劉春玉， 孫書(shū)利

(黑龍江大學(xué)電子工程學(xué)院，哈爾濱，150080)

近年來(lái)，基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的分布式濾波算法由于在自校正，目標(biāo)監(jiān)視和跟蹤中的廣泛應(yīng)用而倍受關(guān)注[1-3]。一方面，應(yīng)用分布式估計(jì)機(jī)制，每個(gè)傳感器只與鄰居的傳感器之間進(jìn)行通信，減少通訊過(guò)程中的能量耗損；另一方面，傳感器可以根據(jù)自身的位置自組網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨著傳感器節(jié)點(diǎn)的變化動(dòng)態(tài)調(diào)整，這大大減少了計(jì)算量[4]。受信息交換過(guò)程中通信帶寬和能量消耗的限制，在保證一定的估計(jì)性能的同時(shí)，優(yōu)化傳感器到估計(jì)器的通信速率也變得尤為重要[5]。因此，基于事件觸發(fā)的分布式卡爾曼濾波算法應(yīng)運(yùn)而生.

與傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)方法不同，事件觸發(fā)方法在減輕傳輸壓力方面具有巨大優(yōu)勢(shì)。在事件觸發(fā)機(jī)制中，僅在超過(guò)特定閾值時(shí)才觸發(fā)傳輸，文獻(xiàn)[6～10]已經(jīng)提出了多種可選擇的觸發(fā)機(jī)制。事件觸發(fā)機(jī)制這一概念最早是在文獻(xiàn)[11]中提出的,可以分為確定性觸發(fā)機(jī)制和隨機(jī)觸發(fā)機(jī)制。在確定性觸發(fā)機(jī)制的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]通過(guò)卡方分布設(shè)置觸發(fā)閾值，該卡方分布由當(dāng)前時(shí)刻和最新觸發(fā)時(shí)間的觀測(cè)值之差建立。當(dāng)事件觸發(fā)的決策變量超過(guò)給定閾值時(shí)，將觀測(cè)值用于狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于事件驅(qū)動(dòng)的新型分布式卡爾曼濾波算法，該事件驅(qū)動(dòng)方案由更新的協(xié)方差觸發(fā)，該協(xié)方差通常用于描述真實(shí)值與估計(jì)值之間的誤差。

在傳感器網(wǎng)絡(luò)中，與集中式體系結(jié)構(gòu)相比，分布式體系結(jié)構(gòu)具有更好的魯棒性和可靠性。每個(gè)傳感器都充當(dāng)一個(gè)局部的融合中心，從而大大減少了計(jì)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[13]研究了具有事件觸發(fā)機(jī)制的系統(tǒng)的分布式估計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]提出了基于矩陣加權(quán)的分布式卡爾曼濾波算法。為了提高估計(jì)性能，提出了一種卡爾曼一致性濾波結(jié)構(gòu)，即在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器中增加一個(gè)共識(shí)項(xiàng)[3]，其中增加的共識(shí)項(xiàng)由傳感器的鄰居估計(jì)值與自身估計(jì)值之差的和組成。結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和卡爾曼一致性濾波結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[15～16]提出了基于事件觸發(fā)策略的分布式卡爾曼一致性濾波算法。然而，一致性增益被人為設(shè)定以保證濾波器穩(wěn)定。文獻(xiàn)[17]雖然設(shè)計(jì)了最優(yōu)一致性增益，但是要求滿(mǎn)率通信。

基于上述討論，本文研究了基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的事件觸發(fā)分布式卡爾曼一致性濾波算法。本文采用增量發(fā)送傳輸機(jī)制，與其他傳輸機(jī)制相比，該傳輸觸發(fā)機(jī)制計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。每個(gè)傳感器僅在當(dāng)前觀測(cè)值與最新觸發(fā)時(shí)刻的觀測(cè)值之差的平方超過(guò)一定閾值時(shí)，才將其觀測(cè)值傳輸?shù)较鄳?yīng)的估值器，同時(shí)，估值器將其估計(jì)值發(fā)送給鄰居?；趥鞲衅鞯挠^測(cè)和鄰居節(jié)點(diǎn)的估值，在每個(gè)估值器處設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)分布式卡爾曼一致性算法。這與文獻(xiàn)[16]中人為設(shè)置一致性增益的方法不同，我們將設(shè)計(jì)極小化濾波誤差方差上界的最優(yōu)濾波器增益和一致性增益。也不同于文獻(xiàn)[17]要求滿(mǎn)率通信，我們采用事件觸發(fā)機(jī)制可節(jié)省通信負(fù)擔(dān)。本文的主要貢獻(xiàn)包括：在每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)，通過(guò)局部最小化濾波誤差方差的上界設(shè)計(jì)了最優(yōu)卡爾曼濾波增益和一致性增益，提出了事件觸發(fā)分布式卡爾曼一致性濾波算法。算法避免了傳感器節(jié)點(diǎn)估值之間估計(jì)誤差互協(xié)方差陣的計(jì)算，可減小計(jì)算負(fù)擔(dān)。基于李亞普諾夫方法分析了算法在均方意義上的指數(shù)有界性。

1 問(wèn)題描述

考慮多傳感器離散時(shí)間線性隨機(jī)系統(tǒng)：

x(t+1)=Ax(t)+Bw(t)

(1)

zi(t)=Hix(t)+vi(t),i=1,2,…,L

(2)

式中：x(t)∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)；zi(t)∈Rmi表示傳感器i的觀測(cè)值；L表示傳感器的數(shù)量；A、B和Hi是適當(dāng)維數(shù)的時(shí)不變矩陣。w(t)∈Rr和vi(t)∈Rmi分別是過(guò)程噪聲和傳感器i的觀測(cè)噪聲。

假設(shè)1:w(t)和vi(t)是均值為0、方差分別為Q(t) 和Ri(t)的不相關(guān)白噪聲。

(3)

式中：E表示數(shù)學(xué)期望；δij是Kronecker函數(shù)。

假設(shè)2:初值狀態(tài)x(0)的均值為μ0，方差為P0且與w(t)和vi(t)不相關(guān)。

定義G=(V,E)為傳感器的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，其中V={1,2,…,L}表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)集合，E?V×V為邊集合。本文我們考慮無(wú)向圖。如果節(jié)點(diǎn)j與節(jié)點(diǎn)i可以通信，那么節(jié)點(diǎn)j和節(jié)點(diǎn)i的互為鄰居節(jié)點(diǎn)。定義傳感器i的鄰居節(jié)點(diǎn)集為Ni={j|(j,i)∈E}，則傳感器i的鄰居節(jié)點(diǎn)總數(shù)為di=Ni。

在傳感器網(wǎng)絡(luò)中，傳感器的能量是有限的。為了節(jié)省傳感器的通信能量，采用事件觸發(fā)通信策略來(lái)選擇有價(jià)值的信息進(jìn)行傳輸。控制任務(wù)是否執(zhí)行由事先給定的事件觸發(fā)條件決定，而不是按時(shí)間觸發(fā)。如果在某一時(shí)刻滿(mǎn)足觸發(fā)條件，則意味著事件觸發(fā)。引入一組伯努利分布隨機(jī)變量γi(t),i=1～L用于描述事件觸發(fā)的傳輸策略。定義：

(4)

(5)

對(duì)于估值器到估值器的通信信道，我們假設(shè)采用時(shí)間觸發(fā)規(guī)則，即估值器每次都將其預(yù)測(cè)估值發(fā)送給它的鄰居。我們?cè)O(shè)計(jì)如下的一個(gè)基于事件觸發(fā)的分布式一致性濾波器：

(6)

我們的目標(biāo)是求出局部最優(yōu)卡爾曼濾波增益和最優(yōu)共識(shí)增益，以最小化濾波器的濾波誤差方差的一個(gè)上界。

2 分布式濾波設(shè)計(jì)

定義I(t,i)為估值器i在t時(shí)刻接收到的信息，那么，估值器i從初始時(shí)刻到t時(shí)刻接收的信息可以表示為：

Ii(t)={I(1,i),…,I(t,i)}

(7)

系統(tǒng)狀態(tài)估值定義如下：

(8)

估值器i在t時(shí)刻的估計(jì)誤差為：

(9)

則相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣可定義如下：

(10)

引理1：對(duì)于任意兩個(gè)適當(dāng)維度的矩陣X和Y，以下微分公式成立：

(11)

(12)

式中：?表示微分；tr(·)表示矩陣的跡。

引理2:對(duì)于任意2個(gè)向量x,y∈Rn，下列不等式成立：

xyT+yxT≤xxT+yyT

(13)

定理1：系統(tǒng)(1)和(2)在假設(shè)1和2條件下的分布式遞歸卡爾曼濾波器和預(yù)報(bào)器計(jì)算為：

(14)

(15)

濾波誤差和預(yù)報(bào)誤差的協(xié)方差矩陣上界為：

diCi(t))Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-

(16)

BQ(t-1)BT

(17)

(18)

Ci(t)=di(I-γi(t)Ki(t)Hi)·

(19)

(20)

(21)

證明：由定義(9)可知，濾波誤差可以表示為：

(22)

則濾波誤差協(xié)方差矩陣為：

diCi(t))Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-

(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))T+

(23)

按照引理2，可以得到:

(24)

(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))·

diCi(t))T≤di(I-γi(t)Ki(t)Hi-

diCi(t))Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-

(25)

由此，可將(23)轉(zhuǎn)化為：

Pi(t|t)≤(1+di)(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))·

Pi(t|t-1)(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))T+

(26)

-(1+di)(I-Ki(t)Hi-diCi(t))Pi(t|t-1)·

(27)

-di(I-γi(t)Ki(t)Hi-diCi(t))Pi(t|t-1)+

(28)

當(dāng)γi(t)=0時(shí)，一致性增益為：

(29)

其中，Mi(t)由式(20)定義。

當(dāng)γi(t)=1時(shí)，濾波增益和一致性增益分別為：

Ci(t)=di(I-γi(t)Ki(t)Hi)·

(30)

(31)

由式(6)～(8)，能得到式(14)～(15)，由式(29)～(31)和定義(21)，可以得到式(18)～(19)。由式(1)和定義(8)可以得到預(yù)報(bào)誤差方程：

Aei(t-1)+Bw(t-1)

(32)

基于式(10)和式(32)，可得到式(17)。證畢。

3 有界性分析

為了證明所提出的事件觸發(fā)的分布式卡爾曼一致性濾波的穩(wěn)定性，我們給出如下假設(shè)。

(33)

此外，以下條件成立:

(34)

(35)

以及

E[Vt+1(ηt+1)|ηt]≤(1-ρ)Vt(ηt)+μ

(36)

則隨機(jī)過(guò)程在均方意義下以概率1指數(shù)有界，即:

(37)

定理2:在假設(shè)3下，當(dāng)初始誤差有界時(shí)，所提出的事件觸發(fā)的分布式卡爾曼一致性濾波在均方意義下以概率為1有界的。

證明：定義e(t)=[(e1(t))T,…,(eL(t))T]T，其中ei(t)由式(9)定義.定義李亞普諾夫函數(shù)：

(38)

γi(t+1)Ki(t+1)vi(t+1)+Ci(t+1)·

Ki(t+1)vi(t+1)+(I-γi(t+1)·

(39)

對(duì)于任意的具有相同維數(shù)的向量x和y，存在tr{xyT}=xTy，則：

E{Vt+1(e(t+1))|e(t)}=

(40)

根據(jù)式(33)和式(34)可知，總存在一個(gè)正標(biāo)量0<ρ≤1和u>0，使得式(37)成立，其中:

(41)

(42)

由引理3可知，所設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)的分布式卡爾曼一致性濾波在均方意義下是以概率1有界的。

4 數(shù)值例子

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的帶有4個(gè)傳感器的線性跟蹤系統(tǒng)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 帶4個(gè)傳感器的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

zi(t+1)=Hix(t+1)+vi(t+1),i=1～4

在仿真中，我們?nèi)?00個(gè)數(shù)據(jù)。定義[0,K]時(shí)間段內(nèi)傳感器到估值器之間的通訊速率為：

我們采用根均方誤差來(lái)評(píng)估跟蹤性能，根均方位置誤差和速度誤差分別定義如下：

在仿真中，當(dāng)傳感器與估計(jì)器之間的通信閾值設(shè)置為1.2，通信速率為0.675時(shí)，傳感器1的位置和速度跟蹤圖像展示在圖2中，由圖可見(jiàn)具有良好的濾波跟蹤性能。4個(gè)傳感器對(duì)目標(biāo)估計(jì)的位置和速度的均方根誤差如圖3所示。可以看到，在事件觸發(fā)的通信機(jī)制下，所有估值器的根均方誤差都是有界的。

圖2 濾波器的跟蹤性能

圖3 不同估值器的根均方誤差的比較

為了體現(xiàn)本文算法的優(yōu)勢(shì)，將本文提出的次優(yōu)算法與文獻(xiàn)[16]中的次優(yōu)算法進(jìn)行比較。首先選出適當(dāng)?shù)摩襥使得文獻(xiàn)[16]的根均方誤差盡可能小。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)σi取值過(guò)大時(shí)濾波器將失去穩(wěn)定性。在設(shè)置閾值為1.2時(shí)，不同傳感器的位置和速度的根均方誤差隨σi的變化情況如表1所示。可見(jiàn)當(dāng)σ1=σ2=0.01，σ3=σ4=0.1時(shí)根均方誤差接近最小。本文算法與文獻(xiàn)[16]算法的4個(gè)傳感器平均根均方誤差的比較結(jié)果如圖4所示。由圖可知，本文算法的濾波精度高于文獻(xiàn)[16]。

表1 不同σi時(shí)的根均方誤差

圖4 本文算法與文獻(xiàn)[16]的根均方誤差的比較

4個(gè)傳感器在不同閾值下的平均根均方誤差如圖5所示。將傳感器與估值器之間通信的閾值分別設(shè)置為0、0.6、2、3.6，當(dāng)閾值為0時(shí)為滿(mǎn)率通信，平均根均方誤差最小。隨著閾值的增大，其相應(yīng)的4個(gè)傳感器的平均根均方誤差也增大。也就是說(shuō)，閾值越小，通信速率越高，估計(jì)精度越高；閾值越大，通信速率越低，估計(jì)精度越低。

圖5 不同閾值時(shí)估值器的根均方誤差的比較

當(dāng)閾值取為1.2時(shí)，4個(gè)傳感器的觸發(fā)時(shí)刻在圖6中表示。其中，橫坐標(biāo)表示時(shí)刻，縱坐標(biāo)表示在各時(shí)刻各傳感器的觸發(fā)情況，畫(huà)點(diǎn)處表示此時(shí)觀測(cè)值傳輸給估值器。為了使得系統(tǒng)在估計(jì)性能和通信率之間達(dá)到一個(gè)平衡，可以適當(dāng)調(diào)節(jié)事件觸發(fā)的閾值，達(dá)到既能緩解通信負(fù)擔(dān)又能滿(mǎn)足實(shí)際估計(jì)精度要求的目的。以上仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

圖6 傳感器的觸發(fā)時(shí)刻

5 結(jié)語(yǔ)

為了避免節(jié)點(diǎn)之間估計(jì)誤差互協(xié)方差陣的計(jì)算，本文提出了一種基于事件觸發(fā)的分布式卡爾曼一致性濾波算法。其中，通過(guò)局部極小化濾波誤差方差的一個(gè)上界求解了最優(yōu)的卡爾曼濾波增益和一致性增益。通過(guò)帶4個(gè)傳感器的仿真例子說(shuō)明了由于避免任兩個(gè)傳感器之間的估計(jì)誤差互協(xié)方差陣每時(shí)刻減少的計(jì)算量級(jí)為O(48)。當(dāng)傳感器的數(shù)量較多時(shí)，該算法在減小計(jì)算量上具有明顯的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，基于李雅普諾夫方法分析了該算法在均方意義上的指數(shù)有界性。