劉晨, 竇霽虹, 李玉峰, 趙婷婷

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

1 引言

媒介傳染病是通過一種被稱為生物媒介載體傳播的傳染性疾病, 通常由病毒、細(xì)菌、原生動物或立克次體等引起的, 特別是蚊媒疾病, 例如瘧疾、登革熱、西尼羅河熱等[1], 給人們的生活帶來巨大的影響, 時刻威脅著人們的生命健康. 隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展, 醫(yī)學(xué)界不斷嘗試去解決長久以來困擾人們的疾病問題. 然而, 理論是實踐的基礎(chǔ), 大量的傳染病動力學(xué)模型推動著對傳染病問題的研究. 人們更多地關(guān)注決定疾病爆發(fā)后是持續(xù)流行還是逐漸消亡的閾值, 即基本再生數(shù)[2], 從而能更好地控制疾病的傳播.

根據(jù)文獻(xiàn)[3-4] 可知染病媒介的繁殖后代中有部分?jǐn)y帶病毒, 能夠進(jìn)行疾病的傳播;在2014 年關(guān)于新生兒登革熱的報告中, 表明新生兒的病因正是由于母嬰垂直傳播[5].因此, 在實際的病例中確實存在人群和媒介均具有垂直傳播這種雙垂直傳播傳染病的傳播機(jī)制, 但現(xiàn)今對雙方同時考慮垂直傳播特征的疾病研究還為數(shù)不多.

因此, 本文建立了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和雙垂直傳播的媒介傳染病模型, 并對其動力學(xué)形態(tài)進(jìn)行理論分析證明與數(shù)值模擬, 進(jìn)一步完善對媒介傳染病模型的研究.

2 模型建立

假設(shè)在傳染病流行期間, 該地區(qū)人群的遷移忽略不計, 同時不考慮因病死亡, 且人群的出生率和死亡率相等用μH表示, 則總?cè)巳壕S持于一個固定的常數(shù)N.SH(t),IH(t) 及RH(t) 分別表示易感者, 帶病毒人群(簡稱患者) 及康復(fù)者在t時刻相應(yīng)的數(shù)量. 對于媒介(如蚊子) 而言, 繁殖周期短, 產(chǎn)量大, 每日的出生量和死亡量都十分巨大,在無人為干擾的情況下, 媒介總數(shù)的變化量相對于該種群總數(shù)可忽略不計, 因此假設(shè)媒介總數(shù)也維持于一個固定常數(shù)M, 媒介的出生率和死亡率均為μM.SM(t),IM(t) 分別表示易感媒介和染病媒介在t時刻相應(yīng)的數(shù)量.

根據(jù)媒介習(xí)性的不同, 將易感媒介每日接觸人的頻率記為a1, 染病媒介每日接觸人的頻率相對更高記為a2, 同時感染效率也有所不同[6-7], 將易感媒介接觸一次患者獲病的概率記為b1, 易感者接觸一次染病媒介病的概率相對更高記為b2, 疾病的發(fā)生率均為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率.r表示患者的康復(fù)率, 患者一旦康復(fù)可對該疾病終身免疫, 人群和媒介各自的垂直傳染率分別為qH及qM. 可得此類媒介傳染病傳播的流程圖如圖1.

圖1 媒介傳染病的傳播流程圖

根據(jù)建模思想, 本文建立如下動力學(xué)模型:

根據(jù)Rh(t) = 1?Sh(t)?Ih(t), Sm(t) = 1?Im(t), 對模型(1) 進(jìn)行降維, 因此只需考慮如下系統(tǒng):

考慮到實際背景, 模型的解均為非負(fù)數(shù), 本文僅在可行域Ω 中進(jìn)行討論,

3 基本再生數(shù)的計算

令模型(2) 右邊各等式等于0, 易得該模型的無病平衡點E0(1,0,0). 本文采用Driessche 和Watmough 的第二代生成矩陣法[8], 給出基本再生數(shù)的表示.

令X=(Ih,Im,Sm)T,β1=a1b1,β2=a2b2, 則模型(2) 可等價為

其中,

φ,ψ在無病平衡點E0處的雅克比矩陣分別如下:

當(dāng)基本再生數(shù)R0<1 時, 意味著平均每位患者在其患病期內(nèi)導(dǎo)致新增患病人數(shù)不足一人, 疾病逐漸消亡; 反之, 當(dāng)基本再生數(shù)R0>1 時, 意味著疾病持續(xù)蔓延.

4 平衡點的存在性

定理4.1若R0<1, 模型(2) 只存在無病平衡點E0(1,0,0); 若R0>1, 模型(2)存在唯一的地方病平衡點E?(S?h,I?h,I?m).

證明令模型(2) 右邊各等式等于0, 計算得

當(dāng)R0<1 時,Ih=0, 模型(2) 只存在無病平衡點E0.

5 平衡點的穩(wěn)定性

定理5.1當(dāng)R0< 1, 模型(2) 的無病平衡點E0(1,0,0) 是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1 時, 則不穩(wěn)定.

證明模型(2) 在無病平衡點E0(1,0,0) 處的雅克比矩陣為

對應(yīng)的特征方程為

解得λ1=?μH<0.另外兩個特征根由下面的方程決定

整理得

其中,c1=μM(1?qM)+μH(1?qH)+r, c2=(1?R20)μM(1?qM)[μH(1?qH)+r].

由c1> 0, 且當(dāng)R0< 1 時,c2> 0, 根據(jù)Hurwitz 判據(jù)可知, 方程(7) 所有特征根均具有負(fù)實部. 因此, 無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)R0> 1 時,c2< 0, 則方程(9) 有一正根, 故無病平衡點E0不穩(wěn)定.

定理5.2當(dāng)R0<1, 模型(2) 的無病平衡點E0(1,0,0) 是全局漸近穩(wěn)定.

證明構(gòu)造正定的Lyapunov 函數(shù)

其沿模型(2) 軌線的導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)R0<1 時, ˙V ≤0, 當(dāng)且僅當(dāng)Ih=0 時, ˙V=0. 此時Sh=1,Im=0, 故無病平衡點為唯一的不動點,{E0}是{Sh,Ih,Im ∈Ω : ˙V= 0}的最大不變集. 由LaSalle 不變集原理[9]可得, 當(dāng)R0<1 時, 模型(2) 的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理5.3在R0>1 的基礎(chǔ)上,當(dāng)滿足條件(H1)R20[μH(1?I?m)?(μH+r)I?h)]<μH時, 模型(2) 的地方病平衡點E?(S?h,I?h,I?m) 是局部漸近穩(wěn)定的.

證明當(dāng)R0>1 時, 模型(2) 在地方病平衡點E?處的雅克比矩陣經(jīng)矩陣變換為

其中

經(jīng)整理

由條件(H1), 得

則B<0. 因此, 地方病平衡點E?(S?h,I?h,I?m) 是局部漸近穩(wěn)定的.

定理5.4在R0> 1 的基礎(chǔ)上, 當(dāng)滿足條件(H2)μH+r ?2qHμH> 0 時, 模型(2) 的地方病平衡點E?(S?h,I?h,I?m) 是全局漸近穩(wěn)定的.

證明根據(jù)文獻(xiàn)[10] 及定理5.2 知, 當(dāng)R0>1 時,E0不穩(wěn)定, 則在Ω 內(nèi)存在一個緊吸引子集Γ, 且模型(2) 存在唯一的地方病平衡點E?, 故滿足文獻(xiàn)[11] 中定理3.3.7的條件, 下面證明q<0.

模型(2) 的雅克比矩陣的第二加性復(fù)合矩陣為

其中,

其中,

令(u,v,l)∈R3, 其范數(shù)‖·‖定義為‖(u,v,l)‖= max{|u|,|v|+|l|}, 相應(yīng)于范數(shù)‖·‖的Lozinskiˇi 測度是μ(B),μ(B)≤sup{g1,g2}, 其中

將B22的每一列非對角元素取絕對值后加到相應(yīng)列的對角元素上, 取其兩個對角元素的最大值, 則

由條件(H2) 知,η=min{μH,μH+r ?2qHμH}>0. 利用

則對所有滿足初值的X0=(Sh(0),Ih(0),Im(0))∈Γ, 當(dāng)t>t?時, 有

又由Ω?R3是單連通, 故根據(jù)文獻(xiàn)[11] 中的定理3.3.7 證畢.

6 數(shù)值模擬

為了對以上理論結(jié)果進(jìn)行驗證, 本文參考文獻(xiàn)[6] 對參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)剡x取, 借助Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬, 針對不同的基本再生數(shù)計算結(jié)果, 描繪出疾病的發(fā)展趨勢.

(1) 選取參數(shù)K= 10,a1= 0.12,a2= 0.28,b1= 0.5,b2= 0.8,qH= 0.3,qM= 0.36,μH= 0.2,μM= 0.6,r= 0.25. 此時計算得R0= 0.9473< 1. 圖2 為易感者比例Sh(t)、患者比例I(t) 及染病媒介比例Im(t) 隨時間t的變化情況.

圖2 無病平衡點的穩(wěn)定性(R0 =0.9473)

(2)選取參數(shù)K=10,a1=0.12,a2=0.2,b1=0.5,b2=0.8,qH=0.3,qM=0.36,μH=0.2,μM=0.6,r=0.4. 此時計算得R0=0.6211<1. 圖3 為易感者比例Sh(t)、患者比例I(t) 及染病媒介比例Im(t) 隨時間t的變化情況.

圖3 無病平衡點的穩(wěn)定性(R0 =0.6211)

通過圖2 和圖3 可以直觀地看出, 當(dāng)R0<1 時, 易感者比例逐漸趨于1, 患者比例和染病媒介比例逐漸趨于0, 無病平衡點在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的. 另外, 通過比較兩圖, 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)減小人群與媒介之間的接觸率、增大疾病的康復(fù)率, 會引起基本再生數(shù)減小, 從而導(dǎo)致疾病更快的走向消亡.

(3) 選取參數(shù)K= 10,a1= 0.25,a2= 0.37,b1= 0.5,b2= 0.8,qH= 0.3,qM= 0.36,μH= 0.2,μM= 0.6,r= 0.08. 此時計算得R0= 2.0928> 1. 圖4 為易感者比例Sh(t)、患者比例I(t) 及染病媒介比例Im(t) 隨時間t的變化情況.

圖4 地方病平衡點的穩(wěn)定性(R0 =2.0928)

(4) 選取參數(shù)K= 10,a1= 0.12,a2= 0.28,b1= 0.5,b2= 0.8,qH= 0.3,qM=0.36,μH=0.2,μM=0.6,r=0.1. 此時計算得R0=1.2076>1. 圖5 為易感者比例Sh(t)、患者比例I(t) 及染病媒介比例Im(t) 隨時間t的變化情況.

圖5 地方病平衡點的穩(wěn)定性(R0 =1.2076)

通過圖4 和圖5 可以直觀地看出, 當(dāng)R0>1 時, 隨著時間的推移, 易感者比例、患者比例和染病媒介的比例均趨于各自的一個穩(wěn)定值, 可見地方病平衡點在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的. 另外, 通過比較兩圖, 可以發(fā)現(xiàn)若減小人群與媒介之間的接觸率、增大疾病的康復(fù)率, 從而引起基本再生數(shù)減小, 則會導(dǎo)致當(dāng)疾病發(fā)展到地方病平衡點時, 相應(yīng)的患者比例會穩(wěn)定在更小的數(shù)值.

進(jìn)一步根據(jù)基本再生數(shù)的表達(dá)式

可知,R0與人群的垂直傳染率qH及媒介的垂直傳染率qM正相關(guān). 因此, 相比宿主和媒介中一方具有垂直傳播, 或雙方均不考慮垂直傳播的情況而言, 當(dāng)加入雙垂直傳播特征時, 會引起基本再生數(shù)增大, 從而R0<1 時, 疾病消亡的時間會相對延長;R0>1 時,疾病到達(dá)地方病平衡點相應(yīng)的患者比例有所提高.

7 結(jié)論

本文考慮到在媒介傳染病中存在傳播媒介和宿主均具有母嬰垂直傳播的實際情況,建立了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和雙垂直傳播的媒介傳染病模型, 并對模型進(jìn)行了定性分析和定量模擬, 從而達(dá)到了對媒介傳染病進(jìn)一步完善研究的目的. 最后, 通過計算機(jī)不僅實現(xiàn)了對模型的數(shù)值模擬, 驗證了理論結(jié)果的有效性, 而且通過比較不同基本再生數(shù)下的疾病發(fā)展趨勢, 直觀地說明了采取減小人群與媒介之間接觸率的相應(yīng)措施, 或者采取有效的治療方法提高康復(fù)率, 能夠使得基本再生數(shù)降低, 從而可以達(dá)到控制疾病蔓延的效果, 此為實際應(yīng)用提供了理論依據(jù). 另一方面, 說明了相對于不考慮雙垂直傳播因素,增加該因素之后, 會引起基本再生數(shù)的增大, 從而導(dǎo)致疾病消亡的時間延長, 地方病平衡點對應(yīng)的患者比例提高.