjieva等學(xué)者[8]根據(jù)1990年以來的全球范圍內(nèi)的地震震害人員傷亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)，回歸分析得到的基于全球尺度下的人員傷亡和震級之間的公式，給出在不同震級下人員傷亡的期望值；國內(nèi)的肖光先[9]以房屋破壞間數(shù)作為主要參數(shù)，并同時考慮相對人口密度的影響，總結(jié)得出近似的人員傷亡期望值經(jīng)驗計算公式；劉吉夫等[10]收集了大量國內(nèi)破壞性地震的數(shù)據(jù)，并考慮了死亡率為0時的特殊情況，擬合給出新的地震人員傷亡期望值評估模型；鄭山鎖、張睿明等[11]在考慮了不同時段人員在室率、人員密度以及不同結(jié)構(gòu)類型破壞下人員傷亡率的情況下，給出了地震傷亡評估模型，并通過算例驗算，驗證其評估模型的合理性和正確性。其二是給出地震造成人員傷亡數(shù)在某一范圍內(nèi)的概率，如李帆等[12]考慮了人員密度、在室率和結(jié)構(gòu)不同破壞狀態(tài)下人員死亡率，通過運用中心極限定理，給出了在不同給定預(yù)測概率下的死亡人數(shù)上限；USGS于2007年發(fā)布的全球地震快速評估系統(tǒng)PAGER[13],在人員損失評估方面，給出基于歷史震害數(shù)據(jù)回歸分析得到的經(jīng)驗評估模型，從而得到人員傷亡數(shù)落在某兩個閾值間的概率。

總結(jié)人員傷亡評估方法現(xiàn)狀可發(fā)現(xiàn)，有些評估方法雖然考慮到了建筑結(jié)構(gòu)易損性對傷亡的影響，但其往往只能給出人員傷亡的期望值，由于實際房屋建筑的震害表現(xiàn)具有很強的不確定性，單一的期望值估算不能充分評估描述震害損失的不確定性。還有些評估方法雖然能給出某一人員傷亡范圍的概率，但多是基于歷史傷亡數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析結(jié)果給出的，未考慮區(qū)域建筑結(jié)構(gòu)易損性差異。

因此，本文基于建筑結(jié)構(gòu)易損性，采用切比雪夫不等式分析結(jié)構(gòu)震害的不確定性變化范圍，給出地震人員傷亡評估結(jié)果的變化函數(shù)。并結(jié)合算例對比分析評估方法的適用性。

1 震害分布趨勢

建筑結(jié)構(gòu)易損性結(jié)果通常以易損性曲線或震害矩陣的形式給出。將建筑結(jié)構(gòu)不同的破壞等級按照震害指數(shù)進(jìn)行劃分，將各破壞等級對應(yīng)的震害指數(shù)范圍中值作為橫坐標(biāo)，各破壞等級的概率為縱坐標(biāo)，則可得到在不同烈度下各破壞等級比例的散點圖，并將散點用平滑的曲線進(jìn)行連接，令其與正態(tài)函數(shù)曲線對比可發(fā)現(xiàn)，其分布趨勢近似服從截斷正態(tài)分布。現(xiàn)以某地的單層房屋震害矩陣為例做對比圖，如圖1及表1所示。

表1 某地單層房屋震害矩陣Table 1 Earthquake damage matrix of a single-story building in a certain area

圖1 各烈度下震害指數(shù)-概率散點圖與正態(tài)函數(shù)曲線趨勢圖對比圖Fig.1 Comparison of seismic damage index-probability scatter plot and normal function curve trend graph under different intensity

2 基于切比雪夫不等式的范圍限定

基于震害分布趨勢及切比雪夫不等式對分布函數(shù)曲線各區(qū)間的概率估計方法，可給出各破壞等級可能的比率限定范圍。

首先根據(jù)1中震害分布趨勢所述可知某一烈度下各破壞等級比例曲線分布趨勢近似服從截斷正態(tài)分布，則可根據(jù)易損性曲線或震害矩陣，以不同破壞等級對應(yīng)的震害指數(shù)為橫坐標(biāo)，各破壞等級的概率為縱坐標(biāo)，進(jìn)行正態(tài)分布擬合，給出正態(tài)分布函數(shù)N(μ,δ2)。則震害分布為N(μ,δ2)/P{0≤X≤1}在[0～1]間的截斷部分。

其次基于切比雪夫不等式可計算出各破壞等級的比例上限，計算見下式(1)。

(1)

式中：P{0≤X≤1}為正態(tài)函數(shù)N(μ,δ2)在[0～1]間的概率；K為破壞等級比例約束上限；ζ1、ζ2分別為破壞等級對應(yīng)的震害指數(shù)范圍的兩個邊界值到均值μ的距離，如K為建筑物基本完好比例約束上限，則ζ1、ζ2為基本完好對應(yīng)的震害指數(shù)范圍的兩個邊界值到均值μ的距離。

3 不確定性的評估方法

基于建筑結(jié)構(gòu)易損性，考慮人員在室率、各破壞等級對應(yīng)的經(jīng)驗傷亡率，即可估算因建筑破壞而導(dǎo)致的人員傷亡。

根據(jù)前文切比雪夫不等式約束后的各破壞等級比例變化范圍，即可給出地震造成人員傷亡最值。其中傷亡人數(shù)最小值Dmin計算方式為：令約束后的各破壞等級比例變化范圍按照完好、輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞、損壞的順序依次在變化范圍內(nèi)取上限值，至比例累計到1時停止后續(xù)破壞等級的取值(即計算最小值時在各破壞等級比例和為1的前提下，令建筑結(jié)構(gòu)盡可能處在破壞程度輕的等級)，同時考慮人員在室率、各破壞等級對應(yīng)的經(jīng)驗傷亡率，即可估算因建筑破壞而導(dǎo)致的人員傷亡最小值Dmin。同理對于最大值Dmax的計算方式為：令約束后的各破壞等級比例變化范圍按照損壞、嚴(yán)重破壞、中等破壞、輕微破壞、完好的順序依次在變化范圍內(nèi)取上限值，至比例累計到1時停止后續(xù)破壞等級的取值(即計算最大值時在各破壞等級比例和為1的前提下，令建筑結(jié)構(gòu)盡可能處在破壞程度嚴(yán)重的等級)，同時考慮人員在室率、各破壞等級對應(yīng)的經(jīng)驗傷亡率，即可估算因建筑破壞而導(dǎo)致的人員傷亡最大值Dmax。

ATC-13方法中假定專家意見的結(jié)果按照對數(shù)正態(tài)分布，并按照專家給出的最大和最小值構(gòu)成90%的置信區(qū)間，給出各烈度地震破壞損失率的對數(shù)正態(tài)分布[14]。本文借鑒ATC-13方法給出損失率分布函數(shù)的研究思路，以正態(tài)分布函數(shù)距均值處3倍標(biāo)準(zhǔn)差距內(nèi)構(gòu)成約99.7%為置信區(qū)間，給出人員傷亡分布函數(shù)曲線。其中以傷亡人數(shù)最大值Dmax最小值Dmin對數(shù)均值近似作為函數(shù)均值μD，計算見式(2)，按照滿足置信區(qū)間約為99.7%的要求，以6倍標(biāo)準(zhǔn)差距離為限值求出函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差δD，如式(3)所示，進(jìn)而給出變化函數(shù)及趨勢圖。

μD=(lg(Dmax)+lg(Dmin))/2.

(2)

δD=(lg(Dmax)-lg(Dmin))/6.

(3)

4 算例分析

基于某城市震害預(yù)測的基礎(chǔ)信息，以多層砌體房屋為例，對上述方法進(jìn)行算例分析。該城市多層砌體房屋震害矩陣如下表2所示，給出該城市多層砌體房屋各烈度下的對數(shù)死亡人數(shù)函數(shù)曲線的過程為以下幾步：

表2 某城市多層砌體房屋震害矩陣Table 2 Earthquake damage matrix of a multistory masonry building in a city

表3 各烈度下正態(tài)分布函數(shù)相關(guān)參數(shù) Table 3 Relevant parameters of normal distribution function under each intensity烈度μδⅥ-0.16990.2050Ⅶ0.17090.2352Ⅷ0.45460.2277Ⅸ0.63190.2081Ⅹ1.52580.6006表4 多層砌體房屋在不同烈度下死亡人數(shù)Table 4 The death toll of multi-storey masonry houses under different intensity烈度DmaxDDminⅥ000Ⅶ1780Ⅷ258530Ⅸ6663571Ⅹ3507146427

1)將建筑物破壞等級按照震害指數(shù)進(jìn)行數(shù)值化，以破壞等級對應(yīng)的震害指數(shù)為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的概率為縱坐標(biāo)，進(jìn)行正態(tài)分布擬合，給出在各烈度下的正態(tài)分布函數(shù)N(μ,δ2)，具體參數(shù)見表3。

2)按照式(1)，可計算得到各烈度下各破壞等級比例約束上限。并根據(jù)各破壞等級比例約束上限，按照前文所述傷亡人數(shù)最值各破壞等級比例取值方法及傷亡人數(shù)計算方式，即可計算出各烈度下人員傷亡數(shù)最大值Dmax和最小值Dmin。同時為便于對比分析，采用傳統(tǒng)基于建筑結(jié)構(gòu)易損性的傷亡人數(shù)評估方法計算出基于建筑物易損性的死亡人數(shù)期望值D。見表4。

3)依據(jù)公式(2)、(3)計算出該城市多層砌體房屋在不同烈度下的對數(shù)死亡人數(shù)變化函數(shù)，如下表5及圖2所示，其中表5中“-”表示在該烈度下無人員死亡，故無對數(shù)死亡人數(shù)函數(shù)曲線；圖2中圓點的標(biāo)注信息為采用傳統(tǒng)評估方法得到的死亡人數(shù)期望值D在該函數(shù)曲線上的對數(shù)值及超越概率。

表5 多層砌體房屋在不同烈度下對數(shù)死亡人數(shù)函數(shù)相關(guān)參數(shù)Table 5 Relevant parameters of logarithmic death toll function for multi-storey masonry buildings under different intensities

地震造成的人員傷亡具有很大的不確定性，傳統(tǒng)的期望值評估結(jié)果并不能反映預(yù)測結(jié)果的不確定性，無法給出某個數(shù)量級、某個范圍內(nèi)或超過某個關(guān)心閾值的可能性有多大。而不確定性分布函數(shù)曲線評估結(jié)果則可以根據(jù)曲線在某個范圍的積分給出相應(yīng)的概率數(shù)值表達(dá)。

分析算例評估結(jié)果：

(1)可以給出地震造成死亡人數(shù)基于超越概率的表達(dá)。某一死亡人數(shù)的超越概率即為超過此死亡人數(shù)的部分函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸x=0所包圍的面積。如圖2(c)中多層砌體房屋在Ⅸ度下死亡人數(shù)達(dá)到357人的超越概率為0.0079。

(2)可以給出所關(guān)注的閾值區(qū)間的概率，即為兩個死亡人數(shù)閾值區(qū)間的部分函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸x=0所包圍的面積。如圖2(d)中多層砌體房屋在Ⅹ度下死亡人數(shù)在100人和1000人之間的概率為0.8436。

(3)人員傷亡是結(jié)構(gòu)易損性的體現(xiàn)。本文方法是基于結(jié)構(gòu)易損性結(jié)果給出的，能很好的反映地震作用強度及結(jié)構(gòu)易損性的變化對評估結(jié)果的影響。

(4)傳統(tǒng)的期望值評估結(jié)果，也不一定落在發(fā)生概率較高的范圍內(nèi)，而是隨地震作用強度、易損性結(jié)果變化而變化的。初步分析是由于傷亡是易損性結(jié)果與不同烈度對應(yīng)的死亡率相乘導(dǎo)致函數(shù)曲線的變化及對數(shù)轉(zhuǎn)換所造成的。

(5)與現(xiàn)有的基于建筑結(jié)構(gòu)易損性人員傷亡期望值評估方法對比可發(fā)現(xiàn)，本文方法能給出更多基于概率、超越概率的表達(dá)。由于實際房屋建筑的震害表現(xiàn)具有很強的不確定性，本文方法更能滿足對震害損失的不確定性的描述評估?？蛇M(jìn)一步描述低數(shù)量級發(fā)生概率高與高數(shù)量級發(fā)生概率低的風(fēng)險對比問題。

對擁有多種建筑結(jié)構(gòu)類型的情況，可基于卷積公式，給出同一烈度下的聯(lián)合人員傷亡概率密度函數(shù)。為便于實際應(yīng)用，再選取多個人員傷亡閾值處的概率密度函數(shù)值，擬合給出對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)。同理，給出具有不同烈度的整個評估區(qū)人員傷亡對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)。

5 總結(jié)與展望

本文提出了基于切比雪夫不等式的人員傷亡評估模型，給出人員傷亡函數(shù)曲線，得到基于概率、超越概率表達(dá)的人員傷亡評估結(jié)果，反映了建筑物易損性對傷亡評估結(jié)果的影響。相對于基于建筑物易損性的期望值評估方法則更能充分描述評估結(jié)果的不確定性。并以算例分析驗證了評估方法的適用性。

然而本文方法仍有不足之處，如函數(shù)均值和方差是基于經(jīng)驗方法給出的，有一定的主觀性，對數(shù)正態(tài)分布雖是常用的損失表達(dá)方式，但忽略了易損性從截斷正態(tài)分布到傷亡的對數(shù)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)變所造成的誤差。為進(jìn)一步提高人員傷亡評估模型的精確性，在今后的研究中將會用蒙特·卡洛方法對比驗證經(jīng)驗方法，進(jìn)而分析給出均值和方差的修正系數(shù)。