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        魚類群體運動的元胞自動機模型中的最小勢能原理

        2021-07-25 17:50:14陸興遠袁衛(wèi)鋒
        自動化學(xué)報 2021年6期
        關(guān)鍵詞:自動機元胞魚群

        陸興遠 袁衛(wèi)鋒

        群體運動是自然界中一種常見的生物行為.在過去的幾十年中,研究人員已經(jīng)對鳥群、獸群、魚群和細(xì)菌菌落等不同的社會有機體的群體現(xiàn)象進行了廣泛的研究[1?5].眾多研究表明,某些規(guī)律對生物的群體行為起到關(guān)鍵作用.其中,“靠近被排斥,遠離被吸引”的規(guī)則對群體的分散、聚合和避免個體間碰撞以及躲避天敵攻擊有重要作用[6?8];流體力學(xué)和動力學(xué)原理也影響著群體的運動狀態(tài).例如,Dai 等研究發(fā)現(xiàn),魚類群體在運動中通過隊形來塑造能減小阻力的流場,使得個體耗能最小[9].

        生物的群體運動是一種個體間協(xié)同相互作用的結(jié)果,群體中個體的信息傳遞對群體運動狀態(tài)起到重要作用[10].Gueron 和Couzin 等研究發(fā)現(xiàn),群體信息在群體間是通過逐層傳遞的,個體的行為決策會受到相鄰個體的影響[11?12].群體中個體間交互協(xié)同的思想為智能機器人集群的自動控制提供了理論基礎(chǔ).例如,Li 等受到生物系統(tǒng)的啟發(fā),發(fā)明了群體顆粒機器人.雖然每個個體的運動是單一隨機的運動,但通過整個群體的協(xié)同,機器人群體可以朝著指定的激勵源方向移動[13],雷斌受生物群體行為啟發(fā).應(yīng)用仿生方法研究群體機器人的編隊控制,目標(biāo)搜索,實現(xiàn)群體機器人間的協(xié)同控制[14].

        在之前的研究中,研究人員大多在二維的假設(shè)條件下對群體運動進行研究,鮮有在三維的條件下研究群體運動,這與真實的群體狀態(tài)不符,并且之前的研究者提出的模型大多比較復(fù)雜.本研究構(gòu)建了一個基于元胞自動機方法和最小勢能原理的簡潔三維模型,并通過數(shù)值模擬研究勢能在魚類群體中運動決策和個體間相互協(xié)同的作用以及對魚群在有限空間中形成旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài)的群體機制的影響.

        1 模型

        元胞自動機是一種個體狀態(tài)由其鄰近個體狀態(tài)決定的算法[15].該方法已經(jīng)被應(yīng)用于流體力學(xué),人流疏散等復(fù)雜場景的研究中[16?17].Pattanayak 等通過類元胞自動機方法的自航個體模型(Self-propelled particles)對群體運動的狀態(tài)轉(zhuǎn)換進行研究[18].本研究假定魚群的運動模式受勢能的支配,相應(yīng)提出了魚類個體運動的勢函數(shù)并將之融合到元胞自動機中,建立了一種簡潔的三維模型以模擬魚群的運動.在真實魚類群體中,個體會以一定的速度游動,且速度不是恒定不變的.本研究假設(shè)模擬的虛擬魚個體以隨機的速度運動.虛擬魚的速度v定義為:v=v+α·Δv,其中α是[?1,1]的隨機數(shù).在本研究建立的元胞自動機模型中,以半徑為v的球面上的點作為個體下一時間步可選擇的位置,如圖1 所示.個體將會選擇勢能最小的位置作為下一時間步的位置.本模型中每個位置的勢能均與個體的鄰居相關(guān).

        視覺是動物的共性,其對生物的群體行為和個體決策有著重要的影響.視覺影響個體感知周圍環(huán)境,是個體獲取信息的重要方式.研究表明,環(huán)境變化、鄰居數(shù)量和鄰居行為等都會影響個體行為決策[19].Ballerini 等研究發(fā)現(xiàn)個體在群體中與其他個體交流時并不是與整個群體交流,而是與其中的6~7 個鄰居交流[20].本研究假設(shè)個體的視覺為有限且不變的常值.如圖1 所示,Ri為個體的視覺距離;以θi為圓錐半角的圓錐體區(qū)域為個體的視角范圍,圓錐體以外的區(qū)域為個體的盲區(qū).在本模型中,個體只會把在其視覺范圍之內(nèi)距離其最近的N個鄰居作為參考鄰居,而不是整個魚群.個體在選擇參考鄰居時,如果視覺范圍內(nèi)個體總數(shù)大于最大參考鄰居數(shù)N,就會以距離其最近的N個鄰居作為參考個體.

        圖1 魚的模型Fig.1 Model of fish

        研究人員發(fā)現(xiàn)個體在群體中會因為相互間距離太近而相互排斥;如果個體間的距離太遠,個體間又會相互吸引.個體間存在相對穩(wěn)定的距離[6?8,21].本模型中,假設(shè)個體i和參考鄰居j相互之間存在一個最佳距離R0,在這個位置上,個體i的距離勢能最小.當(dāng)個體間距離小于R0時,個體間距離越小,個體間相互排斥越強烈;相反,當(dāng)個體間距離大于R0時,隨著距離的增大,個體間的相互吸引程度增強,關(guān)系如式(2)和圖3 (a)所示.

        式(1)中,N為個體i的參考鄰居數(shù)量.

        式(2)中,H代表(Heviside)階躍函數(shù);uij=dij ?R0,R0為常數(shù).kd1

        式(3)、(4)中,kh、kθ1、kθ2、均為系數(shù),θih表示個體i下一時間步的速度vi(T+1)矢量與水平面的夾角;θij表示個體i下一時間步的速度vi(T+1)和參考鄰居j當(dāng)前時間步的速度vj(T)的矢量夾角;θiL表示個體i下一時間步的位置B和參考鄰居j當(dāng)前時間步的位置C的連線與個體i下一時間步的速度vi(T+1)的夾角.關(guān)系如圖2 和圖3 (b)所示.圖2 (a)中為參考鄰居j當(dāng)前時間步的運動方向vj(T)的平移,與vi(T+1)相交.圖2 (b)中點劃線為vi(T+1)在水平面的投影.

        圖2 三維空間中虛擬魚中的角度關(guān)系Fig.2 The angular relationship in the potential energy of the fish in three-dimension

        圖3 勢能函數(shù)的定義Fig.3 Functions defined for potential

        2 元胞自動機規(guī)則

        本文把時間離散為若干個時間步,并把虛擬魚個體的下一時間步可能移動的空間范圍劃分為若干個位置點.虛擬魚群在每個時間步中遵循相同的規(guī)則.本文定義元胞自動機的規(guī)則如下面5 個步驟.

        1)假設(shè)當(dāng)前時間步為T.虛擬魚個體i確定視覺范圍內(nèi)所有的參考鄰居和下一時間步所有可能的移動位置,如圖1 所示;

        2)計算下一時間步T+1 所有可能移動位置的勢能,每個位置的勢能關(guān)系均如式(1)~(4)所示;

        3)比較步驟2)中所有位置的勢能,確定勢能最小的位置,并把該位置作為下一時間步T+1的位置;

        4)使用規(guī)則1)~3)遍歷虛擬魚群中所有的個體;

        5)更新所有個體的位置,并重復(fù)步驟1)~5).

        3 實驗

        本研究對有限空間中紅斑馬魚群的運動狀態(tài)進行研究,構(gòu)建了一個長寬高分別為120 cm,70 cm,80 cm 的玻璃缸和一個38 cm,25 cm,20 cm 的箱體,并購置了360 條紅斑馬魚,為了讓魚群適應(yīng)實驗室的環(huán)境,在實驗室里飼養(yǎng)超過一個月,利用攝像機對紅斑馬魚群的運動狀態(tài)進行攝像記錄.值得注意的是,試驗用的大小水箱被放置在同一個實驗室中,除尺寸外其它條件相同.環(huán)境的變化對魚群是一種外來刺激,當(dāng)把紅斑馬魚群從大箱轉(zhuǎn)移到小箱中,或者從小箱轉(zhuǎn)移到大箱中時,魚群都會出現(xiàn)轉(zhuǎn)圈的現(xiàn)象.如圖4 所示,當(dāng)把魚群從大箱體轉(zhuǎn)移到小箱體中時,魚群會出現(xiàn)有序的旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài).在實驗中可以觀察到,紅斑馬魚群從無序的狀態(tài)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橛行虻臓顟B(tài),最后整個群體形成有序的旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài).從整個過程來看,魚群處于無序的混亂狀態(tài)下,群體中出現(xiàn)個別個體發(fā)起有序的運動,然后加入有序運動的個體不斷增多,群體運動狀態(tài)從無序的混亂狀態(tài)變?yōu)榫植坑行虻膸钸\動狀態(tài).當(dāng)大部分個體參與到有序的群體運動中時,帶狀的群體運動狀態(tài)首尾相連,整個魚群形成環(huán)狀的旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài).有序群體狀態(tài)開始時,帶狀的群體形態(tài)的前部個體數(shù)量較多,較為密集,而群體尾部個體數(shù)量較少,較為稀疏.當(dāng)最終形成環(huán)狀旋轉(zhuǎn)群體狀態(tài)時,整個群體中個體分布較為均勻.

        圖4 真實紅斑馬魚群中的旋轉(zhuǎn)群體狀態(tài)Fig.4 Whirling state in real fish schools of red zebrafish

        4 模擬

        本研究對真實的紅斑馬魚群觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)魚群從大的箱體轉(zhuǎn)移到小的箱體中時,魚群會形成旋渦狀的群體形態(tài).為了研究這種群體運動形成的機理,本文提出了一種魚類個體運動的勢函數(shù),并基于最小勢能原理和元胞自動機方法建立了一個三維模型,如式(1)~(3)所示,通過數(shù)值模擬與紅斑馬魚群的運動形態(tài)對比,以驗證模型的合理性.

        本模型假設(shè)參考鄰居j分別通過θiL、θij、uij影響個體i的位置、方向和相互之間的距離,并假設(shè)θih與個體i在深度方向上傾斜游動的角度相關(guān).當(dāng)相關(guān)系數(shù)處于適當(dāng)?shù)闹禃r,模擬的虛擬魚群最終會演化成為旋渦狀的群體形態(tài).模型中的各系數(shù)綜合地影響虛擬魚群的運動狀態(tài),只有當(dāng)各系數(shù)處于合適的取值范圍內(nèi)時,模擬結(jié)果才會與觀察現(xiàn)象較好地吻合.本文中,對長寬高分別為30a,30a,20a的方形箱體中的500 條體長為a的虛擬魚進行數(shù)值模擬.當(dāng)系數(shù)分別設(shè)置為kd1=4.0×105,kd2=2.2×109,kθ1=1.8×109,kθ2=9.0×109,kh=7.0×1010,R0=1.5a,且虛擬魚群中所有個體的位置和運動方向的初始狀態(tài)都隨機設(shè)置時(如圖5,第1 步),虛擬魚群經(jīng)過若干時間步的運動后,演化為旋轉(zhuǎn)的群體形態(tài),如圖5 所示.從整個演化過程看,虛擬魚群開始時處于隨機無序狀態(tài),運動一段時間后群體中會形成局部有序的狀態(tài),然后參與到有序運動的個體逐漸增多,原來帶狀的群體形態(tài)逐漸變長,最后帶狀群體形態(tài)首尾相連形成環(huán)形的旋轉(zhuǎn)運動形態(tài),最終大部分個體參與到有序的旋轉(zhuǎn)運動中,整個虛擬魚群形成比較穩(wěn)定的旋渦狀群體運動狀態(tài).值得注意的是,最終的旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài)并不是所有的個體一直參與其中,而是存在個別個體脫離群體,運動到群體外部,也存在個別個體在脫離群體后,重新加入到旋轉(zhuǎn)的群體運動中.對比虛擬魚群與真實的紅斑馬魚群的旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài)及其形成過程,表明了本模型的模擬現(xiàn)象與真實魚群現(xiàn)象相符.

        圖5 數(shù)值模擬過程中旋轉(zhuǎn)的群體狀態(tài)Fig.5 Whirling state in numerical simulation

        群體運動是個復(fù)雜的自然現(xiàn)象.仿真雖然可以總體上得到與觀察相吻合的現(xiàn)象,但是在仿真中將個體的運動與實際觀察進行定量比較是非常困難的[6],因此,本文通過對魚類群體運動的定性分析闡明所提出的模型的合理性.必須說明的是,勢能公式中權(quán)重系數(shù)的取值對魚群運動的模擬結(jié)果具有的影響,只有當(dāng)權(quán)重系數(shù)選取合適時,才能達到模擬結(jié)果和試驗觀察吻合的情況.例如,參數(shù)kd2在范圍“8.0×108~3.0×109”區(qū)間時,數(shù)值模擬能夠呈現(xiàn)魚群轉(zhuǎn)圈的現(xiàn)象,超出這個范圍,魚群運動很難出現(xiàn)穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)狀態(tài).如圖6 所示,在同一個時刻(第730 時間步),當(dāng)kd2處于較小的值時,群體出現(xiàn)過于密集的狀態(tài);而當(dāng)kd2處于較大的值時,群體狀態(tài)較為混亂無序;只有當(dāng)kd2處于合適的范圍內(nèi)時,模擬的效果與觀察到的現(xiàn)象比較吻合.另一方面,kd2參數(shù)取值區(qū)間跨越一個數(shù)量級,說明利用本文模型對魚群定性研究時,模擬結(jié)果對參數(shù)的具體數(shù)值不敏感,這種穩(wěn)定性有利于通過模擬獲取魚群運動的共有特性.在本文模型的基礎(chǔ)上,不同的權(quán)重系數(shù)取值會導(dǎo)致模擬中出現(xiàn)更多的魚群運動形態(tài),從而有可能為群體運動研究提供新的關(guān)注點.從這個意義上講,結(jié)合最小能量原理而建立的元胞自動機模型可以被看作一個描述魚類群體運動的理論框架,而模型中具體參數(shù)的確定,需要更加廣泛和深入的研究.

        圖6 kd2 取值不同時虛擬魚群在第730 時間步的狀態(tài)Fig.6 The status of fish schools at 730th time step subject to different kd2 values

        5 結(jié)論

        本文對紅斑馬魚群在有限空間中的運動形態(tài)進行研究,假設(shè)魚群中每個個體在運動過程中總是試圖保持自身的勢能最小,相應(yīng)提出了魚類個體運動的勢函數(shù)并將之融合到元胞自動機中以模擬魚群的運動.本研究發(fā)現(xiàn):1)參考鄰居j分別通過θiL、θij、uij影響個體i的位置、方向和相互之間的距離;θih與個體i在深度方向上傾斜游動的角度相關(guān).當(dāng)相關(guān)系數(shù)處于適當(dāng)?shù)闹禃r,虛擬魚群最終可能演化成為旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài).2)參考鄰居數(shù)量N的值與群體中個體數(shù)量有關(guān),個體數(shù)量增多,參考鄰居的個體數(shù)量也會增多.當(dāng)參考鄰居數(shù)量N在4~10 個個體之間時,魚群均可能出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài).本研究實驗觀察到的現(xiàn)象與數(shù)值模擬現(xiàn)象具有較好的一致性,并且本模型具有較好的魯棒性,二者證明了本模型能夠正確反映有限空間中魚類群體旋轉(zhuǎn)運動的形成機理.本模型有望應(yīng)用于智能水下機器人或空中無人機集群控制中.

        本文將能量最小原理和元胞自動機結(jié)合,提出了一種數(shù)值模型,通過調(diào)試模型中各參數(shù)的數(shù)值,能夠模擬出魚群運動的一些規(guī)律,說明能量最小原理有可能是魚類群體運動需要遵守的一個基本原理.本研究的意義在于該模型為研究魚類或其他生物的群體運動提供了一個數(shù)值計算的理論框架,有助于后續(xù)研究在此框架的基礎(chǔ)上進一步揭示群體和其所處環(huán)境之間的物理關(guān)系對群體運動特性的影響規(guī)律.本文僅針對包含同種個體的魚群的運動形態(tài)進行了研究,而自然界中常有不同魚類群體共存的現(xiàn)象,對不同生物群體間相互作用機理的研究將更具挑戰(zhàn)性和理論價值.

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