朱微微，高穎

1.浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院；2.北京市第一四二中學(xué)

2020年9月教育部等九部門印發(fā)了《職業(yè)教育提質(zhì)培優(yōu)行動計(jì)劃（2020—2023年）》[1]，圍繞辦好公平有質(zhì)量、類型特色突出的職業(yè)教育，以提質(zhì)培優(yōu)、增值賦能為主線，堅(jiān)持問題導(dǎo)向、需求導(dǎo)向、目標(biāo)導(dǎo)向，著力補(bǔ)短板、激活力、提質(zhì)量。為了滿足新時(shí)代對高職人才的需求，高職《高等數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)需要轉(zhuǎn)變理念、探索發(fā)展，在“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度，以講清概念、強(qiáng)化應(yīng)用為教學(xué)重點(diǎn)”[2]的基礎(chǔ)上，思考補(bǔ)短板、激活力、提質(zhì)量。

回顧初心，展望未來，《高等數(shù)學(xué)》課程應(yīng)立足學(xué)科，服務(wù)專業(yè)。在教學(xué)中，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)思想的傳承和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；注重對接學(xué)生的專業(yè)課程，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于解決專業(yè)問題的能力。

一、融會貫通——知識遷移理論

融會貫通一詞出自朱熹的《朱子全書》：“舉一而三反；聞一而知十；乃學(xué)者用功之深；窮理之熟；然后能融會貫通；以至于此?！盵3]其思想與知識遷移理論不謀而合。

知識遷移是指學(xué)習(xí)者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中去，促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)或解決不同情境中的問題[4]。學(xué)生要養(yǎng)成知識遷移的素養(yǎng)，表現(xiàn)形式包括有基本的類比推理能力，能夠?qū)⒅R遷移到不同情境中去，解決不同學(xué)科的情境問題等。

依據(jù)林崇德先生的觀點(diǎn)，知識遷移能否發(fā)生主要取決于三個(gè)要素：學(xué)習(xí)者遷移意識、認(rèn)知結(jié)構(gòu)特性、學(xué)習(xí)材料的相似性[5]。

根據(jù)奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是新知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與橋梁。原有知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對知識遷移有重要的影響，若是清晰的、穩(wěn)定的，則對知識遷移有正向的促進(jìn)作用。因此為了促進(jìn)高等數(shù)學(xué)知識在專業(yè)課程中的應(yīng)用，首先應(yīng)提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，使得學(xué)生可以建立清晰、穩(wěn)定的知識內(nèi)容與知識結(jié)構(gòu)。

學(xué)習(xí)材料之間的相似性與學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)知識遷移呈高度的正相關(guān)關(guān)系。結(jié)構(gòu)特征相似是一種學(xué)習(xí)材料之間的相似性，它指諸如原理、關(guān)系、規(guī)則等內(nèi)部本質(zhì)屬性的相似。數(shù)學(xué)知識與工科知識之間存在豐富的結(jié)構(gòu)特征相似，充分挖掘、利用有助于促進(jìn)學(xué)生知識遷移。

二、“微分及其應(yīng)用”單元教學(xué)

（一）教學(xué)內(nèi)容分析與學(xué)情分析

微分是微積分的主要內(nèi)容，微分的符號、概念的確立過程在微積分創(chuàng)立史上經(jīng)歷了諸多風(fēng)雨。縱觀國內(nèi)外微積分、高等數(shù)學(xué)課程的主要教材，可以發(fā)現(xiàn)“微分”設(shè)置在“導(dǎo)數(shù)”之后，所占篇幅較短，且更側(cè)重計(jì)算，概念與應(yīng)用部分較簡略。如此安排教學(xué)內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)科上有多種原因，適合大范圍教學(xué)執(zhí)行，高職院校工科專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)時(shí)，還應(yīng)該結(jié)合自身特點(diǎn)進(jìn)行教材處理。

授課對象為工科專業(yè)大一學(xué)生，生源有三校生和普高生兩種，為兼顧兩類學(xué)生，課堂中需要設(shè)置一部分內(nèi)容進(jìn)行分層教學(xué)，課后作業(yè)設(shè)置基礎(chǔ)組和提高組的分層作業(yè)。本節(jié)課兼具概念、計(jì)算、應(yīng)用三大部分，基于學(xué)生抽象思維能力較弱，遇到概念教學(xué)容易感覺枯燥難懂；基于學(xué)生的計(jì)算能力，以及上一節(jié)導(dǎo)數(shù)的訓(xùn)練，學(xué)生在計(jì)算部分會提高興趣且容易快速掌握；學(xué)生在應(yīng)用部分會感覺新奇，?？梢猿醪秸莆?，也有待進(jìn)一步提高。

（二）教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)

知識目標(biāo)：理解微分概念；掌握微分運(yùn)算法則與一階微分形式不變性；理解可微與可導(dǎo)的關(guān)系。

能力目標(biāo)：會計(jì)算微分；會利用微分做近似計(jì)算、解決實(shí)際問題；理解微分的幾何意義。

素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)抽象思維、發(fā)散思維、知識遷移能力；培養(yǎng)利用數(shù)學(xué)知識分析、解決本專業(yè)問題的意識和能力；培養(yǎng)觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題的意識。

教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解微分概念；（2）熟練微分的計(jì)算；（3）利用微分做近似計(jì)算、解決本專業(yè)問題。

教學(xué)難點(diǎn)：（1）概念及幾何意義的理解；（2）利用微分解決本專業(yè)問題。

（三）教學(xué)過程及教學(xué)方法

通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的開展逐步落實(shí)本節(jié)課目標(biāo)，利用多種教學(xué)方法組合攻破教學(xué)重難點(diǎn)（如圖1）。

圖1 知識遷移路徑

1.預(yù)設(shè)伏筆——學(xué)習(xí)者遷移意識

課前教師在學(xué)習(xí)平臺發(fā)布“頭腦風(fēng)暴式”討論“改變量之間的較量”，案例來自生活中的腦筋急轉(zhuǎn)彎，實(shí)際結(jié)果與大部分人的直覺不一致，可以增強(qiáng)學(xué)生的好奇心。

課上首先展示并點(diǎn)評同學(xué)們參與課前討論的情況，然后請同學(xué)們帶著這個(gè)問題學(xué)習(xí)本節(jié)課。以此設(shè)下伏筆，并引出主題。工科專業(yè)的學(xué)生根據(jù)培養(yǎng)方案要參加一周的鉗工實(shí)習(xí)，以該實(shí)訓(xùn)為背景提出數(shù)學(xué)問題：“某同學(xué)實(shí)訓(xùn)時(shí)，將一塊正方形薄鐵片加熱，鐵片的邊長略微增大了一些，面積也發(fā)生相應(yīng)的改變，它們分別改變了多少呢？”這個(gè)例子，向同學(xué)們展示了專業(yè)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)之間隨處有聯(lián)系，只要有熱愛探索的眼光，總能架起連接知識的橋梁，繼而引導(dǎo)學(xué)生思考，對于實(shí)際問題，應(yīng)該如何逐步解決。通過引導(dǎo)學(xué)生利用兩種方案解決該問題，啟發(fā)學(xué)生解決問題時(shí)應(yīng)該打開思路，考慮需要達(dá)到何種解決效果，并思考有哪些不同的方式。

2.融會數(shù)學(xué)思想——認(rèn)知結(jié)構(gòu)特征

通過實(shí)訓(xùn)問題作為引例，觀察一般性結(jié)果Δy=2Δx+(Δx)2,發(fā)現(xiàn)當(dāng)Δx→0時(shí)，(Δ x)2是關(guān)于Δx的高階無窮小，（Δ x)2在實(shí)際問題中可以忽略不計(jì)，2xΔx對Δ y起主要影響，也將它稱作函數(shù)y=x2的微分。為了幫助學(xué)生感受（Δx)2可以忽略不計(jì)，還可以借助圖像進(jìn)行分析，如圖2。

圖2 （Δx)2可以忽略不計(jì)

進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生尋找2x與函數(shù)y=x2之間的其他關(guān)系，學(xué)生即刻聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)公式。至此，結(jié)合具體例子給出微分的定義，這一方式適合基礎(chǔ)層次的學(xué)生理解記憶概念。對于提高層次的學(xué)生，嘗試對一般函數(shù)y=f(x)進(jìn)行分析，從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，探究微分的定義。在此基礎(chǔ)上仍學(xué)有余力的學(xué)生，鼓勵(lì)再次學(xué)習(xí)書本上的定義方式。

數(shù)學(xué)之美與微分符號的力量，被一階微分形式不變性展示得更透徹，讓人不得不感嘆數(shù)學(xué)中的巧奪天工之妙！函數(shù)y=f(u)與u=φ（x）復(fù)合得y=f(φ(x))，其微分。它告訴我們，不管u是自變量還是中間變量，一階微分的形式都相同，高階微分便不具備這個(gè)性質(zhì)。

學(xué)習(xí)微分的幾何意義，與前面學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合，再次建立兩個(gè)概念之間的聯(lián)系。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，作點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線MT，記切線的傾斜角為α，則其斜率為。用萊布尼茲的方法作微分三角形（也稱“特征三角形”）Δ MQP，在 RtΔMQP中，因此直角邊，即為函數(shù)在點(diǎn)x0處相應(yīng)于增量Δ x的微分[6]。曲邊Δ MQN的直角邊NQ=Δy，我們正是用PQ的長度近似計(jì)算NQ的長度。此時(shí)用微分dy對因變量改變量Δ y做近似計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)也更直觀：（1）有足夠好的精確度，（2）更容易計(jì)算。微分的定義和幾何意義讓我們兩次重新認(rèn)識導(dǎo)數(shù)，如圖3、圖4。

圖3 微分的幾何意義

圖4 多角度看“導(dǎo)數(shù)”

3.貫通專業(yè)應(yīng)用——學(xué)習(xí)者遷移意識

經(jīng)過本次課的學(xué)習(xí)，可以解釋課前“頭腦風(fēng)暴”中的本質(zhì)問題：圓的周長是關(guān)于圓的半徑的一次函數(shù)，因此，Δ y關(guān)于x是常數(shù)函數(shù)，關(guān)于Δ x是一次函數(shù)。該問題中x不同，Δx相同，故導(dǎo)致Δ y相同。

工科專業(yè)的專業(yè)課涉及電學(xué)，電學(xué)中對電阻分壓電路進(jìn)行“最壞電路分析”時(shí)，可以采用直接代入法和線性展開法，其中線性展開法即選取線性主部即微分進(jìn)行近似計(jì)算。例子結(jié)合微分思想、微分做近似計(jì)算兩個(gè)角度，向?qū)W生展示了微分在專業(yè)研究中的作用及應(yīng)用?；A(chǔ)層次的學(xué)生有了初步印象，提高層次學(xué)生有了初步理解，便完成了相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。為了鞏固提高層次學(xué)生的理解，在課后布置討論題作為分層作業(yè)。

三、教學(xué)反思與教學(xué)改進(jìn)

（一）教學(xué)優(yōu)點(diǎn)

課前充分考慮學(xué)生的知識儲備情況、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力等方面情況，并詳細(xì)了解工業(yè)機(jī)器人專業(yè)的課程設(shè)置及培養(yǎng)要求。

教學(xué)有層次有梯度，對學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)、從多角度分析問題；教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化、展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，融入思政元素，踐行“五育并舉”；教學(xué)結(jié)合學(xué)生專業(yè)設(shè)置引例和應(yīng)用等，全面服務(wù)專業(yè)。教學(xué)過程中，注重提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，保護(hù)基礎(chǔ)層次學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和意愿，激勵(lì)提高層次學(xué)生深入探究，堅(jiān)持“三全育人”。

（二）存在問題及解決措施

為了讓學(xué)生更充分地理解微分的創(chuàng)建史以及微分在近似計(jì)算中的作用，可以在教學(xué)中采取兩種方法改進(jìn)。一是在給出“微分的定義”之后，緊接著分析幾何意義；二是直接以微分的幾何意義引入微分的定義。

數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)表現(xiàn)為三種形態(tài):知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新[4]。知識遷移的終極目標(biāo)，是為了知識創(chuàng)新，為了提升學(xué)生專業(yè)發(fā)展的空間，為新時(shí)代高職人才提質(zhì)培優(yōu)、增值賦能。