孫延修, 潘斌

(1. 沈陽(yáng)工學(xué)院基礎(chǔ)課部, 遼寧 撫順 113122; 2. 遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院, 遼寧 撫順 113001)

1 引言

離散時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題已經(jīng)取得了豐富的研究成果, 在實(shí)際控制問題中由于系統(tǒng)建模誤差及工作環(huán)境的變化, 系統(tǒng)往往存在不確定性[1-2]. 針對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,魯棒控制可以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的魯棒性能, 受到了很多學(xué)者的關(guān)注并取得了一定的成果.

在實(shí)際控制系統(tǒng)中, 考慮系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)滯性、參數(shù)的不確定性及系統(tǒng)的非線性擾動(dòng)等因素具有較強(qiáng)的實(shí)際意義[3-4]. 文獻(xiàn)[5] 針對(duì)范數(shù)有界的一類不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)給出了魯棒穩(wěn)定性判定標(biāo)準(zhǔn), 并設(shè)計(jì)出了基于狀態(tài)反饋的魯棒控制器, 文獻(xiàn)[6] 針對(duì)非線性時(shí)滯系統(tǒng), 利用線性矩陣不等式方法將最優(yōu)化求解困難的問題轉(zhuǎn)化成具有LMI 約束的凸優(yōu)化問題, 并給出魯棒預(yù)測(cè)控制器存在的充分條件及其表達(dá)式, 文獻(xiàn)[7] 針對(duì)一類非線性離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)的觀測(cè)器進(jìn)行了研究, 并給出了觀測(cè)器存在的充分條件, 從而使?fàn)顟B(tài)誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

本文在基于文獻(xiàn)[5] 的基礎(chǔ)上考慮到系統(tǒng)的非線性擾動(dòng), 通過利用線性矩陣不等式方法對(duì)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性進(jìn)行分析, 以LMI 形式給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件, 并設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

2 系統(tǒng)描述

考慮如下不確定時(shí)滯系統(tǒng)

其中,x(k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量,A ∈Rn×n,Ad ∈Rn×n, 為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣,ΔA,ΔAd為參數(shù)不確定項(xiàng), 滿足如下條件:

其中,D,E,Ed為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣,F(k) 為未知時(shí)變函數(shù)矩陣, 滿足

令非線性項(xiàng)

且滿足

引理2.1[8]給定適當(dāng)維數(shù)矩陣M,N和對(duì)稱矩陣G, 對(duì)滿足FT(k)F(k)≤I的矩陣F(k), 不等式G+MF N+NTFTMT< 0 成立的充要條件是存在實(shí)數(shù)ε> 0,使得

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

考慮系統(tǒng)(1) 中非線性函數(shù)項(xiàng)所滿足的約束條件, 利用線性矩陣不等式(LMI) 的方法, 可以得到不確定時(shí)滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.

定理3.1若存在對(duì)稱正定矩陣P,Q滿足下列不等式

其中,P>0, Q>0, 證明V(x(k)) 沿系統(tǒng)(1) 的差分為負(fù), 即

可以保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

由于

即

利用S-procedure, 將不等式(3)-(4) 結(jié)合起來等價(jià)于下列不等式成立:

根據(jù)Schur 補(bǔ)引理2.2 知,

其中,

根據(jù)引理2.1 可知,

即

根據(jù)Schur 補(bǔ)引理2.2 知,

同理, 不等式(8) 等價(jià)于下列不等式

通過以上推導(dǎo), 命題得證.

4 魯棒控制器設(shè)計(jì)

在實(shí)際控制系統(tǒng)中, 系統(tǒng)往往具有時(shí)滯性, 不確定性及外部擾動(dòng)等特點(diǎn), 考慮如下不確定時(shí)滯系統(tǒng)

其中,u(t)∈Rm是系統(tǒng)的輸入, ΔA,ΔAd,ΔB為參數(shù)不確定項(xiàng), 滿足如下條件:

其它項(xiàng)滿足系統(tǒng)(1) 中設(shè)定的條件.

設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u(k)=Kx(k), 使得如下閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定:

其中, ?A=A+BK+ΔA+ΔBK,?Ad=Ad+ΔAd.

定理4.1如果存在矩陣P>0, Q>0,K及正數(shù)ε>0 滿足下列不等式

證明由定理3.1 可知, 閉環(huán)系統(tǒng)(11) 為漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件是

用A+BK替換不等式(2) 中的矩陣A, 同時(shí)用E+BbK替換不等式(2) 中的E, 結(jié)合定理3.1 的證明過程可得不等式(13) 等價(jià)于下列不等式成立:

其中,X=A+BK,Y=E+BbK.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)一類含非線性項(xiàng)的不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究, 在非線性項(xiàng)滿足一定約束條件下進(jìn)行了穩(wěn)定性分析, 以線性矩陣不等式形式給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件, 從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件便于實(shí)現(xiàn). 同時(shí), 進(jìn)一步獲得了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件, 設(shè)計(jì)出了不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器, 定理4.1 的理論證明保證了狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)的有效性.